La prise en compte de ces mod`eles a n´ecessit´e un am´enagement substantiel decertaines parties de la th´eorie : le plus important ´etant que nous ne ferons pas l’hypoth` ese que les sy
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Comit´e de Lecture 2008–2011/Editorial Board 2008–2011
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Eulériennes, Lagrangiennes
et Méthodes Numériques Lois de Conservations
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Trang 6Aux miens.
Trang 7Table des mati` eres
1 Introduction 1
2 Mod` eles 5
2.1 Equation de bilan ´ 5
2.1.1 Trafic routier 6
2.1.2 Syst`eme de Saint Venant 8
2.1.3 Dynamique des gaz compressibles 11
2.2 Invariance Galil´eenne 13
2.3 Coordonn´ees de Lagrange 15
2.3.1 Changement de coordonn´ees et lois de conservation 16
2.3.2 Dynamique des gaz lagrangienne en dimension un d’espace 19
2.3.3 Dynamique des gaz lagrangienne en dimension deux d’espace 20
2.3.4 Formulation de Hui 22
2.3.5 Dynamique des gaz lagrangienne en dimension trois d’espace 22
2.4 Syst`eme lin´eairement bien pos´e et hyperbolicit´e 23
2.4.1 Stabilit´e lin´eaire en dimension un d’espace 23
2.4.2 Stabilit´e lin´eaire en dimension sup´erieure 26
2.5 Exemples de calcul des vitesses d’onde 28
2.6 Exercices 34
2.7 Notes bibliographiques 36
3 Etude d’une loi de conservation 39 ´
3.1 Solutions fortes et m´ethode des caract´eristiques 40
3.2 Solutions faibles 44
3.3 Solutions faibles entropiques 47
3.3.1 Discontinuit´es entropiques 50
3.3.2 Choc et discontinuit´e de contact 53
3.3.3 Equation des d´´ etentes 54
Trang 83.3.4 Solution entropique du probl`eme de Riemann 56
3.3.5 Application et interpr´etation physique 57
3.4 Calcul num´erique de solutions faibles entropiques 61
3.4.1 Notion de sch´ema conservatif 61
3.4.2 Sch´ema de Volumes Finis 64
3.4.3 Construction du flux `a partir de la m´ethode des caract´eristiques 64
3.4.4 Cas g´en´eral 68
3.4.5 D´efinition d’un sch´ema g´en´erique 70
3.4.6 Convergence 72
3.4.7 Applications et analyse des r´esultats 74
3.5 Comparaison num´erique choc-discontinuit´e de contact 78
3.6 Optimisation du sch´ema 79
3.6.1 Optimisation par rapport `a la contrainte de stabilit´e 80
3.6.2 Optimisation par rapport `a la pr´ecision 80
3.7 Sch´emas lagrangiens pour le trafic routier 81
3.7.1 Sch´ema lagrangien 82
3.7.2 Un r´esultat num´erique 83
3.8 Exercices 84
3.9 Notes bibliographiques 86
4 Syst` emes 87
4.1 Exemples 88
4.1.1 Syst`eme des eaux peu profondes 88
4.1.2 Syst`eme de la dynamique des gaz compressible 89
4.2 Entropie et variables entropiques 92
4.3 Solutions faibles entropiques 95
4.4 Solutions autosemblables en x t 98
4.4.1 Discussion des d´etentes 99
4.4.2 Discussion des discontinuit´es 102
4.5 Retour sur la variable principale U 110
4.6 Solution du probl`eme de Riemann 111
4.6.1 Th´eor`eme de Lax 112
4.6.2 Correspondance Euler-Lagrange 113
4.7 Syst`emes en coordonn´ee de Lagrange 115
4.8 Syst`emes `a flux d’entropie nul 116
4.9 Vitesses d’ondes pour les syst`emes lagrangiens 120
4.10 Enthalpie d’un syst`eme lagrangien 125
4.11 Exemples de syst`emes lagrangiens 129
4.11.1 Le syst`eme de la magn´etohydrodynamique id´eale 129
4.11.2 Le mod`ele de l’h´elium superfluide de Landau 134
4.11.3 Un mod`ele multiphasique 139
4.12 Chocs pour les syst`emes lagrangiens 141
4.13 Exercices 142
4.14 Notes bibliographiques 148
Trang 9Table des mati`eres IX
5 Le syst` eme de la dynamique des gaz compressibles 149
5.1 Calcul des vitesses d’ondes 150
5.1.1 D´etentes 153
5.1.2 Les discontinuit´es 154
5.1.3 Nombre de Mach 158
5.1.4 Probl`eme de Riemann pour la dynamique des gaz 159
5.2 Discr´etisation num´erique 159
5.3 Sch´ema eul´erien de Roe 162
5.3.1 Matrice de Roe pour la dynamique des gaz eul´erienne 165
5.3.2 Propri´et´es du sch´ema de Roe 167
5.3.3 R´esultats num´eriques 170
5.4 Sch´ema Lagrange+projection 173
5.4.1 Phase lagrangienne 174
5.4.2 Phase lagrangienne pour le syst`eme de la dynamique des gaz 176
5.4.3 Formule du flux lagrangien 179
5.4.4 Grille mobile durant la phase lagrangienne 180
5.4.5 Phase de projection 181
5.4.6 Synth`ese 182
5.4.7 Conditions au bord 184
5.4.8 R´esultats num´eriques 186
5.5 Sch´ema ALE en dimension un 187
5.5.1 Discr´etisation num´erique 188
5.5.2 Discr´etisation de (5.46) 189
5.5.3 Discr´etisation de (5.47) 189
5.5.4 R´e´ecriture sur la grille mobile 190
5.5.5 R´esultat num´erique 192
5.6 Un r´esultat num´erique en dimension deux d’espace 193
5.7 Exercices 194
5.8 Notes bibliographiques 197
6 Solveurs lagrangiens ` a un ´ etat et ` a deux ´ etats 199
6.1 Solution du probl`eme de Riemann lin´earis´e 200
6.1.1 Solution `a un ´etat interm´ediaire 201
6.1.2 Solution `a deux ´etats 203
6.2 Discr´etisation num´erique 206
6.2.1 Autre mode de construction du flux num´erique 206
6.2.2 Propri´et´e entropique 211
6.2.3 Optimisation par rapport au pas de temps 213
6.2.4 Optimisation par rapport `a la simplicit´e de mise en oeuvre 216
6.3 Exercices 218
6.4 Notes bibliographiques 219
Trang 107 Syst` emes lagrangiens multidimensionnels 221
7.1 Cadre th´eorique 221
7.2 In´egalit´e entropique discr`ete 222
7.3 Stabilit´e L2 225
7.4 Dynamique des gaz en g´eom´etrie cylindrique ou sph´erique 226
7.5 MHD en dimension sup´erieure 230
7.6 Dynamique des gaz lagrangienne 236
7.6.1 Maillage mobile 238
7.6.2 Tentative de construction d’un sch´ema num´erique 243
7.6.3 Une premi`ere solution 246
7.6.4 Une deuxi`eme solution 248
7.6.5 Une troisi`eme solution 254
7.6.6 Un sch´ema lagrangien sur grilles d´ecal´ees 256
7.6.7 Choix du maillage pour un calcul donn´e 260
7.6.8 Gravit´e et ´equilibre hydrostatique 263
7.6.9 Convergence 271
7.7 Exercices 273
7.8 Notes bibliographiques 274
Litt´ erature 277
Index 283
Trang 11Introduction
Les syst`emes de lois de conservation mod´elisent les ´ecoulements pressibles et incompressibles dans des domaines extrˆemement vari´es tels quel’a´eronautique, l’hydrodynamique, la physique des plasmas, la combustion,
com-le trafic routier, l’´elasticit´e non lin´eaire Les ´equations sont non lin´eaires etexpriment les relations de bilan pour diverses quantit´es telles que masse,impulsion et ´energie totale pour la dynamique des gaz compressibles Lecadre math´ematique g´en´eral est celui des syst`emes de lois de conservation
Le caract`ere non lin´eaire des ´equations implique l’existence des solutions continues appel´ees chocs Cela recouvre le bang sonique, les ´ecoulements hy-personiques (autour des avions par exemple), les ph´enom`enes de mascaret, lesbouchons pour le trafic routier, les explosions de supernovae, la d´etonation
dis-en g´en´eral Les exemples sont nombreux et souvent spectaculaires Au plannum´erique on peut noter que le d´eveloppement de m´ethodes adapt´ees au calcul
de telles solutions discontinues impose des contraintes nouvelles Cela bue `a fonder une nouvelle discipline, la M´ecanique des Fluides Num´erique
contri-Un des objectifs de ce texte est de pr´esenter les raisons pour lesquelles onutilise de tels syst`emes d’´equations aux d´eriv´ees partielles, de les analyser sur
le plan math´ematique, et de construire quelques sch´emas de Volumes Finispour la r´esolution num´erique Ce faisant nous aurons les outils pour ´etudierles chocs d’un point de vue tant physique, que math´ematique et num´erique
Un point capital est le rˆole d’une quantit´e appel´ee entropie (par r´ef´erence
au substrat thermodynamique de cette notion) qui traduit le fait qu’une continuit´e math´ematique est de fait une id´ealisation
dis-La pr´esentation propos´ee portera l’accent sur les syst`emes que l’on pellera lagrangiens ou ´ecrits en coordonn´ ees de Lagrange et sur leurs re-
ap-lations avec les syst`emes en coordonn´ ees d’Euler La diff´erence entre lescoordonn´ees d’Euler et les coordonn´ees de Lagrange tient au r´ef´erentiel utilis´epour ´ecrire les syst`emes d’´equations aux d´eriv´ees partielles Les coordonn´eesd’Euler sont les coordonn´ees du laboratoire Pour un fluide les coordonn´ees deLagrange sont les coordonn´ees du fluide en mouvement On peut aussi choisir
B Despr´es, Lois de Conservations Eul´ eriennes, Lagrangiennes et M´ ethodes
Num´ eriques, Math´ematiques et Applications, DOI 10.1007/978-3-642-11657-5 1,
c
Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010
1
Trang 12les coordonn´ees eul´eriennes au temps initial Les syst`emes lagrangiens ayantune entropie ont une structure particuli`ere que nous ´etudierons en d´etail.L’´ecriture en coordonn´ees de Lagrange a de nombreuses et fructueusescons´equences pour la construction et l’analyse de m´ ethodes num´ eri- ques adapt´ees `a la discr´etisation des ´equations de la physique math´ematique.
Le contrˆole de la stabilit´e de ces m´ethodes num´eriques reposera de mani`eresyst´ematique sur l’obtention d’in´ egalit´ es discr` etes d’entropies qui per-
mettent en pratique d’obtenir la stabilit´e au sens L2 En dimension und’espace les m´ethodes pr´esent´ees sont tout `a fait classiques, au sens o`u ellesont ´et´e publi´ees et republi´ees maintes fois dans des contextes parfois diff´erents
On consultera `a profit [GR96] L’originalit´e revendiqu´ee de la pr´esentationchoisie est le lien qui sera fait entre certaines performances num´eriques
de ces m´ethodes et les in´egalit´es discr`etes d’entropies Puis nous rons des sch´emas originaux en dimension deux d’espace `a partir d’in´egalit´esdiscr`etes d’entropies Les m´ethodes num´eriques pr´esent´ees seront restreintes
construi-`
a l’ordre un
Le public vis´e se situe au niveau M2 Une partie de ce texte a servi
de support `a un cours `a l’´Ecole Polytechnique en majeure SeISM (Sciencespour l’Ing´enieur et Simulation Num´erique) Un cours pr´ec´edent [DD05] a ´et´econduit par Fran¸cois Dubois avec une inspiration d’origine a´erodynamique.Une autre partie de ce mˆeme texte a ´et´e pr´esent´ee dans des cours d’Ecole Doc-torale de l’Universit´e Pierre-et-Marie-Curie, Laboratoire JLL Les r´esultatsth´eoriques sont pr´esent´es de fa¸con la plus ´el´ementaire possible en s’aidantd’exemples num´eriques qui tendent `a montrer le caract`ere n´ecessaire desconcepts th´eoriques Les compl´ements sur les syst`emes lagrangiens concernent
un domaine de recherche en cours au Commissariat `a l’´Energie Atomique sur
la discr´etisation num´erique des mod`eles de la m´ecanique des milieux continus
et de la physique des plasmas, dans le cadre des ´etudes de base pour la fusioncontrˆol´ee Le syst`eme de la magn´etodydrodynamique id´eale et le syst`eme de ladynamique des gaz en coordonn´ees de Lagrange sont des exemples importants
La prise en compte de ces mod`eles a n´ecessit´e un am´enagement substantiel decertaines parties de la th´eorie : le plus important ´etant que nous ne ferons
pas l’hypoth` ese que les syst` emes sont strictement hyperboliques car
le cas des valeurs propres multiples est tr`es courant pour les syst`emes quiviennent de la m´ecanique des milieux continus
De nombreux mod`eles sont pr´esent´es en liaison avec le contexte sique Des exemples de simulations num´eriques viennent illustrer les conceptsth´eoriques Des exercices sont propos´es `a chaque fin de chapitre avec une in-dication de difficult´e ´eventuelle • ou •• Chaque chapitre se termine par des
phy-notes bibliographiques suppl´ementaires
Toute erreur ou ommission manifeste est `a porter `a la responsabilit´e duseul auteur Merci de transmettre toute remarque `a l’adresse ´electroniquedespres@ann.jussieu.fr
Trang 131 Introduction 3
L’auteur remercie plus particuli`erement Gr´egoire Allaire `a l’EcolePolytechnique dans le cadre des cours dont ce texte est initialement issu, ainsique l’ensemble de ses coll`egues du Commissariat `a l’Energie Atomique pourtoutes ces ann´ees pass´ees `a mieux comprendre le rˆole de la thermodynamiquedans le calcul num´erique
Trang 14Mod` eles
A partir de la notion de bilan appliqu´ee `a des exemples, nous rons des lois de conservation et des syst`emes de lois de conservation Cessyst`emes sont intrins`equement non lin´eaires et v´erifient certains principes d’in-variance galil´eenne Puis nous montrons que les changements de coordonn´eesd’espace pr´eservent la structure de lois de conservation Nous appliquons cettem´ethode `a la d´erivation des ´equations en coordonn´ees de Lagrange Enfin nousd´efinissons ce qu’est un syst`eme stable lin´eairement bien pos´e, un syst`emehyperbolique (cas de la dynamique des gaz en coordonn´ees d’Euler) et unsyst`eme faiblement hyperbolique (cas de la dynamique des gaz en coordonn´ees
construi-de Lagrange en dimension construi-deux et plus d’espace)
Pla¸cons nous en dimension d’espace d = 1 pour simplifier et commen¸cons
par choisir un quantit´e not´ee u(t, x) C’est une fonction du temps t ∈ R et de
l’espace x ∈ R Soit l’int´egrale de cette quantit´e entre deux points x0, x1∈ R
x0 ∂ t u(t, x)dx Nous faisons
l’hypoth`ese que les pertes ou gains ne peuvent se faire que par les bords du
segment [x0, x1] Nous ´ecrivons l’´equation de bilan sur l’intervalle de temps
1Si les bornes sont elles-mˆemes des fonctions du temps, t → x0(t) et t → x1(t),
B Despr´es, Lois de Conservations Eul´ eriennes, Lagrangiennes et M´ ethodes
Num´ eriques, Math´ematiques et Applications, DOI 10.1007/978-3-642-11657-5 2,
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5
Trang 15pour un pas de temps Δt → 0+
Cette relation ´etant v´erifi´ee pour tout x0 < x1, nous obtenons par cette
m´ ethode de bilan une loi de conservation
∂ t u(t, x) + ∂ x f (t, x) = 0. (2.2)
En consid´erant que le temps et l’espace ne jouent pas le mˆeme rˆole, nousattribuons le rˆole d’inconnue2 `a la quantit´e u, la quantit´ e f ´etant le flux.Cette m´ethode qui consiste `a ´ecrire des ´equations de bilan est tr`es g´en´erale ets’´etend directement en dimension quelconque d’espace Par exemple on ´ecriral’´equation de bilan en dimension trois d’espace
Le nombre de v´ehicules entre x0 et x1 est
2Mˆeme si elle est not´ee u l’inconnue n’est pas n´ecessairement une vitesse C’est lecontexte physique sous-jacent qui d´etermine le choix de la notation qui varie de
ce fait
Trang 16Nous ajoutons l’hypoth` ese de mod´ elisation : un conducteur standard
adapte sa vitesse `a la densit´e locale de v´ehicules En pratique on roule vitequand il y a peu de voitures : inversement on roule doucement quand il y abeaucoup de voitures Nous consid´erons alors que la vitesse u est une fonc-
tion de la densit´e ρ On obtient l’´ equation ∂ t ρ + ∂ x f (ρ) = 0 dont le flux est
f (ρ) = ρu(ρ) Le mod`ele LWR (pour Lighthill-Whitham-Richards) correspond
Fig 2.2 Loi LWR ρ → f(ρ) = ρu(ρ) pour le trafic routier
L’´equation de conservation prend la forme standard
∂ t ρ + ∂ x f (ρ) = 0, f (ρ) = ρu(ρ). (2.4)
Passons en variable adimensionn´ee umax = 1 et ρmax = 1 Nous obtenons
l’´equation ∂ t ρ + ∂ x (ρ − ρ2) = 0 Posons v = 1
2− ρ L’´equation satisfaite par v
3Sur autoroute umax = 130 km/h La densit´e maximum se calcule en fonction de
la taille moyenne d’un v´ehicule
Trang 17C’est une ´equation non lin´eaire Soient v1 et v2deux solutions de l’´equation
de Burgers La fonction v3 = v1+ v2 n’est a priori pas une solution del’´equation de Burgers4 On dit aussi que le principe de superposition n’estplus vrai pour les ´equations non lin´eaires Nous verrons par la suite que cettenon lin´earit´e est la cause de l’existence des solutions discontinues
2.1.2 Syst` eme de Saint Venant
Nous consid´erons le lac en coupe (ou une rivi`ere, ou un fleuve, ) de la
figure 2.3 La vitesse du fluide est un vecteur (u1(t, x, y), u2(t, x, y)) dont lapremi`ere composante est la vitesse horizontale et la deuxi`eme composante est
la vitesse verticale Pour un fluide incompressible tel que l’eau la masse
vo-lumique est constante ρ = ρm La condition d’incompressibilit´e sur le champ
y
h(t, x)
Fig 2.3 Colonne d’eau entre x0et x1
de vitesse s’´ecrit ∂ x u1+ ∂ y u2 = 0 La hauteur d’eau est h(t, x) La vitessemoyenne horizontale le long d’une verticale est
u(t, x) =
h (t,x)
0 u1(t, x, y)dy
h(t, x) .
4En revanche l’´equation de Burgers est invariante par transformation d’´echelle.
Soit v une solution de l’´ equation de Burgers et λ ∈ R La fonction w = λv est
solution de ∂ s w + ∂ x w
2
2 = 0 o`u on a mis le temps `a l’´echelle s = λt.
Trang 18Reprenant la m´ethode de bilan appliqu´ee `a la masse d’eau N (x0, x1, t)
com-prise entre les verticales de base x0 et x1
N (x0, x1, t) = ρm
x1
x0
h(t, x)dx.
Exprimant le fait que la variation de N (x0, x1, t) est due au flux sortant ou
entrant sur les bords nous obtenons une premi`ere loi de conservation
∂ t h + ∂ x (hu) = 0.
Cette premi`ere loi de conservation est en tout point similaire `a celle du trafic
routier, hormis le fait que la vitesse moyenne u n’a pas de raison d’ˆetre une
fonction de la hauteur d’eau h.
Nous d´erivons une deuxi`eme loi de conservation qui va fournir la loid’´evolution de u Nous commen¸cons par ´etudier la masse de la colonne d’eaumobile
N (x0(t), x1(t), t) = ρm
x1(t)
x0(t) h(t, x)dx,
o`u les bords sont d´efinis par x0(0) = X0, x 0(t) = u(t, x0(t) et x1(0) = X1,
I(x0(t), x1(t), t) = ρm
x1(t)
x0(t) hudx = N (x0(t), x1(t), t) v (x0(t), x1(t), t)
(2.5)o`u v est la vitesse moyenne de la colonne Nous ´ecrivons le bilan des forcesqui s’exercent sur les faces avant et arri`ere
N (x0(t), x1(t), t) dt d v(x0(t), x1(t), t) = f (t, x1(t)) − f(t, x0(t)).
Trang 19sur la paroi verticale est
Trang 202.1.3 Dynamique des gaz compressibles
La d´erivation du syst`eme de la dynamique des gaz compressibles n´ecessiteune hypoth`ese dont nous donnerons une justification indirecte `a la fin de cechapitre Nous admettons que la pression d’un gaz est une fonction de la masse
volumique ρ du gaz et de la temp´ erature T de ce mˆeme gaz
p = p(ρ, T ).
La temp´erature ´etant elle-mˆeme a priori fonction de la masse volumique et
d’une variable suppl´ementaire qui est l’´energie interne par unit´e de masse et
que nous noterons ε Soit u la vitesse du gaz L’´energie totale par unit´e de
Tableau 2.1 Valeur de la constante γ pour diff´erents corps
Pour d´eriver les ´equations de la dynamique des gaz compressibles, nousreprenons la m´ethode de bilan Nous consid´erons le cas en dimension un de
la figure 2.5 Le volume ´el´ementaire de gaz est [x0(t), x1(t)] avec x (t, X) =
u(t, x(t, X)), x(0, X) = X La masse de ce volume mobile est
6Bien d’autres lois de pression, ou ´equations d’´etat (EOS) sont disponibles A titred’exemple citons la loi de Stiffened gaz
p = (γ − 1)ρε − γΠ. (2.7)L’eau, qui n’est pas un gaz, correspond typiquement `a γ = 5, 5 et Π = 4921, 15
bars Une autre loi d’´etat est la loi de van der Waals
Trang 21L’impulsion du gaz pr´esent dans le volume est
I(x0(t), x1(t), t) =
x1(t)
x0(t) ρ(t, x)u(t, x)dx.
La force qui s’exerce sur le bord du volume mobile de masse constante est
f = −p Comme pour le syst`eme de St Venant la m´ethode de bilan fournit
E(x0(t), x1(t), t) =
x1(t)
x0(t) ρ(t, x)e(t, x)dx.
La densit´e d’´energie totale est e = ε +1
2u2 Pour un intervalle de temps Δt,
la force qui s’exerce sur les bords travaille sur une longueur Δl = uΔt Le
travail de la force est−pΔl = −puΔt Nous en d´eduisons
E(x0(t + Δt), x1(t + Δt), t + Δt) = E(x0(t), x1(t), t)
−Δtp(t, x1(t))u(t, x1(t)) + Δtp(t, x0(t))u(t, x0(t)) + o(Δt).
D’o`u en passant `a la limite en Δt
d
dt E(x0(t), x1(t), t) + p(t, x1(t))u(t, x1(t)) − p(t, x0(t))u(t, x0(t)) = 0.Grˆace `a la formule (2.1), nous obtenons
Trang 22∂ t (ρe) + ∂ x (ρue + pu) = 0.
Au final le syst`eme de la dynamique des gaz compressibles en dimension und’espace est
Les syst`emes de lois de conservation qui d´erivent de la m´ecanique desmilieux continus respectent par construction certains principes d’invariance.Parmi eux le principe d’invariance galil´eenne joue un rˆole central Unecons´equence est qu’il est possible de r´ecrire certains syst`emes de lois de conser-vation sous une autre forme qui, elle aussi, est de type syst`eme de lois deconservation
D´efinition 1 Nous dirons qu’un mod` ele en dimension un d’espace satisfait
au principe d’invariance galil´ eenne si et seulement si les ´ equations prennent la
mˆ eme forme sous l’effet combin´ e d’un changement de coordonn´ ees temps de type translation, v ∈ R,
et d’un changement de variable qui est dict´ e par la physique sous-jacente.
La vitesse de translation du r´ef´erentiel (t , x ) par rapport au r´ef´erentiel (t, x)
est −v, voir figure 2.6 Les d´eriv´ees partielles sont donn´ees par les formules
de d´erivation compos´ee
∂ t = ∂ t t ∂ t + ∂ t x ∂ x = ∂ t + v∂ x ,
∂ x = ∂ x t ∂ t + ∂ x x ∂ x = ∂ x (2.13)
Trang 23Fig 2.6 Translation du r´ef´erentiel
Lemme 1 Les mod` eles de trafic routier (2.4), de Saint Venant (2.6) et de la dynamique des gaz compressibles satisfont au principe d’invariance galil´ eenne.
Nous utilisons (2.13) Le mod`ele de trafic routier se r´ecrit
Passons au mod`ele de Saint Venant (2.6) La premi`ere ´equation devient
∂ t h + ∂ x (hu ) = 0, u = u + v.
La deuxi`eme ´equation se r´ecrit grˆace `a (2.13) sous la forme
∂ t (hu) + v∂ x (hu) + ∂ x (hu2+ p(h)) = 0, p(h) = g
mod`ele de Saint Venant
Trang 24La dynamique des gaz est formellement une extension du syst`eme de StVenant Donc pour les deux premi`eres ´equations
Nous avons vu qu’il est int´eressant et fondamental de pouvoir d´eriver lesmod`eles (St Venant, gaz compressibles, ) dans un r´ef´erentiel qui se d´eplaceavec le fluide C’est la m´ethode classique de d´erivation des ´equations de cetype, laquelle utilise les op´erateurs de d´erivation mat´erielle d
d´erivation par rapport `a l’espace ∂ x Puis on recombine les ´equations pourobtenir la formulation Eul´erienne du mod`ele consid´er´e
On peut exploiter cette id´eee de mani`ere syst´ematique et plus rigoureuse en
utilisant les coordonn´ ees de Lagrange, pour distinguer des coordonn´ ees d’Euler qui sont celles de l’observateur ext´erieur (ou du laboratoire) Danstout ce qui suit les coordonn´ees de Lagrange sont les coordonn´ees d’Euler autemps initial
pr´esentation qui suit est semblable `a celle de [D00] Elle s’appuie sur unevision g´eom´etrique dans laquelle le temps ne joue pas en premi`ere approxi-mation On peut pr´ef´erer une autre approche tr`es classique aussi, voir parexemple les r´ef´erences [TN92, SH98] au niveau th´eorique ou [SLS07] pourles applications num´eriques dans lesquelles des consid´erations similaires sontd´evelopp´ees `a partir du gradient de d´eformation F = ∇ X x Les identit´es dePiola sont aussi appel´ees lois de conservation g´eom´etriques
Trang 2516 2 Mod`eles
2.3.1 Changement de coordonn´ ees et lois de conservation
Soit le syst`eme stationnaire (le temps a disparu)
o`u U ∈ R n est l’inconnue, U → f(U) ∈ R n ×d est le flux mis sous forme
matricielle et x ∈ R d est la coordonn´ee d’espace Nous remarquons que (2.15)est ´equivalent7`
L’ouvert Ω est r´egulier et born´ e Sa fronti`ere est ∂Ω, la normale sortante
est n∈ R d vecteur unitaire, la mesure au bord est dσ Soit le changement de
coordonn´ees r´ egulier8 et inversible de classe C2deRd dansRd
telle que M t cof (M ) = det(M )I pour toute matrice M ∈ R d ×d Si M est
la fonction ϕ ´etant non d´eg´en´er´ee∇ϕ = 0 En supposant que le gradient de
ϕ est orient´e vers l’ext´erieur de Ω la normale sortante est
7La formule de Stokes est
x∈Ω ∇.fdx =x∈∂Ω f ndσ.
8Un affaiblissement important des hypoth`eses de r´egularit´e pour cette tion aura lieu `a la section 4.6.2
transforma-9Relation de nature purement g´eom´etrique comme la preuve le met en ´evidence.
10Le coefficient en position (i, j) de la matrice des cofacteurs cofac(M ) ∈ R d×d
est ´egal `a (−1) i+j fois le d´eterminant de la matrice M `a laquelle on a enlev´e la
colonne j et la ligne i (matrice de taille d − 1 × d − 1).
Trang 26Il reste `a d´eterminer le coefficient de proportionnalit´e r´eel α Pour cela nous
consid´erons les points A, B, A X et B Xde la figure 2.7 Pour des points prochesl’un de l’autre, on a
Cela termine la preuve
11C’est la formule de changement de coordonn´ees dans les int´egrales
Trang 2718 2 Mod`eles
ΩX
X x
Fig 2.7 Changement de coordonn´ees d’espace Pour simplifier le vecteur qui va de
A X `a B X est align´e avec la normale nX
Th´ eor`eme 2.1 Le syst` eme de lois de conservation ∇ x f (U (x)) = 0 est
Comme c’est vrai pour tout Ω, cela montre (2.18) L’identit´e de Piola s’obtient
en consid´erant f = I dans (2.18) La preuve est termin´ee
L’identit´e de Piola peut apparaˆıtre `a premi`ere vue comme une relation
sur-abondante Elle est en fait n´ ecessaire Un argument en faveur de la n´ecessit´e
de l’identit´e de Piola consiste `a remarquer que l’´equation (2.18) fait apparaˆıtredes inconnues suppl´ementaires (cof (∇ X x)) qui n´ecessitent donc des ´equationssuppl´ementaires (l’identit´e de Piola)
On peut r´esumer l’´egalit´e (2.18) ainsi : la structure de loi de
conser-vation est invariante par changement de coordonn´ ees d’espace.
Trang 282.3.2 Dynamique des gaz lagrangienne en dimension un d’espace
Nous sommes en mesure de d´eriver les ´equations de la dynamique des gaz
en coordonn´ees de Lagrange Nous consid´erons d’abord le cas de la dimension
un pour le syst`eme (2.10) que nous r´ecrivons sous la forme d’une divergencetemps-espace
Cette transformation est r´eguli`ere sous des hypoth`eses ad-hoc sur la r´egularit´e
de la vitesse u Appliquons les formules pr´ec´edentes La matrice Jacobienne
L’identit´e de Piola (2.19) devient12 ∂ t J − ∂ X u = 0 A pr´esent nous
rem-pla¸cons t par t pour simplifier les notations L’ensemble de ces quatre lois de
conservation forme un syst`eme ferm´e
Trang 2920 2 Mod`eles
Th´ eor`eme 2.2 Nous supposons que la masse volumique est partout
stricte-ment positive D´ efinissons la variable de masse dm = ρ(0, X)dX et le volume sp´ ecifique τ = 1
ρ Le syst` eme (2.20) de la dynamique des gaz se r´ ecrit en coordonn´ ees de Lagrange sous la forme
On int`egre directement la premi`ere ´equation de (2.20) donc (ρJ )(t, X) =
ρ(0, X) est ind´ ependant de t Cela permet de sortir ρJ de la d´erivationtemporelle et fournit les deux derni`eres ´equations de (2.21) De mˆeme pour
J = (ρJ )τ
Les op´erateurs diff´erentiels ∂ t et ∂ msont invariants par toute
transfor-mation galil´ eenne Pour le montrer nous allons utiliser une notation un peu
lourde mais sans ´equivoque La notation ∂ a |b indiquera la d´erivation partielle
par rapport `a la variable a, la variable b ´etant fix´ee On touve cette notationdans certains ouvrages de m´ecanique Son emploi permet ici de ne pas faire
de confusion entre ∂ t |x (x fix´ e) et ∂ t |m (m fix´ e, ou encore X fix´e) On a alors
Donc ∂ t = ∂ t et ∂ m = ∂ m ce qui montre l’invariance et justifie la d´enomination
de d´erivation mat´erielle aussi employ´ee pour ∂ t |m = ∂ t + u∂ x= d
dt
2.3.3 Dynamique des gaz lagrangienne en dimension deux d’espace
On part du syst`eme eul´ erien en dimension deux d’espace (2.11) Posons
Trang 30D’o`u tous calculs faits le syst`eme lagrangien qui est constitu´e de la d´efinition
du changement de coordonn´ees Lagrange Euler
De mˆeme ∂ X ρ0= 0 C’est donc que ρ0(X, Y ) est une fonction constante C’est
le cas ´evident qui ne pr´esente pas d’int´erˆet particulier
Trang 3122 2 Mod`eles
2.3.4 Formulation de Hui
Cette formulation des ´equations de la dynamique des gaz en coordonn´ees
de Lagrange est l´eg`erement diff´erente de la pr´ec´edente Elle utilise des ´tions suppl´ementaires pour les composantes du gradient de d´eformation Apartir de (2.22) on a ⎧
En comparant avec la formulation pr´ec´edente, cela montre le fait
remar-quable suivant : il n’y a pas unicit´ e de la formulation des ´ equations
de la dynamique des gaz compressibles en coordonn´ ees de Lagrange multidimensionnelle.
2.3.5 Dynamique des gaz lagrangienne en dimension trois d’espace
Le gradient de d´eformation en dimension trois d’espace est
Trang 32Le syst`eme de la dynamique des gaz compressible lagrangien en dimension
trois d’espace est constitu´e de la d´efinition du changement de coordonn´eesLagrange Euler
∂ t x(t, X) = u, x(0, X) = X, (2.27)des ´equations de la dynamique des gaz ´ecrites en coordonn´es X = (X, Y, Z)
2.4 Syst` eme lin´ eairement bien pos´ e et hyperbolicit´ e
La stabilit´ e est une notion absolument essentielle pour l’´etude dessyst`emes physiques ´evolutifs Le premier pas dans l’´etude des solutions d’unsyst`eme non lin´eaire de lois de conservation consiste en une ´etude de sta-bilit´e lin´eaire13 Nous consid´erons pour cela une petite perturbation autourd’une donn´ee constante Dans le cas o`u cette perturbation lin´eaire est stable
au cours du temps nous dirons que le syst`eme est lin´eairement stable Cettenotion donne imm´ediatement acc`es aux vitesses d’ondes
2.4.1 Stabilit´ e lin´ eaire en dimension un d’espace
Plus pr´ecis´ement nous consid´erons le syst`eme de lois de conservation
pour une donn´ee initiale U (0, x) = U0(x) Le probl`eme de Riemann suppose que
la donn´ee initiale est d’un type particulier : U0est une fonction discontinue
U0(x) = U G pour x < 0, U0(x) = U D pour x > 0.
Trang 33V (t, x) = e i (kx−ωt) W, W ∈ R n , k ∈ R.
Le vecteur W est solution de l’´equation aux valeurs propres
AW = λW, W ∈ R n , λ = ω
k est a priori complexe. (2.34)
D´efinition 2 Nous dirons que le syst` eme (2.33) est fortement mal pos´e
ssi il existe des valeurs propres λ non r´ eelles au probl` eme (2.34).
Ici fortement mal pos´e est synonyme de fortement instable Pour les matricesr´eelles, λ est valeur propre si et seulement si λ est valeur propre Donc si le
probl`eme aux valeurs propres (2.34) poss`ede une valeur propre non r´eelle λ, alors λ ou λ fournit une solution exponentiellement croissante en temps en
grand A la limite k ou −k est infini Comme λ est ind´ependant de k, le taux de
croissance des petites perturbations tr`es oscillantes est arbitrairement grand.Ceci est la signature d’un probl`eme mal pos´e, au sens o`u des perturbationsarbitrairement petites ont une influence arbitrairement grande La d´efinitioncompl´ementaire caract´erise le cas o`u les perturbations restent contrˆol´ees
D´efinition 3 Nous dirons que le syst` eme (2.33) est bien pos´ e si et
seule-ment si les valeurs propres λ du probl` eme (2.34) sont toutes r´ eelles.
Les solutions se r´ecrivent V (t, x) = e ik (x−λt) W , W ∈ R n , k ∈ R, λ ∈ R Donc
la valeur propre λ est la vitesse de d´eplacement du mode de Fourier
Trang 34D´efinition 4 Pour un syst` eme bien pos´ e les valeurs propres sont les vitesses
d’ondes.
Nous verrons que pour la dynamique des gaz compressibles, la vitesse d’ondeest reli´ee `a la vitesse du son
D´efinition 5 Nous dirons que le syst` eme (2.33) est faiblement bien pos´e
ssi il est bien pos´ e et l’ensemble des vecteurs propres est incomplet (il manque des vecteurs propres).
Un ph´enom`ene particulier existe dans le cas faiblement bien pos´e, lequelph´enom`ene n’existe pas dans le cas fortement bien pos´e En effet pour unsyst`eme faiblement bien pos´e, la th´eorie g´en´erale des matrices implique l’exis-
tence de deux vecteurs non nuls W ∈ R n et W ∈ R n tels que
AW = λW et A W = λ W + W.
La valeur propre double est λ ∈ R Comme auparavant nous construisons `a
partir de W une premi` ere solution de type Fourier V (t, x) = e ik (x−λt) W pour tout k ∈ R pour l’´equation ∂ t V + A∂ x V = 0 Le point nouveau est l’existence
d’une deuxi`eme solution de type Fourier Soit la fonction
−λ( W − iktW ) − W + A( W − iktW )= 0.
Donc la fonction V est aussi solution de ∂ t V +A∂ x V = 0 Le taux de croissance
en temps de ce type de solution est affine mais ind´ependant du nombre d’onde
k La situation est tr`es diff´erente du cas fortement mal pos´e On ne consid`erepas que cette situation rel`eve d’une instabilit´e physique
D´efinition 6 Nous dirons que le syst` eme (2.33) est fortement bien pos´e
ou encore hyperbolique ssi il est bien pos´ e et l’ensemble des vecteurs propres est complet (c’est ` a dire qu’il y a n vecteurs propres ind´ ependants).
Un crit`ere simple et pratique pour la th´eorie : si toutes les valeurs propressont distinctes alors l’ensemble des vecteurs propres est complet Nous dironsalors que le syst`eme est strictement hyperbolique Pour les syst`emes quiviennent de la m´ecanique des milieux continus, nous verrons cependant auchapitre 5 que le cas des vitesses d’ondes multiples (i.e des valeurs propresdoubles) est tr`es courant Des exemples de syst`emes lin´eaires sont pr´esent´esdans la table (2.2)
Pour un syst`eme de lois de conservation non lin´eaire, nous retiendrons lad´efinition
Trang 35= 0 fortement bien pos´e, hyperbolique
Tableau 2.2 Syst`emes lin´eaires
D´efinition 7 Nous dirons que le syst` eme non lin´ eaire de lois de conservation
(2.30) est hyperbolique dans un certain domaine Ω ⊂ R n ssi le syst` eme lin´ earis´ e (2.33) est hyperbolique pour tout U0∈ Ω Si de plus toutes les valeurs propres du lin´ earis´ e sont distinctes, nous dirons que le syst` eme non lin´ eaire
est strictement hyperbolique.
Par d´efinition les ´equations scalaires (∂ t u + ∂ x f (u) = 0, u ∈ R) sont toutes
hyperboliques pour un flux u → f(u) r´eel et d´erivable La d´efinition prend
son sens pour les syst`emes d’´equations
2.4.2 Stabilit´ e lin´ eaire en dimension sup´ erieure
L’´etude de la stabilit´e lin´eaire en dimension sup´erieure d’espace consiste
le plus souvent `a se ramener `a la dimension un d’espace Consid´erons parexemple un syst`eme en dimension deux d’espace
∂ t U + ∂ x f (U ) + ∂ y g(U ) = 0 (2.35)
dont les flux U → f(U), g(U) sont diff´erentiables On se ram`ene `a la dimension
un d’espace en supposant que U est invariant dans la direction y (qui s’obtient
par une rotation des axes)
x = cos θx + sin θy,
y =− sin θx + cos θy ⇐⇒
x = cos θx − sin θy ,
y = sin θx + cos θy . , θ ∈ R.
L’hypoth`ese d’invariance s’´ecrit ∂ y |x U = 0 ou encore
U (t, x, y) = U θ (t, x ).
On est alors ramen´e au cas de la dimension un d’espace dans la direction x
∂ U + ∂ f (U ) = 0, f (U ) = cos θf (U ) + sin θg(U ). (2.36)
Trang 36D´efinition 8 Nous dirons que le syst` eme en dimension deux d’espace (2.35) est lin´ eairement bien pos´ e (resp mal pos´ e, faiblement bien pos´ e) si et seule- ment si le syst` eme en dimension un d’espace (2.36) est lin´ eairement bien pos´ e (resp mal pos´ e, faiblement bien pos´ e) pour toute valeur de θ ∈ R.
Pour ´etablir le caract`ere lin´eairement bien pos´e d’une syst`eme donn´e, ilsuffit de ce fait d’´etudier l’´equation aux valeurs propres
A θ W = λW, W ∈ R n , λ = ω
k est a priori complexe (2.37)
avec
A θ = cos θA + sin θB, A = ∇ U f (U ), B = ∇ U g(U ).
En pratique deux cas se pr´esentent Le premier cas correspond aux syst`emesqui sont eux-mˆemes invariants par rapport aux rotations des coordonn´ees d’es-pace Le syst`eme de la dynamique des gaz eul´erienne est de ce type Dans cecas l’´etude de la stabilit´e en dimension sup´erieure n’apporte pas d’informa-tion suppl´ementaire par rapport `a la dimension un d’espace Le deuxi` eme cas correspond aux syst`emes dont l’invariance par rapport aux rotations descoordonn´ees d’espace est plus subtile `a ´etudier Le syst`eme de la dynamiquedes gaz lagrangienne est de ce type Ces deux cas sont d´etaill´es dans la sectionsuivante
∂ t
u v
Cependant la d´efinition 8 n’est pas n´ecessairement bien adapt´e `a l’´etude
de la stabilit´e lin´eaire en dimension sup´erieure En effet l’approche de stabilit´elin´eaire en dimension un d’espace propos´ee consid`ere des perturbations petites
mais quelconques Voir l’´equation (2.32) Dans le cas o`u des contraintes detype divergence font partie int´egrante du syst`eme, l’´etude des petites per-turbations doit respecter ce principe pour que le sens physique soit correct
´
Enonc´e autrement il nous faudrait alors ajouter des conditions de divergencenulle pour les petites perturbations admissibles, ce qui modifierait bien sˆurl’analyse de stabilit´e du syst`eme en dimension une d’espace Voir la table 2.3
Trang 3728 2 Mod`eles
pour un exemple simple Pour cet exemple on a ∂ x u = 0 ` a t = 0 Comme
∂ t u = 0 alors ∂ x u = 0 pour tout temps t > 0 Donc v(t, x) = v(0, x).
2.5 Exemples de calcul des vitesses d’onde
Trang 38Le syst` eme de St Venant
Lemme 3 Le flux du mod` ele de Saint Venant (2.6) est diff´ erentiable pour
h = 0 Le mod`ele est strictement hyperbolique pour h > 0 Il est lin´eairement fortement mal pos´ e pour h < 0.
Remarquons que h < 0 correspond `a des hauteurs d’eau strictement n´egativesqui n’ont pas de r´ealit´e physique Posons a = h et b = hu Le flux du mod`ele
Pour h > 0 les valeurs sont distinctes donc le syst`eme est strictement
hyper-bolique Finalement h < 0 implique c ∈ iR ∗ Donc les valeurs propres sont
complexes conjugu´ees et le syst`eme est lin´eairement fortement mal pos´e14.
On retiendra que plus la hauteur d’eau h est grande, plus la vitesse c est
grande En supposant que la hauteur d’eau dans l’oc´ean est de 4000 m, onobtient l’ordre de grandeur de la vitesse de propagation des tsunamis dansl’oc´ean
c ≈ √ 9.81 × 4000 ≈ 200ms −1 = 720km h −1 .
La dynamique des gaz compressibles en dimension un
Lemme 4 Soit le syst` eme de la dynamique des gaz compressibles (2.10) avec
la loi de pression de gaz parfait polytropique (2.9) pour une masse volumique positive ou nulle Alors : a) le flux est diff´ erentiable ssi ρ > 0, et b) le mod` ele est strictement hyperbolique pour ε > 0 Il est lin´ eairement fortement mal pos´ e pour ε < 0.
Le signe de la masse volumique ne joue pas de rˆole En effet on peut changer ρ
en−ρ formellement sans probl`eme (avec ρu → −ρu et ρe → −ρe) Cela est dˆu
`
a la loi de gaz parfait Pour d’autres lois d’´etats l’hyperbolicit´e peut d´ependre
14Bien que cela ne corresponde pas `a la d´efinition choisie, nous pouvons ´etudier
la limite de la matrice Jacobienne du syst`eme de St Venant pour h → 0+ Soit
A0= limh→0+A Alors A0= uI d Donc A0 n’est pas diagonalisable et ne peut a
fortiori poss´eder deux vecteurs propres Il s’ensuit que mˆeme en ´etendant la notiond’hyperbolicit´e, on aboutirait `a la mˆeme conclusion : le syst`eme ne poss`ede pas
la propri´et´e de stabilit´e lin´earis´ee de la d´efinition 6 pour h = 0.
Trang 39Pour ε > 0 le syst` eme est strictement hyperbolique et pour ε < 0 il est
lin´eairement fortement mal pos´e16.
Application num´ erique
Pour un gaz parfait on a c =
γ(γ − 1)ε =γp
ρ Cette loi relie 3
gran-deurs macroscopiques ρ, p, c ` a une grandeur γ qui est fonction de la structure
2(A) est la somme des mineurs de taille deux.
16Mˆeme remarque que pour le syst`eme de St Venant des eaux peu profondes Pour
ε = 0 et u = 0 la limite ρ → 0+ de la matrice Jacobienne n’est jamais identique
`
a uI Bien que toutes les valeurs propres tendent vers la mˆeme limite, la matriceJacobienne limite n’est pas proportionnelle `a l’identit´e
Trang 40microscopique du gaz Deux grandeurs macroscopiques ρ et p se mesurent par
des exp´eriences statiques et une c se mesure par une exp´erience dynamique.Cela donne lieu `a une application num´erique La masse volumique de l’air ausol est
La dynamique des gaz compressibles en dimension sup´ erieure
Nous consid´erons le syst`eme de la dynamique des gaz compressible endimension deux d’espace (2.11) et ´etudions la stabilit´e lin´eaire Supposons,comme cela est propos´e `a la section 2.4.2 que la solution soit invariante dans
la direction
y =− sin θx + cos θy.
L’´equation (2.36) s’´ecrit (x = cos θx + sin θy)
⎞
⎟
⎠ = 0.
Il parait judicieux de d´efinir
u θ = cos θu + sin θv, v θ=− sin θu + cos θv.