Tài liệu ông thi đại học - Tổ hợp và số phức ppt

 Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm Ma; b được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại..  Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức.. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành

CHñ §Ò: tæ hîp vμ sè phøc n¨m häc: 2010 - 2011

Hä vμ tªn: NguyÔn V¨n Loan

Tæ: To¸n Tin

Tr¦êng THPT CÈm Lý

CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC

1 ĐỊNH NGHĨA PHÉP TOÁN SỐ PHỨC

I> Khái niệm số phức:

 Là biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là những số thực và số i thoả i2= –1

Kí hiệu là z = a + bi với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo

 Tập hợp các số phức kí hiệu là = {a + bi/ a, b và i2= –1} Ta có 

 Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0.i = a 

 Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + bi = bi Đặc biệt i = 0 + 1.i

 Số 0 = 0 + 0.i vừa là số thực vừa là số ảo

II> Số phức bằng nhau:

 Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i Ta có z = z  '

'

a a

b b





 



 VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1)i = (2y + 1) + (3x – 7)i(1)

III> Biểu diễn hình học của số phức:

 Mỗi số phức z = a + bi được xác định bởi cặp số thực (a; b)

 Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại

 Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục

hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo

 VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là:

A

z = 1 + 4 i, z = –3 + 0 B i, z = 0 –2 C i, z = 4 – D i

IV> Môđun của số phức:

 Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt

phẳng Oxy Độ dài của véctơ OM

được gọi là môđun của số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b 2 2

 VD: z = 3 – 4i có z  3 4i  32 ( 4)2 = 5

 Chú ý: z2  a2b22abi  (a2b2 2) 4a b2 2 a2b2  z2

V> Số phức liên hợp:

 Cho số phức z = a + bi , số phức liên hợp của z là z   a bi



z = z * Chú ý

i i i i Z

Zn)  ( )n;   ;  

(

 Z là số ảo  Z Z

* Môđun số phức Z=a + b.i (a; b  R) Z  OM  a2 b2  z.z Chú ý: Z  Z  z C

 Hai điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy

VI> Cộng, trừ số phức:

 Số đối của số phức z = a + bi là –z = –a – bi

 Cho z a bi  và 'z  a b i' ' Ta có z ± z' = (a ± a')+ (b ± b')i

 Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực

VII> Phép nhân số phức:

 Cho hai số phức z a bi  và 'z  a b i' ' Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay 2

i = –1

và rút gọn, ta được: z.z' = a.a' - b.b' + (a.b' + a'.b)i

 k.z = k(a + bi) = ka + kbi Đặc biệt 0.z = 0 z

 z.z = (a + bi)(a – bi) hay z.z = a + b = z 2 2 2

 VD: Phân tích z + 4 thành nhân tử 2 z + 4 = 2 z – 2 (2 )i = (z – 22 i)(z + 2i)

 Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực

VIII> Phép chia số phức:

 Số nghịch đảo của số phức z a bi   0 là -1

2

z = =

=

a + bi a + b

 Cho hai số phức z a bi   0 và 'z  a b i' ' thì z' z z'.2

z  z hay a' + b'i = (a' + b'i)(a - bi) 2 2

 VD: Tìm z thoả (1 + 2i)z = 3z – i

Ta có (3 – 1 – 2i)z = i  z =

2 2

i i



IX> Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k  N

 i = 1; i 4k 4k+1 = i; i 4k+ 2 = -1; i 4k+ 3 = -i

 VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z = (2 2 ) i 13

6

Phần thực a = 219, phần ảo b = 2 19

2.BÀI TẬP PHÉP TOÁN SỐ PHỨC.

1) Tìm các số thực x, y biết:

a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; c) (1 – 2x) – i 3 = 5 + (1 – 3y)i;

b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i;

2, y =

4

3 c) x =

2



3



b) x = 0, y = 1

2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:

a) Phần thực của z bằng –2;

b) Phần ảo của z bằng 3;

c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2);

d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3];

e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2]

 Hướng dẫn:

a) Là đường thẳng x = –2;

b) Là đường thẳng y = 3;

c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên;

d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên;

e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2 tính cả biên

3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:

 Hướng dẫn:

a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa a2b2 1, là đường tròn tâm O, bán kính R = 1;

1

a b  , là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên; c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 1a2b2 2, là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 không tính biên, bán kính lớn R = 2 tính biên;

4)Thực hiện các phép tính sau:

b) 2i(3 + i)(2 + 4i) c) (1 ) (2 )2 3

2

i



5)Giải phương trình sau:

4 3

z

i   



 Hướng dẫn: a) z = 1 b) z = 8 9

5 5 i c) z = 15 – 5i

6)Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt

phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i

 Hướng dẫn:Gọi A là điểm biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số –i cos ;sin

F   

2 2i C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số 3 1

2 2i

2 2i B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số 3 1

2 2i

; ;z z ;( ) ;1z z z

 Hướng dẫn: Ta có z  nên 1

z    i; z3z z 2 1; 1 z z2 0

8)Chứng minh rằng:

a) Phần thực của số phức z bằng 1 

2 z z , phần ảo của số phức z bằng 1  

2i z z

b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z   z

c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi z z 

d) Với mọi số phức z, z, ta có z z  ' z z', zz'z z ' và nếu z  0 thì z' z'

 

   

 Hướng dẫn: z a bi z  ,  a bi (1)

2 z z Lấy vế trừ vế  phần ảo của số phức

2i z z b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0  z z     0 z z

c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0  z z    0 z z

d) z a bi  ; z' a b i' ' ; z z a2 là số thực b2

z z  a a  b b i a a  b b i a bi  a b i  z z

zz  aa bb  ab a b i  aa bb  ab a b i  a bi a b i  z z

9)Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có i4m 1;i4m1i i; 4m2  1; i4m3   i

 Hướng dẫn: Ta có i4 i i2 2 1

 i4 m1m  i4m 1 i i4m 1.i i4m1 i i4m1.i i i  i4m2   1 i4m2.i  1.i i4m3  i

10)Chứng minh rằng:

e) Nếu u

của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì | | | |u  z và từ đó nếu hai điểm A A theo 1, 2

thứ tự biểu diễn số phức z z thì 1, 2 A A1 2  z2z1 ;

f) Với mọi số phức z, z, ta có |z.z| = |z|.|z| và khi z  0 thì z' z'

z  z

g) Với mọi số phức z, z, ta có z z '  z z'

 Hướng dẫn:

a) z a bi  thì z  a2b2 , u

biểu diễn số phức z thì u

u  a b do đó

| | | |u  z

1, 2

A A theo thứ tự biểu diễn số phức z z thì 1, 2   A A1 2 OA2OA1z2 z1 A A1 2  z2z1

b) z a bi  , 'z  a b i' ' , z z 'aa bb' '  ab a b i' '  , z  a2b2, 'z  a'2b'2

Vậy |z.z| = |z|.|z|

c) u

biểu diễn z, 'u

biểu diễn z thì u u  ' biểu diễn z + z và z z '  u u '

u u  u u  u u  u u   u u  u u   u u

 u u  '  u  u' do đó z z '  z z'

11)Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:

z i

 Hướng dẫn: Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức

Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = 1

z i

z i

Tập hợp các điểm M là trục thực Ox

c) Với z x yi   z   z 3 4i  x yi  (x  3) (4 y i) x2y2  (x 3)2 (4 y)2

6x 8y 25 0

12)Chứng minh rằng với mọi số phức z  1, ta có 2 9 10 1

1

z

z





 Hướng dẫn:

1 z z   z z  1 z z   z z   1 z z   z z 1

Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh.(Cấp số nhân)

13)Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)?

2 ( )2

( )

z z





2 ( )2 1

zz





 Hướng dẫn: Ta có z a bi z  ,  a bi, z2 (a2b2) 2 abi z, 2 (a2b2) 2 abi,

Và z3(a33ab2) (3 a b b i z2  3) , 3 (a33ab2) (3 a b b i2  3)

Vậyz2( )z 2 2(a2b2) là số thực; 3 3 3 2

i





i





ảo

13)Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:

i) z là số thực âm; 2 b) z là số ảo ; 2 c) z2 ( )z 2 d) 1

z i là số ảo

 Hướng dẫn: M(x; y) biểu diễn z thì z x yi  z2 x2y22xyi z; 2 x2y22xyi

a) z là số thực âm khi xy = 0 và 2 x2y2   x = 0 và y  0 Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ 0

O

b) z là số ảo khi 2 x2y2   y =  x Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ 0 c) z2 ( )z 2 khi xy = 0  x = 0 hoặc y = 0 Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ



14).Tìm nghiệm phức của phương trình sau:

k) 2 3 i z z   d) 1 iz1z3i z  2 3i 0

 Hướng dẫn:

10 10

z   i c) 8 4

5 5

z  i d)  i; 3 ; 2 3i  i e) 2z  i

2) Tìm :

15) Cho số phức z x yi  (x, yR) Khi z  1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức z i

z i





b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z i

z i



 là số

thực dương

 Hướng dẫn:

a) Phần thực là

1

2

x

x  y b) Là số thực dương khi x và 0 x2y2   Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm 1 0

biểu diễn hai số phức ,i i

16)a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức z z z Hỏi trọng tâm 1, ,2 3 ABC biểu diễn số phức nào?

b) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức z z z thỏa 1, ,2 3 z1  z2  z3 Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi z1   z2 z3 0

 Hướng dẫn:

OG OA OB OC     z  z z vậy G biểu diễn số

1 3

z z  z z

b) Vì OA  OB  OC nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O Tam giác ABC đều khi trọng tâm G trùng O hay z1   z2 z3 0

I> Căn bậc hai của số phức:

Cho số phức w, mỗi số phức z = a + bi thoả z = w được gọi là căn bậc hai của w 2

 w là số thực: w = a

 a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0

 a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là a và – a

 a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là a i và – a i

 w là số phức: w = a + bi (a, b , b  0) và z = x + y.i là 1 căn bậc hai của w khi

2



2 x - y = a (x + yi) = a + bi

2xy = b

 Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau

 VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4i

Gọi z = x + yi là căn bậc hai của w Ta có

xy



2 2 3 4 3 2 4 0 2 4

1

y x





 

2 1

y x

 



  

Vậy có 2 căn bậc hai của w là z = 1 + 21 i, z = –1 – 22 i

II> Phương trình bậc hai:

1) Phương trình bậc hai với hệ số a,b,c là số thực: ax2bx c 0 (a0),  b24ac

  0: Phương trình có 2 nghiệm thực 1,2

2

b x

a

  



  < 0: Phương trình có 2 nghiệm phức 1,2 | |.

2

x

a

  



 VD: Giải phương trình 3

8 0

x  

2

2

x

 



 (1) có  = 1 – 4 = –3 =  2

3.i nên có 2 nghiệm phức x1,2  1 3.i

Do đó phương trình có 3 nghiệm x1 1 3 ,i x2  1 3 ,i x3   2

2) Phương trình bậc hai với hệ số phức: Ax2Bx C 0 (A0),  B24AC ,  a bi

  = 0: Phương trình có nghiệm kép

2

B x A





  0: Phương trình có 2 nghiệm 1,2

2

B x

A



 

 với  là 1 căn bậc hai của 

 VD: Giải phương trình: a) 2z2  iz 1 0; b) z2 (3 2 )i z   5 5i 0

a) 2z2   iz 1 0 có  = –1 – 8 = – 9 = (3 )i 2

4

i i

z   i

i i

z     i

b) z2 (3 2 )i z   có  = 5 5i 0 (3 2 ) i 24(5 5 ) 9 12 i   i4i220 20 i   = 15 8i

2

2

z        i

; 2

3 2 1 4

2 2

z        i

4.BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1) Giải các phương trình sau trên tập phức:

a) 3z22z 1 0 b) 7z23z 2 0; c) 5z27z11 0

 Hướng dẫn:

3

i



14

i

 

10

i



2) Giải các phương trình sau trên tập phức:

a) z4z2 6 0 b) z47z210 0

 Hướng dẫn:

a)  2;i 3 b) i 2;i 5

3) Cho a, b, c  R, a  0, z z là hai nghiệm phương trình 1, 2 az2bz c 0 Hãy tính z1 và z2 z z 1 2

theo các hệ số a, b, c

 Hướng dẫn: z1 = z2 b

a

 , z z = 1 2 c

a

4) Cho z = a + bi là một số phức Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z, z làm

nghiệm

 Hướng dẫn:

Phương trình ẩn x nhận z, z làm nghiệm nên có (x – z)(x – z ) = 0  x2 (z z x zz)   0

Với z + z = 2a, z z = a2b2 Vậy phương trình đó là x22ax a 2b2 0

5) Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì z  w

3 4 i 2i tức z  là một căn bậc hai của 2 i w   thì z3 4i  w

6) Tìm nghiệm phức của các phương trình sau:

z  z  c) z2 (1 3 )i z2(1 ) 0  i

 Hướng dẫn:

a)

2

2

        Phương trình có hai nghiệm phức là z12 ;i z2    1 i

7) a) Hỏi công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với

hệ số phức không? Vì sao?

b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i)

c) Có phải mọi phương trình bậc hai z2Bz C 0 (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai

số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?

 Hướng dẫn:

2

B

A 

 

b) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình z2 4 i z 5 1   i 0

5 12i 2 3i

      nên hai số cần tìm là z1  3 ;i z2   1 2i

c) Phương trình z2Bz C 0 có hai nghiệm là z a bi z  ;  a bi thì B  z z  là số 2a

Cz z a b là số thực Điều ngược lại không đúng

z i z  iz 

b) Tìm số phức B để phương trình z2Bz 3i 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8

 Hướng dẫn:

a)  2   2

0

z i z i  có 3 nghiệm là 2 2 ; 2 2 ;

2  2 i  2  2 i i b) Ta có z1z2  B z z; 1 2  nên 3i

z

1 0

z

2

k

z      k 

z   i c) k 2i z1,2  1 2i

10) Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau:

a) z3 1 0; b) z4 1 0; c) z4 4 0; d) 8z48z3  z 1

 Hướng dẫn:

a) 3    2  1 3 1 3

b) z4  1 0 z4  1 z2     1 z 1, z  i

c) z4  4 0 z4   4 z2      2i z  1 i z,     1 i

11) a) Tìm các số thực b, c để phương trình z2bz c 0 nhận z  làm nghiệm 1 i

b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình 3 2

0

z az bz c  nhận z  và z = 2 làm nghiệm 1 i

 Hướng dẫn:

1i b 1     i c 0 b c 2b i   0 b c 0 và 2    b 0 b 2,c2

b) Lần lượt thay z  và z = 2 vào phương trình, ta được 1 i



    

I> Số phức dưới dạng lượng giác:

1) Acgumen của số phức z  0:

 Cho số phức z = a + bi  0 được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy Số đo (rađian) của gĩc (Ox OM , ) được gọi là một acgumen của z

 Mọi acgumen của z sai khác nhau là k2 tức là cĩ dạng  + k2 (k )

(z và nz sai khác nhau k2 với n là một số thực khác 0)

 VD: Biết z  0 cĩ một acgumen là  Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau: –z; z; –z; 1

z

 z biểu diễn bởi OM

thì –z biểu diễn bởi – OM

nên cĩ acgumen là  + (2k + 1)

 z biểu diễn bởi M đối xứng M qua Ox nên cĩ acgumen là – + k2

 –z biểu diễn bởi –OM'

nên cĩ acgumen là – + (2k + 1)

 1

z =

1 2

| |

z z

z

| |z là một số thực nên

1

z cĩ cùng acgumen với z là – + k2

2) Dạng lượng giác của số phức z = a + bi:

 Dạng lượng giác của số phức z  0 là z = r(cos + isin ) với  là một acgumen của z

z = a + bi z = r cosφ + isinφ r = a + b ; cosφ = ; sinφ =

 VD:

 Số –1 cĩ mơđun là 1 và một acgumen bằng  nên cĩ dạng lượng giác là z = cos +isin

 Số 1 + 3i cĩ mơđun bằng 2 và một acgumen bằng  thoả cos = 1

2 và sin = 3

2 Lấy  =

3



thì 1 + 3i = 2(cos

3

 + isin

3

 )

 Số 0 cĩ mơđun là 0 và một acgumen tuỳ ý nên cĩ dạng lượng giác 0 = 0(cos +isin )

 Chú ý:

 Số – cos – isin cĩ dạng lượng giác là cos( + ) + isin( + )

 Số cos – isin cĩ dạng lượng giác là cos(– ) + isin(– )

 Số – cos + isin cĩ dạng lượng giác là cos( –  ) + isin( –  )

II> Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác:

Cho z = r(cos + isin ) và z = r(cos ’ + isin ’) với r, r 0

z.z' = r.r'[cos(φ + φ')+ isin(φ + φ')] và z = r [cos(φ - φ')+ isin(φ - φ')]

 Ta có 1

'

z và z có cùng acgumen là – ’ + k2 nên 1 1[cos( ') sin( ')]

z r   

Do đó [cos( - ') sin( - ')]

z r

i

z  r      ( r ’ 0)

 VD: 1 2 cos3 sin3

1 2

z z

z    i  

và 1

2

z

z =

III> Công thức Moa–vrơ (Moivre) và ứng dụng:

1) Công thức Moa–vrơ: Cho số phức z = r(cos  + isin  )

r(cosφ + isinφ) = r (cosnφ + isinnφ) (n *)

2) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:`

 Mọi số phức z = r(cos + isin ) (r > 0) có 2 căn bậc hai là

r cos + isin

r cos + π + isin + π

 VD: Đổi sang dạng lượng giác rồi tính:  100

1 i và căn bậc hai của w = 1 + 3.i

Do đó  100

1) Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn  19

1 i và công thức Moavrơ để tính

19 19 19  19  19

0

n k



19 19 19   19  19

9

  

19 19  19  19  19

2) Tính:

21 2004

5 3 3

;

 Hướng dẫn: