Thuật toán tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức biếnphân với ràng buộc là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến 2.1 Thuật toán tìm nghiệm... Trong trường hợp H1 = H2 và A là ánh xạ
Toán tử chiếu trong không gian Hilbert
Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H, ánh xạ
P C (x) = argmin{ky−xk :y ∈C} được gọi là toán tử chiếu từ H lên C Vì C là tập lồi đóng khác rỗng nên P C (x) luôn tồn tại và duy nhất.
Ví dụ 1.1 Giả sử a ∈R n , R >0 và hình cầu C cho bởi
Khi đó toán tử chiếu lên C cho bởi
x nếu kx−ak ≤ R, a+ R kx−ak(x−a) nếu kx−ak> R.
Ví dụ 1.2 Giả sử a, b∈ R n , a 6= 0 Xét nửa không gian C ⊂ R n xác định bởi
Khi đó toán tử chiếu lên C cho bởi
x nếu ha, x−bi ≤0, x− ha, x−bi kak 2 a nếu ha, x−bi>0.
Sau đây là một số tính chất của toán tử chiếu P C
(i) Với x∈ H và y ∈C thì y =P C (x) khi và chỉ khi hx−y, z −yi ≤ 0 ∀z ∈C.
(ii) P C là ánh xạ không giãn, tức là kP C (x)−P C (y)k ≤ kx−yk ∀x, y ∈ H.
(iii) Với mọi x ∈ H và y ∈C, ta có kP C (x)−yk 2 ≤ kx−yk 2 − kP C (x)−xk 2
Bài toán điểm bất động
Cho C là một tập khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và ánh xạ S :
C −→ C Bài toán điểm bất động được phát biểu như sau:
Tìm x ∗ ∈ C sao cho S(x ∗ ) =x ∗ Điểm x ∗ ∈ C được gọi là điểm bất động của ánh xạ S nếu S(x ∗ ) = x ∗ Ta ký hiệu tập điểm bất động của ánh xạ S là Fix(S), tức là
Fix(S) ={x ∗ ∈C :S(x ∗ ) =x ∗ }. Định nghĩa 1.1 (xem [11]) Ánh xạ S :H −→ H được gọi là a) không giãn nếu kS(x)−S(y)k ≤ kx−yk với mọi x, y ∈ H; b) thỏa mãnnguyên lý bán đóng nếu với mọi dãy{x n } ⊂ H, x n * xvà kS(x n )− x n k −→0 thì x∈Fix(S); c)bán co với hệ số γ >0(gọi tắt làγ-bán co) nếuFix(S) 6=∅và tồn tạiγ ∈[0; 1) sao cho kS(x)−x ∗ k 2 ≤ kx−x ∗ k 2 +γkS(x)−xk 2 với mọi x∈ H, x ∗ ∈Fix(S). Đặc biệt, nếu γ = 0 thì S được gọi là tựa không giãn.
Thuật toán tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân và điểm bất động tách 14
Thuật toán tìm nghiệm
Giả sử F : H 1 −→ H 1 là η-đơn điệu mạnh và κ-liên tục Lipschitz trên H 1 ,
G: H 1 −→ H 1 là giả đơn điệu trênC và L-liên tục Lipschitz trênH 1 ,S : H 2 −→ H 2 là ánh xạγ-bán co và thỏa mãn nguyên lý bán đóng Ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân và điểm bất động tách SVIFPP
Tìm x ∗ ∈Ω sao cho hF(x ∗ ), x−x ∗ i ≥0 ∀x∈Ω, (2.1) trong đó Ω = {x ∗ ∈ Sol(C, G) : Ax ∗ ∈ Fix(S)} là tập nghiệm của SVIFPP, A :
H 1 −→ H 2 là một toán tử tuyến tính bị chặn.
Ta giả thiết các ánh xạ F, G và S thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: (A F ): F :H 1 −→ H 1 là η-đơn điệu mạnh và κ-liên tục Lipschitz trên H 1
(A G 1 ): G :H 1 −→ H 1 là giả đơn điệu trên C và L-liên tục Lipschitz trên H 1
(A G 2 ): lim sup n−→∞ hG(x n ), y−y n i ≤ hG(x), y−yi với mọi y ∈ H 1 và mọi dãy {x n },
{y n } nằm trong H 1 hội tụ yếu lần lượt đến x, y∈ H 1
(AS): S : H 2 −→ H 2 là ánh xạ γ-bán co và thỏa mãn nguyên lý bán đóng.
Nhận xét 2.1 Nếu G thỏa mãn các điều kiện (A G 1 ) và (A G 2 ) thì tập nghiệm Sol(C, G) của bài toán bất đẳng thức biến phân V IP(C, G) là lồi đóng (xem [16]). Hơn nữa, nếuS thỏa mãn điều kiện (A S ) thì tập điểm bất độngFix(S) của ánh xạ
S là lồi đóng (xem [15]) Do đó, tập nghiệm Ω = {x ∗ ∈ Sol(C, G) : Ax ∗ ∈ Fix(S)} của SVIFPP là lồi đóng.
Ta có thuật toán sau để giải bài toán (2.1).
Bước 5 Gán n :=n+ 1 và quay trở lại Bước 2.
Định lý hội tụ
Định lý 2.1 (xem [10]) Giả sử các giả thiết (A F ), (A G 1 ), (A G 2 ) và (A S ) được thỏa mãn Khi đó dãy {x n } trong thuật toán 2.1 hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của bài toán (2.1) với điều kiện tập nghiệm Ω = {x ∗ ∈ Sol(C, G) : Ax ∗ ∈ Fix(S)} của bài toán bất đẳng thức biến phân và điểm bất động tách khác rỗng.
Chứng minh VìF là ánh xạ đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trênH 1 vàΩlà tập lồi đóng khác rỗng nên theo Định lý 1.1, bài toán (2.1) có nghiệm duy nhất Ta ký hiệu nghiệm duy nhất này làx ∗ Vì x ∗ ∈Ω nên x ∗ ∈Sol(C, G) ⊂ C, Ax ∗ ∈ Fix(S).
Ta chứng minh dãy {x n } hội tụ mạnh đến x ∗ Phép chứng minh định lý được chia ra thành các bước sau:
Bước 1 Với mọi n≥ 0, ta có kt n −x ∗ k 2 ≤ ky n −x ∗ k 2 −(1−λ n L)ky n −z n k 2 −(1−λ n L)kz n −t n k 2 (2.2)
Từ định nghĩa của z n và Bổ đề 1.1, ta có hy n −λ n G(y n )−z n , z −z n i ≤0 ∀z ∈C.
Do đó, từ định nghĩa của T n , ta được C ⊂ T n
Vìx ∗ ∈ Sol(C, G) và z n ∈ C nênhG(x ∗ ), z n −x ∗ i ≥ 0 Từ tính giả đơn điệu trên C củaG, ta được hG(z n ), z n −x ∗ i ≥0 (2.3)
Vìt n =P T n (y n −λ n G(z n )) nên t n ∈T n Do đó theo định nghĩa của T n , ta suy ra hy n −λ n G(y n )−z n , t n −z n i ≤0 (2.4)
Từ x ∗ ∈ C và C ⊂T n , ta suy ra x ∗ ∈T n Do đó, sử dụng Bổ đề 1.1, (2.3) và (2.4), ta được kt n −x ∗ k 2 = kP T n (y n −λ n G(z n ))−x ∗ k 2
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và tínhL-liên tục Lipschitz trên H 1 củaG, ta có
Kết hợp bất đẳng thức trên với (2.5), ta suy ra kt n −x ∗ k 2 ≤ ky n −x ∗ k 2 − ky n −z n k 2 − kz n −t n k 2 +λ n L(ky n −z n k 2 +kt n −z n k 2 )
Bước 2 Với mọi n≥ 0, ta có ky n −x ∗ k 2 ≤ kx n −x ∗ k 2 −ω n (1−γ −ω n kAk 2 )kS(u n )−u n k 2 (2.6)
Sử dụng đẳng thức hx, yi= 1
2(kxk 2 +kyk 2 − kx−yk 2 ) ∀x, y ∈ H 2 và tính γ-bán co của S, ta được hA(x n −x ∗ ), S(u n )−u n i=hA(x n −x ∗ ) +S(u n )−u n −(S(u n )−u n ), S(u n )−u n i
Sử dụng (2.7), ta được ky n −x ∗ k 2 =k(x n −x ∗ ) +ω n A ∗ (S(u n )−u n )k 2
Bước 3 Ta chứng minh các dãy {x n }, {y n }, {z n }, {t n } và {F(t n )} bị chặn.
, (2.2) và (2.6), ta có kt n −x ∗ k ≤ ky n −x ∗ k ≤ kx n −x ∗ k (2.8)
, tính không giãn của P C , tính L-liên tục Lipschitz trên
H 1 của G và (2.8), ta được kz n −x ∗ k= kP C (y n −λ n G(y n ))−P C (x ∗ )k
VìF là κ-liên tục Lipschitz và η-đơn điệu mạnh trên H 1 nên kF(t n )k ≤ kF(t n )−F(x ∗ )k+kF(x ∗ )k
Vì lim n−→∞α n = 0 nờn tồn tại n 0 ∈ N sao cho α n < à với mọi n ≥ n 0 Do đú, từ (2.11), ta được, với mọi n ≥n 0 kt n −α n F(t n )−(x ∗ −α n F(x ∗ ))k
Sử dụng (2.12) và (2.8), ta được, với mọin ≥ n 0 kx n+1 −x ∗ k=kt n −α n F(t n )−x ∗ k
Từ (2.14), ta có kx n+1 −x ∗ k ≤maxn kx n −x ∗ k,àkF(x ∗ )k τ o ∀n ≥ n 0
Do đó, bằng quy nạp, ta thu được kx n −x ∗ k ≤ maxn kx n 0 −x ∗ k,àkF(x ∗ )k τ o ∀n ≥n 0
Vậy dãy {x n } bị chặn Kết hợp với (2.8), (2.9) và (2.10), ta suy ra các dãy {y n }, {z n }, {t n } và {F(t n )} cũng bị chặn.
Bước 4 Ta chứng minh dãy {x n } hội tụ mạnh đến x ∗
Sử dụng bất đẳng thức kx−yk 2 ≤ kxk 2 −2hy, x−yi ∀x, y ∈ H 1 , (2.12) và (2.8), ta được, với mọi n ≥n 0 kx n+1 −x ∗ k 2 =kt n −α n F(t n )−x ∗ k 2
Ta xét hai trường hợp.
Trường hợp 1: Tồn tại n ∗ ∈ N sao cho {kx n −x ∗ k} là giảm với n ≥ n ∗ Khi đó giới hạn của dãy{kx n −x ∗ k} tồn tại hữu hạn Do đó, từ (2.15) và (2.8), ta có, với mọi n≥ n 0 α n τ à kt n −x ∗ k 2 + 2α n hF(x ∗ ), x n+1 −x ∗ i+ (kx n+1 −x ∗ k 2 − kx n −x ∗ k 2 )
Vì giới hạn của dãy {kx n − x ∗ k} tồn tại hữu hạn, lim n−→∞α n = 0, {x n } và {t n } bị chặn nên từ bất đẳng thức trên, ta suy ra n−→∞lim (kt n −x ∗ k 2 − kx n −x ∗ k 2 ) = 0, lim n−→∞(kt n −x ∗ k 2 − ky n −x ∗ k 2 ) = 0 (2.17)
Từ (2.17), ta suy ra n−→∞lim (kx n −x ∗ k 2 − ky n −x ∗ k 2 ) = 0 (2.18)
0, 1−γ kAk 2 + 1 nên từ (2.6), ta có ω(1−γ −ωkAk 2 )kS(u n )−u n k 2 ≤ kx n −x ∗ k 2 − ky n −x ∗ k 2 (2.19)
Do đó, từ (2.18) và (2.19), ta được n−→∞lim kS(u n )−u n k= 0 (2.20) Mặt khác, với mọi n, ta có ky n −x n k=kω n A ∗ (S(u n )−u n )k
Kết hợp bất đẳng thức trên với (2.20), ta được n−→∞lim ky n −x n k= 0 (2.21)
(1−bL)ky n −z n k 2 + (1−bL)kz n −t n k 2 ≤ ky n −x ∗ k 2 − kt n −x ∗ k 2
Kết hợp bất đẳng thức trên với (2.17), ta suy ra n−→∞lim ky n −z n k= 0, lim n−→∞kz n −t n k= 0 (2.22) Theo bất đẳng thức tam giác ky n −t n k ≤ ky n −z n k+kz n −t n k, kx n −t n k ≤ kx n −y n k+ky n −z n k+kz n −t n k.
Do đó, từ (2.21) và (2.22), ta có n−→∞lim ky n −t n k= 0, lim n−→∞kx n −t n k= 0 (2.23) Tiếp theo, ta chứng minh lim sup n−→∞ hF(x ∗ ), x ∗ −t n i ≤0 (2.24)
Lấy dãy con {t n k } của dãy {t n } sao cho lim sup n−→∞ hF(x ∗ ), x ∗ −t n i= lim k−→∞hF(x ∗ ), x ∗ −t n k i.
Vì dãy {t n k } bị chặn nên ta có thể giả thiết t n k hội tụ yếu đến t ∈ H 1
Do đó lim sup n−→∞ hF(x ∗ ), x ∗ −t n i= lim k−→∞hF(x ∗ ), x ∗ −t n k i
Từ t n k * t, (2.22) và (2.23), ta suy ra z n k * t, y n k * t và x n k * t.
Lấy x∈C bất kỳ Từ định nghĩa của z n k và Bổ đề 1.1 ta có hy n k −λ n k G(y n k )−z n k , x−z n k i ≤ 0 ∀k ∈N.
Vìλ n k > 0 với mọi k ∈N nên từ bất đẳng thức trên ta suy ra hG(y n k ), x−z n k i ≥ hy n k −z n k , x−z n k i λ n k (2.26)
Vì lim k−→∞ky n k −z n k k= 0, {λ n k } ⊂[a, b] và dãy {z n k } bị chặn nên ta được k−→∞lim hy n k −z n k , x−z n k i λ n k = 0.
Do đó, sử dụng (2.26), điều kiện (A G 2 ) và sự hội tụ yếu của hai dãy {y n k }, {z n k } đếnt, ta được
0≤lim sup k−→∞ hG(y n k ), x−z n k i ≤ hG(t), x−ti hayt ∈Sol(C, G).
Tiếp theo, ta chứng minh A(t) ∈Fix(S).
Vì x n k * t nên u n k = A(x n k ) * A(t) Kết hợp với (2.20) và tính bán co của S, ta suy ra A(t) ∈ Fix(S) Do đó, cùng với t ∈ Sol(C, G), ta có t ∈ Ω Vì x ∗ là nghiệm của bài toán (2.1) nên hF(x ∗ ), t − x ∗ i ≥ 0 Do đó, từ (2.25), ta suy ra lim sup n−→∞ hF(x ∗ ), x ∗ −t n i ≤0.
Từ tính bị chặn của dãy {F(t n )}, lim n−→∞α n = 0 và (2.24), suy ra lim sup n−→∞ hF(x ∗ ), x ∗ −x n+1 i= lim sup n−→∞ hF(x ∗ ), x ∗ −t n +α n F(t n )i
= lim sup n−→∞ hhF(x ∗ ), x ∗ −t n i+α n hF(x ∗ ), F(t n )ii
Từ (2.27), ta có lim sup n−→∞ t n ≤ 0 Vỡ 0 < α n < à ∀n ≥ n 0 và 0 < τ ≤ 1 nờn nα n τ à o n≥n 0
X n=0 α n =∞, lim sup n−→∞ t n ≤ 0 và Bổ đề 1.3, ta được lim n−→∞kx n −x ∗ k 2 = 0 hayx n −→ x ∗ khi n−→ ∞.
Trường hợp 2: Giả sử với mọi số tự nhiênm, tồn tại số tự nhiên n sao chon ≥ m và kx n −x ∗ k ≤ kx n+1 −x ∗ k Theo Bổ đề 1.2, tồn tại số tự nhiên n 2 và dãy không giảm {τ(n)} n≥n 2 ⊂N sao cho lim n−→∞τ(n) =∞ và các bất đẳng thức sau đây đúng kx τ (n) −x ∗ k ≤ kx τ (n)+1 −x ∗ k, kx n −x ∗ k ≤ kx τ (n)+1 −x ∗ k ∀n ≥ n 2 (2.29)
Chọn n 3 ≥ n 2 sao cho τ(n) ≥ n 0 với mọi n ≥ n 3 Từ (2.13), (2.29) và (2.8), ta có, với mọi n ≥n 3 α τ (n) τ à kt τ(n) −x ∗ k −α τ (n) kF(x ∗ )k ≤ kt τ (n) −x ∗ k − kx τ (n)+1 −x ∗ k
Do đó, từ tính bị chặn của dãy {t n } và lim n−→∞α n = 0, ta có n−→∞lim (kt τ (n) −x ∗ k−kx τ (n) −x ∗ k) = 0, lim n−→∞(kt τ (n) −x ∗ k−ky τ(n) −x ∗ k) = 0 (2.30) Kết hợp (2.30) với tính bị chặn của các dãy {x n }, {y n }, {t n }, ta được n−→∞lim (kt τ(n) −x ∗ k 2 − kx τ (n) −x ∗ k 2 ) = 0, lim n−→∞(kt τ (n) −x ∗ k 2 − ky τ (n) −x ∗ k 2 ) = 0. Lập luận tương tự như ở trường hợp1, ta được lim sup n−→∞ hF(x ∗ ), x ∗ −t τ (n) i ≤0.
Do đó, từ tính bị chặn của dãy {F(t n )} và lim n−→∞α n = 0, ta suy ra lim sup n−→∞ hF(x ∗ ), x ∗ −x τ (n)+1 i= lim sup n−→∞
= lim sup n−→∞ hhF(x ∗ ), x ∗ −t τ (n) i+α τ (n) hF(x ∗ ), F(t τ(n) )ii
Từ (2.16) và (2.29), ta có, với mọi n≥ n 3 kx τ (n)+1 −x ∗ k 2 ≤
Vìα τ(n) >0 nên từ bất đẳng thức trên ta suy ra kx τ (n)+1 −x ∗ k 2 ≤ 2à τ hF(x ∗ ), x ∗ −x τ(n)+1 i ∀n ≥ n 3 Kết hợp với (2.29), ta được kx n −x ∗ k 2 ≤ 2à τ hF(x ∗ ), x ∗ −x τ (n)+1 i ∀n ≥n 3 (2.32) Lấy giới hạn ở (2.32) khi n−→ ∞ và sử dụng (2.31), ta được lim sup n−→∞ kx n −x ∗ k 2 ≤ 0 hayx n −→ x ∗ Định lý được chứng minh. Áp dụng Định lý 2.1 và Thuật toán 2.1 khi H 1 =H 2 =H và A =I H là ánh xạ đồng nhất, ta thu được hệ quả sau về thuật toán giải bài toán (0.5).
Hệ quả 2.1 Giả sử F : H −→ H đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên H,
S : H −→ H là γ-bán co và thỏa mãn nguyên lý bán đóng, G : H −→ H là giả đơn điệu trên C, L-liên tục Lipschitz trên H và thỏa mãn lim sup n−→∞ hG(x n ), y−y n i ≤ hG(x), y− yi với mọi y ∈ H và mọi dãy {x n }, {y n } nằm trong H hội tụ yếu lần lượt đến x, y ∈ H.
Xét dãy lặp {x n } cho bởi
T n ={ω ∈ H: hy n −λ n G(y n )−z n , ω −z n i ≤0}, t n =P T n (y n −λ n G(z n )), x n+1 =t n −α n F(t n ), trong đó các dãy {ω n }, {λ n } và {α n } thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây: (i) {ω n } ⊂ [ω, ω] ⊂
Giả sử Ω := Sol(C, G)∩Fix(S)6= ∅, khi đó dãy {x n } hội tụ mạnh đến x ∗ ∈Ω, trong đó x ∗ là nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân
Khi G = 0, S = P Q , F = I H 1 , từ Định lý 2.1 và Thuật toán 2.1, ta có hệ quả sau
Hệ quả 2.2 Cho C và Q lần lượt là các tập lồi đóng khác rỗng trong các không gian Hilbert thực H 1 và H 2 Giả sử các dãy số {α n }, {ω n } thỏa mãn các điều kiện
Với x 0 ∈ H 1 bất kỳ, xét dãy {x n } xác định bởi x n+1 = (1−α n )P C (x n +ω n A ∗ (P Q (Ax n )−Ax n )) ∀n≥ 0.
Khi đó dãy{x n } hội tụ mạnh đến nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán chấp nhận tách, với điều kiện tập nghiệm Γ = {x ∗ ∈ C : Ax ∗ ∈ Q} của bài toán chấp nhận tách khác rỗng.
Thử nghiệm số
Để minh họa cho Định lý 2.1, ta xét ví dụ sau đây:
Ví dụ 1.XétH 1 =R 4 với chuẩnkxk= (x 2 1 +x 2 2 +x 2 3 +x 2 4 ) 1 2 vớix= (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) T ∈
Xét ánh xạ F : R 4 −→ R 4 cho bởi F(x) =x với mọi x∈R 4 Dễ thấy F là đơn điệu mạnh trên R 4 với hệ số η = 1 và liên tục Lipschitz trên R 4 với hệ số κ = 1 Khi đó bài toán (2.1) trở thành bài toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán SVIFPP. Đặt A(x) = (x 1 +x 3 +x 4 , x 2 +x 3 −x 4 ) T với mọi (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) T ∈ R 4 thì A là một toán tử tuyến tính bị chặn từ R 4 vào R 2 với kAk=√
Với y = (y 1 , y 2 ) T ∈ R 2 , đặt B(y) = (y 1 , y 2 , y 1 + y 2 , y 1 − y 2 ) T Khi đó B là một toán tử tuyến tính bị chặn từ R 2 vào R 4 với kBk = √
3 Hơn nữa, với mọi x (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) T ∈ R 4 và y = (y 1 , y 2 ) T ∈ R 2 , ta có hA(x), yi = hx, B(y)i Do đó
B = A ∗ là toán tử liên hợp của A. Đặt
C ={(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) T ∈R 4 : 12x 1 −4x 2 + 4x 3 −4x 4 ≥9} và xét ánh xạ G : R 4 −→ R 4 cho bởi G(x) = (sinkxk+ 2)a 0 với mọi x ∈R 4 , trong đó a 0 = (12,−4,4,−4) T ∈R 4 Khi đó dễ thấy G giả đơn điệu trên R 4
Mặt khác, với mọi x, y ∈R 4 , ta có kG(x)−G(y)k= ka 0 k|sinkxk −sinkyk|
Dễ thấy tập nghiệm Sol(C, G) của bài toán bất đẳng thức biến phân V IP(C, G) được cho bởi
Xét ánh xạ S : R 2 −→ R 2 cho bởi, với mọi y = (y 1 , y 2 ) T ∈ R 2
Dễ thấy Fix(S) = (−∞,0]×R Ta sẽ chứng minh ánh xạ S là 1
Lấy y ∗ = (y ∗ 1 , y 2 ∗ ) T ∈Fix(S), khi đó kS(y)−y ∗ k 2 ≤ ky −y ∗ k 2 +1
Thật vậy, nếu y 1 ≤ 0 thì S(y) =y Do đó bất đẳng thức (2.33) thỏa mãn.
Tiếp theo, ta chứng minhSthỏa mãn nguyên lý bán đóng Giả sử{z n = (x n , y n ) T } ⊂
R 2 ,z n −→z = (x, y) T và lim n−→∞kS(z n )−z n k= 0 Khi đó lim n−→∞x n =x, lim n−→∞y n =y.
Do đó lim n−→∞|g(x n )−x n | = 0 Nếu x > 0, vì lim n−→∞x n = xnên tồn tại n 0 ≥0sao cho x n > 0 với mọi n ≥ n 0 Do đó với mọi n ≥ n 0 , |g(x n )−x n | = | −2x n −x n | = 3x n
Suy ra lim n−→∞|g(x n )−x n | = 3 lim n−→∞x n = 3x Kết hợp với lim n−→∞|g(x n )−x n | = 0, ta đượcx= 0, trái với giả thiếtx > 0 Vậyx≤ 0và do đóz = (x, y) T ∈(−∞,0]×R Fix(S) Vậy S thỏa mãn nguyên lý bán đóng.
Tập nghiệm Ω của bài toán SVIFPP cho bởi
={(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) T ∈ R 4 : 12x 1 −4x 2 + 4x 3 −4x 4 = 9, x 1 +x 3 +x 4 ≤0}. Giả sử x= (x1, x2, x3, x4) T ∈ Ω, khi đó kxk q x 2 1 +x 2 2 +x 2 3 +x 2 4 r(2x 1 −1) 2
Bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi x 1 = 1
2 Do đó nghiệm có chuẩn nhỏ nhất x ∗ của bài toán SVIFPP là x ∗ =1
Bảng 2.1 và 2.2 cho ta kết quả tính toán số của Thuật toán 2.1 với các điểm xuất phát khác nhau và với các sai số khác nhau.
Bảng 2.1: Thuật toán 2.1 với các điểm xuất phát khác nhau ω n = n+ 1
16n+ 18, α n = 1 n+ 2 và sai số ε = 10 −7 Điểm xuất phát x 0 Số bước lặp n Thời gian CPU(giây) x n
Bảng 2.2: Thuật toán 2.1 với các sai số khác nhau, ω n = n+ 1
Sai số Số bước lặp n Thời gian CPU(giây) x n ε = 10 −6 2719 3.4164 (0.49915, −0.24874, 0.00204, −0.50095) T ε = 10 −7 8598 5.8032 (0.49973, −0.24960, 0.00065, −0.50030) T ε = 10 −8 27189 9.8749 (0.49991, −0.24987, 0.00020, −0.50009) T ε = 10 −9 85980 28.0178 (0.49997, −0.24996, 0.00006, −0.50003) T ε = 10 −10 271891 122.4452 (0.49999, −0.24999, 0.00002, −0.50001) T
Từ số liệu ở các bảng 2.1 và 2.2, ta thấy thời gian tính toán phụ thuộc vào điểm xuất phát và sai số.
Ví dụ chạy số trên được thực hiện với MATLAB R2018a trên máy tính xách tay cấu hình Intel(R) Core(TM) i5-3230M CPU @ 2.60GHz, 4 GB RAM.
Trong chương này, chúng tôi xây dựng và chứng minh sự hội tụ mạnh của thuật toán tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân và điểm bất động tách và ứng dụng tính toán cho bài toán tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân và điểm bất động tách.
Trong đề tài "Nghiên cứu thuật toán giải bất đẳng thức biến phân hai cấp với ràng buộc bất đẳng thức biến phân và tập điểm bất động tách", chủ trì đề tài đã xây dựng và chứng minh sự hội tụ mạnh của thuật toán tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân và điểm bất động tách Đây là bài toán có nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế như bài toán tối ưu mạng, bài toán định tuyến tối ưu mạng truyền thông, bài toán xử lý tín hiệu và khôi phục ảnh, Ngoài ra, bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân và điểm bất động tách cũng chứa đựng nhiều bài toán khác làm trường hợp riêng như bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một ánh xạ, bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách, bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán tìm nghiệm chung của bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động. Đây là các bài toán đã và đang nhận được sự quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học ở trong và ngoài nước.
Với nội dung ở Chương 1 và Chương 2, đề tài đã thực hiện đầy đủ các nội dung đã đăng ký sau đây:
- Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức liên quan để sử dụng trong chương tiếp theo của đề tài.
- Trong Chương 2, chúng tôi trình bày và chứng minh thuật toán tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân và điểm bất động tách.
Các kết quả mới được viết dựa trên bài báo đã được xuất bản năm 2021 trong tạp chí xếp hạng SCOPUS là Acta Mathematica Vietnamica:
Hai, N.M., Van, L.H.M., Anh, T.V.: An Algorithm for a Class of Bilevel Varia- tional Inequalities with Split Variational Inequality and Fixed Point Problem Con- straints Acta Math Vietnam 46, 515-530 (2021) Đề tài đã hoàn thành đúng các mục tiêu, nội dung đã đăng ký theo đề cương khoa học công nghệ về đề tài và đã có một kết quả nghiên cứu mới Nội dung này là một tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh trong chuyên ngành tối ưu và thuật toán và ứng dụng trong các ngành công nghệ thông tin, viễn thông, kinh tế,
[1] Phạm Ngọc Anh, Các phương pháp tối ưu và ứng dụng, Nhà xuất bản Thông tin và Truyền thông (2015).
[2] Lê Dũng Mưu, Giáo trình giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội (2015).
[3] Byrne, C.: A unified treatment of some iterative algorithms in signal processing and image reconstruction Inverse Probl.20, 103-120 (2004)
[4] Censor, Y., Bortfeld, T., Martin, B., Trofimov, A.: A unified approach for inversion problems in intensity-modulated radiation therapy Phys Med Biol.
[5] Censor, Y., Elfving, T., Kopf, N., Bortfeld, T.: The multiple-sets split feasibility problem and its applications for inverse problems Inverse Prob 21, 2071-2084 (2005)
[6] Censor, Y., Gibali, A., Reich, S.: The subgradient extragradient method for solving variational inequalities in Hilbert space J Optim Theory Appl 148, 318-335 (2011)
[7] Censor, Y., Segal, A.: Iterative projection methods in biomedical inverse prob- lems, in: Y Censor, M Jiang, A.K Louis (Eds.), Mathematical Methods in Biomedical Imaging and Intensity-Modulated Therapy, IMRT, Edizioni della Norale, Pisa, Italy, 2008, pp 65-96.
[8] Combettes, P.L., Hirstoaga, S.A.: Equilibrium Programming in Hilbert Spaces.
[9] Goebel, K., Kirk, W.A.: Topics in Metric Fixed Point Theory, in: CambridgeStudies in Advanced Mathematics, vol 28, Cambridge University Press, (1990)
