Hướng dẫn học sinh lớp 11 sử dụng kết quả một bài tập trong sách giáo khoa để giải quyết một số bài toán về khoảng cách.

Hướng dẫn học sinh lớp 11 sử dụng kết quả một bài tập trong sách giáo khoa để giải quyết một số bài toán về khoảng cách. Hướng dẫn học sinh lớp 11 sử dụng kết quả một bài tập trong sách giáo khoa để giải quyết một số bài toán về khoảng cách. Hướng dẫn học sinh lớp 11 sử dụng kết quả một bài tập trong sách giáo khoa để giải quyết một số bài toán về khoảng cách.

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong phần :" Câu hỏi và bài tập" sách giáo khoa hình học nâng cao lớp 11

trang 103 có bài tập 17c như sau:

" Cho hình tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc, gọi H là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC) chứng minh rằng:

OH OA OB OC "

Ta có thể chứng minh như sau:

Theo giả thiết thì OA(OBC) Trong mp(OBC) từ O kẻ đường

thẳng vuông góc với BC và cắt

BC tại I Trong mp(OAI) từ O kẻ

đường thẳng vuông góc với AI và

cắt AI tại H Khi đó ta có BCOI

(theo cách kẻ) và BC OA

( vì OA(OBC)) và

OI OA O  nên (ABC) ( OAI),

Từ đó suy ra OH vuông góc với

mặt phẳng (ABC) nên H là hình

chiếu vuông góc của O trên mặt

phẳng (ABC).Áp dụng hệ thức lượng

trong các tam giác vuông OAI và

OBC ta có:

OI OB OC từ đó suy ra: 2 2 2 2

Sau khi giải xong bài toán ta nhận thấy rằng: đoạn OH chính là khoảng cách từ điểm O tới mặt phẳng (ABC) Vì vậy ta nghĩ tới việc có thể sử dụng kết quả bài toán này trong việc tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song cũng như khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

*Cơ sở lý luận:

Xét bài toán tổng quát:

" Cho điểm O và mặt phẳng (P), O không nằm trên (P) Hãy tính khoảng cách từ điểm O tới mặt phẳng (P)."

Để giải quyết bài toán tổng quát trên ta cần sử dụng tới những kiến thức cơ bản sau:

+ Khoảng cách từ điểm O tới mặt phẳng (P) chính là khoảng cách từ điểm O tới hình chiếu H của O trên (P)

A

B

H

I

+ Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với nhau là khoảng cách từ một điểm O bất kỳ thuộc a tới mp(P)

+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách giữa

đường thẳng a và mp(P) chứa b song song với a

+ Nếu OO' // (P) thì d(O; (P)) = d(O'; (P))

+ Nếu OO'( )P  thì I ( ;( ))

( ;( ))

+ Ta gọi tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một là tứ diện vuông tại O

* Thực trạng của vấn đề

Bài toán tìm khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng là bài toán cơ bản trong hình học không gian Hầu hết các đề thi đại học những năm gần đây đều

có trực tiếp hay gián tiếp bài toán này Theo định nghĩa: khoảng cách từ một điểm O tới mp(P) là khoảng cách từ điểm O tới hình chiếu H của O trên (P) Vì vậy điều cốt yếu của bài toán tính khoảng cách là phải xác định được hình chiếu vuông góc của điểm cần tính khoảng cách tới mặt phẳng, điều này gây ra nhiều lúng túng cho giáo viên cũng như học sinh

Nếu sử dụng kết quả bài 17c SGK hình học nâng cao lớp 11 ta không cần phải xác định hình chiếu H nữa mà vẫn tính được khoảng cách Vì vậy có thể xem kết quả bài 17c là cách gián tiếp để tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

* Giải pháp và tổ chức thực hiện

Qua thực tế giảng dạy tôi đã rút ra được các trường hợp sau đây :

Trường hợp 1

Trên mặt phẳng (P) có sẵn 3 điểm A, B, C sao tứ diện OABC vuông tại O và

độ dài 3 đoạn OA, OB, OC đã biết

Cách giải: Khi đó ta áp dụng trực

tiếp công thức trong bài 17c suy ra kết

quả cần tìm

Thí dụ 1 (Đề thi đại học khối D năm 2002 câu IV 2 )

A B

C h

O

P

Cho tứ diện ABCD có AD(ABC) AC =AD = 4 (cm), AB = 3(cm); BC = 5 (cm) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).

Giải:

Từ giả thiết ta có BC2 = 52 = 32 +42

= AB2 + AC2 suy ra tam giác ABC

vuông tại A suy ra tứ diện ABCD có

3 cạnh AB, AC, AD vuông góc với

nhau từng đôi một và có độ dài lần

lượt là: 3(cm); 4(cm); 4(cm) Nếu gọi

khoảng cách từ A tới mp(BCD) là h

thì áp dụng bài 17c ta có:

1 1 1

3 4 4 =

17 72

suy ra 6 34 ( )

17

h cm Vậy d(A; (BCD)) = 6 34 ( )

17 cm

Trường hợp 2

Trên mặt phẳng (P) mới có sẵn 2 điểm A, B sao cho OA OB Khi đó để tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P) ta cần xác định thêm điểm C sao cho OC vuông góc với cả OA và OB đồng thời 3 đoạn OA, OB, OC đều tính được độ dài của chúng

Thí dụ 2 (Đề dự bị 1 – Khối B năm 2004 Câu III 3 )

= 2a, góc ABC1200 Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC).

Giải:

Trong nửa mặt phẳng (ABC) bờ là

đường thẳng AC chứa điểm B kẻ

tia Ax vuông góc với AC và tia Ax

cắt BC tại K Khi đó d(A; (SBC)) =

d(A; (SCK)) = h

Ta có tứ diện A.KCS vuông tại A

nên ta có: h12 AK1 2  AC1 2  AS12 (*)

Tính AC2

Trong tam giác ABC áp dụng định lý

cosin ta có:

2 cos (2 ) (2 ) 2.2 2 cos120 12

Tính AK2

Ta có góc KAC900; góc BAC300 suy ra: góc KAB600

D

B

S

A

B

C x

1200

300 K

Mà ABK180 1200 0 600 Suy ra tam giác ABK là tam giác đều, suy ra AK

= AB = 2a Suy ra: AK2 = 4a2 Theo giả thiết SA = 3a , thay vào (*) ta có:

4 12 9

h  a  a  a , từ đó tính được

9 4

h a Vậy d(A; (SBC)) = 9

4a

Trường hợp 3

Trên hình vẽ có điểm O' sao cho

OO'//(P) hoặc có điểm O1 sao cho

O1 đối xứng với điểm O qua điểm

I ( với I là giao điểm của OO1 với

mp(P)) Khi đó khoảng cách từ điểm

O tới mp(P) bằng khoảng cách từ

điểm O' tới (P) hoặc bằng khoảng

cách từ O1 tới (P) Từ đó ta xác định

3 điểm A, B, C trên mp(P) sao cho

tứ diện O'ABC vuông tại O' hoặc

tứ diện O1ABC vuông tại tại O1 đồng

thời độ dài các cạnh O'A, O'B, O'C

hoặc O1A, O1B, O1C đã tính được

Thí dụ 3 Cho hình lập phương ABCDA ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(DA ' C ' )

Giải: Gọi I = A'DAD', suy ra AD' (DA'C') = I và IA = ID', suy ra:

' '

( ;( ))

Lại có ABCDA'B'C'D' là hình lập

phương nên tứ diện D'A'DC' có các

cạnh D'A', D'D, và D'C' vuông góc

với nhau từng đôi một và D'A'= D'D

= D'C' = a.Vậy áp dụng kết quả bài

17c ta có:

2

2

3

a



3 ( ,( ' ')) 3

Thí dụ 4

Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = BC = 2a, cạnh bên AA ' = 2 2a , gọi M, E lần lượt là trung điểm của BC và BB ' Hãy tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (AME).

.

.

A

B

C

O1

I P

C D

C'

D'

I

Giải:

Vì CB'//ME và CB' không nằm

trên mp(AME) nên CB' song song

với mặt phẳng (AME) suy ra

d(C; (AME)) = d(B'; (AME))

Mặt khác BB' (AME) = E, và

1

'

EB

EB  , nên ( ;(' )) ' 1

( ;( ))

Suy ra: d B AME( ;(' ))d B AME( ;( )) h

Mặt khác tứ diện BMEA có 3 cạnh

BA, BE, BA đôi một vuông góc với

nhau và có độ dài lần lượt là:

BA = 2a, BM = a, BE =a 2

Vì vậy áp dụng kết quả bài 17c ta có:

h BA BE BM  a  a a  a

2 7

a h

Vậy : d(C; (AME)) = 2

7

a

Trường hợp 4

Trên hình vẽ có điểm O' sao cho IO' k 1

IO   ( với I  OO '  ( )P )

Khi đó ( ;( ))' '

( ;( ))

d O P IO   d O P( ,( ))k d O P ( ,( ))' Tương tự ta xác định

các điểm A, B, C trên (P) sao cho tứ diện O' ABC có 3 cạnh O'A, O'B, O'C đôi một vuông góc với nhau và độ dài của chúng tính được Từ đó ta tính được khoảng cách từ O' tới mặt phẳng (P)

từ đó suy ra khoảng từ O tới mp(P)

Thí dụ 5(Đề thi đại học khối D năm 2012)

A

B

C M

E

A'

B'

C'

A

B

C

O

O'

I

P

.

Cho hình hộp đứng ABCDA ' B ' C ' D ' có đáy là hình vuông, tam giác A ' AC vuông cân, A ' C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB ' C ' và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng(BCD ' ) theo a.

Ở đây ta chỉ áp dụng kết quả bài 17c

trong ý sau của yêu cầu bài toán nghĩa

là áp dụng trong tính khoảng cách từ

điểm điểm A đến mặt phẳng(BCD')

theo a Cụ thể lời giải như sau:

Giải: Dễ thấy AO(BCD') = C

và CA 2

CO 

'

'

( ;( ))

( ;( )) 2 ( ;( )

CO

d O BCD

Gọi 'O AC BD'  ' d O BCD( ;( '))d O BCO( ;( '))

(vì mp(BCD') cũng chính là mp(BCO'))

Mặt khác từ giả thiết suy ra tứ diện OO'CB vuông tại O nên nếu đặt

d(O; (BCO')) = h thì: 2 2 2 2

OO

Trong đó:

( ) ( )

Thay các giá trị trên vào (*) suy ra:

a h

Vậy suy ra: ( ;( ')) 2 2 6 6

Thí dụ 6 : (Đề dự bị 2 – khối B – năm 2003)

Cho hình chóp đều S.ABC đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng  (0900) Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(SBC).

Giải:

Gọi H là tâm của đáy ABC vì S.ABC là hình chóp đều

C D

A'

B'

C'

D'

O

O'

nên suy ra SH (ABC), H đồng thời

là trọng tâm tam giác ABC

Ta có AH (SBC)M

Và MA 3

MH  , suy ra:

( ;( ))

( ;( )) 3 ( ;( )) 3

Với ( ;(d H SBC))h

Ta sẽ tính h bằng cách: trong nửa

mp((BHC) bờ là đường thẳng HC chứa điểm M kẻ tia Hx vuông góc

với HC và Hx BC E  Tứ diện HECS là tứ diện vuông tại H, ta có:

2

Theo giả thiết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng  nên SMA

3

a

HC  , tam giác HCE vuông tại H và có góc HCE300 suy ra:

.tan 30

2

( ) ( ) ( tan )

a



a sin ( ;( )) 3.a sin a 3sin

2

Vậy khoảng cách từ điểm A tới mp(SBC) là a 3 sin

2



Thí dụ 7.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B BA =

BC = a; AD = 2a, SA (ABCD). và SA a 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc

của A trên SB Tính khoảng cách từ điểm H tới mặt phẳng (SCD).

Giải : Ta có:

S

A

B

C



H

2 2

( ;( ))

( ;( ))

2 ( ;( )) ( ;( )) (*)

3

Kéo dài AB cắt CD tại I

1 ( ;( )) ( ;( )) (**)

2

Từ (*) và (**) suy ra: ( ;( )) 1 ( ;( ))

3

Mà tứ diện A.SDC vuông tại A nên đặt d A SCD( ;( ))h thì:

2

( 2) ( 2)

a h

Vậy khoảng cách từ H tới mp(SCD) bằng: 3 52 a

Mặt khác ta thấy rằng: khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với nhau chính là khoảng cách từ một điểm O bất kỳ thuộc a tới mp(P).Vì vậy ta có thể áp dụng bài 17c trong việc tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Thí dụ 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp

trong đường tròn đường kính AD = 2a ; SA(ABCD). và SA a 6 Hãy tính khoảng cách giữa đường thẳng AD và mp(SBC).

Giải: Vì AD//BC và AD không nằm

trong mặt phẳng (SBC) nên AD

song song với mp(SBC) Suy ra:

d(AD; (SBC)) = d(A; (SBC))

Trong nửa mp(ABC) bờ là đường

thẳng AC chứa điểm B, từ A

kẻ tia Ax vuông góc với AC;

tia Ax cắt BC tại điểm I Khi đó

d(A; (SBC)) = d(A; (SIC)) = h

Mà tứ diện ASCI vuông tại A

nên ta có:

S

B

C

D

I

H A

S

A

D I

x

AS

Theo giả thiết : SA = a 6; Áp dụng định lý cosintrong tam giác ABC ta có

3

Tam giác AIC vuông tại A có góc

3

Thay vào (*) suy ra: 2 2 2 2 2

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng AD và mp(SBC) bằng 6

3 a

Thí dụ 9

Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a Gọi K là trung điểm của

DD ' , M là trung điểm của BB ' Tính khoảng cách giữa đường thẳng CK và mp(A ' DM).

Giải: Dễ dàng chứng minh được tứ giác A'MCK là hình bình hành suy ra:

CK//(A'MD) suy ra: d(CK, (A'MD)) = d(K, (A'MD)) Gọi N là giao điểm của

A'D và AK; P là giao điểm của A'M và AB Dễ thấy N là trọng tâm của tam giác ADD' suy ra: NK NA 12; ( ;( '' )) 12

( ;( ))

NA

d A A MD

( ;( )) ( ;( )) ( ;( ))

Mà tứ diện A.A'DP vuông tại A

nên

đặt d(A,(A'DP)) = h thì:

2

(2 ) 4

2 ( ;( ' ))

Suy ra: khoảng cách giữa

đường thẳng CK và mp(A'MD)

bằng a3

C D

P

A'

B'

C'

D'

M K

N'

Ta lại có: khoảng cách giữa 2

đường thẳng chéo nhau a và b

chính là khoảng cách từ đường

thẳng a tới mp(P) chứa b và

song song với a, do vậy ta có

thể áp dụng kết quả bài 17c

trong việc tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Thí dụ 10

Cho lăng trụ đều ABC.A ' B ' C ' có tất cả các cạnh bằng a, gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA ' và BB ' Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng B ' M và CN ?

Giải:

Dễ thấy B'M //AN và B'M

không nằm trong mặt phẳng

(ACN) nên B'M song song với mặt

phẳng (ACN) suy ra:

d(B'M; CN) = d(B'M; (ACN)) =

= d(B'; (ACN))

Mà BB' ( ACN) và NBN ' = NB

nên d(B'; (ACN)) = d(B; (ACN))

= 2d(I; (ACN)) = 2d(I; (ACK))

(Vì mp (ACN)mp(ACK))

Lại có tứ diện IACK vuông tại I

nên nếu đặt d(I, (ACK)) = h thì:

2

Thay các giá trị trên vào (*) ta có 2 2 2

3 ( ) ( ) ( )

a h

Suy ra: d(B'M; CN) = 2h = 3

4

a

Vậy khoảng cách giữa 2 đường thẳng B'M và CN bằng 3

4

a

Thí dụ 11

(Đề thi đại học khối A và A 1 năm 2012)

a

P

b O

B''

A B

C

M

N'

I K

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S trên mp(ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2 HB Góc giữa

khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC theo a.

Ở đây ta ta chỉ áp dụng bài 17c trong ý sau của yêu cầu bài toán tức là tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC Cụ thể như sau:

Giải:

Trong nửa mp(ABC) bờ là

đường thẳng BC chứa điểm

A kẻ đường thẳng d đi qua

A và song song với đường

thẳng BC Khi đó BC//mp(d,SA)

suy ra: Khoảng cách giữa

đường thẳng BC và đường

thẳng SA chính bằng khoảng

cách giữa đường thẳng BC

và mp(d, SA)

Mà d(BC; mp(d; SA)) =

d(B; mp(d, SA)) vậy suy ra:

d(BC; SA) = d(B; mp(d, SA))

Lại có: BHmp d SA( ; )A; AH AB  32 d H mp SA d d B mp SA d( ;( ; ( , ))( , ))AH AB 32

3 ( ; ( , )) ( ; ( , ))

2

Trong mặt phẳng (ABC) qua H kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt đường thẳng d tại I Khi đó tứ diện HIAS vuông tại H

Đặt d(H, mp(SA,d)) = d(H, (IAS)) = h ta có:

2

(*)

h HS HA HI

Dễ dàng tính được

Thay các giá trị trên vào (*) ta có:

2

a h a

Vậy ( ; ( , )) 3 ( ; ( , )) 3 42 42

A

B

C

S

d

I

H

Kết luận: khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 42

8

a

*Kiểm nghiệm:

Trong một tiết học ở lớp 11A10 tuần học thứ 32 năm học 2012 - 2013 tôi đưa

ra 2 bài tập: bài 1 là một ý trong câu IV đề thi đại học khối D năm 2012(thí dụ 5 trong sáng kiến ), bài 2 là một ý trong câu IV đề thi đại học khối A, A1 năm

2012 ( thí dụ 11 trong sáng kiến).Trong tuần 33 tôi tiếp tục cho các em làm 2 bài trên nhưng áp dụng kết quả của bài 17c So sánh kết quả trước và sau khi áp dụng sáng kiến tôi thấy các em đã bớt lúng túng hơn trong việc tính khoảng cách, số lượng các em làm đúng cả hai bài trong lớp tăng lên rõ rệt Cụ thể như sau:

Trước khi áp dụng sáng kiến :

Lớp 11A10 Sỹ số số lượng các

em làm đúng

1 bài

số lượng các

em làm đúng

2 bài

số lượng các

em không làm được bài nào

Sau khi áp dụng sáng kiến

Lớp 11A10 Sỹ số số lượng các

em làm đúng

1 bài

số lượng các

em làm đúng

2 bài

số lượng các

em không làm được bài nào

Áp dụng kết quả bài 17c ta có thể giải quyết các bài tập tương tự sau:

Bài 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SO mp ABCD ( )

AC = 4, BD = 2, SO = 3

a) Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(SBC)

b) Tính khoảng cách giữa hai dường thẳng AB và SD

Bài 2

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A Biết AA' =

1, BC = 2, AB = 3 Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(A'BC)

Bài 3

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2a, AA' = a Gọi M là điểm chia trong đoạn AD theo tỷ số: MA 3

MD  Tính khoảng cách từ điểm M tới

mp(AB'C)

Bài 4.

Cho tứ diện ABCD có AD = BC = a; AC = BD = b; AB = CD = c Tính

khoảng cách từ điểm A tới mp(BCD)

Bài 5

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = a 2

a) Gọi G là trọng tâm tam giác SAB tính khoảng cách từ điểm G tới mp(SBD) b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SM và BN

Bài 6

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a và SA vuông góc với đáy, với SA = a 6 Tính

khoảng cách giữa đường thẳng AD và mp(SBC)

Bài 7

Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' có cạnh bằng a Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AA', AD và CC' Gọi O là giao điểm của AC và BD Hãy tính các khoảng cách d(B; (MNP)) và d(O; (MNP))

Bài 8

Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' có cạnh bằng a Gọi Klà trung điểm của

DD' Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng CK và A'D

III KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT.

Có thể nói kết quả bài tập 17c SGK hình học nâng cao lớp 11 trang 103 là một cách hữu hiệu để tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng mà không cần phải xác định hình chiếu từ điểm cần tính khoảng cách tới mặt phẳng, tuy nhiên giáo viên cần lưu ý với các em : khi đi thi để sử dụng kết quả bài toán đó thì trước hết phải chứng minh và hầu hết các bài toán tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng đều có thể áp dụng kết quả bài toán này

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa ngày 20 tháng 5 năm 2013 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của

mình viết, không sao chép nội dung của người khác.

Hà Sỹ Tiến