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Prenons l’intersection de cette tangente avec le plan normal X = 0, nous avons On voit qu’elle a au pointM un point de rebroussement, la tangente de sement étant la normale principale..

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Title: Leçons de Géométrie Supérieure

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*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LEÇONS DE GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE ***

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notes sur la transcription

Ce livre a été réalisé à l’aide d’un manuscrit dactylographié, dont lesimages ont été fournies par le Département des Mathématiques del’Université de Glasgow

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PUBLICATIONS DU LABORATOIRE DE MATHÉMATIQUES

TABLE DES MATIÈRES

Chapitre I Révision des points essentiels de la théorie des Courbes

I Courbes Gauches

1 Trièdre de Serret-Frenet 1

2 Formules de Serret-Frenet 2

3 Courbure et torsion 4

4 Discussion Centre de courbure 5

5 Signe de la torsion Forme de la courbe 6

6 Mouvement du trièdre de Serret-Frenet 7

7 Calcul de la courbure 8

8 Calcul de la torsion 9

9 Sphère osculatrice 10

II Surfaces développables 10 Propriétés générales 11

11 Réciproques 13

12 Surface rectifiante Surface polaire 14

Chapitre II Surfaces 17 1 Courbes tracées sur une surface Longeurs d’arc et angles 17

2 Déformation et représentation conforme 18

3 Les directions conjuguées et la formePl d2x 21

4 Formules fondamentales pour une courbe de la surface 24

Chapitre III Étude des Éléments Fondamentaux des Courbes d’une Surface 29 1 Courbure normale 29

2 Variations de la courbure normale 30

3 Lignes minima 34

4 Lignes asymptotiques 37

5 Surfaces minima 39

6 Lignes courbure 41

7 Courbure géodésique 43

8 Torsion géodésique 46

iii

Chapitre IV Les Six Invariants — La Courbure Totale 51

1 Les six invariants 51

2 Les conditions d’intégrabilité 54

3 Courbure totale 57

4 Coordonnées orthogonales et isothermes 58

5 Relations entre la courbure totale et la courbure géodésique 61

Chapitre V Surfaces Réglées 67 1 Surfaces développables 67

2 Développées des courbes gauches 70

3 Lignes de courbure 71

4 Développement d’une surface développable sur un plan 73

5 Lignes géodésiques d’une surface développable 76

6 Surfaces réglées gauches Trajectoires orthogonales des génératrices 79 7 Cơne directeur Point central Ligne de striction 81

8 Variations du plan tangent le long d’une génératrice 82

9 Élément linéaire 86

10 La forme Ψ et les lignes asymptotiques 90

11 Lignes de courbure 96

12 Centre de courbure géodésique 96

Chapitre VI Congruences de Droites 99 1 Points et plans focaux 99

2 Développables de la congruence 103

3 Sur le point de vue corrélatif 109

4 Détermination des développables d’une congruence 114

Chapitre VII Congruences de Normales 117 1 Propriété caractéristique des congruences de normales 117

2 Relations entre une surface et sa développée 119

3 Étude des surfaces enveloppes de sphères 121

4 Lignes de courbure et lignes asymptotiques 126

5 Lignes de courbure des enveloppes de sphères 128

6 Cas ó une des nappes de la développée est une développable 130

Chapitre VIII Les Congruences de Droites et les Correspondances Entre Deux Surfaces 139 1 Nouvelle représentation des congruences 139

2 Emploi des coordonnées homogènes 140

3 Correspondances spéciales 144

4 Correspondance par plans tangents parallèles 151

Chapitre IX Complexes de Droites 155 1 Éléments fondamentaux d’un complexe de droites 155

2 Surfaces du complexe 157

3 Complexes spéciaux 161

4 Surfaces normales aux droites du complexe 165

TABLE DES MATIÉRES v

1 Généralités sur les complexes algébriques 167

2 Coordonnées homogènes 167

3 Complexe linéaire 171

4 Faisceau de complexes 171

5 Complexes en involution 172

6 Droites conjuguées 174

7 Réseau de complexes 178

8 Courbes du complexe 178

9 Surfaces normales du complexe 181

10 Surfaces réglées du complexe 183

Chapitre XI Transformations Dualistiques Transformation de So-phus Lie 185 1 Éléments et multiplicités de contact 185

2 Transformations de contact 187

3 Transformation de Sophus Lie 191

4 Transformation des droites en sphères 194

5 Transformation des lignes asymptotiques 196

6 Transformations des lignes de courbure 197

Chapitre XII Systèmes Triples Orthogonaux 199 1 Théorème de Dupin 199

2 Équation aux dérivées partielles de Darboux 200

3 Systèmes triples orthogonaux contenant une surface 203

4 Systèmes triples orthogonaux contenant une famille de plans 203

5 Systèmes triples orthogonaux contenant une famille de sphères 204

6 Systèmes triples orthogonaux particuliers 206

Chapitre XIII Congruences de Sphères et Systèmes Cycliques 207 1 Généralités 207

2 Congruences spéciales 209

3 Théorème de Dupin 210

4 Congruence des droites D 213

5 Congruence des droites ∆ 215

6 Le système triple de Ribaucour 216

7 Congruences de cercles et systèmes cycliques 217

8 Surfaces de Weingarten 222

Ces leçons ont été professées en 1905–1906, pour répondre au programmespécial d’Analyse Mathématique de l’Agrégation Elles ont été autographiées à

la demande de mes étudiants, et rédigées par l’un d’eux

Peut-être pourront-elles être utiles aux étudiants désireux de s’initier à lagéométrie supérieure, et leur être une bonne préparation à l’étude des livres de

M Darboux et des mémoires originaux

J’ai supposé connus seulement les principes les plus simples de la théorie ducontact ; j’ai repris les points essentiels de la théorie des courbes gauches et de

la théorie des surfaces, en mettant en évidence le rôle essentiel des formules deFrenet et des deux formes quadratiques différentielles de Gauss

L’objet principal de mes leçons était l’étude des systèmes de droites, etleur application à la théorie des surfaces Il était naturel d’y joindre l’étudedes systèmes de sphères, que j’ai poussée jusqu’aux propriétés élémentaires,

si attrayantes, des systèmes cycliques de Ribaucour J’ai insisté sur la pondance des droites et des sphères, je l’ai éclairée par l’emploi des notionsd’éléments de contact et de multiplicités, qui est également utile dans la théo-rie des congruences de droites ; j’ai montré comment elle se traduisait par latransformation de contact de Lie

corres-J’ai cherché à développer les diverses questions par la voie la plus naturelle

et la plus analytique ; voulant montrer à mes élèves comment la recherche thodique, la discussion approfondie des questions même les plus simples, l’étudeattentive et l’interprétation des résultats conduisent aux conséquences les plusintéressantes

mé-Le 1er Juin 1906

E Vessiot

dzdt

Considérons en un pointM d’une courbe la tangente MT, la normale situéedans le plan osculateur, ou normale principale MN, et la normale MB perpen-diculaire au plan osculateur, ou binormale Ces trois droites forment un trièdretrirectangle que nous appellerons trièdre de Serret ou de Frenet L’une de sesfaces, celle déterminée par la tangente et la normale principale, est le plan os-culateur ; celle déterminée par la normale principale et la binormale est le plannormal ; enfin celle déterminée par la tangente et la binormale s’appelle le planrectifiant

Prenons sur la courbe une origine des arcs quelconques, et un sens des arcscroissants également quelconque La différentielle de l’arc s est donnée par laformule

2

+

dydt

2

+

dzdt

2

et

dxds

2

+

dyds

2

+

dzds

2

= 1,

directeursa00, b00, c00telle que le trièdre constitué par ces trois directions ait même

disposition que le trièdre de coordonnées On a alors

a b c

a0 b0 c0

a00 b00 c00

... da0

ou de Frenet

Courbure et torsion

3 Interprétation de R Considérons le point t de coordonnées a, b, c Lesformules (2) expriment une propriété de la courbe lieu de ces points... tOt0 des

deux tangentes infiniment voisines ; c’est l’angle decontingence ; cette limite s’appelle la courbure de

la courbe au point C ; R est le rayon de courbure... tangentes en t, b aux deux dicatrices sont parallèles la normale principale en M Si v est l’arc de cettedeuxième indicatrice sphérique, on trouvera comme précédemment que

Les deux indicatrices