Khóa học LTĐH môn Toán Chuyên đề 05 – Hình học không gian BG+BT-Thầy Trần Phương pptx

Khi xthay ñổi, tìm quĩ tích của O và chứng minh rằng S luôn ñi qua một ñường tròn cố ñịnh... Chứng minh rằng: MN tiếp xúc mặt cầu S ñường kính AB.. Chứng minh rằng: H thuộc mặt phẳng cố

A TỨ DIỆN DỰA TRÊN HAI ðƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Bài 1: Cho ( ), ( ')∆ ∆ chéo nhau nhận AA’ làm ñường vuông góc chung và AA’ = a Gọi (P) là mặt phẳng

ñi qua A và vuông góc với ( ')∆ Mặt phẳng (Q) // (P) cắt ( ),( ')∆ ∆ tại M, M’ Gọi N là hình chiếu của M lên (P) ðặt ϕ=
AM P, ( ) và x=d(( ), ( )P Q )

a Chứng minh: A’M’MN là hình chữ nhật Tính VAA 'M MN' theo a và x

b ðặt
MAM'=α,
M' AA '= Tìm mối quan hệ giữa ,β ϕ α àβ

c Tìm tâm O và bán kính hình cầu (S) ngoại tiếp AA’M’MN

d Khi xthay ñổi, tìm quĩ tích của O và chứng minh rằng (S) luôn ñi qua một ñường tròn cố ñịnh Giải:

a Do AA '⊥ ∆( ') à ( )v P ⊥ ∆ suy ra (P) chứa AA’ ( ')

N là hình chiếu của M lên (P) ⇒MN ⊥( )P ⇒MN ⊥A N'

( )P ⊥ ∆ ⇒( ') M A' '⊥( )P ⇒M A' '/ /MN ⇒Tứ giác A’M’MN là hình bình hành có một góc vuông

d Gọi mặt phẳng chứa A’A và ( )∆ là (K) Ta có: OA = OA’ = R suy ra quĩ tích ñiểm O là ñường trung trực của AA’ thuộc mặt phẳng (K)

Gọi mặt phẳng chứa AA’ và vuông góc với ( )∆ là (W) Do mặt cầu (S) luôn ñi qua A, A’ nên (S) chứa ñường tròn cố ñịnh ñường kính AA’ nằm trên (W)

Bài 2: Cho ( )d ⊥( ')d và chéo nhau Lấy A cố ñịnh thuộc (d) và 2 ñiểm B, C thuộc (d’) sao cho mặt phẳng (B, (d)) ⊥(C d, ( )) Gọi A’, B’, C’ là chân các ñường cao chứa ABC∆ Chứng minh rằng:

⇒ H cố ñịnh Từ ñó suy ra B’, C’ nằm trên ñường tròn ñường kính AH xác ñịnh trong mặt phẳng (A, d’))

Bài 3: Cho ( )d1 ⊥(d2) và chéo nhau Các ñiểm A, M thuộc (d1) và B, N thuộc (d2) với AB là ñường vuông góc chung của (d1), (d2) ðặt AB = a, AM = ,x BN = y

1 Giả sử: AM + BN = MN Kẻ OH ⊥MN Gọi O là trung ñiểm của AB

a Chứng minh rằng: MN tiếp xúc mặt cầu (S) ñường kính AB

b Chứng minh rằng:

2ons ;

R ≥ với R là bán kính hình cầu ngoại tiếp ABMN

d Tìm M, N ñể diện tích toàn phần của tứ diện ABMN nhỏ nhất

e Chứng minh rằng: H thuộc mặt phẳng cố ñịnh và MN tạo với mặt phẳng ñó 1 góc không ñổi Tìm quĩ tích ñiểm H

1 a Lấy J∈( )d1 khác phía M qua A với Ạ = BN

a Chứng minh rằng: MN luôn song song với một mặt phẳng cố ñịnh ñồng thời MN hợp với Ax và

By những góc bằng nhau

b Chứng minh rằng: Khi M, N di ñộng thì tập hợp trung ñiểm I của MN là ñường vuông góc chung của AB, MN

c Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng lần lượt vuông góc với Ax và By tại M, N tương ứng Tìm quĩ

tích giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q)

Bài 5: Cho hai ñường thẳng cố ñịnh ( ), ( ')∆ ∆ chéo nhau và ñộ dài a cho trước

a Dựng ñường thẳng ( )d ⊥ ∆ tại M và cắt ( ')( ) ∆ atij N sao cho MN = a

b Cho A∈ ∆( ) àv B∈ ∆ CMR: Tồn tại duy nhất mặt cầu (S) tiếp xúc với ( ),( ')( ') ∆ ∆ lần lượt tại A

6 Giả sử SC cố ñịnh còn A, B thuộc d cố ñịnh Kẻ SE⊥CA SF; ⊥ AB Tìm quĩ tích E, F

7 CMR: Tâm cầu O thuộc 1 ñường thẳng cố ñịnh

8 Giả sử SC = c = const, SA + SB = k = const

9 Lấy M∈ ∆ABC Gọi khoảng cách từ M tới (SBC), (SCA), (SAB) là a1; b1; c1

a Tính a, b, c theo a1; b1; c1 ñể V S ABC. min

c Gọi I là trung ñiểm của ñoạn AB Chứng minh rằng:

4

4

1tan

SCI AB

2 Nếu H là trực tâm tam giác ABC suy ra CH ⊥AB mà CS ⊥AB⇒SH ⊥AB

Tương tự suy ra: SH⊥BC Vậy SH ⊥(ABC)

- Nếu SH ⊥(ABC)⇒SH ⊥AB Lại có: SC⊥AB⇒CH⊥AB

Tương tự suy ra: AH ⊥BC⇒H là trực tâm tam giác ABC

6 ðiểm E, F nằm trên ñường tròn giao tuyến của mặt cầu ñường kính CS với mặt phẳng (C, d) Tâm O

thuộc giao tuyến cố ñịnh của mặt phẳng trung trực ñoạn CS với mặt phẳng chứa (d) và vuông góc (S, d)

b Khi A, B di ñộng sao cho SA + SB = k thì C'∈PQ với SP = SQ = k

Dễ thấy S, A, B, C nằm trên mặt cầu ñường kính CC’ với tâm O là trung ñiểm của CC’ ⇒ Quĩ tích O là ñoạn P’Q’ với P’, Q’ là trung ñiểm của CP và CQ

16

SABC MSAB MSBC MSCA

AB SCA

Vậy SABC ñều (ñpcm)

Bài 2: Trêm mp(P), cho một ñiểm O cố ñịnh, một ñường thẳng d cố ñịnh không ñi qua O, một góc vuông

xOy quay quanh O, các cạnh Ox , Oy cắt (d) theo thứ tự ở A, B Trên ñường thẳng vuông góc với (P) ñi

qua O lấy ñiểm S Gọi a là khoảng cách từ O ñến d và
OAB= α

b Kẻ OE⊥SA, OF⊥SB Tìm quĩ tích của các ñiểm E, F khi góc vuông xOy quay quanh O

Bài 3 Cho mặt cầu tâm O cố ñịnh Xét một tam diện 3 góc vuông có ñỉnh S cố ñịnh trên mặt cầu và các

cạnh cắt mặt cầu lần lượt tại A, B, C Chứng minh rằng mặt phẳng (ABC) luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh

Giáo viên : Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn

Bài 1: Cho chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = 2, BC = 4 Cạnh bên SA = 5 vuông

góc với ñáy Gọi D là trung ñiểm cạnh AB

1).Tính góc giữa AC và SD 2).Tính khoảng cách giữa BC và SD

Bài 2: Khối chóp tam giác SABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân ñỉnh C và SA vuông góc với mặt

phẳng (ABC), SC = a Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) ñể thể tích khối chóp lớn nhất

Bài 3: Cho tứ diện ñều ABCD có cạnh bằng 1 Gọi M, N là các ñiểm lần lượt di ñộng trên các cạnh AB,

AC sao cho (DMN) (⊥ ABC) ðặt AM = x, AN = y Tính thể tích tứ diện DAMN theo x và y Chứng minh rằng: x+y=3xy

Bài 4: Cho khối tứ diện ABCD Trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các ñiểm M, N, P sao cho :

BC = BM BD= BN và AC=3AP Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD làm hai phần

Tính tỉ số thể tích giữa hai phần ñó

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác vuông tại B, AB = a, AC = 2a, SA = a và SA vuông góc

mặt ñáy, mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC tại H và cắt SB tại K Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a

Bài 6: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ñều ABC cạnh a, I là là trung ñiểm của BC và D là ñiểm ñối

xứng của A qua I Trên ñường thẳng vuông góc với (P) tại D lấy một ñiểm S sao cho 6

2

a

SD = Gọi H là hình chiếu của I trên SA Chứng minh rằng (SAB)⊥(SAC) và tính theo a thể tích của khối chóp H.ABC

Bài 7: Cho hình chóp S.ABC, ñáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = a 3 , SA vuông góc với

mặt phẳng (ABC), SA = 2a Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của ñiểm A trên các cạnh SB và

SC Tính thể tích của khối chóp A.BCNM

N MD

S

C

K

Bài 1: Cho chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = 2, BC = 4 Cạnh bên SA = 5 vuông

góc với ñáy Gọi D là trung ñiểm cạnh AB

1).Tính góc giữa AC và SD 2).Tính khoảng cách giữa BC và SD

Bài 2: Khối chóp tam giác SABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân ñỉnh C và SA vuông góc với mặt

phẳng (ABC), SC = a Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) ñể thể tích khối chóp lớn nhất

A

B C

H

M N

C S

( với 0 <

2

π

ϕ< )

Bài 3: Cho tứ diện ñều ABCD có cạnh bằng 1 Gọi M, N là các ñiểm lần lượt di ñộng trên các cạnh AB,

AC sao cho (DMN) (⊥ ABC) ðặt AM = x, AN = y Tính thể tích tứ diện DAMN theo x và y Chứng minh rằng: x+ =y 3xy

Giải:

Dựng DH ⊥MN =H

Do (DMN) (⊥ ABC)⇒DH ⊥(ABC) mà D ABC là

tứ diện ñều nên H là tâm tam giác ñều ABC

Trong tam giác vuông DHA:

Ta có: S AMN =S AMH +S AMH 1 0 1 0 1 0

.sin 60 sin 30 sin 30

Gọi ϕ là góc giữa hai mp (SCB) và (ABC)

Ta có : ϕ=
SCA; BC = AC = a.cosϕ ; SA = a.sinϕ

Từ ñó ta thấy trên khoảng (0;1) hàm số

f(x) liên tục và có một ñiểm cực trị là ñiểm

cực ñại, nên tại ñó hàm số ñạt GTLN

arc

ϕ=

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác vuông tại B, AB = a, AC = 2a, SA = a và SA vuông góc

mặt ñáy, mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC tại H và cắt SB tại K Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a

Bài 6: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ñều ABC cạnh a, I là là trung ñiểm của BC và D là ñiểm ñối

xứng của A qua I Trên ñường thẳng vuông góc với (P) tại D lấy một ñiểm S sao cho 6

2

a

SD= Gọi H là hình chiếu của I trên SA Chứng minh rằng (SAB)⊥(SAC) và tính theo a thể tích của khối chóp H.ABC

Giải:

AK ⊥ SBC ⇒ AK ⊥KH v ⊥AK

Chứng minh: (SAB)⊥(SAC)

Vậy: (SAB)⊥(SAC) (ñpcm)

Tính theo a thể tích của khối chóp H.ABC

Bài 7: Cho hình chóp S.ABC, ñáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = a 3 , SA vuông góc với

mặt phẳng (ABC), SA = 2a Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của ñiểm A trên các cạnh SB và

SC Tính thể tích của khối chóp A.BCNM

Không mất tính tổng quát ta giả sử a=min{a b c, , }

Trên AC, AD lấy lần lượt hai ñiểm C1, D1 sao cho AC1 = AD1 = a, từ giả thiết suy ra tứ diện ABC1D1 là tứ

diện ñều cạnh a nên có

1 1

3212

A Chóp tam giác có cạnh vuông góc mặt ñáy là tam giác không vuông

Bài mẫu: LấyS∈At⊥(ABC) Gọi I là trực tâm SBC∆ với các ñường cao BE, CF, K là trực tâm ABC∆với các ñường cao BM, CN

I Chứng minh rằng:

1 (BME)⊥(SAC), (CNF)⊥(SAB), (APS)⊥(SBC)

2 KI ⊥(SBC)

3 EM, FN, IK, SA ñồng qui tại Q

4 Tứ diện SQBC có các cặp cạnh ñối diện vuông góc nhau

5 AS.AQ = AK.AP = AN.AB = AM AC

6 Tứ giác BCHJ nội tiếp

7 Chứng minh rằng: A, B, C, H, J thuộc cùng một mặt cầu

8 Nếu ABC∆ không cân thì JH luôn ñi qua 1 ñiểm cố ñịnh khi S∈At Gọi ñiểm cố ñịnh là T

Chứng minh rằng:
TAB=TCA

II Giả sử tam giác ABC ñều cạnh a

3 Các ñường thẳng EM, FN, IK, SA ñôi một cắt nhau

nhưng không có ba ñường nào ñồng phẳng nên chúng ñồng qui tại Q

4 SQ⊥(ABC)⇒SQ⊥BC

SC⊥ BME ⇒SC⊥QB SB⊥ CFN ⇒SB⊥QC

5 Tam giác vuông ∆ASB∼∆AQK và BNKP, CMKP nội tiếp nên:

AS.AQ = AK.AP = AN.AB = AM.AC (ñpcm)

Vậy A, B, C, H, J thuộc mặt cầu ñường kính AD

8 Kéo dài JH cắt BC tại T ⇒TA⊥SA

Theo trên: AH ⊥SD⊥AJ⇒SD⊥(AJ )H ⇒SD⊥AT

Do ñó: AT⊥(SAD)⇒AT ⊥AD Vậy T cố ñịnh và
TAB=TCA

II Vì ∆ABC ñều nên K là tâm ∆ABC

23

⇒ Tâm cầu thuộc ñường thẳng cố ñịnh (d) (⊥ BCC')

B Chóp có cạnh vuông góc mặt ñáy với ñáy là tam giác vuông hoặc tứ giác nội tiếp

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD) nội tiếp trong ñường tròn tâm O ñường kính AC = 2R

I Lấy B’, C’, D’ ∈ SB, SC, SD và gọi (Q) là mặt phẳng ñi qua A

1 CMR: AB’, AC’, AD’ cùng thuộc (Q) ⊥SC⇔{AB'⊥SB AC, '⊥SC AD, '⊥SD}

Các câu sau với giả thiết (Q) ⊥SC và S cố ñịnh

2 Chứng minh rằng: Tứ giác AB’C’D’ nội tiếp

3 Nêu phương pháp tính V S AB C D. ' ' ' và dt (AB’C’D’)

4 Chứng minh rằng: 7 ñiểm A, B, C, D, B’, C’, D’ cùng thuộc một mặt cầu

5 CMR: Giao tuyến của (Q) với (ABCD) là ñường thẳng vuông góc với (SAC)

6 Tìm quĩ tích B’, D’ khi B, D ( ; )∈ O R

7 Gọi K là giao ñiểm của các tiếp tuyến của (O, R) tại A, B CMR: KB’ là tiếp tuyến của mặt cầu ñường kính AC và mặt cầu ñường kính SA

8 Xác ñịnh vị trí của B∈( ; )O R ñể VS.AB’C max

II Giả sử SA = 2R và BD là một ñường kính quay quanh O ðặt α =
ABD

1 Kẻ SH⊥BD Tìm quĩ tích của H

2 Xác ñịnh α ñể diện tích tam giác SBD max

3 Trên SA, SB, SD lấy A1, B1, D1 sao cho: SA.SA1 = SB.SB1 = SD.SD1 = 3R2

Tương tự suy ra: AD’ ⊥ SC

Ta có: AB’, AC’, AD’ cùng góc với SC

suy ra AB’, AC’, AD’ cùng thuộc mặt phẳng (Q) ñi qua A

5 Giả sử: ( )Q ∩(ABCD) hay (AB C D' ' ')∩(ABCD)= At⇒At⊥SC

Lại có: SA⊥(ABCD)⇒At⊥SA⇒At⊥(SAC) (ñpcm)

6 Do S, A, C cố ñịnh nên C’ và mặt phẳng (Q) cố ñịnh

Theo 2 ta có AB’C’D’ nội tiếp ñường tròn ñường kính AC’ suy ra quĩ tích ñiểm B’, D’ là ñường tròn ñường kính AC’ xác ñịnh trên (Q) ⊥ SC

7 Gọi J =OK∩AB Ta có: OK ⊥AB⇒OK ⊥JB'

ðiểm B’ thuộc mặt cầu ñường kính AC’ suy ra OB’ = OB ⇒ ∆OB J' = ∆OBJ

2

2 1

227

⇒ ðường tròn ngoại tiếp ∆SB D1 1 luôn ñi qua ñiểm O1 cố ñịnh khác S (ñpcm)

C Chóp tam giác ñều

Bài 1: Chóp tam giác S.ABC có ñáy là tam giác ñều cạnh a, ñường cao SH = h, góc giữa ñáy và mặt bên

là α, góc giữa hai mặt bên kề nhau là φ

1 a Tính các bán kính hình cầu ngoại tiếp, nội tiếp R, r theo a, h

b Giả sử a cố ñịnh, h thay ñổi Tìm h ñể r

Rmax

2 a Tính SH theo φ và khoảng cách d từ chân ñường cao ñến cạnh bên

b Xác ñịnh quan hệ giữa α, φ

3 (P) là mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA

a h thỏa mãn ñiều kiện gì ñể ( )P ∩SA= ∈J [ ]SA , khi ñó tính diện tích tam giác CBJ

b Tính h theo a ñể (P) chi chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau Chứng minh rằng: Khi ñó tâm cầu ngoại tiếp chóp trùng tâm cầu nội tiếp chóp

Giải:

1.a Gọi O là tâm cầu ngoại tiếp ⇒ ∈O SH

Ta có:

3)(

2 2 2

2 2

R h HA OH OA

Gọi I là tâm cầu nội tiếp chóp ⇒ ∈I SH

Gọi A’ là trung ñiểm BC

⇒ Mặt cầu nội tiếp tiếp xúc mặt phẳng ñáy tại H,

a SH

ϕϕ

=

−

Bài 1: Cho chóp ñều S.ABCD cạnh ñáy bằng a, ñường cao SH = h

1 mp(P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’

a h thỏa mãn ñiều kiện gì ñể C’ thuộc ñoạn SC Khi ñó tính diện tích (AB’C’D’)

b Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

c Chứng minh rằng: Tam giác B’C’D’ luôn tù

2 Cho
ASB= α

a) Xác ñịnh tâm và bán kính các mặt cầu ngoại, nội tiếp theo ,aα

b) Chứng minh rằng: 2 tâm ñó trùng nhau ⇔α=450

3 Gọi V là thể tích chóp SABC; V1; V2 là thể tích hình cầu ngoại tiếp, nội tiếp

Trong những trường hợp nào thì mỗi tỉ số: 2 2

1

; ;

V V V ñạt Max

4 Gọi H =AC∩BD còn ϕ là góc tạo bởi mặt bên với mặt ñáy

a) Tìm ñường vuông góc chung của SD, CB Tính ñộ dài ñoạn vuông góc chung ñó

b) Mặt phẳng ñi qua BD và vuông góc mặt bên (SCD) chia chóp tháng 2 phần Tính tỉ số thể tích của 2 phần ñó theo ϕ

5 Lấy M là ñiểm bất kì thuộc AH Mặt phẳng (P) qua M và song song AD, SH cắt Ab, DC, SD, SA tại I,

J, K, L

a) Cho h=a 2 Tìm M ∈AH ñể IJKL là tứ giác ngoại tiếp

b) Xác ñịnh M ñể khối ña diện DIJKLH có thể tích lớn nhất

c) (P) cắt SD tại N Gọi E là giao ñiểm 2 ñường chéo của tứ giác MNKL Tìm quỹ tích E khi M chạy trên

+Lại có:

⇒ ∆ luôn là tam giác tù

2 a) Gọi O là tâm cầu ngoại tiếp chóp ⇒ O là giao của SH và trung trực của SC trong mp(SHC) Gọi O’

là trung ñiểm của SC

Ta có tam giác vuông SOO’ SCH SO SO'

∼2

2 2

2 2

3 Theo (2) có:

2 2

a h

2

3( )

2(1 )

t

f t

t t

227

tan 2 1 1 tan

c c

Từ dựng ñường // AD cắt SD tại P Từ P dựng ñường // ML cắt BC tại Q

Khi ñó PQ là ñường vuông góc chung của SD, BC

Gọi I’, J’ là trung ñiểm của AB, CD

Kẻ LL’ ⊥ SI’; KK’ ⊥ SJ’ khi ñó dt(IJKL) = dt(I’J’K’L’) ≤dt SI J( ' ')

Từ ñó Max VDIJKLH ñạt ñược khi M ≡H

c) Gọi P, Q, P’ là trung ñiểm AD, KL, SH còn E=MK∩NL

⇒ E là trung ñiểm OH’ Dễ thấy Q=KL∩SP, H'= ∩IJ HP QH, '/ /SH

Do ñó khi M thay ñổi trên AH thì QH’ thay ñổi nhưng luôn // SH và E thuộc ñoạn PP’

Ta có: V2=V PCEF −V QBME+V RDFE

Dẽ thấy ñường cao hạ từ P xuống ABCD

Giải:

Gọi K và E tương ứng là trung ñiểm của CD và AB, thì SK⊥CD⊥EK

và (SCD) ∩(ABCD)=DC

Nên
SKE là góc nhị diện cạnh CD

Theo giả thiết
SKE =600 nên SKE là tam giác ñều,

khi ñó gọi H là trung ñiểm của SE thì KH ⊥SE

và KH là phân giác của góc
SKE

Do DC // (SAB) nên nếu qua H kẻ NM // AB // CD

thì DCMN là thiết diện cần dựng

Dẽ thấy DNMC là hình thang cân với ,

V

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD các mặt bên tạo với ñáy góc α

1 Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với (SAD)

Kéo dài AI và giả sử AI∩SD= E

Ta có: (AEC)⊥(SAD) (vì OI∈(AEC)

Vậy tam giác AEC chính là thiết diện cần dựng

2 Gọi V1 là diện tích của phần chóp S.ABCD nằm dưới thiết diện

Ta có: V1 = VD.AEC (1)

Ta có: .

.

(2)2

Bài 1 Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD với AB = a, BC = b

1 Gọi I, J là trung ñiểm AB, CD Trong mặt phẳng (Q) ñi qua Ị và vuông góc với (P) dựng nửa ñường tròn (L) ñường kính IJ Lấy S bất kì thuộc (L)

b) Chứng minh rằng: Tam giác EAC vuông

c) Tìm quĩ tích hình chiếu vuông góc H của A lên EB

Các em tham khảo thêm

Giáo viên : Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn