Giúp học sinh lớp 12 rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải``` quyết một số bài toán hình học không gian

Giúp học sinh lớp 12 rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải``` quyết một số bài toán hình học không gian Giúp học sinh lớp 12 rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải``` quyết một số bài toán hình học không gian Giúp học sinh lớp 12 rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải``` quyết một số bài toán hình học không gian

Với một bài toán hình học nói chung và bài toán hình học không gian nóiriêng thì có nhiều cách giải khác nhau, có thể là phương pháp tổng hợp, phươngpháp vectơ hay phương pháp tọa độ, trong đó có một phần lớn các bài toán

hình học không gian có thể giải bằng phương pháp tọa độ hóa (PPTĐH) Với

những bài toán đó thì PPTĐH cho ta cách giải rất nhanh chóng và dễ dàng hơnnhiều so với phương pháp tổng hợp PPTĐH cho ta lời giải một cách chính xác,tránh được các yếu tố trực quan, các suy diễn phức tạp của phương pháp tổnghợp và là phương tiện hiệu quả để giải các bài toán hình học không gian

Việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cungcấp cho học sinh những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suynghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bàitoán, từng bước giúp học sinh độc lập suy nghĩ để giải bài toán Từ thực tế giảngdạy cũng như bản thân muốn học hỏi, tìm tòi, nghiên cứu sâu về giải quyết cácbài toán hình học không gian để phục vụ giảng dạy và giúp học sinh cảm thấythoải mái tiếp thu, có phương pháp tối ưu để giải quyết các bài tập hình học

không gian vốn phức tạp, tôi đã chọn chuyên đề : “ Giúp học sinh lớp 12 rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp tọa độ hóa để giải quyết một số bài toán hình học không gian ”.

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ :

I CƠ SỞ LÝ LUẬN :

Sự ra đời của cuốn “ La géometrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng

phương pháp tọa độ vào năm 1637 của nhà toán học thiên tài người Pháp ReneDescartes đã đánh dấu một bước tiến mạnh mẽ của toán học Mặc dù đại số vàhình học là hai mảng kiến thức khác nhau trong toán học, nhưng với phươngpháp tọa độ thì hai mảng kiến thức này lại dung hòa với nhau, cùng nhau pháttriển Phương pháp tọa độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thaycho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hóa vàtrừu tượng hóa toán học trong nhiều lĩnh vực

Để hướng dẫn cho học sinh khối 12 sử dụng phương pháp toạ độ hóa vào giải toán hình học không gian, giáo viên ngoài củng cố kiến thức về vectơ, tọa

độ trong không gian còn phải hướng dẫn học sinh nắm bắt được các dấu hiệu

nhận biết cùng với các bước giải một bài toán hình học không gian bằng phươngpháp tọa độ hóa.

Tuy nhiên qua thực tế , việc nắm vững các bước tọa độ hóa để vận dụngvào giải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một qúa trìnhtrừu tượng hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học Do vậy,thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với việcgiải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ

II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI :

1 Thuận lợi

Khái niệm vectơ trong không gian đã được đưa vào nội dung chương trìnhlớp 11, làm công cụ cơ bản nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa hai đườngthẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng và khoảng cáchgiữa một số đối tượng trong hình học không gian

Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làmcho cách diễn đạt một số nội dung hình học được gọn nhẹ hơn, học sinh dễ dàngtiếp thu Mặt khác một số kiến thức về vectơ này sẽ là cơ sở chuẩn bị cho việcxây dựng khái niệm tọa độ trong không gian trong chương trình hình học lớp 12,một công cụ hữu ích để giải nhiều bài toán hình học không gian

2 Khó khăn

Không ít học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc chủđộng phân tích đề bài, dựng hình và định hướng phương pháp giải quyết bàitoán mà các em chỉ làm một cách máy móc, lập luận thiếu căn cứ, không chínhxác, đôi lúc không phân biệt được đâu là giả thiết, đâu là phần cần chứng minh

Do đó kết quả không như mong đợi

Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 12 Do chưa tìm ra đượcphương pháp thích hợp để giải toán nên sẽ nhiều vướng mắc, từ đó thiếu hứngthú trong học tập Để giúp các em mau chóng tiếp cận được phương pháp giảngdạy mới, đòi hỏi sự nỗ lực và sự quyết tâm cao của cả thầy và trò

• Cosin của góc giữa 2 vectơ khác 0:

• Diện tích hình bình hành ABCD là : S ABCD AB AC; 

• Hai đường thẳng phân biệt d1 và d2 lần lượt có vectơ chỉ phương là u1 , u2

+ Song song với nhau khi u1và u2 cùng phương  u u1 ; 2  0

+ Vuông góc với nhau khi u1 u1 u u1. 2  0

• Đường thẳng d (vectơ chỉ phương u) và mp(P) (vectơ pháp tuyến n),d  P

+ Song song với nhau khi unu n   0

+ Vuông góc với nhau khi uvà n cùng phương  u n;  0

• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng

• Góc giữa hai đường thẳng

• Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

• Góc giữa hai mặt phẳng

• Thể tích khối đa diện

• Diện tích thiết diện

• Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc

3 Dấu hiệu nhận biết một bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp tọa độ hóa :

Ở phần giả thiết của bài toán có những dạng sau :

- Hình đã cho có một đỉnh là tam diện vuông

- Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy và đáy là tam giác đặc biệt( tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều ) hoặc tứ giác đặc biệt ( hìnhvuông, hình chữ nhật, hình thang vuông, hình thoi, )

- Hình chóp đa giác đều

- Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác hoặc tứ giác đặc biệt, đặc biệt là hình lậpphương, hình hộp chữ nhật,

- Hình đã cho có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, trong mặt phẳng

đó có những đa giác đặc biệt như tam giác vuông, tam giác đều, hình thoi,

- Một vài hình chưa có sẵn tam diện vuông nhưng có thể tạo được tam diệnvuông chẳng hạn: hai đường thẳng chéo nhau mà vuông góc, hoặc hai mặtphẳng vuông góc

Ngoài ra, với một số bài toán mà giả thiết không cho những hình quen thuộcnhư đã nêu ở trên thì ta có thể dựa vào tính chất song song, vuông góc của cácđoạn thẳng hay đường thẳng tham gia trong hình vẽ để thiết lập hệ trục tọa độ

4 Các bước giải một bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa

độ hóa :

- Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp

- Bước 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan đến yêu cầu bài toán

- Bước 3: Giải bài toán bằng kiến thức tọa độ

- Bước 4: Chuyển các kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học thôngthường

* Ví dụ về một vài cách chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa

độ:

- 3 điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng tương đương với tọa độ 1 điểm thỏa mãnphương trình đường thẳng đi qua 2 điểm kia hoặc 2 vectơ AB và AC cùngphương ( AB AC,   0

)

- 4 điểm A, B, C, D phân biệt đồng phẳng tương đương với tọa độ 1 điểm thỏamãn phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm kia hoặc 3 vectơ AB, AC, AD đồngphẳng ( AB AC AD,  0

Hình chóp tam giác S ABC có SA  (ABC), SA = h

* Đáy ABC là tam giác vuông tại A

AB = a, AC = b ( Tam diện vuông )

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :

B

x

y z

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :

2 2

* Đáy ABC là tam giác đều

Làm tương tự tam giác cân

Ví dụ minh họa :

Ví dụ 1: (Đề thi thử Đại học của Boxmath, 2012) Cho tứ diện OABC có

OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = a, OB = 2a, OC = 3a Gọi M là trungđiểm của OB, G là trọng tâm ∆ABC Tính thể tích khối tứ diện GMBC vàkhoảng cách giữa hai đường thẳng AM và OC theo a

x

S

N C

x

* Đường thẳng AM : đi qua A, có vectơ chỉ phương là u    1;1;0

Đường thẳng OC : đi qua O, có vectơ chỉ phương là k  0;0;1

Ví dụ 2: (Đề thi Tuyển sinh vào Đại học khối A, 2011)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC =2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mp(ABC) Gọi M làtrung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N Biếtgóc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 Tính thể tích khối chópS.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a

Hướng dẫn:

- Ta có: SA (ABC); SBC , ABC  SBA  60 0

Mặt phẳng qua SM và song song với BC sẽ cắt

mp(ABC) theo giao tuyến MN // BC

 N là trung điểm của AC

Đường thẳng SN: đi qua N, có vectơ chỉ phương là u  2 1; 1; 2 3

Bài 2: ( Toán học & Tuổi trẻ, 10 / 2012 )

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SB (ABC), BC = a, SB = 2a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và SC Tính

độ dài đoạn thẳng MN và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BC

Bài 3: (Đề thi thử Đại học của THPT Chuyên KHTN, 2013)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC

= 2a, SA  (ABC) Góc giữa SC và mp(SAB) bằng 300 Tính thể tích khối chópS.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC

Bài 4: (Đề thi thử Đại học của THPT Chuyên KHTN, 2013)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B, BC = a 3, AC = a 7, SA

 (ABC), M là trung điểm của AB; góc giữa hai mp(SMC) và (ABC) bằng 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC và diện tích ∆SMC

Hình chóp tứ giác S ABCD có SA  (ABCD), SA = h

* Đáy ABCD là hình vuông ( hoặc hình

z

* Đáy ABCD là nửa lục giác đều :

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :

Ví dụ 1: (Đề thi thử Đại học của Chuyên Đại học Vinh, lần 1, 2013)

Cho hình chóp S.ABCD có SC  (ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnhbằng a 3 và ABC 120 0 Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng

450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đườngthẳng SA, BD

z

y x

A

B

y z

x

* Đường thẳng SA đi qua A, có vectơ chỉ phương là : u  0; 2; 1  

Đường thẳng BD đi qua O, có vectơ chỉ phương là : i 1;0;0

Ví dụ 2: (Đề thi thử Đại học của THPT Cù Huy Cận, Hà Tĩnh, 2013)

Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AB

= 3a 2, BC = 3a Gọi M là trung điểm của CD và góc giữa (ABCD) và (SBC)bằng 600 Chứng minh (SBM)  (SAC) và tính thể tích khối tứ diện SABM

Hướng dẫn: Ta có :

ABCD , SBC  SBA  60 0  SA AB tan 60 0  3a 6

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :

Bài 1: (Đề thi thử Đại học của THPT Mai Anh Tuấn, Thanh Hóa, 2013)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB

= 3a, AD = CD = SA = 2a, SA  (ABCD) Gọi G là trọng tâm ∆SAB,

mp(GCD) cắt SA, SB lần lượt tại M, N Tính thể tích khối chóp S.CDMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM, BC

Bài 2: (Đề thi thử Đại học của THPT Bỉm Sơn, Thanh Hóa, 2013)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA (ABCD) Góc tạo bởi SC và mp(SAB) bằng 300 Gọi E là trung điểm của BC Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DE, SC.

Bài 3: (Đề thi thử Đại học của THPT Hùng Vương, Phú Thọ, 2012)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA (ABCD), SA =a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD; I là giao điểm của

SC và mp(AMN) Chứng minh SC  AI và tính thể tích khối tứ diện MBAI

Bài 4: (Đề thi thử Đại học của THPT Ba Đình, Thanh Hóa, 2012)

Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với

AB = a, AD = 2a Cạnh bên SB tạo với đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm Msao cho AM = 3

3

a , mp(BCM) cắt cạnh SD tại N.Tính thể tích khối chópS.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD, SC

NHÓM 2: HÌNH CHÓP CÓ MỘT MẶT BÊN (HOẶC MẶT CHÉO)

VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

*Hình chóp tam giác S.ABC có (SAB)  (ABC), đáy ABC là tam giác đặc biệt

Hạ SH  AB  SH  (ABC)

Tùy theo tính chất đặc biệt của ∆ABC mà chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho hợp lý

*Hình chóp tứ giác S.ABCD có (SAB)  (ABCD), đáy ABCD là tứ giác đặc biệt

Hạ SH  AB  SH  (ABCD)

Tùy theo tính chất đặc biệt của ∆ABC mà chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho hợp lý

*Hình chóp tứ giác S.ABCD có mặt chéo vuông góc với (ABCD), đáy ABCD

là tứ giác đặc biệt: Làm tương tự

Ví dụ minh họa :

Ví dụ 1: (Toán học & tuổi trẻ, 6/2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là

tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 2a Mặt bên (SBC)

là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông

góc với đáy Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và

(ABC) bằng 300.Tính thể tích khối chóp S.ABC và

khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB theo a

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn:

+ Gốc O là trung điểm của AB

+ Ox  đường thẳng OH

B H

S

A

y z

O

* Đường thẳng SC đi qua C, có vectơ chỉ phương là : u  6;3; 2 3  

Đường thẳng AB đi qua O, có vectơ chỉ phương là : j 0;1;0

Ví dụ 2: (Đề thi Đại học khối D, 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD

là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trênmp(ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,

4

AC

AH  Gọi CM là đường cao của

∆SAC Chứng minh M là trung điểm của SA và tình thể tích khối tứ diện SMBCtheo a

Bài 1: (Toán học & tuổi trẻ, 12/2012) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD

là hình vuông cạnh a, ∆SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P, K lần lượt là trung điểm của BC, CD, SD, SB Tính thể tích khối chóp S.ABMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng MK và AP theo a

Bài 2: (Đề thi thử Đại học của THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị, 2013)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = a

2, ∆SAB cân tại S, (SAB)  (ABCD), góc giữa (SAC) và (ABCD) bằng 600 Gọi H là trung điểm của AB Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SAHC theo a

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC =

2a 3, BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mp(SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mp(ABCD) Biết khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) bằng 3

4

a Tính thể tíchkhối chóp S.ABCD theo a

Bài 4: (Đề thi thử Đại học của THPT Chuyên Vĩnh Phúc, 2013)

Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với

AB = 2a, AD = 4a Biết góc giữa SC và mp(ABCD) bằng 300

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b) Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB, BC; N ở trên cạnh AD sao cho

DN = a Tính thể tích khối chóp S.AHMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng

MN, SB

NHÓM 3: HÌNH CHÓP ĐA GIÁC ĐỀU

Hình chóp tam giác đều S.ABC

∆ABC đều cạnh a, tâm O, SO = h

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm

Ví dụ 1: (Đề thi Đại học khối B, 2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với

SA = 2a, AB = a Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC Chứngminh SC  mp(ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a

Hướng dẫn :

- Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :

+ Gốc O là tâm tam giác đều ABC

Ví dụ 2: (Đề thi thử Đại học của THPT Nghèn, Can Lộc, Hà Tĩnh, 2012)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a

Gọi SH là đường cao của hình chóp và I là trung điểm

của SH Biết khoảng cách từ I đến mp(SBC) bằng

A

z

H

I•

Bài 1: (Đề thi thử Đại học của Boxmath, 2012)

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có khoảng cách từ A đến mp(SBC) bằng a,góc tạo bởi AB và (SBC) bằng 300 Gọi M là trung điểm của BC, N là trungđiểm của SM Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC Chứng minh

SC  mp(ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đườngthẳng SA, BN theo a

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a Gọi I, J lần lượt

là trung điểm của SA, CD Biết đường thẳng IJ tạo với mặt đáy một góc 600.Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Bài 3: (Đề thi thử Đại học của THPT Triệu Sơn 4, 2012)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáygóc 600 Mp(P) chứa AB và tạo với đáy một góc 300 cắt SC, SD lần lượt tại M,

N Tính thể tích khối chóp S.ABMN theo a

NHÓM 4: LĂNG TRỤ ĐỨNG

Hình hộp chữ nhật ( hoặc hình lập phương ) ABCD.A'B'C'D'

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn :