Báo cáo bài tập lớn giải tích 2 34

Mục đích môn h c là cung cọ ấp đ y đầ ủ nội dung cơ bản của Giải tích hàm nhiều bi n và Lý thuyế ết chu i dùng cho các ngành khoa hỗ ọc kỹ thuật.. Cùng với đó là các chuẩn đ u ra: ầ Nhắc

ĐẠ I H C QU C GIA THÀNH PH Ọ Ố Ố HỒ CHÍ MINH

TRƯỜ NG Đ I H C BÁCH KHOA Ạ Ọ

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2

NHÓM: 3

TP HCM, 04/2022

ĐẠ I H C QU C GIA TP H CHÍ MINH Ọ Ố Ồ

TRƯỜ NG Đ I H C BÁCH KHOA Ạ Ọ

KHOA KHOA HỌC NG D Ứ ỤNG

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2 TÊN ĐỀ TÀI TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ MỘT SỐ :

BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN BỘI 2

Nhóm 3:

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU

CHƯƠNG II: NỘI DUNG

CHƯƠNG III: KẾT LUẬN

CHƯƠNG IV: BÀI TẬP VẬN DỤNG

CHƯƠNG V: TÀI LIỆU THAM KHẢO

LỜI CẢM ƠN

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích 2 là môn học đ i cương có tầm quan trọng đối v i sinh viên ĐH Bách ạ ớ Khoa nói riêng và sinh viên các ngành khối khoa h c kỹ ọ thuật công ngh nói ệ chung Mục đích môn h c là cung cọ ấp đ y đầ ủ nội dung cơ bản của Giải tích hàm nhiều bi n và Lý thuyế ết chu i dùng cho các ngành khoa hỗ ọc kỹ thuật Nó sẽ giúp sinh viên khối kỹ thuậ ếp thu v n đt ti ấ ề một cách nhẹ nhàng và trang b những kị ỹ năng cơ b n cho ngưả ời học tự phát tri n kh năng áp d ng toán hể ả ụ ọc vào các bài toán thực tế

Môn Giải tích 2 bao gồm các kiến thức cơ b n v vi tích phân hàm nhi u ả ề ề

biến, lý thuyết trườ ngvà chuỗi Cùng với đó là các chuẩn đ u ra: ầ Nhắc lại được định nghĩa, tính ch t, cách tính các đôi tưấ ợng của lý thuyết vi tích phân hàm nhiều biến và chuỗi, vận d ng đưụ ợc lý thuyết vào các bài toán áp dụng và bài toán thực tế ,có kh năng hoả ạt động nhóm

Cơ sở lý thuy ết

I Định nghĩa tích phân kép :

Nếu t ng Sổ n tiến đ n giế ới hạn h u h n S mữ ạ à không phụ thuộc vào cách chia miền D c ng như cách l y đi m Mk thì ũ ấ ể giới hạn S được gọi là tích phân k p c a é ủ hàm f(x,y) trên mi n D ề

Vậy kí hiệu v biểu thứà c định ngh a c a tp k p lĩ ủ é à:

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 =' !"#{%( )}→,lim'( ∑-(./𝑓(𝑥 , 𝑦( ()∆𝑆(

Hàm f(x,y) được gọi là hàm dưới dấu tích phân, D là mi n l y t ch phề ấ í ân, ds là yếu tố diện tích Khi ấy, ta nói h m f(x,y) khả tích trà ên mi n D ề

Chỉ mộ ố ít s t các mi n Dk ề là các hình thang cong c diện tó ích xấp xỉ với diện tích hình chữ nhật nên ta có ể th coi tất cả là h.c.n di n tệ ích là ∆Sk=∆xk∆yk, do đ ta ó thay ds=dxdy Vậy ta viết tp kép ở dạng:

!𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷

II Một số tính ch t a tích phân kép ấ củ

Cho f(x,y), g(x,y) là các hàm khả tích trên D

𝑠(𝐷) = & 𝑑𝑥𝑑𝑦*(𝑆(𝐷)*𝑙à* ệ𝑛*𝑡í𝑐ℎ* ề𝑛*𝐷)𝑑𝑖 𝑚𝑖

!

&[𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦)]𝑑𝑥𝑑𝑦 = & 𝑓(𝑥, 𝑦)

!

!

𝑑𝑥𝑑𝑦 + & 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

!

55555556 𝐶𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐶 6 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

"

"

Chia D thành 2 mi n kh ng dề ô ẫm l n nhau là ê E, F thì

& 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = &𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 +*& 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑦

"

#

!

Nếu f(x,y)≤g(x,y) tr n D thê ì:

& 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 &𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦≤

!

!

Trên D, hàm f(x,y) đ t GTLN fmax=M, GTNN f =m thạ min ì

m.S(D) £ òòf(x,y)dxdy £ M.S(D )

III Định lý giá trị trung bình

Cho hàm f(x,y) liên tục trong mi n đ ng, bề ó ị ch n, li n th ng D Khi y trong D cặ ê ô ấ ó ít nhất 1 đi m (x0,y0) sao cho : ể

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥 , 𝑦! $ $)S(D)

Đại lượng sau được gọ à á i l gi trị trung bình của hàm f(x,y) trên mi n D: ề

𝛼 = 1 𝑆(𝐷)& 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

!

Ý nghĩa hình học c a t ch phủ í ân kép: Phần h nh trì ụ kín đường sinh song song với trục Oz

bị cắt b i mp Oxy (m t c t lở ặ ắ à miền D), mặt cong z=f(x,y) (f (x,y)³0,"(x,y)ÎD)

có ể th tích được tính bởi

V = òòf(x,y)dxdy

IV Định lý Fubini

Cho f(x,y,z) là hàm liên tục trên miền

Ω={(x,y,z) ∈ R3 : a≤x≤b, c≤y≤d, r≤z≤s}

Khi đó:3

𝐴 = 5𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

Ω

= 7 7 7 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧:

;

%

<

=

"

= 7 87 87 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧:

%

=

Bài tập vận dụng

Colorado (Bang này có độ dài 388 dặm từ Tây sang Đông and 276 dặm từ Nam sang Bắc)

Áp dụng Midpoint Rule với m = n = 4 để xác đ nh nhiị ệt độ trung bình ở Colorado vào thời điểm này

𝐷𝑖ệ𝑛*𝑡í𝑐ℎ*𝑐ủ𝑎*𝑏𝑎𝑛𝑔*𝐶𝑜𝑙𝑜𝑟𝑎𝑑𝑜*𝑙à*𝑆 =388 276 107088× =

Á𝑝*𝑑ụ𝑛𝑔*𝑞𝑢𝑦*𝑡ắ𝑐*𝑀𝑖𝑑𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡*𝑅𝑢𝑙𝑒*𝑣ớ𝑖*𝑚 = 𝑛

= 4*𝑡𝑎*đư 16 ℎìợ𝑐* * 𝑛ℎ*𝑐ℎữ*𝑛ℎậ𝑡*𝑏ằ *𝑛ℎ𝑛𝑔 𝑎𝑢*𝑡𝑟ê𝑛*𝑏ả𝑛*đồ

𝑆𝑢𝑦*𝑟𝑎*𝑚ộ𝑡* 𝑛ℎ*𝑐ℎữ*𝑛ℎậ𝑡*𝑐ó* ệ𝑛*𝑡í𝑐ℎ*𝑙à*ℎì 𝑑𝑖 %( = 6693

𝑇ấ𝑡*𝑐ả*𝑐á𝑐*𝑝ℎâ𝑛*đ𝑜ạ𝑛*[0; 388]*𝑠𝑎𝑢*𝑘ℎ𝑖*𝑐ℎ𝑖𝑎*𝑟𝑎*4*𝑐ó*ℎ𝑜à𝑛ℎ*độ*𝑙ầ𝑛*𝑙ượ𝑡*𝑙à*0; 97 194 291 388; ; ; 𝑇ươ𝑛𝑔*𝑡ự*[0; 276]**𝑐ó*𝑡𝑢𝑛𝑔*độ*𝑙ầ𝑛*𝑙ượ𝑡*𝑙à*0;69 138 207 276; ; ;

*𝑆ử*𝑑ụ *𝑏ả𝑛*đồ*𝑛𝑔 đườ𝑛𝑔*𝑚ứ𝑐*để*ướ𝑐*𝑡í𝑛ℎ* á* ị*𝑐ủ𝑎*𝑓*𝑡ạ𝑖*𝑡â𝑚*𝑐ủ𝑎*𝑚ỗ𝑖* 𝑛ℎ*𝑐ℎữ*𝑛ℎậ𝑡*𝑔𝑖 𝑡𝑟 ℎì 𝑐𝑜𝑛, 𝑡𝑎 *𝑐ó

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 *≈ ∑ ∑* 𝑓(𝑥{, 𝑦)||||∆𝐴))

+,*

*

+,%

𝑉ậ𝑦*𝑓/0=%

1∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝐴

-. =*$*23(4%$&$''≈ 37 81, *℉

Bài 2: (a) 1 cái đèn đượ c lắp b i 2 cái bóng đèn cùng lo i v i th i h ở ạ ớ ờ ạn s ử dụ ng trung bình

là khoảng 1000h Giả sử rằng chúng ta có thể lập mô hình xác suất hỏng hóc c a các bóng ủ

đèn này theo m ật độ hàm mũ hàm s ố với 𝜇 = 1000, hãy tìm xác suất cả 2 bóng đèn đ u ề

hỏng sau 1000h

(b) Có 1 cái đèn khác nhưng chỉ lắp 1 cái bóng đèn cùng lo ạ i v i ph ớ ầ n (a) N u 1 ế

cái đèn b cháy và thay b ị ằ ng 1 cái đèn cùng lo i, hãy tìm xác su t mà 2 bóng đèn hư v i ạ ấ ớ

tổng thời gian 1000h

Giải:

(a)

𝑇ℎ *đề*𝑏à𝑖* *𝑙ậ𝑝* ợ𝑐* 𝑚*𝑠ố*𝑛ℎư*𝑒𝑜 𝑡𝑎 đư ℎà 𝑠𝑎𝑢 (𝑡) = „: 𝑓 % 0, 𝑡 < 0

%$$$𝑒5//%$$$, 𝑡 ≥ 0 𝐵𝑖ể𝑢*𝑡ℎứ𝑐*𝑐ℎ𝑜*𝑐ả*2*𝑏ó𝑛𝑔*đè𝑛*𝑙à*𝑓(𝑥, 𝑦) = ‰105(𝑒5(89:)/%$$$0, 𝑥 < 0, 𝑦 < 0, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

𝑉ì*𝑣ậ𝑦: 𝑃(𝑋 ≤1000, 𝑌 ≤1000) = ∫5<%$$$∫5<%$$$𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= ∫ ∫%$$$105(𝑒5(89:)/%$$$𝑑𝑦𝑑𝑥

$

%$$$

%$$$

%$$$

%$$$

%$$$

$ 𝑒5>/%$$$dy

= ‘−e5"###! ”%$$$

$ ‘−e5"###$ ”%$$$

$

= (e − 1) ≈ 0,5% 3 3996

𝑉ậ𝑦*𝑥á𝑐* ấ𝑡*2*𝑏ó *đề𝑢*ℎỏ *𝑣ớ𝑖*𝑡ổ *𝑡ℎờ𝑖*𝑠𝑢 𝑛𝑔 𝑛𝑔 𝑛𝑔 𝑔𝑖𝑎𝑛*1ℎ*𝑙à*0,3996 .

(b)

𝐵ó𝑛𝑔*đè𝑛*𝑡ℎứ*𝑛ℎấ𝑡*𝑐ó* ể𝑢*𝑡ℎứ𝑐:*𝑓𝑏𝑖 (𝑥) =*? %&/"###

%$$$ *𝑘ℎ𝑖*𝑥 ≥ 0

𝐵ó𝑛𝑔*đè𝑛*𝑡ℎứ*ℎ *𝑐ó* ể𝑢*𝑡ℎứ𝑐:*𝑓𝑎𝑖 𝑏𝑖 (𝑥) =*?%(/"###%$$$ *𝑘ℎ𝑖*𝑦 ≥ 0

𝑇𝑎*𝑐ó*𝑡ℎể*𝑔ℎ𝑖*𝑙ạ𝑖*𝑙à:

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑦)

𝑓(𝑥, 𝑦) =?%&/"###%$$$)?%(/"###

𝑋á𝑐*đị𝑛ℎ* ớ𝑖*ℎạ𝑛*𝑐ủ𝑎* ể𝑢*𝑡ℎứ𝑐: 𝐷*(0 ≤ 𝑥 + 𝑦 ≤𝑔𝑖 𝑏𝑖 1000 )

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑅 = ∫ ∫$%$$$58?%&/"###%$$$?%(/"###) 𝑑𝑦𝑑𝑥

%$$$

$

= ∫ 𝑒58/%$$$—∫ ?%(/"###%$$$)

%$$$58

%$$$

= ∫ 𝑒58/%$$$‘5? %(/"###

%$$$ ”%$$$58

%$$$

= ∫$%$$$𝑒58/%$$$™%$$$% −?* &"###+%"%$$$ š𝑑𝑥

=%$$$% ∫$%$$$—𝑒58/%$$$−%?˜ 𝑑𝑥= %

%$$$‘−1000𝑒5"###& −8?”%$$$

$

= %

%$$$‘−1000𝑒5%−%$$$

? ” − %

%$$$[−1000] = 1 −3

?≈ 0,2642 𝑉ậ𝑦*𝑥á𝑐* ấ𝑡*2*𝑏ó𝑠𝑢 𝑛𝑔*đè𝑛*đề𝑢*ℎỏ *𝑣ớ𝑖*𝑡ổ *𝑡ℎờ𝑖*𝑛𝑔 𝑛𝑔 𝑔𝑖𝑎𝑛*1ℎ*𝑙à*0,2642

nhau h ng ngày sau 12hằ 2 người ghé vào quán cà phê v i 2 th i điớ ờ ểm khác nhau Xavier

vào lúc x còn Yolanda vào lúc y, với x,y tính bằng đơn v phút sau 12hị Biểu thức hàm số lần lượt của 2 ngư i là: ờ

𝑓%(𝑥) = ‰*𝑒580,, 𝑥 ≥ 0𝑥 < 0 ***𝑓3(𝑦) = ›**50 𝑦,1 0 ≤ 𝑦 ≤ 10

0, 𝑦 < 0*ℎ𝑜ặ𝑐*𝑦 > 10 (Xavier thường đ n sau 12h và hay đ n p lúc hơnế ế kị là trễ Yolanda thường đ n lúc 12h10ế ’

và hay đến trễ hơn là k p lúc.) Sau khi Yolanda đ n, cô ị ế ấy sẽ đợi cho đến 30’ để chờ Xavier, nhưng c u ta s không làm đi u ngưậ ẽ ề ợc lại Hãy tìm xác su t họ gặấ p nhau

Giải:

𝑋á𝑐*đị𝑛ℎ* ớ𝑖*ℎạ𝑛:𝑔𝑖 ‰𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦 + *0 ≤ 𝑦 ≤ 10 30

𝐶ô *𝑡ℎứ𝑐* ở*𝑡ℎà𝑛ℎ:*𝑛𝑔 𝑡𝑟 ∫ ∫:9@$𝑓%(𝑥)𝑓3(𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦

:

%$

= ∫ ∫$%$ ::9@$4$%𝑦𝑒58𝑑𝑥𝑑𝑦= ∫$%$4$%𝑦 —∫::9@$𝑒58𝑑𝑥˜ 𝑑𝑦

= ∫ 4$%𝑦—[−𝑒58]:9@$

: ˜ 𝑑𝑦

%$

4$𝑦(𝑒5:− 𝑒5:5@$)𝑑𝑦 = 𝐼

%$

Đặ𝑡*𝑢 =:

4$*𝑣à* = 𝑒𝑑𝑣 5:− 𝑒5:5@$*𝑡𝑎*đượ𝑐:

𝐼 = ‘4$:(−𝑒 +𝑒5: 5:5@$)”%$

$+ ∫$%$4$%(−𝑒 +𝑒5: 5:5@$)𝑑𝑦

=%

4(𝑒5*$− 𝑒5%$) −%

4$[(𝑒5%$− 𝑒5*$) − (1 − 𝑒 )5@$ ]

=4$%(1 −11𝑒5%$− 𝑒5@$+ 11𝑒5*$) ≈ 0,02

𝑉ậ𝑦*𝑥á𝑐* ấ𝑡*để*𝑠𝑢 𝑋𝑎𝑣𝑖𝑒𝑟*𝑣à*𝑌𝑜𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜*𝑔ặ𝑝*𝑛ℎ *𝑙à*0, 𝑎𝑢 02

nhiễm bệnh là 1 hàm số của kho ng cách giả ữa 2 người Giả sử cho 1 thành phố hình tròn

có bán kính 10 dặm, trong đó dân cư phân bố đồng đ u Cho đề ối tượng chưa lây nhiễm ở

vị trí 𝐴(𝑥 ,𝑦$ $), cho biế ằt r ng bi u thế ức xác suất được cho dưới đây:

𝑓(𝑃) =20 [20 − 𝑑(𝑃, 𝐴)]1 𝑇𝑟𝑜𝑛𝑔*đó:*𝑑(𝑃, 𝐴)*𝑙à*𝑘ℎ𝑜ả *𝑐á𝑐ℎ* ữ𝑎*2* ườ𝑖𝑛𝑔 𝑔𝑖 𝑛𝑔

(a) Giả sử sự phơi nhiễm của m t ngư i v i bộ ờ ớ ệnh là t ng xác suổ ất mắc bệnh từ tấ ả t c thành viên của dân s Cho rằng ngườố i nhiễm bệnh phân bố đồng đều kh p thành phắ ố, với mật đ là ộ 𝑘*( ườ𝑖*𝑏ệ𝑛ℎ/𝑑ặ𝑚*𝑛𝑔 𝑣𝑢ô𝑛𝑔 Tính tích phân kép đạ ệ) i di n cho s phơi nhiự ễm của 1 người cư trú t i ạ điểm A

(b) Đánh giá tích phân đối v i trướ ờng h p là tâm cợ ủa thành phố và đố ới v i trường h p ợ nằm trên rìa thành phố thì bạn s chọn nơi nào?ẽ

Giải:

(a)

𝑋á𝑐* ấ𝑡*𝑐ủ𝑎* ườ𝑖*𝑏ệ𝑛ℎ*𝑙à*𝑓𝑠𝑢 𝑛𝑔 (𝑃) =3$5A

3$

𝑆𝑢𝑦*𝑟𝑎*𝑠ự*𝑝ℎơ𝑖*𝑛ℎ𝑖ễ𝑚* ợ𝑐*𝑡í𝑛ℎ*𝑛ℎư* 𝑢:đư 𝑠𝑎

𝐸 = ∬ 𝑓(𝑃)𝑘𝑑𝐴!- = 𝑘 ∬ 3$5A

3$ 𝑑𝐴

𝑇𝑎*𝑡ℎ *𝑑 =𝑎𝑦 ¥(𝑥 − 𝑥$)3+ (𝑦 − 𝑦

$)3*𝑣à𝑜*𝑡𝑎*đư ợ𝑐:

𝐸 = 𝑘 ∬ —1 −3$%¥(𝑥 − 𝑥$)3+ (𝑦 − 𝑦

$)3˜𝑑𝐴

𝑉ớ𝑖*𝐷*𝑙à*𝑣ù *𝑛ằ𝑚*𝑏ê𝑛*𝑛𝑔 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔*đườ𝑛𝑔*𝑡𝑟ò𝑛*𝑥 + 𝑦3 3= 100

(b)

𝑁ế𝑢*𝐴(0,0)*𝑡ℎì:

𝐸 = 𝑘 ∬ —1 −! 3$¥𝑥3+ 𝑦3˜ 𝑑𝐴

= 𝑘 ∫ ∫ —1 −%

3$𝑟˜ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

%$

$

3B

3𝑟3−($%𝑟@”%$

$

= 2𝜋𝑘 —50 −4$@˜ =3$$@ 𝜋𝑘 ≈ 209𝑘*(1)

𝑁ế𝑢*𝐴*𝑛ằ𝑚*ở*𝑟ì𝑎*𝑡ℎà𝑛ℎ*𝑝ℎố:

Đặ𝑡* ‰𝑥 − 𝑥$= 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑦 − 𝑦$= 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃* *𝑡𝑎 đượ𝑐: 𝐷: „0 ≤ 𝑟 ≤ 20𝑐𝑜𝑠𝜃−B3≤ 𝑟 ≤B3

𝑆𝑢𝑦*𝑟𝑎: 𝐸 = 𝑘 ∫ ∫ —1 −%

3$𝑟˜𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃

3$CDEF

$

,

)

5,)

= 𝑘 ∫ ‘%

3𝑟3−($%𝑟@”3$CDEF

,

)

@ cos@𝜃˜ 𝑑𝜃

, )

= 200𝑘 ∫ ‘%3+%

3cos 2𝜃 −3

@(1 −sin3𝜃) cos 𝜃”

,

)

= 200𝑘 ‘%3𝜃 +*%sin 2𝜃 −3@sin 𝜃 +3@.%@sin@𝜃”,)

5),

= 200𝑘 ‘B

*+ 0 −3@+32+B*+ 0 −3@+32” = 200𝑘 —B

3− 8/9˜ ≈ 136𝑘*(2) 𝑇ừ*(1)*𝑣à*(2)*𝑡𝑎*𝑠𝑢𝑦*𝑟𝑎: 𝑁𝑔𝑢𝑦*𝑐ơ*𝑚ắ𝑐*𝑛ℎ𝑖ễ𝑚*ở*𝑟ì𝑎*𝑡ℎà𝑛ℎ*𝑝ℎố*𝑡ℎấ𝑝*ℎơ𝑛*𝑡ℎà𝑛ℎ* 𝑝ℎố, 𝑐ℎ𝑜*𝑛ê𝑛* *𝑐ℎọ𝑛*ở*𝑝ℎí𝑎*𝑟ì𝑎.𝑡𝑎

vé là 15’ và khởi động trước khi bơi là 10’ Cho rằng việc chờ giữa 2 vi c là đ c lệ ộ ập với nhau, tìm xác suất mà người đi bơi làm tổng c ng ít hơn 30ộ ’ trước khi vào hồ bơi

Giải:

𝐶ℎ𝑜* ệ𝑐*𝑐ℎờ*𝑣𝑖 𝑚𝑢𝑎*𝑣é*𝑙à*𝑥*(𝑝ℎú𝑡)*𝑣à*𝑘ℎở𝑖*độ𝑛𝑔*𝑡𝑟ướ𝑐*𝑘ℎ𝑖*𝑏ơ𝑖*𝑙à*𝑦*(𝑝ℎú𝑡) 𝑇𝑎*𝑐ó* ế𝑡* 𝑚*𝑠ố*𝑚ậ𝑡*độ*𝑣𝑖 ℎà 𝑟𝑖ê𝑛𝑔*𝑟ẽ*𝑛ℎư*𝑠𝑎𝑢 :

𝑓%(𝑥) = „% 0, 𝑛ế𝑢**𝑥 < 0

%4𝑒58/%4, 𝑛ế𝑢**𝑥 ≥ 0 𝑓3(𝑦) = „% 0, 𝑛ế𝑢**𝑦 < 0

%$𝑒5:/%$, 𝑛ế𝑢**𝑦 ≥ 0 𝑉ì*𝑥*𝑣à*𝑦*độ𝑐*𝑙ậ𝑝*𝑣ớ𝑖*𝑛ℎ *𝑛ê𝑛*𝑎𝑢 𝑡𝑎*𝑠𝑢𝑦*𝑟𝑎 đư ℎà* ợ𝑐* 𝑚*𝑚ậ𝑡*độ*𝑐ℎ𝑢𝑛𝑔 :

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓%(𝑥)𝑓3(𝑦) = „%4$% 𝑒58/%4𝑒5:/%$, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

0, 𝑥 < 0, 𝑦 < 0

𝑇𝑎*𝑐ó: 𝑥 + 𝑦 ≤ 30⇒‰ 0 ≤ 𝑥 ≤ 30- 0 ≤ 𝑦 ≤30− 𝑥

𝑆𝑢𝑦*𝑟𝑎:*∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴!- = ∫ ∫$@$ $@$58%4$% 𝑒58/%4𝑒5:/%$𝑑𝑦𝑑𝑥

=%4$% ∫ [𝑒58/%4(−10)𝑒5:/%$]@$58

$ 𝑑𝑥

@$

%4∫ 𝑒$@$ 58/%4·1 − 𝑒(85 )/ @$ %$¸𝑑𝑥

=35@?9?-? ≈ 0,6936 69%≈

𝑉ậ𝑦*𝑙à*𝑐ó*𝑘ℎ𝑜ả *𝑔ầ𝑛*𝑛𝑔 69%*𝑛𝑔ườ𝑖*đ𝑖*𝑏ơ𝑖*𝑐ℎờ*í𝑡* 𝑛*ℎơ 30G𝑡𝑟ướ𝑐*𝑘ℎ𝑖*𝑡ớ𝑖*ℎồ*𝑏ơ𝑖

Bài 6:

Bản đồ đường mức ở Hình dưới biểu diễn lượng tuyết rơi (tính bằng inch) ở

bang Colorado vào ngày 20 và 21 tháng 12 năm 2006 (Bang này có dạng hình chữ nhật với chiều dài đo từ đông sang tây là 388 dặm và chiều rộng từ nam lên bắc là 276 dặm.) Hãy ước tính lượng tuyết rơi trung bình:

chọn gốc tọa độ nằm ở góc tây nam của bang Colorado Khi đó,

0 ≤ x ≤ 388, 0 ≤ y ≤ 276, và f(x, y) là lượng tuyết rơi (tính bằng inch) tại một vị trí cách gốc tọa độ x dặm

về phía đông và y dặm về phía bắc Nếu R là hình chữ nhật tượng trưng cho

bang Colorado, thì lượng tuyết rơi trung bình của bang vào hai ngày 20 và 21/12 là:

𝑓HI=*𝐴(𝑅) &𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴1

.

.

trong đó A(R) = 388 · 276 Để ước tính giá trị của tích phân hai lớp này, chúng ta sử dụng

Quy tắc trung điểm với m = n = 4 Hay nói cách khác, ta chia R thành 16 hình chữ nhật con bằng nhau, như ở Hình minh họa bên dưới Diện tích của mỗi hình chữ nhật con là:

∆𝐴 =*16(388)(276) = 6693*𝑚𝑖1 3

Sử dụng bản đồ đường mức để ước tính giá trị của f tại tâm của mỗi hình chữ nhật con, ta có: ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴.. ≈* ∑ ∑ 𝑓·𝑥* {, 𝑦){¸∆𝐴K

L,%

* +,%

≈ ∆𝐴 º+4,5 +0 +28 17 1315++ 8 + 7 + 2 ++ ,5 +12 15 1725 18++ ,5 ++ 11,5 +13» = (6693 207 )( )*

𝑓HI=(6693 307(388)(276) ≈ 12,9)( ) Như vậy, vào hai ngày 20 và 21/12/2006, bang Colorado nhận một lượng tuyết rơi trung bình dày khoảng 13 inches

Bài 7:

Tính thể tích thùng chứa rượu là một hình tròn xoay có 2 dấy là hình tròn b ng nhau và ằ chiều cao thùng là 16 cm Đư ng cong cờ ủa bình là một cung tròn c a đườủ ng tròn bán kính là 9

Giải

Ta xem tâm của đường tròn là tâm O ở gốc tọa độ

Khi đó ta có: x2 + y = 81, th2 ể tích của thùng là hình tròn xoay đư c giợ ớ ạn bởi h i đường tròn x2 + y = 81 và, y = 0; x = 2 -8; x = 8

Vậy thể tích của thùng là V = 𝜋 ∫ (√81' − 𝑥3)3𝑑𝑥

5' =*3'(*@ 𝜋* ≈ **2999 17 𝑐𝑚, * @

Bài 8:

Tính diện tích của ph n paraboloid z = xầ 2+ y2 nằm dưới m t phặ ẳng z = 9

Mặt phẳng giao với paraboloid theo đường tròn x2 + y = 9, z = 9 Do đó m2 ặt phẳng đã cho nằm trên đĩa D với tâm là gố ọc t a độ và bán kính b ng 3.ằ

= 2𝜋18 3 (1 + 4𝑟^2)2 @¾30 =*6 (37√37 − 1)𝜋

Bài 9:

Tính diện tích của ph n m t cong z = xầ ặ 2+ 2y nằm trên tam giác T trong mặt ph ng xy với ẳ các đỉnh (0, 0), (1, 0) và (1, 1)

Miền T được chỉ ra trong Hình 3 và được mô tả bở i

T = {(x, y) | 0 £ x £ 1, 0 £ y £ x} Ta có

chiều dài 6.0 cm Trong thực tế, đường kính X là phân bố chuẩn với kỳ vọng 4.0 cm và độ lệch chuẩn 0.01 cm trong khi chi u dài Y là phân bố chuẩn về ới kỳ vọng 6.0 cm và độ lệch chuẩn 0.01 cm Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập, viết hàm m t độ chung và ậ

vẽ đồ ị củth a nó Tìm xác suất mà m t vòng bi đưộ ợc chọn ng u nhiên tẫ ừ các dây chuyền sản xuất có hoặc chiều dài hoặc đường kính khác với kỳ vọng hơn 0.02 cm

Chúng ta có X và Y là phân phối chuẩn vớ µ1 = 4.0, µ2 = 6.0, 1 = 2 = 0.01 Vì v y các i s s ậ hàm mật độ riêng của X và Y là

Tính xác suất mà X và Y sai khác v i kì vớ ọng c a chúng nhỏ ủ hơn 0,02 cm

Vậy xác suất mà X và Y sai khác với kì vọng hơn 0,02 cm x p x 1 0.91 = 0.09ấ ỉ –

Bài 11:

Người quản lý của m t rạộ p chi u phim xác đ nh r ng trung bình thế ị ằ ời gian chờ đợi mà khán giả xếp hàng để mua vé cho bộ phim của tuần này là 10 phút và thời gian trung bình mà họ chờ đợ ể i đ mua bỏng ngô là 5 phút Giả sử rằng các thời gian chờ đợi là độc lập, tìm xác suất mà m t khán giộ ả ờ đợch i tổng c ng ít hơn 20 phút trưộ ớc khi nhận được chỗ ngồ ủa i c mình

Giả sử rằng cả thời gian chờ đợi X để mua vé và thời gian chờ đợi Y trong hàng gi i ả khát được mô hình hóa b i các hàm m t đở ậ ộ xác suất theo hàm số mũ, chúng ta có th viết ể các hàm mật độ riêng như sau:

Vì X và Y là độc lập hàm m t độ ậ chung c a tích: ủ

Chúng ta đang đòi hỏi xác su t mà X + Y < 20: P(X + Y < 20) = P((X, Y) ấ Î D) Vậy :

Þ Có khoảng 75% khán giả đợi ít hơn 20 phút trước khi có ch ngồi ỗ

Bài 12: Tính tích phân I =∬𝐃@𝟏B𝐲𝐱𝐲𝟐𝐝𝐱𝐝𝐲, D gi i h ớ ạn bở một phần tư đư ng i ờ tròn 𝒙𝟐+ 𝒚 = 𝟏𝟐 trong góc phần tư thứ nhất

Giải:

I =∬'@ /BE#E"𝑑𝑥𝑑𝑦

= ∫ 𝑑𝑥∫$O $√%58)M%5:)8: 𝑑𝑦

Đặt t = ¥1 − 𝑦3, ta được:

I = ∫ 𝑑𝑥∫$% %M%5(%58))−𝑥𝑑𝑡

= ∫ 𝑑𝑥 − 𝑥𝑡|%M%5(%58 )

)

%

$

= ∫ (−𝑥 + 𝑥% 3 )𝑑𝑥

Bài 13: Tính tích phân I= ∬ 𝒙𝒚𝒅𝒙𝒅𝒚𝑫 , trong đó D giới hạn bởi trục

Ox, x = 2a và 𝒙𝟐= 𝟒𝒂𝒚

Giải:

∬ xydxdy# = ∫ 𝑑𝑦 ∫)% &'%($% 𝑥𝑦𝑑𝑥

= ∫ 𝑑𝑦," B#" E

FCD

@G"E F"

= ∫ G" EBG"E" "

"

,

= 2aB𝒂𝒚𝟐𝟐−𝒚𝟑

𝟑CD,"="K$

Bài 14: Tính tích phân I = ∬ G𝒙𝑫 𝟐+ 𝒚𝟐𝒅𝒙𝒅𝒚, trong đó D giớ ạn bởi i h

𝐱𝟐+ 𝐲 = 𝐚 , 𝐱 = 𝟎, 𝐲 =𝟐 𝟐 √𝟑𝐱, (x,y≥ 𝟎)

Giải:

Đặt x = rcos𝜑, y = rsin𝜑 ta có:

𝑦 =3 √3𝑥3 →3𝑦𝑥 =3 √33 = 3𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑

→ 𝜑 =𝜋3

Suy ra: MK≤ 𝜑 ≤MF

O n m trên biên cằ ủa miền D nên 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑎

I = ∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑟 𝑟𝑑𝑟,"

%

"

%

&

= BMF−MKC;K&D," = /NM𝑎K

Bài 15: Tính tích phân I = ∬ 𝟔 − 𝒙 + 𝒚𝒅𝒙𝒅𝒚𝑫 , v i D là mi ớ ền:

𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏, 𝟎 ≤ 𝒚 ≤ 𝒙𝟐

Giải:

Ta có f (x,y) =6 – x + y

Đặt g (x,y) = Z𝑓(𝑥, 𝑦 ),333333333333333(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷0,33333333333333333333333333(𝑥, 𝑦) ∉ 𝐷

R là miền: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1

^ 𝑔(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦

O

= 7 𝑑𝑥

/ ,

7𝑔(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦

/

,

= ∫ 𝑑𝑥,/ B∫ 𝑔(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 +3#"

, ∫ 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦#/" C = ∫ 𝑑𝑥,/ B∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 + 0#"

= ∫ 𝑑𝑥,/ ∫ 6 − 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦#"

, = ∬ 6 − x + ydxdyP = ∫ 𝑑𝑥,/ B6𝑦 − 𝑥𝑦 +E"

FCD

,

# "

= 7 6𝑥 − 𝑥F K+#$

F𝑑𝑥

/

Bài 16: Tính tích phân I = ∬ d𝒚 − 𝒙𝑫 𝟐d𝒅𝒙𝒅𝒚, D là mi ền giớ ạn bởi: i h

−𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏, 𝟎 ≤ 𝒚 ≤ 𝟏

Giải:

Ta bỏ dấu giá tr tuyệt đ i trong hàm dư i dị ố ớ ấu tích phân b ng cách chia hai trư ng ằ ờ hợp 𝑦 ≥ 𝑥 3𝑣à3𝑦 < 𝑥F F Do đó, ta v thêm đưẽ ờng cong 𝑦 = 𝑥F

I = ∬ |𝑦 − 𝑥' F|𝑑𝑥