Zur Geschichte der Theorie der Elliptischen Transcendenten, by Leo doc

Nur durch die an-dauerndste Beharrlichkeit, die den grossen Mathematiker im-mer von Neuem auf den Gegenstand zur ¨uckkommen liess, ge-lang es ihm hier, Schwierigkeiten zu besiegen, welch

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Title: Zur Geschichte der Theorie der Elliptischen Transcendenten

In den Jahren 1826-29

Author: Leo Koenigsberger

Release Date: September 16, 2009 [EBook #30005]

Language: German

Character set encoding: ISO-8859-1

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ELLIPTISCHEN TRANSCENDENTEN ***

produced from images from the Cornell University Library : Historical

Mathematics Monographs collection.)

ANMERKUNGEN ZURTRANSKRIPTION

Zitate wurden im schm¨aleren Block als im Original gesetzt und der folgende Absatz eingezogen, von ganz wenigen Ausnahmen abgesehen.Mehrere heute nicht mehr ¨ubliche franz ¨osische Pluralformen wur-den unver¨andert ¨ubernommen : coefficiens, fondemens, ind´ependans,int´eressans, suivans Außer wenigen trivialen Druckfehlern wurde einmal

nach-»zu« nach »als« ver¨andert :

– und die Aufl ¨osung dieser Gleichung, welche in transcendenter

Form als L ¨osungen die ϕ-Functionen der getheilten Perioden hat,

f ¨uhrt ABEL verm ¨oge allgemeiner Principien, die er f ¨ur die Theorie

der algebraischen Gleichungen entwickelt hat, auf die Aufl ¨osung

ei-ner Gleichung 2n+2ten Grades und von 2n+2 Gleichungen ntenGrades zur ¨uck

»Mais un philosophe comme lui aurait

d ˆu savoir que le but unique de la science,c’est l’honneur de l’esprit humain, et quesous ce titre, une question des nombresvaut autant qu’une question du syst`eme

Veranlasst durch das f ¨unfzigj¨ahrige Jubil¨aum, das in diesem Jahre die

»Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum« von JACOBIfeiern, ren Erscheinen zusammenfiel mit dem Tode ABEL’s, des andern grossenSch ¨opfers der Theorie der Transcendenten, habe ich in einer kurzen freienZeit aus fr ¨uheren Notizen die vorliegende Zusammenstellung gemacht,die vielleicht denen nicht unwillkommen sein wird, welche selbst nichtZeit und Lust haben, die historische Entwicklung dieser mathematischenDisciplin genauer zu verfolgen

de-Dass ich nur die Jahre 1826–29 zugleich mit den dieser Theorie angeh rigen Arbeiten von LEGENDREund GAUSSzum Gegenstande meiner kur-zen Darstellung genommen habe, mag dadurch gerechtfertigt erscheinen,dass nicht bloss die Anf¨ange, sondern ein betr¨achtlicher Theil der ganzengrossen Theorie der elliptischen Transcendenten, wie wir sie jetzt besitzen,dem Inhalte und der Form nach in jenen Jahren geschaffen wurden.Reichenau bei Wien, im August 1879

¨o-Leo Koenigsberger.

gebraischer Irrationalit¨aten, speciell der Quadratwurzeln aus Polynomendritten und vierten Grades waren theils auf die Ermittlung geometrischerBeziehungen gerichtet, welche zwischen den B ¨ogen der Ellipse, der Hy-perbel und anderer durch einfache algebraische Gleichungen definirterCurven bestehen, theils lieferten sie analytische Relationen zwischen denGr¨anzen additiv mit einander verbundener Integrale algebraischer Dif-ferentiale und Reductionsformeln f ¨ur solche Integrale auf Integrale vonQuadratwurzeln gewisser specieller Polynome dritten oder vierten Gra-des In keiner dieser Arbeiten ist jedoch auch nur die Vermuthung zufinden, dass man es hier mit den Anf¨angen einer grossen, in ihrer Fort-bildung die gesammte Analysis beherrschenden Disciplin zu thun ha-

be EULER war der erste, der auf Grund seiner ausgedehnten schen und analytischen Untersuchungen in der Theorie der elliptischenIntegrale und nach Auffindung seines ber ¨uhmten Additionstheorems die-ser Transcendenten mit der ihm eigenen mathematischen Divinationsgabevoraussah, dass mit H ¨ulfe einer passenden Bezeichnung die Berechnungder Ellipsenb ¨ogen und anderer analoger Transcendenten von fast ebensoallgemeiner Anwendung werden k ¨onnte als die der Kreisb ¨ogen und Lo-garithmen, und LEGENDRE, der sich vom Jahre 1786 an anhaltend mit denhierher geh ¨origen Untersuchungen besch¨aftigte, rechtfertigte diese Vor-aussagung

geometri-Derselbe ver ¨offentlichte vor der Zusammenfassung seiner Resultate inder Theorie der elliptischen Integrale einige gr ¨ossere Arbeiten ¨uber diesenGegenstand:

1) M´emoire sur les int´egrations par d’arcs d’ellipse (m´em del’Acad des Sciences de Paris 1786), I, II,

worin nicht nur die durch die Arbeiten von FAGNANO, EULERund LAN DEN bekannten S¨atze bewiesen wurden, sondern zugleich schon ein Be-ginn der Transformationstheorie der elliptischen Integrale in der analy-tischen Auffassung dieser S¨atze sich kundgab, indem gezeigt wird, wieman die Rectification der Ellipse auf die von zwei andern aus einer un-endlichen Reihe willk ¨uhrlich gew¨ahlten Ellipsen reduciren kann, und2) M´emoire sur les Transcendantes elliptiques (Paris 1793),

-in welchem bereits die E-intheilung der elliptischen Integrale -in solche schiedener Gattungen, die Reduction der Integrale der einzelnen Gattun-gen auf ihre einfachsten Normalformen und die Auswerthung der ellipti-schen Integrale durch eine m ¨oglichst genaue Ann¨aherung gegeben ist

ver-LEGENDREfasste sodann alle diese Untersuchungen in dem Werke:Exercices de calcul int´egral sur divers ordres de Transcendantes etsur les Quadratures (Paris 1811–19)

und sp¨ater in dem

Trait´e des fonctions elliptiques et des int´egrales Eul´eriennes ris 1825–26, 2 vols.)

(Pa-zusammen, welches letztere Werk sich im Wesentlichen durch neue tate nur in den Cap 28, 29, 30, 31, vor allem durch eine neue Modulnkettevon dem ersteren unterscheidet

Resul-Wenn auch das Erscheinen und Bekanntwerden des trait´e schon mitden ersten Arbeiten ABEL’s und JACOBI’s in der Theorie der elliptischenTranscendenten zusammenf¨allt, so ziehen wir es doch vor, schon an dieserStelle von jenem grossen Werke zu reden, weil man einerseits den trait´eals das Sammelwerk der Entdeckungen LEGENDRE’s in der Theorie derelliptischen Integrale zu betrachten hat, andererseits aber auch, wie LE-GENDREin seinem Briefe vom 30 November 1827 an JACOBIangiebt, dererste Theil desselben bereits 1825 gedruckt und am 12 September 1825 derPariser Akademie vorgelegt, der zweite Theil schon 1826 gedruckt, alsovor dem Eintreten der beiden grossen Mitarbeiter in der Theorie der el-liptischen Transcendenten vollendet war; man wird sich bei Besprechungder weiteren Entwicklung der Theorie jedoch stets zu vergegenw¨artigenhaben, dass ABEL und JACOBI zur Zeit der Ver ¨offentlichung ihrer erstenArbeiten, wie noch sp¨ater n¨aher ausgef ¨uhrt werden soll, nur die exercicesund nicht den trait´e von LEGENDREkannten, also nicht im Besitze grade je-ner Zus¨atze zu den exercices waren, welche in der That einen wesentlichenFortschritt in der Theorie kennzeichneten und in der verallgemeinertenAuffassung von ABEL und JACOBI f ¨ur den ganzen weiteren Verlauf derTranscendentenlehre von so grosser Bedeutung werden sollten

»Es ist LEGENDRE’s unverg¨anglicher Ruhm, – so sirt DIRICHLETin seiner Ged¨achtnissrede auf JACOBIdas gros-

charakteri-se Werk LEGENDRE’s – in den eben erw¨ahnten Entdeckungen(von FAGNANO, EULER, LANDEN, LAGRANGE) die Keime ei-nes wichtigen Zweiges der Analysis erkannt und durch die Ar-beit eines halben Lebens auf diesen Grundlagen eine selbst¨an-dige Theorie errichtet zu haben, welche alle Integrale umfasst,

in denen keine andere Irrationalit¨at enthalten ist als eine dratwurzel, unter welcher die Ver¨anderliche den vierten Grad

Qua-nicht ¨ubersteigt Schon EULERhatte bemerkt, mit welchen dificationen sein Satz auf solche Integrale ausgedehnt wer-den kann; LEGENDRE, indem er von dem gl ¨ucklichen Gedan-ken ausging, alle diese Integrale auf feste canonische Formenzur ¨uckzuf ¨uhren, gelangte zu der f ¨ur die Ausbildung der Theo-rie so wichtig gewordenen Erkenntniss, dass sie in drei wesent-lich verschiedene Gattungen zerfallen Indem er dann jede Gat-tung einer sorgf¨altigen Untersuchung unterwarf, entdeckte erviele ihrer wichtigsten Eigenschaften, von welchen namentlichdie, welche der dritten Gattung zukommen, sehr verborgenund ungemein schwer zug¨anglich waren Nur durch die an-dauerndste Beharrlichkeit, die den grossen Mathematiker im-mer von Neuem auf den Gegenstand zur ¨uckkommen liess, ge-lang es ihm hier, Schwierigkeiten zu besiegen, welche mit den

Mo-H ¨ulfsmitteln, die ihm zu Gebote standen, kaum ¨uberwindlichscheinen mussten.«

Die nachfolgende Darstellung der Arbeiten von ABEL und JACOBImacht es n ¨othig, wenn auch nur kurz, auf eine Analyse der von LEGENDRE

in dem ersten Theile seines Werkes niedergelegten Untersuchungen zugehen, um so mehr, als wir danach den unmittelbaren Einfluss dieserUntersuchungen auf die von ABEL und JACOBI bei der Behandlung derelliptischen Transcendenten befolgten Methoden besser werden wahrneh-men und sch¨atzen k ¨onnen

ein-Nachdem LEGENDREnachgewiesen, dass das Integral

R ,worin P eine rationale Function von x und

x = p+qy

1+y

die ungraden Potenzen der Variablen des Polynoms R2 heraus, und f ¨uhrtdie leicht herstellbare Form des allgemeinen elliptischen Integrales

q

1−c2sin2ϕ

von einem algebraischen Theile abgesehen auf die drei Normalformen der

»elliptischen Functionen oder Transcendenten«

Die zun¨achst folgenden Untersuchungen LEGENDRE’s sind dem ditionstheorem der elliptischen Integrale gewidmet, jener grossen und sofolgenreichen Entdeckung EULER’s, die LEGENDRE in der Einleitung zuseinem trait´e mit den Worten charakterisirt:

Ad-»EULERpar une combinaison qu’on peut regarder comme fortheureuse, quoique ces hazards n’arrivent qu’`a ceux qui saventles faire naˆıtre, trouva l’int´egrale alg´ebrique compl`ete d’une

´equation diff´erentielle compos´ee de deux termes s´epar´es, maissemblables, dont chacun n’est int´egrable que par des arcs desections coniques Cette d´ecouverte importante donna lieu `ason auteur de comparer d’une mani`ere plus g´en´erale qu’on nel’avait fait avant lui, non-seulement les arcs d’une mˆeme el-lipse, d’une mˆeme hyperbole, ou d’une mˆeme lemniscate, mais

en g´en´eral toutes les transcendantes contenues dans la formule

R P dx

R , o `u P est une fonction rationelle de x, et R la racinequarr´ee d’un polynome en x du quatri`eme degr´e.«

F ¨ur die Integrale erster Gattung wird der EULER’schen chung die Integralgleichung

al-LAGRANGE (M´elanges de la soci´et´e royale de Turin, tome IV), welcher dieF¨alle der algebraischen Integration der Gleichung

k ¨onnen, wie es ihm denn ¨uberhaupt sehr zweifelhaft erschien, ob mit zweiTermen allein die Verallgemeinerung der EULER’schen Gleichung nachirgend einer Richtung hin m ¨oglich sei Man sieht, dass LEGENDRE weitvon der Erkenntniss entfernt war, dass sehr allgemeine algebraische Be-ziehungen f ¨ur in einander transformirbare elliptische Differentialien exi-stiren, und dass ihm ebenso die Existenz des ber ¨uhmten Theorems, durchwelches ABEL sp¨ater der Integralrechnung eine so grosse und unerwar-tete Ausdehnung gegeben, und mit dessen Geschichte wir uns sp¨ater zubesch¨aftigen haben werden, v ¨ollig verborgen geblieben

Das Additionstheorem der elliptischen Integrale erster Gattung f ¨uhrte

LEGENDREzur Behandlung der Multiplicationsgleichung

F(ϕn) = nF(ϕ),welche er durch die Recursionsformel

sin ϕn+ 1+sin ϕn− 1 = 2∆ cos ϕ sin ϕn

1−c2sin2ϕsin2ϕn

aufl ¨ost Die Division des unbestimmten Integrales erster Gattung wirdauf die Aufl ¨osung einer Gleichung n2ten Grades, die Division f ¨ur dasvollst¨andige Integral F1auf eine Gleichung n22−1tenGrades zur ¨uckgef ¨uhrt;

f ¨ur die speciellen F¨alle, in denen c2 = 2(√

2−1), c2 = 12 und c2 =

1

4(2±√3) ist, und die sp¨ater durch die Untersuchungen von ABEL

ei-ne hervorragende Bedeutung bekamen, l ¨ost LEGENDRE das Problem derDreitheilung des vollst¨andigen Integrales mit H ¨ulfe von Quadratwurzeln.Das Additionstheorem der elliptischen Integrale zweiter Gattung giebt

LEGENDRE Gelegenheit, die l¨angst bekannten S¨atze ¨uber Ellipsen undHyperbelb ¨ogen aus einem einheitlichen analytischen Gesichtspunkte her-zuleiten, und die Untersuchung der Beziehungen der vollst¨andigen Inte-grale zweiter Gattung zu denen erster Gattung f ¨uhrt ihn zu der nach ihmbenannten Relation

FE0−F0E−FF0 = π

2,welche erst nach einem halben Jahrhundert eine Erweiterung auf hyperel-liptische Integrale in dem ber ¨uhmten Braunsberger Schulprogramm durch

WEIERSTRASSerhalten und sodann von RIEMANNmit H ¨ulfe allgemeinerfunctionentheoretischer Betrachtungen auf alle ABEL’schen Integrale aus-gedehnt worden ist Zugleich entwickelt LEGENDREauch f ¨ur die vollst¨an-digen Integrale erster und zweiter Gattung Differentialgleichungen zwei-ter Ordnung, deren allgemeine Integrale er angiebt, und die sp¨ater von

JACOBIweiter verwerthet wurden

Die Untersuchungen ¨uber die Integrale erster und zweiter Gattungschliessen mit der Reihenentwicklung der vollst¨andigen Integrale ab.Weit gr ¨ossere Schwierigkeiten bereiten LEGENDRE die Integrale drit-ter Gattung verm ¨oge des Hinzutretens einer dritten sie bestimmenden

Gr ¨osse, des Parameters, sowohl bei der Aufstellung der reme f ¨ur das Argument und den Parameter, als auch bei der numerischenBerechnung derselben, da f ¨ur dieselben Tafeln mit doppeltem Eingangeerst wieder anwendbar wurden durch die sp¨ater zu besprechende, grosseEntdeckung JACOBI’s, der zufolge die Integrale dritter Gattung sich durch

Additionstheo-ϑ-Functionen ausdr ¨ucken liessen, in deren Argument das zugeh ¨orige tegral erster Gattung eintritt

In-Nachdem LEGENDREdie Beziehung entwickelt, die zwischen zwei liptischen Integralen dritter Gattung mit dem Parameter n und dem Para-meter cn2 besteht, und die sich in zwei irreductible F¨alle sondert, je nach-dem n>0 oder n<0 und(n) ≥c2, und n <0 und(n) < c2ist – wonachdie beiden zu diesen reellen Parametern geh ¨origen elliptischen Integra-

el-le dritter Gattung sich von einem Integrael-le erster Gattung abgesehen im

ersten Falle um eine arc tg-Function, im zweiten um einen Logarithmusunterscheiden – wird das Additionstheorem f ¨ur die Integrale dritter Gat-tung und die allgemeinen elliptischen Integrale hergestellt.

Hier tritt nun in dem grossen Werke eine neue, von allem fr ¨uheren sentlich verschiedene und f ¨ur die weitere Entwicklung der Theorie derTranscendenten so folgenreiche Anschauung zu Tage LEGENDREwendetsich der Untersuchung der LANDEN’schen Transformation zu, nach wel-cher die Substitution sin(2ϕ0−ϕ) = c sin ϕ die Beziehung ergiebt

we-F(c0, ϕ0) = 1+c

2 F(c, ϕ),wenn c0 = 2

√ c

1 + c gesetzt ist, und stellt eine entsprechende Relation f ¨ur die

zu dem urspr ¨unglichen und transformirten Integralmodul geh ¨origen liptischen Integrale zweiter Gattung auf; er zeigt, dass sich aus dieser ein-fachen analytischen Beziehung die S¨atze von LANDEN, wonach sich einHyperbelbogen durch zwei Ellipsenb ¨ogen ausdr ¨ucken l¨asst etc., unmit-telbar ergeben, dass aber weit wichtiger als alle diese geometrischen Fol-gerungen das in der erw¨ahnten Substitution liegende Transformations-princip sei, wonach durch wiederholte Anwendung dieser Substitutioneine Kette von unendlich vielen Moduln hergestellt werden kann, wel-che Veranlassung geben zu einfachen Methoden f ¨ur die Berechnung dervollst¨andigen und unvollst¨andigen elliptischen Integrale erster Gattung,

el-zu Ausdr ¨ucken, wie z B

»Mais beaucoup d’autres substitutions peuvent conduire `a desemblables r´esultats, et quand on consid`ere combien de trans-formations analytiques ont ´et´e employ´ees par MACLAURINet

D’ALEMBERT, dans leurs recherches sur les int´egrales qui vent ˆetre exprim´ees par des arcs de sections coniques, on alieu de s’´etonner que la transformation, qui met en ´evidenceles propri´et´es nombreuses de l’´echelle des modules, leur ait

peu-enti`erement ´echapp´e et que cette d´ecouverte ait ´et´e r´eserv´ee

`a LANDENqui d’ailleurs n’en a tir´e qu’un m´ediocre parti et quin’a pas mˆeme vu qu’elle fournissait une m´ethode tr`es simplepour calculer par approximation les arcs des sections coniques

On s’´etonnera moins que la mˆeme d´ecouverte ait ´echapp´e `a

EULER, si on observe que la belle int´egrale due `a ce grandg´eom`etre l’a conduit `a comparer entre elles les diverses valeursd’une mˆeme transcendante, comme on compare les arcs d’unemˆeme courbe, ce qu’il a fait avec une ´el´egance et une g´en´eralit´equi ne laissent rien `a d´esirer Mais on ne voit dans aucun de sesM´emoires, qu’il ait fait varier les constantes ou les param`etres

de ses fonctions, et qu’il ait ainsi pass´e d’une courbe `a uneautre, comme on le fait dans les comparaisons qui d´ependent

de l’´echelle des modules.«

Und gleichsam zur Entschuldigung des von ihm hochverehrten EULER

f ¨ugt LEGENDREsp¨ater hinzu:

»En terminant ces observations nous signalerons comme unfait digne de remarque, qu’EULER n’ait rien ´ecrit `a l’occasion

du M´emoire de LANDEN imprim´e dans les Transactions losophiques de 1775, d’o `u il faut conclure que ce M´emoiren’est pas parvenu `a sa connaissance ; car dans la hypoth`esecontraire, cet illustre G´eom`etre aurait sans doute, suivant sonusage, publi´e ses propres r´eflexions sur une d´ecouverte analy-tique qui devait particuli`erement l’int´eresser.«

phi-Einer Fortsetzung dieser der Transformationstheorie angeh ¨origen tersuchungen werden wir schon in einem der n¨achsten Kapitel des trait´ebegegnen; zun¨achst wird jedoch eine Beziehung zwischen zwei Integra-len dritter Gattung mit verschiedenen reellen Parametern aufgestellt, nachwelcher sich dieselben nur um Integrale erster und zweiter Gattung un-terscheiden, und nach Zur ¨uckf ¨uhrung der Integrale dritter Gattung mitimagin¨arem Parameter auf zwei ¨ahnliche Integrale mit reellem Parameter,durch welche der eben ausgesprochene Satz allgemeine G ¨ultigkeit erlangt,die noch nachher zu besprechende Relation hergeleitet, welche als der Satzvon der Vertauschung des Arguments und des Parameters bezeichnet undsp¨ater auf alle ABEL’schen Integrale ausgedehnt wurde

Un-Die behandelten Substitutionen gaben LEGENDRE Gelegenheit,

eini-ge Integrale mit dritten oder vierten Wurzeln aus Polynomen zweitenund dritten Grades, sowie mit Quadratwurzeln aus gewissen Polynomen

h ¨oheren Grades auf elliptische Integrale zu reduciren, Untersuchungen,die sp¨ater in allgemeinerer Form wieder aufgenommen werden, nachdemerst die Theorie der Transformation eine wesentliche Erweiterung erfah-ren Unter anderem hatte LEGENDREdas Integral

3

√

1−z3
2auf doppelte Art auf ein elliptisches Integral reducirt und dadurch die Be-ziehung gefunden

F(b, ω) =√

3·F(c, ϕ),worin b =√

cc1 = 1 ergab und somit eine neue kette und neue Ann¨aherungsformeln f ¨ur die Berechnung der elliptischenIntegrale lieferte LEGENDREerkannte sogleich die Wichtigkeit dieser Ent-deckung, sah aber das Eigenth ¨umliche seines Resultates nicht in der sp¨atervon JACOBI aufgedeckten analytischen Bedeutung f ¨ur die Umkehrungs-function des elliptischen Integrales erster Gattung, sondern vielmehr inseiner Beziehung zur Integralrechnung, in seiner Bedeutung f ¨ur die nu-merische Auswerthung der elliptischen Integrale und vorz ¨uglich in demmerkw ¨urdigen Umstande, dass man durch eine unendliche Reihe vonSubstitutionen immer wieder dieselbe analytische Form des vorgelegtenIntegrales erh¨alt:

Moduln-»c’est sans doute un r´esultat tr`es remarquable, que cette titude infinie de transformations, qu’on peut faire subir `a lamˆeme fonction F(c, ϕ), sans changer sa nature et en conservant

mul-le mˆeme rapport entre la fonction et sa transform´ee pour toutesles valeurs de l’amplitude ; on chercherait vainement dans lavari´et´e infinie des transcendantes un second exemple d’unefonction qui se reproduirait sous tant de formes diff´erentes et `alaquelle on pourrait appliquer plus justement qu’`a la spiralelogarithmique, la devise que lui avait donn´e JACQUES BER-NOULLI: eadem mutata resurgit«

Endlich ist noch, indem aus zwei Transformationen dritten Grades dieMultiplication mit dem Factor 3 zusammengesetzt wird, – ein Weg, denauch JACOBI, ohne die Methode von LEGENDRE zu kennen, sp¨ater zurVerallgemeinerung der LEGENDRE’schen Untersuchungen eingeschlagen– nachgewiesen, dass die Aufl ¨osung der Gleichung 9ten Grades f ¨ur dieDreitheilung auf die Aufl ¨osung von zwei Gleichungen dritten Grades zu-

r ¨uckgef ¨uhrt werden kann, ein Problem, das wiederum von ABEL sp¨ateraufgenommen und in seiner ganzen Allgemeinheit gel ¨ost wurde

Nunmehr werden ganze Klassen von Integralen h ¨oherer algebraischerIrrationalit¨aten untersucht, die auf elliptische Integrale reducirbar sind,und von denen vorz ¨uglich diejenigen, welche dritte oder vierte Wurzelnaus Polynomen dritten oder vierten Grades oder Quadratwurzeln aus re-ciproken Polynomen sechsten Grades enthalten, sp¨ater f ¨ur die allgemeineTheorie der Integrale von Bedeutung geworden sind

Im Uebrigen enth¨alt der erste Band des trait´e abgesehen von den wicklungen der elliptischen Integrale nach den sinus und cosinus der Am-plitude und von der Berechnung einiger bestimmter Integrale, die durchelliptische Integrale ausgedr ¨uckt werden k ¨onnen, noch eine Reihe von An-wendungen der entwickelten Theorie der elliptischen Integrale auf die Be-handlung von geometrischen und mechanischen Problemen, die uns imFolgenden nicht interessiren

Ent-Der zweite Theil liefert eine Theorie der EULER’schen Integrale undder Kugelfunctionen, »damit das neue Werk als eine ziemlich vollst¨andigeBearbeitung der n¨achst den Kreisb ¨ogen und den Logarithmen bekann-testen und n ¨utzlichsten Transcendenten betrachtet werden k ¨onne,« undgiebt ausserdem Methoden f ¨ur die Berechnung der Integrale erster undzweiter Gattung und auf Grund dieser construirte Tafeln:

»pour que l’usage des Fonctions elliptiques puisse ˆetre duit dans l’analyse `a l’instar des Fonctions circulaires et lo-garithmiques Il ne peut ˆetre question de r´eduire en tables lesfonctions de la troisi`eme esp`ece, puisqu’elles contiennent deuxconstantes arbitraires outre la variable principale, et qu’ainsi ilfaudrait que ces tables fussent `a triple entr´ee, chose tout-`a-faitinex´ecutable«

intro-Das grosse Werk LEGENDRE’s besitzt nicht bloss dadurch seinen Werthund seine bleibende Bedeutung, dass es der Theorie der elliptischen Inte-grale eine selbst¨andige Stellung in der Analysis geschaffen und die Ver-anlassung zur Gr ¨undung der Lehre von den Transcendenten und der all-gemeinen Functionentheorie geworden, sondern dass in demselben auch

eine grosse Reihe von Gesichtspunkten gegeben, Resultate hergeleitet undMethoden entwickelt sind, die ein bleibender Besitz der Analysis gewor-den und genau in der von LEGENDRE gegebenen Form die Ausgangs-punkte f ¨ur die sp¨ateren Arbeiten ABEL’s und JACOBI’s gebildet haben.Ich hebe dies hier besonders hervor, weil eine Aeusserung JACOBI’s, dieuns DIRICHLET berichtet, leicht zu Missverst¨andnissen Veranlassung ge-ben kann; JACOBI antwortete einem Freunde, der ihn eines Tages auffal-lend verstimmt fand und nach dem Grunde dieser Verstimmung fragte:

»Sie sehen mich eben im Begriff, dieses Buch (LEGENDRE’s exercices) aufdie Bibliothek zur ¨uckzuschicken, mit welchem ich entschiedenes Ungl ¨uckhabe Wenn ich sonst ein bedeutendes Werk studirt habe, hat es mich im-mer zu eignen Gedanken angeregt und ist dabei immer etwas f ¨ur michabgefallen Diesmal bin ich ganz leer ausgegangen und nicht zum gering-sten Einfall inspirirt worden«

Es war eben das Fremdartige des Stoffes, das LEGENDRE l¨anger alszwanzig Jahre hindurch keinen Mitarbeiter in diesem Zweige der Ana-lysis finden liess

»Apr`es m’ˆetre occup´e pendant un grand nombre d’ann´ees, sagt

LEGENDRE in der Vorrede zum ersten Supplement des trait´e,

de la th´eorie des fonctions elliptiques, dont l’immortel EU LER avait pos´e les fondemens, j’ai cru devoir rassembler lesr´esultats de ce long travail dans un Trait´e, qui a ´et´e rendu pu-blic au mois de janvier 1827 Jusque l`a les g´eom`etres n’avaientpris presque aucune part `a ce genre de recherches ; mais `apeine mon ouvrage avait-il vu le jour, `a peine son titre pouvait-

-il ˆetre connu des savans ´etrangers, que j’appris avec autantd’´etonnement que de satisfaction, que deux jeunes g´eom`etres,

M M JACOBI (C.–G.–J.) de Koenigsberg et ABEL de nia, avaient r´eussi, par leurs travaux particuliers, `a perfection-ner consid´erablement la th´eorie des fonctions elliptiques dansses points les plus ´elev´es.«

Christia-Und ABEL und JACOBI haben f ¨ur ihre Arbeiten, wie schon oben vorgehoben, nicht nur Ankn ¨upfungspunkte an die LEGENDRE’schen Un-tersuchungen gefunden, sondern eine Reihe von Methoden und Gesichts-punkten aus dem trait´e von LEGENDRE entnehmen k ¨onnen, auf Grundderen sie freilich mit Hinzuf ¨ugung grosser und ¨uberraschender Gedan-ken, neuer und ¨uberaus fruchtbarer Methoden den gewaltigen und unge-ahnten Ausbau der Theorie der elliptischen Transcendenten bewerkstel-

her-ligt haben Dies hat aber auch JACOBI nachher selbst in vollem Umfangeanerkannt; er schreibt am 27 Mai 1832 an LEGENDRE:

»dans une annonce que j’en ai faite `a la fin du huiti`eme volume

de M CRELLE, j’ai cherch´e `a relever les m´erites imp´erissables

du G´eom`etre qui, outre les d´ecouvertes nombreuses et portantes dont il a enrichi la science, est parvenu `a fonderdeux disciplines grandes et ´etendus par les travaux glorieux

im-de sa vie, lesquelles formeront d´esormais l’α et l’ω im-de toute

´etude math´ematique J’ai profit´e en mˆeme temps de cette casion pour parler d’ABELet de son grand th´eor`eme, que vousavez encore le m´erite d’avoir approfondi le premier, et d’avoirmontr´e `a la post´erit´e que son d´eveloppement est la grandetˆache qui lui reste `a remplir «

oc-Es ist interessant, ¨uber die in den exercices vereinigten Untersuchungen

LEGENDRE’s einige Worte aus dem Munde des im Lobe nie lichen Mathematikers zu vernehmen, der wie kein anderer competent war,

¨uberschw¨ang-¨uber die Bedeutung der in der Theorie der elliptischen Transcendenten machten Entdeckungen ein Urtheil abzugeben; in einem Briefe von GAUSS

ge-an SCHUMACHERheisst es:

»Geneigt, wie ich von jeher gewesen bin, jeden neuen len oder genialen Gedanken mit Liebe aufzunehmen∗), wurdeich von der wirklich neuen Idee in Mossotis Aufsatz bei meinerersten Lecture frappirt

originel-∗)Ich brauche Ihnen wohl nicht zu sagen, dass die neuliche liche Recension von LEGENDRE’s Exercices de calcul Int´egral in unseren

wunder-G A (G ¨ott gel Anz 1817 Aug 14) nicht von mir ist, da dieses Werk

so manches der oben erw¨ahnten Art enth¨alt.«

Wollte ich nunmehr streng historisch verfahren, so m ¨usste ich nach derBesprechung des LEGENDRE’schen trait´e an der Hand der aus dem Nach-lasse von GAUSSver ¨offentlichten Untersuchungen aus der Theorie der el-liptischen Transcendenten, die fast s¨ammtlich aus einer viel fr ¨uheren Zeitals die Entdeckungen ABEL’s und JACOBI’s, ja selbst als ein Theil derer von

LEGENDRE stammen, die Theorie, wie sie sich GAUSS zum grossen Theilschon am Ende des vorigen Jahrhunderts aufgebaut hatte, zu entwickelnsuchen; ich ziehe es jedoch vor, einerseits im Interesse der gr ¨osseren Klar-heit in der Darlegung der verschiedenen Theile der Theorie der ellipti-schen Transcendenten, andererseits um die gewaltige, das ganze Gebiet

der Transcendenten umfassende Ausdehnung der GAUSS’schen

Resulta-te deutlicher hervortreResulta-ten zu lassen, die UnResulta-tersuchungen von GAUSS erstnach Besprechung der Arbeiten von ABEL und JACOBI darzulegen, undsomit eine Vergleichung anstellen zu k ¨onnen zwischen dem Umfange derLeistungen und der Tragweite der Methoden dieser drei grossen Mathe-matiker unseres Jahrhunderts Doch muss jedenfalls schon hier auf die be-kannte Stelle in den im Jahre 1801 ver ¨offentlichten »disquisitiones arithme-ticae« hingewiesen werden, welche den Mathematikern die Richtung der

GAUSS’schen Untersuchungen in der Theorie der elliptischen Integrale zuerkennen gab und ABEL vielleicht sogar den Weg vorzeichnete, auf wel-chem er die algebraischen Theile der elliptischen Transcendenten ausbau-te; sie lautet:

»Ceterum principia theoriae, quam exponere aggredimur,

mul-to latius patent, quam hic extenduntur Namque non solum adfunctiones circulares sed pari successu ad multas alias functio-nes transcendentes applicari possunt, e g ad eas, quae ab inte-grali R √dx

1 − x 4 pendent, praetereaque etiam ad varia tiarum genera: sed quoniam de illis functionibus transcenden-tibus amplum opus peculiare paramus, de congruentiis autem

congruen-in contcongruen-inuatione disquisitionum arithmeticarum copiose tabitur, hoc loco solas functiones circulares considerare visumest Imo has quoque, quas summa generalitate amplecti liceret,per subsidia in art sq exponenda ad casum simplicissimumreducemus, tum brevitati consulentes, tum ut principia planenova huius theoriae eo facilius intelligantur;«

trac-und es mag zur W ¨urdigung der Bedeutung dieser Stelle auf die Wortehingewiesen werden, welche lange vor der Ver ¨offentlichung des GAUSS’-

schen Nachlasses aus der Theorie der elliptischen Functionen von dem

Mathematiker gesprochen worden, der auf dem andern grossen Gebieteder Mathematik, welches ebenfalls LEGENDREzu einer selbst¨andigen Dis-ciplin gemacht und welches gleichfalls GAUSSzu einer ungeahnten H ¨oheund Ausdehnung erhoben, ein w ¨urdiger Nachfolger dieser beiden gros-sen Mathematiker gewesen ist:

»In der Einleitung zum letzten Abschnitte der disquis arithm.,welcher der Kreistheilung gewidmet ist, sagt DIRICHLETin sei-ner Ged¨achtnissrede auf JACOBI, hatte GAUSSim Vorbeigehenbemerkt, dass dasselbe Princip, worauf seine Kreistheilung be-ruht, auch auf die Theilung der Lemniscate anwendbar sei;

und in der That liegt das GAUSS’sche Princip, nach welchemdie Wurzeln der zu l ¨osenden Gleichung so in einen Cyclus zubringen sind, dass jede von der vorhergehenden auf dieselbeWeise abh¨angt, der Abhandlung ABELs ¨uber die Theilung derLemniscate wesentlich zu Grunde Wenn aber f ¨ur die Kreist-heilung l¨angst bekannte Eigenschaften der trigonometrischenFunctionen gen ¨ugten, um die Wurzeln dem GAUSS’schen Prin-cip gem¨ass zu ordnen, so war f ¨ur den Fall der Lemniscate zueiner ¨ahnlichen Anordnung, ja um nur die M ¨oglichkeit einersolchen zu erkennen, eine Einsicht in die Natur der Wurzelnerforderlich, welche nur das Princip der doppelten Periodi-cit¨at gew¨ahren konnte Die vorher erw¨ahnte Aeusserung ist al-

so durch ABEL’s Abhandlung zu einem unwidersprechlichenZeugnisse geworden, dass GAUSS seiner Zeit weit vorausei-lend, schon zu Anfang des Jahrhunderts, das Princip der dop-pelten Periode erkannt hatte Dieses Zeugniss ist jedoch erstdurch die sp¨atere Arbeit ABEL’s bekannt geworden und thutdaher seinem und JACOBI’s Anrecht an diese Erfindung keinenAbbruch«

Bei der folgenden Darstellung der in den Jahren 1826–29 von ABELund JACOBI in der Theorie der elliptischen Transcendenten gemachtenEntdeckungen, welche den eigentlichen Gegenstand dieser Bl¨atter bildensoll, werde ich die historische Folge ziemlich streng festzuhalten suchen,

um einerseits den stetigen Fortschritt der beiden genannten Mathematiker

in der Bew¨altigung jener schwierigen analytischen Aufgaben, welche, ummich einer Wendung RICHELOT’s zu bedienen, diesem Jahrhundert zur

L ¨osung anheimfielen, besser verfolgen, andererseits aber auch die seitigen Beziehungen der Arbeiten dieser beiden Mathematiker zu einan-der klarer hervortreten lassen zu k ¨onnen

gegen-Zuvor mag nur noch in Betreff der im Folgenden gebrauchten nungen bemerkt werden, dass die Unterscheidung zwischen elliptischenIntegralen und elliptischen Functionen, wie sie JACOBI in die Analysiseingef ¨uhrt, und wie sie jetzt seit nunmehr 50 Jahren allgemein ¨ublich ist,gleich vom Beginne der nachfolgenden Darstellung an festgehalten wer-den soll, wenn auch gerade in der Zeit, mit welcher sich diese Bl¨atterbesch¨aftigen, eine Einigung der Mathematiker in der Wahl der Worte undBezeichnungen nicht erfolgt war Wir wissen aus dem nunmehr ver ¨offent-lichten Briefwechsel zwischen LEGENDRE und JACOBI, wie entschiedenersterer sich dagegen str¨aubte, dass die Mathematiker von der durch sei-

Benen-ne Schriften ¨ublich gewordeBenen-nen BeBenen-nennung und Bezeichnung abgingen;

»Je devrais borner l`a ma lettre,« schreibt LEGENDREam 16 Juli

1829 nach Ver ¨offentlichung der Fundamenta nova an JACOBI, »et

ne vous point parler des changements de nomenclature quevous proposez dans votre art 17 pag 31 ; mais comme d’autrespersonnes pourraient vous repr´esenter qu’en cela vous avezfait une chose qui doit m’ˆetre d´esagr´eable, je ne vois pas pour-quoi je vous cacherais ce que je pense de cette proposition Jevous dirai donc franchement que je n’approuve pas votre id´ee

et que je ne vois pas de quelle utilit´e elle peut ˆetre pour vous etpour la science La plus simple des fonctions elliptiques savoirl’int´egraleR √ dϕ

1 −κ 2 sin2ϕ jouit de tant et de si belles propri´et´es,consid´er´ee seule, elle est li´ee par de si beaux rapports avec lesdeux autres fonctions dites de la seconde et de la troisi`emeesp`ece que l’ensemble de ces trois fonctions forme un syst`emecomplet auquel on pourrait donner un autre nom que celui

de fonctions elliptiques, mais dont l’existence est ind´ependante

de toute autre fonction La nomenclature m´ethodique que j’ai

propos´ee des 1793 dans mon m´emoire sur les transcendantes

elliptiques a ´et´e adopt´ee g´en´eralement, vous l’avez trouv´ee

´etablie ; quelles sont donc vos raisons pour vous ´ecarter del’usage g´en´eral ? Vous faites schisme avec M ABELet avec moi,vous faites schisme avec vous-mˆeme, puisqu’ apr`es avoir ap-

pel´e fonctions elliptiques les sinus, cosinus et autres fonctions

trigonom´etriques de l’amplitude vous ˆetes encore oblig´e

d’ap-peler fonctions de troisi`eme esp`ece celles que je d´esignes ous

le mˆeme nom N’est ce pas que veut dire le titre de l’art 56pag 160 ? Pourquoi d´esignez-vous comme moi la fonction de

3eesp`ece tant ˆot par Π(u, a), tant ˆot par Π(u, a+K0,κ0)? Quelleliaison y a-t-il entre ces fonctions et la premi`ere qui n’est plussuivant vous qu’un argument de fonction ? Je vous laisse `a ex-pliquer toutes ces choses Du reste je vous fait part confidentiel-lement de ces observations don’t vous ferez tel usage que vousvoudrez et auxquelles je ne donnerai jamais aucune publicit´e

Il me suffira de vous avoir t´emoign´e ma surprise sur venance et la bizarrerie de votre id´ee ; elle n’alt´erera en rien lessentimens d’estime et d’affection que j’ai conc¸us pour vous etdont je vous renouvelle l’assurance«

l’incon-JACOBI, auf der Reise nach Paris begriffen, sucht sich in der Antwortvom 19 August 1829 von Frankfurt aus mit den Worten zu rechtfertigen:

»Il me fallait absolument une d´enomination pour les tions sin am, cos am, etc., dont les propri´et´es r´epondent par-faitement `a celles des fonctions sin, cos, dites circulaires D’unautre c ˆot´e, l’application importante qu’on fait de la th´eoriedes Fonctions Elliptiques an Calcul int´egral rendait n´ecessairesles distinctions et les d´enominations que vous avez intro-duites dans l’Analyse, et qui ont ´et´e accueillies par tous lesG´eom`etres J’ai donc trouv´e convenable d’appeler les int´egrales

fonc-auxquelles vous donnez le nom de Fonctions Elliptiques de

la premi`ere , seconde, troisi`eme esp`ece, Int´egrales Elliptiques

de la premi`ere , seconde, troisi`eme esp`ece et d’´etendre ou

d’attribuer de pr´ef´erence la d´enomination de Fonctions

Ellip-tiques aux sin am, cos am, ∆ am, analogiquement comme on

nomme Fonctions Circulaires les sinus, cosinus, etc Si celavous d´eplaˆıt, toute autre d´enomination me sera agr´eable Danstous les cas je crois que nous deviendrons ais´ement d’accordsur cet objet« ;

aber trotzdem scheint sich LEGENDREselbst nach der pers ¨onlichen kanntschaft mit JACOBI bis zu seinem Tode nicht mehr mit der Wahl der

Be-JACOBI’schen Benennungen befreundet zu haben; sein letzter Brief an selben vom 30 Juni 1832 enth¨alt die Worte:

den-»J’aurais un double plaisir, si ces nouveaux r´esultats ´etaientobtenues par le secours de nos fonctions elliptiques qui vousappartiennent autant qu’`a moi, quoique vous ne vouliez pasexprimer la mˆeme chose par le mˆeme nom«

Der Herausgeber der im Jahre 1839 erschienenen œuvres compl`etes von

ABEL, HOLMBOEsagt in den notices sur la vie de l’auteur:

»En juillet 1825 il sollicita aupr`es du gouvernement un b´en´efice

de 600 Sp par an pour continuer ses recherches dans l’´etranger,

et notamment `a Paris, pendant deux ans On lui accorda sit ˆot sa demande, et le mˆeme ´et´e il partit pour Berlin, suivi dequelques jeunes litt´erateurs et savants Norv´egiens« –

aus-und f ¨ugt im Avertissement des zweiten Bandes hinzu:

»Tous les m´emoires contenus dans ce volume out ´et´e ´ecritsavant que notre auteur commenc¸ˆat ses voyages, except´e lesm´emoires XV, XVI et XXII, dont malheureusement le premiern’est pas termin´e«.

Wir d ¨urfen somit die aus dem Nachlasse von ABELim zweiten Bandeder œuvres compl`etes ver ¨offentlichten Untersuchungen als die ersten be-deutenden Arbeiten ¨uber diesen Gegenstand nach LEGENDREbetrachten,und gerade diese werden uns am besten einen Ueberblick ¨uber die Aus-dehnung der von ABEL in der Theorie der elliptischen Transcendentenschon zu der Zeit angestellten Untersuchungen gew¨ahren, in der er seineersten Arbeiten ver ¨offentlichte

Die ¨alteste Arbeit aus dem Nachlasse ABEL’s: Propri´et´es remarquables de

la fonction y =ϕ(x)d´etermin´ee par l’´equation

f(y)dy−dxp(a−y)(a1−y) · · · (am−y) = 0, f(y)´etant une fonction conque de y, qui ne devient pas z´ero ou infinie lorsque y=a, a1, a2 am, unter-sucht die Umkehrung der Integralfunction

(a−y)(a1−y) · · · (am−y) = x,und zeigt, wenn auch durch Schl ¨usse, die in der kurzen Aufzeichnungweder allgemein noch streng erscheinen, dass, wenn y = ϕ(x) gesetzt

wird, ϕ(v+2nα+2n1α1+ · · · +2nmαm) = ϕ(v) sein m ¨usste, wenn n+

in dem oben definirten Sinne ¨uberhaupt nicht giebt, weil eindeutige tionen einer Variabeln oder vieldeutige von endlicher Mehrdeutigkeit mit

Func-mehr als zwei Perioden nicht existiren, und die obige Gleichung in ϕ

ei-ne Function definiren w ¨urde, welche eiei-ne uei-nendlich kleiei-ne Periode hat –erst einer sp¨ateren Zeit als der in diesen Bl¨attern zu behandelnden geh ¨ortdie grosse und ber ¨uhmte Arbeit JACOBI’s an, in welcher der Weg vorge-zeichnet wird, auf dem das Umkehrungsproblem der hyperelliptischen

Integrale gel ¨ost werden kann, wiewohl die Inangriffnahme dieses rigen Problems, wie wir sp¨ater sehen werden, schon in die erste Zeit derwissenschaftlichen Th¨atigkeit JACOBI’s f¨allt.

schwie-W¨ahrend sich die obige Arbeit ABEL’s ganz von dem Gange undden Methoden der LEGENDRE’schen Untersuchungen entfernt und zeigt,dass ABELdurch Umkehrung der Integralfunction der Theorie der ellipti-schen Transcendenten v ¨ollig neue und umfassende analytische Ideen zu-zuf ¨uhren im Begriff war, schliessen sich die folgenden, noch vor dem Som-mer 1825 niedergeschriebenen Arbeiten, deren Resultate sp¨ater zum Theilvon ABEL selbst in dem Journal: Det kongelige norske VidenskabersselskabsSkrifter, Trondhjem 1827 ver ¨offentlicht wurden, mehr den Untersuchun-gen von LEGENDRE ¨uber die Integrale dritter Gattung an Aber man er-kennt auch hier das Streben ABEL’s, allgemeinere Integralklassen zu be-handeln als die der elliptischen Integrale; nachdem er in dem Aufsatze:

»Sur une propri´et´e remarquable d’une classe tr`es ´etendue de fonctions dantes« f ¨ur die Differentialgleichung 0 = sy+tdydx, in welcher s = f(x),

transcen-t = ϕ(x), y = ψ(x) gesetzt wird, bei geh ¨origer Bestimmung der ren Grenzen eine Beziehung erwiesen, welche, wenn f(x) = 12ϕ0(x), al-

ϕ(x)

Z amdap

ϕ(a),also in den Satz von der Vertauschung des Argumentes und des Parame-ters f ¨ur hyperelliptische Integrale ¨ubergeht, wendet er sich in einem »Ex-tension de la th´eorie pr´ec´edente« betitelten Aufsatze zu der Untersuchung deranalogen Eigenschaft f ¨ur die Integrale der linearen Differentialgleichung

Es kann kein Zweifel obwalten, dass ABELschon im Jahre 1825 nicht

et-wa nur an einer erweiterten und auf neuer Grundlage aufgebauten rie der elliptischen Transcendenten arbeitete, sondern dass sein Strebenvon vornherein, wesentlich anders als es bei JACOBIder Fall war, daraufsich richtete, eine allgemeine Theorie der Integrale algebraischer Differen-tiale zu entwickeln, wie zum Theil schon die oben erw¨ahnten Arbeiten, die

Theo-sich auf jene allgemeineren Integralfunctionen bezogen, erkennen liessen.Wir finden n¨amlich noch in seinem Nachlasse aus jenem Jahre einen Auf-satz, betitelt: Sur la comparaison des fonctions transcendantes, der die Ausdeh-nung des EULER’schen Additionstheorems f ¨ur elliptische Integrale auf be-liebige Integrale algebraischer Differentiale zum Gegenstande hat Wenndie Gleichung

0 =α+α1y+α2y2+ · · · +αmym

gegeben ist, in der die α ganze Functionen von x sind, und man stellt mit

dieser Gleichung eine andere

0=q+q1y+ · · · +qm− 1ym−1zusammen, in welcher die q ganze Functionen von x mit den unbestimm-ten Coefficienten a, a1, bedeuten, so gilt f ¨ur die L ¨osungen x1, x2, xnder durch Elimination der Gr ¨osse y erhaltenen Gleichung s = 0 die Inte-gralbeziehung

worin $ eine algebraisch-logarithmische Function der a bedeutet, und

ABELf ¨ugt hinzu:

»il n’est pas difficile de se convaincre que, quel que soit le

nombre µ, on peut toujours faire en sorte que n−µ devienne

ind´ependant de µ«.

Wir sehen hier das ber ¨uhmt gewordene Theorem, das wohl mit Rechtals das Fundamentaltheorem der neueren Analysis bezeichnet werdendarf, schon in dem Jahre 1825 genau in derselben Gestalt aufgezeichnet,wie es in den sp¨ateren Ver ¨offentlichungen ABEL’s stets wiederkehrt; aufeine Besprechung des Inhaltes desselben und des Schicksales seiner Ver-

¨offentlichung werde ich sp¨ater zur ¨uckzukommen Gelegenheit haben.Endlich finden wir noch aus der ersten H¨alfte des Jahres 1825 in demNachlasse von ABEL eine Arbeit, welche im Keime die erst nach einigenJahren im »Pr´ecis d’une th´eorie des fonctions elliptiques« ver ¨offentlichten Un-tersuchungen enth¨alt, zun¨achst jedoch wenigstens in dem ausgef ¨uhrtenTheile als eine Vorarbeit zu der ersten von ABEL im CRELLE’schen Jour-nal ver ¨offentlichten und gleich nachher zu besprechenden Arbeit zu be-trachten ist und die Ueberschrift tr¨agt: Th´eorie des transcendantes elliptiques

Die Arbeit, welche sich eng an die LEGENDRE’schen Entwicklungen schliesst, besch¨aftigt sich zun¨achst mit der Reduction des elliptischen In-tegrales

√

R,worin R=α+βx+γx2+δx3+εx4, auf die Grundformen

0+Q0√R

P0−Q0√

R+ · · ·gefunden wird Dann wendet sich ABEL zu Untersuchungen, die ihn inden verschiedensten Formen best¨andig besch¨aftigt haben, und auf die wir

in seinen sp¨ateren grossen Arbeiten noch ausf ¨uhrlich werden zur men m ¨ussen, n¨amlich zur Behandlung der Fragen von der Reduction el-liptischer Integrale auf algebraisch-logarithmische Functionen Als noth-wendige Bedingung daf ¨ur, dass elliptische Integrale von der Gestalt

A log P+Q

√

R

P−Q√Rreducirbar sind, findet er, dass die L ¨osungen des Nenners einer Gleichungvon der Form

P2−Q2R=0gen ¨ugen m ¨ussen; das Problem, alle Integrale von der FormR (k+√x)dx

R zufinden, welche auf jenen logarithmischen Ausdruck zur ¨uckf ¨uhrbar sind,wird mit der Aufl ¨osung einer Gleichung der Form P2−Q2R = 1 in Ver-bindung gebracht, und diese Aufl ¨osung wiederum mit der Periodicit¨at derKettenbruchentwicklung von√R in Beziehung gesetzt Endlich wird auf

»une relation remarquable qui existe entre plusieurs int´egrales

Die weiteren dieser Arbeit angeh ¨origen Abschnitte zeigen deutlich,dass ABELschon im Jahre 1825 damit umging, eine systematische Theorieder elliptischen Transcendenten zu ver ¨offentlichen, indem er auch solcheAbschnitte in den Entwurf aufnahm, deren Inhalt er zum Theil nur durchdie Ueberschrift andeutete, und f ¨ur welche er lediglich auf die exercicesvon LEGENDREverwies

Nachdem ich aus dem Nachlasse ABEL’s das Wesentlichste von dem,was sich auf die Theorie der elliptischen Transcendenten bezieht und demJahre 1825 angeh ¨ort, hervorgehoben habe, gehe ich dazu ¨uber, die gros-

se Reihe von Untersuchungen zu besprechen, durch welche in den ren 1826–29 in wunderbarer, wechselseitiger Arbeit von ABELund JACOBIder mathematischen Wissenschaft neue und grosse Gebiete erobert wur-den

Jah-Die erste hierher geh ¨orige Arbeit ABEL’s, urspr ¨unglich in franz ¨osischerSprache geschrieben, findet sich in’s Deutsche ¨ubersetzt unter dem Titel

»Ueber die Integration der Differentialformel $ dx√

R, wenn R und $ ganze

Func-tionen sind« im ersten Bande des CRELLE’schen Journals, welcher im

Jah-re 1826 ausgegeben wurde ABEL stellt sich in dieser Arbeit die

Aufga-be, alle Differentialien von der Form $ dx√

R, wo $ und R ganze

Functio-nen von x sind, zu finden, deren Integrale durch eine Function von derForm log p+q

√ R

p − q√R
ausgedr ¨uckt werden k¨onnen, indem er am Ende derArbeit hinzuf ¨ugt, dass dieses Problem das allgemeinste f ¨ur die Reductionderartiger Integrale auf logarithmische Functionen sei, da er einen Satz be-wiesen habe, nach welchem, wenn ein IntegralR $ dx√

R auf Logarithmen ducirbar ist, der logarithmische Ausdruck stets in der Form A log p+q

re-√ R

p − q√R

darstellbar sein m ¨usse, worin A eine Constante, p und q ganze Functionen

von x bedeuten, ein Satz, welcher ein specieller Fall eines sp¨ater von ABEL

in seinem »pr´ecis« entwickelten sehr allgemeinen Theorems ist

ABELf ¨uhrt die L ¨osung der gestellten Aufgabe auf die Behandlung derunbestimmten Gleichung p21N−q2R1 =1 zur ¨uck, in welcher R = N·R1ist, und findet, dass, wenn man die Kettenbruchentwicklung

rR1

N =t1+

1

2µ+2µ1

1 +

aufstellt, die Aufl ¨osungen der Gleichung

p21N−q2R1= (−1)m−1sm,

in welcher die Gr ¨osse s in einer bestimmten Beziehung zu den µ-Gr ¨ossen

steht, durch den Kettenbruch gegeben sind:

2µm−1.Soll nun p21N−q2R1 =a, worin a eine Constante bedeutet, aufgel ¨ost wer-den, so muss eine der s-Gr ¨ossen constant sein, und setzt man daher einederselben, welche alle, wenn R ein Polynom 2nten Grades, vom n−1tenGrade sind, gleich einer solchen constanten Gr ¨osse, so erh¨alt man n−1

Bedingungen zwischen den Coefficienten von R; die Function $ wird dann

vom n−1tenGrade sein Ist N =1, also

√

R=r+ 1

2µ+2µ1

1 +

so lautet der merkw ¨urdige von ABELentwickelte Satz:

»Lorsqu’ il est possible de trouver pour $ une fonction enti`ere

la fraction continue r´esultant de√R sera p´eriodique, et aura la

2µ1+ 1

2µ+ 1 2r + 1

2µ+ 1

2µ1+

et r´eciproquement, lorsque la fraction continue r´esultant de√R

a cette forme, il est toujours possible de trouver pour $ une

fonction enti`ere qui satisfait `a l’´equation

La fonction y est donn´ee par l’expression suivante :

y =r+ 1

2µ+2µ1

1 + + 1

2µ+ 1 2r«

Es mag noch hinzugef ¨ugt werden, dass, wie sich aus sp¨ateren zeichnungen ergiebt, ABEL sich urspr ¨unglich ein viel allgemeineres Pro-blem als das in der eben erw¨ahnten Abhandlung behandelte gestellt hat,indem er ¨uberhaupt die Bedingungen f ¨ur die Reducirbarkeit der Integralealgebraischer Differentiale auf Integrale niederer Ordnung aufsuchte, einProblem, dessen L ¨osung er freilich in dieser Allgemeinheit trotz der man-nigfachen und wunderbar reichen Mittel, die er sich selbst schuf, schon inden ersten Anf¨angen aufgeben musste

Auf-Die eben besprochene Arbeit ist wahrscheinlich auf der Reise nach ris von ABELpers ¨onlich in Berlin CRELLEf ¨ur sein eben gegr ¨undetes Jour-nal ¨uberreicht worden, also, wie sich auch schon aus der oben erw¨ahntenNachlassarbeit ergiebt, jedenfalls vor der Abreise aus Norwegen vollendetworden

Pa-Auf seiner Reise nach Berlin, Wien, Paris hat sich ABELanhaltend mitden verschiedensten und weitestgehenden Studien, die Theorie der Tran-scendenten betreffend, besch¨aftigt

»ABEL me dit, sagt HOLMBOE, que lors de son s´ejour `a Paris

en 1826, il avait d´ej`a achev´e la partie essentielle des principesqu’il avanc¸ait dans la suite sur ces fonctions, et qu’il auraitbien voulu remettre la publication de ses d´ecouvertes jusqu’`a

ce qu’il en e ˆut pu composer une th´eorie compl`ete, si en dant Mr JACOBIne s’´etait mis sur les rangs«

atten-Ein an CRELLE aus Paris vom 9 August 1826 gerichteter Brief kommtwieder auf das allgemeine Additionstheorem zur ¨uck, das, wie wir obensahen, bereits vor der Mitte des Jahres 1825 von ABELgefunden und auf-gezeichnet war,

»une propri´et´e g´en´erale des fonctions dont la diff´erentielle est

alg´ebrique, consiste en ce que la somme d’un nombre

quel-conquede fonctions peut ˆetre exprim´ee par un nombre min´e des mˆemes fonctions« —

d´eter-und an HOLMBOEschreibt ABEL ¨uber dasselbe Theorem aus Paris am

24 October 1826:

»je viens de finir un grand trait´e sur une certaine classe defonctions transcendantes pour le pr´esenter `a l’institut, ce quiaura lieu lundi prochain J’ose dire sans ostentation que c’est

un trait´e dont on sera satisfait Je suis curieux d’entendre nion de l’institut l`a-dessus Je ne manquerai pas de t’en fairepart«

l’opi-ABEL hatte sich in der Bedeutung und Tragweite dieses len Satzes nicht get¨auscht; doch unterblieb in der Pariser Akademie dieBeurtheilung dieser Arbeit, so dass ABEL sich veranlasst sah, drei Jahresp¨ater, am 6 Januar 1829, von Christiania aus an CRELLE eine Arbeit un-ter dem Titel: D´emonstration d’une propri´et´e g´en´erale d’une certaine classe defonctions transcendantes zu senden, die 1829 im 4 Bande des Journals f ¨urMathematik ver ¨offentlicht wurde, deren kurze Darstellung genau der imNachlass befindlichen oben ber ¨uhrten Aufzeichnung entspricht und nurnoch mit dem Zusatze versehen ist:

fundamenta-»Je me propose de d´evelopper dans une autre occasion denombreuses applications de ce th´eor`eme, qui jetteront ungrand jour sur la nature des fonctions transcendantes dont ils’agit.«

Leider ist von den Anwendungen dieses allgemeinen, von JACOBImitdem Namen des ABEL’schen Theorems bezeichneten Satzes nichts von

ABEL ver ¨offentlicht, auch bis jetzt nichts darauf bez ¨ugliches aus seinemNachlasse bekannt geworden

ABELselbst ist in seinem sp¨ateren Briefwechsel mit LEGENDREnie aufdie der Akademie eingereichte Arbeit zur ¨uckgekommen; noch in einemvom 25 November 1828 aus Christiania datirten Briefe an LEGENDREsagt

er, ohne sich auf dieselbe zu beziehen:

»Les fonctions elliptiques jouissent d’une certaine propri´et´ebien remarquable et que je crois nouvelle Vous verrez querien n’est plus simple que d’´etablir cette propri´et´e g´en´erale.Elle m’a ´et´e fort utile dans mes recherches sur les fonctionselliptiques En effet j’ai fond´e sur elle toute la th´eorie de cesfonctions«

JACOBI aber erkannte sofort nach der Ver ¨offentlichung im CREL

-LE’schen Journal die ganze Bedeutung dieses Fundamentaltheorems derAnalysis, und gab seiner Bewunderung in einem aus K ¨onigsberg vom

14 M¨arz 1829 datirten Briefe an LEGENDREin den Worten Ausdruck:

»Quelle d´ecouverte de M ABEL que cette g´en´eralisation del’int´egrale d’EULER! A-t-on jamais vu pareille chose ! Maiscomment s’est-il fait que cette d´ecouverte, peut-ˆetre la plus im-portante de ce qu’a fait dans les Math´ematiques le si`ecle danslequel nous vivons, ´etant communiqu´ee `a votre Acad´emie il y

a deux ans, elle a pu ´echapper `a l’attention de vous et de vosconfr`eres ?«

Diese Frage JACOBI’s beantwortet LEGENDRE in einem Schreiben vom

8 April 1829 mit den Worten:

»Je ne terminerai pas cette lettre sans r´epondre `a l’article de

la v ˆotre qui concerne le beau m´emoire de M ABEL qui a ´et´eimprim´e dans le cahier pr´ec´edent du Journal de CRELLE, et quiavait ´et´e pr´esent´e `a l’acad´emie par son auteur dans les derniersmois de 1826 M POISSON ´etait alors pr´esident de l’acad´emie,les commissaires nomm´es pour examiner le m´emoire furent

M CAUCHY et moi Nous nous aperc¸umes que le m´emoiren’´etait presque pas lisible, il ´etait ´ecrit en encre tr`es-blanche,

les caract`eres mal form´es ; il fut convenu entre nous qu’on manderait `a l’auteur une copie plus nette et plus facile `a lire.Les choses en sont rest´ees l`a ; M CAUCHYa gard´e le manuscritjusqu’ici sans s’en occuper, l’auteur M ABEL paraˆıt s’en ˆetreall´e sans s’occuper de ce que devenait son m´emoire, il n’a pasfourni de copie et il n’a pas ´et´e fait de rapport Cependant j’aidemand´e `a M CAUCHY, qu’il me remette le manuscrit qui n’ajamais ´et´e entre mes mains, et je verrai ce qu’il y a `a faire, pourr´eparer, s’il est possible, le peu d’attention qu’il a donn´e, `a uneproduction qui m´eritait sans doute un meilleur sort«.

de-Und JACOBI sowohl wie LEGENDRE bedienten sich sehr bald des

ABEL’schen Theorems als eines besonders wirksamen H ¨ulfsmittels zur weiterung der Grenzen der Analysis Am 2 Juli 1830 schreibt JACOBI an

Er-LEGENDRE:

»En ce qui regarde mes propres occupations, j’ai entrepris unbon nombre de recherches sur diff´erentes mati`eres et que jevoudrais avoir finies avant de retourner aux Fonctions Ellip-tiques et aux transcendantes d’un ordre sup´erieur qui sont

und nicht lange darauf besch¨aftigte sich auch LEGENDRE, wie das

drit-te Supplement zu seinem trait´e zeigt, eingehend mit dem ABEL’schenTheoreme f ¨ur hyperelliptische Integrale;

»en travaillant pour mon propre compte, schreibt er am

24 M¨arz 1832 an CRELLE, j’ai ´eprouv´e une grande tion, de rendre un ´eclatant hommage au g´enie de Mr ABEL,

satisfac-en faisant ssatisfac-entir tout le m´erite du beau th´eor`eme dont l’invsatisfac-en-tion lui et due, et auquel on peut appliquer la qualification de

l’inven-monumentum aere perennius«

In der Besprechung dieses dritten Supplementes von LEGENDRE im

8ten Bande des CRELLE’schen Journals finden sich noch die sch ¨onen unddenkw ¨urdigen Worte JACOBI’s:

»Wir halten es (das ABEL’sche Theorem), wie es in einfacherGestalt ohne Apparat von Calcul den tiefsten und umfassend-sten mathematischen Gedanken ausspricht, f ¨ur die gr ¨osste ma-thematische Entdeckung unserer Zeit, obgleich erst eine k ¨unf-tige, vielleicht sp¨ate grosse Arbeit ihre ganze Bedeutung auf-weisen kann«.

JACOBI selbst war es, der nach einer Reihe von Jahren nachwies, wiedas ABEL’sche Theorem die Wege ebnete zur Erweiterung der Analysis

in der Herstellung der Umkehrungsfunctionen der h ¨oheren Integrale undder Behandlung der vielfach periodischen Functionen mehrerer Variabeln,und somit die grossen analytischen Arbeiten von WEIERSTRASSund RIE-MANN erm ¨oglichte

Im Jahre 1841 ver ¨offentlichte LIBRIin den Memoiren der Pariser demie den von ABEL im Jahre 1826 derselben ¨uberreichten Aufsatz.Nachdem darin ¨ahnlich wie in den anderen kurzen Darstellungen desber ¨uhmten Theorems die Existenz der Gleichung

ein-L ¨osungen algebraischer Gleichungen in unendliche Reihen zu Grunde gen; endlich geht ABELnoch zur Specialisirung seines Theorems f ¨ur dieje-nigen Integrale ¨uber, f ¨ur welche die algebraische Irrationalit¨at unter demIntegral die L ¨osung einer binomischen algebraischen Gleichung ist undleitet daraus die expliciten Ausdr ¨ucke des Additionstheorems f ¨ur die el-liptischen und hyperelliptischen Integrale her

lie-Nachdem ich zum Zwecke einer abschliessenden Darstellung der schichte des ABEL’schen Theorems in der Zeit um einige Jahre vorge-griffen, gehe ich nunmehr wieder zu den anderweitigen, auf die Theo-rie der Transcendenten bez ¨uglichen Arbeiten, mit denen sich ABEL in Pa-ris besch¨aftigte, zur ¨uck, zu deren Charakterisirung ein Brief desselben an

Ge-HOLMBOEaus Paris vom December 1826 dient:

»J’ai ´ecrit un grand m´emoire sur les fonctions elliptiques quirenferme des choses assez curieuses et qui ne manquera pas,

je m’en flatte, de fixer l’attention du monde litt´eraire Entreautres choses il traite de la division de l’arc de la lemniscate

Ah, qu’il est magnifique ! tu verras J’ai trouv´e qu’avec le pas et la r`egle on peut diviser la lemniscate en 2n +1 par-ties ´egales, lorsque ce nombre 2n +1 est premier La divisiond´epend d’une ´equation du degr´e (2n +1)2−1 ; mais j’en aitrouv´e la solution compl`ete `a l’aide des racines carr´ees Celam’a fait p´en´etrer en mˆeme temps le myst`ere qui a envelopp´e

com-la th´eorie de Mr GAUSS sur la division de la circonf´erence ducercle Je vois clair comme le jour ; comment il y est parvenu« ;

und ein zweiter Brief aus Paris vom 4 December 1826 an CRELLE, derauf dieselben Untersuchungen hinweist; in beiden Briefen spricht ABELausdr ¨ucklich die Meinung aus, dass GAUSSauf demselben Wege wie er zuden S¨atzen gelangt ist, in deren Besitz zu sein dieser, wie wir oben gese-hen, in dem letzten Abschnitte seiner disquisitiones arithmeticae behauptet –und wir werden sp¨ater durch GAUSSselbst diese Ansicht best¨atigt finden.Endlich thut ABEL in einem auf der R ¨uckreise in seine Heimath ausBerlin vom 4 M¨arz 1827 datirten Briefe an HOLMBOEnoch einer gr ¨osserenArbeit, die er vollendet hat, in den Worten Erw¨ahnung:

»Mais voici le m´emoire qui l’emporte sur tous les autres :Th´eorie des fonctions transcendantes en g´en´eral et celle des fonctionselliptiques en particulier ; mais diff´erons de t’en faire part jusqu’`amon retour«

Nun erst, nachdem ABEL wieder nach Norwegen zur ¨uckgekehrt, ginnt der grossartige Wettkampf zwischen ihm und JACOBI, der erst seitganz kurzer Zeit sich mit der Theorie der elliptischen Transcendenten be-sch¨aftigte

be-In den »Extraits de deux lettres de Mr JACOBI de l’Universit´e de nigsberg `a l’´editeur« vom 13 Juni und 2 August 1827 ver ¨offentlicht JA-COBIin der im September 1827 ausgegebenen No 123 der astronomischenNachrichten von SCHUMACHERseine erste Entdeckung in der Theorie derTransformation der elliptischen Integrale

Koe-»Les int´egrales de la formeR √ dϕ

1 −cc sin ϕ2 appartiennent d’apr`es

la diversit´e du module c `a des transcendantes diverses On ne

connait qu’un seul syst`eme de modules qu’on peut r´eduire l’un

`a l’autre, et Mr LEGENDRE dans ses Exercices dit mˆeme qu’iln’y avait que ce seul Mais en effet il-y-a autant de ces syst`emesqu’il-y-a de nombres premiers, c’est-`a-dire il-y-a un nombre in-fini de ces syst`emes ind´ependans l’un de l’autre, dont chacunrepond `a un nombre premier, et dont le syst`eme connu repond

au nombre premier 2.«

JACOBIspricht hier bereits ohne Beweis den allgemeinen Satz von der

Transformation der elliptischen Integrale erster Gattung aus: sin ϕ = uv

gesetzt, worin u eine gewisse unpaare Function nten Grades von sin ψ, v

eine gewisse paare Function n−1tenGrades dieser Gr ¨osse bedeutet, liefertdie Beziehung

1−c2sin2ϕ =m

1−k2sin2ψ,was auch n f ¨ur eine unpaare Zahl sein mag, und hebt ferner hervor, dass

man jetzt sin ψ auf fast analoge Art durch sin ϑ ausdr ¨ucken kann, und

durch Zusammensetzung der beiden Integralgleichungen die Beziehung

1−c2sin2ϕ =n

1−c2sin2ϑ erh¨alt, in welcher sich sin ϕ durch einen Bruch darstellt, dessen Z¨ahler die unpaaren Potenzen von sin ϑ bis zur n2 ten, der Nenner die paaren bis zur

n2−1tenenth¨alt

Dieser ohne Beweis und im ersten Briefe auch noch ohne Angabe desallgemeinen analytischen Transformationsausdruckes mitgetheilte Satz istweiter f ¨ur die Transformation dritten und f ¨unften Grades wirklich aus-gef ¨uhrt und mit der Multiplication und Division f ¨ur die Zahlen 3 und 5 inVerbindung gesetzt, von der JACOBIsagt:

»ainsi je donne ici pour la premi`ere fois la solution alg´ebrique

de l’´equation du 9i`eme degr´e, dont la trisection de notre cendante d´epend«

trans-Die Transformation dritten Grades war jedoch inzwischen von LE GENDREin dem im Januar 1827 ausgegebenen trait´e des fonctions elliptiques,wie schon oben hervorgehoben, ver ¨offentlicht worden, ohne dass JACO-

-BI zur Zeit der Ver ¨offentlichung seiner Arbeit noch davon Kenntniss

hat-te Als LEGENDRE diese ersten Briefe JACOBI’s an SCHUMACHERkennenlernte, war er durch die Existenz einer Transformation f ¨unften Grades in

hohem Grade ¨uberrascht und konnte sich mit dem Gedanken von der stenz einer zu einem beliebigen Grade geh ¨origen algebraischen Transfor-mation so wenig vertraut machen, dass er bestimmt glaubte, wie er dies indem aus Paris vom 30 November 1827 an JACOBI gerichteten Schreibenausdr ¨ucklich erkl¨art, dass derselbe durch eine Induction irregef ¨uhrt wor-den, wiewohl JACOBIin dem zugleich ver ¨offentlichten Briefe vom 2 Au-gust 1827 auch den allgemeinen analytischen Transformationsausdruck,wenn auch ohne Beweis, wirklich hinstellte und zwar in der Form

definirt waren, wenn p eine beliebige unpaare Zahl bedeutet

Aber LEGENDREhatte nicht ganz Unrecht, an der Strenge der Schl ¨usse

JACOBI’s zu zweifeln, ja sogar er hatte sich zu schnell durch einen gleichn¨aher zu besprechenden Brief desselben davon ¨uberzeugen lassen, dassdie allgemeinen Transformationsausdr ¨ucke auch wirklich auf strengemWege hergeleitet und verificirt worden waren; denn auf die von LEGEND-

REan JACOBIgerichtete Bitte, ihm die leitenden Ideen anzugeben, die ihneinerseits zu dem Satze gef ¨uhrt, dass jedem Transformationsgrade auchimmer eine rationale Transformation entspricht, andererseits ihm die ana-lytischen Ausdr ¨ucke f ¨ur eben diese Transformation geliefert haben, ant-wortet JACOBIin einem aus K ¨onigsberg vom 12 April 1828 datirten Briefe

in einer f ¨ur die Geschichte der elliptischen Functionen interessanten unddenkw ¨urdigen Stelle:

»Vous auriez voulu que j’eusse donn´e la chaˆıne des id´ees quim’a conduit `a mes th´eor`emes Cependant la route que j’ai sui-vie n’est pas susceptible de rigueur g´eom´etrique La chose

´etant trouv´ee, on pourra y substituer une autre sur laquelle

on aurait pu y parvenir rigoureusement Ce n’est donc quepour vous, Monsieur, que j’ajoute le suivant : La premi`erechose que j’avais trouv´ee (dans le mars 1827), c’´etait l’´equation

T = VdUdx −UdVdx ; de l`a je reconnus que, pour un nombre

n quelconque, la transformation ´etait un probl`eme d’Analyse

alg´ebrique d´etermin´e, le nombre des constantes arbitraires

´egalant toujours celui des conditions Au moyen des cients ind´etermin´es, je formai les transformations relatives auxnombres 3 et 5 L’´equation du quatri`eme degr´e `a laquelle memena la premi`ere ayant presque la mˆeme forme que cellequi sert `a la trisection, j’y soupc¸onnais quelque rapport Par

coeffi-un tˆatonnement heureux, je remarquais dans ces deux casl’autre transformation compl´ementaire pour la multiplication.L`a j’´ecrivis ma premi`ere lettre `a Mr SCHUMACHER, la m´ethode

´etant g´en´erale et v´erifi´ee par des exemples Depuis, examinantplus de proche les deux substitutions z = ay1++cyby23, y = a10x++cb0 x0x23

sous la forme pr´esent´ee dans ma premi`ere lettre, je vis qu’´etantmis x = sin am2K3 , z devra s’´evanouir, et comme, dans la-dite forme, ba ´etait positif, j’en conclus que y devra s’´evanouiraussi De cette mani`ere je trouvai par induction la r´esolution

en facteurs, laquelle ´etant confirm´ee par des exemples, je nai le th´eor`eme g´en´eral dans ma seconde lettre `a Mr SCHU-MACHER Ensuite, ayant remarqu´e l’´equation sin am(iξ,κ) =

don-i tg am(ξ,κ0), j’en tirai la transformation de κ0 en λ0 J’avaisdonc deux transformations diff´erentes, l’une deκ dans un mo-

dule plus petit λ, l’autre deκ0dans un module plus grand λ0

De l`a je fis la conjecture qu’en ´echangeant entre eux κ0 et λ,

κ et λ0, on aurait l’expression analytique de la transformationcompl´ementaire Tout ´etant confirm´e par des exemples, j’eus

la hardiesse de vous adresser une premi`ere lettre, qui a ´et´e cueillie de vous avec tant de candeur Les d´emonstrations n’out

ac-´et´e trouv´ees que ci-apr`es« ;

und ebenso lehrreich und interessant ist die Antwort LEGENDRE’s, die

er in einem Briefe vom 16 Juni 1828 von Paris aus JACOBIgiebt:

»Je n’ai pu que toucher tr`es-l´eg`erement dans ma derni`ere lettre

ce que j’avais `a vous dire sur la communication pleine de chise, que vous m’avez faite de la filiation des id´ees qui vous

fran-ont conduit `a vos belles d´ecouvertes sur les fonctions tiques, je vois que nous avons couru tous deux des dangers,

ellip-vous en annonc¸ant des d´ecouvertes qui n’´etaient pas encore

revˆetues du sceau d’une d´emonstration rigoureuse, et moi en

leur donnant publiquement et sans restriction mon tion tout enti`ere Nous n’avons pas `a nous repentir ni l’un nil’autre de ce que nous avons fait D’ailleurs nous avions chacunnos raisons de nous conduire ainsi ; je ne dirai rien des v ˆotres,quant `a moi je voyais tr`es-clairement que des r´esultats tels queceux que vous aviez obtenus, ne pouvaient ˆetre l’effet ni duhasard, ni d’une induction trompeuse, mais bien d’une th´eorieprofonde et appuy´ee sur la nature des choses «

approba-Der oben erw¨ahnte von JACOBIam 5 August 1827 an Legendre tete Brief, der mit den sch ¨onen Worten beginnt:

gerich-»Monsieur, un jeune G´eom`etre ose vous pr´esenter quelquesd´ecouvertes faites dans la th´eorie des Fonctions Elliptiques,auxquelles il a ´et´e conduit par l’´etude assidue de vos beaux

´ecrits C’est `a vous, Monsieur, que cette partie brillante del’Analyse doit le haut degr´e de perfectionnement auquel elle

a ´et´e port´ee, et ce n’est qu’en marchant sur les vestiges d’un sigrand maˆıtre, que les G´eom`etres pourront parvenir `a la pous-ser au del`a des bornes qui lui ont ´et´e prescrites jusqu’ici C’estdonc `a vous que je dois offrir ce qui suit comme un juste tributd’admiration et de reconnaissance«,

hatte jedoch LEGENDRE – wenn auch, wie wir eben gesehen haben,nicht ganz mit Recht – davon ¨uberzeugt, dass JACOBIdurch strenge Ana-lyse zu seinem Theorem gef ¨uhrt worden, und liess denselben am 5 No-vember 1827 mit grosser W¨arme der franz ¨osischen Akademie Bericht er-statten ¨uber die von JACOBIgemachten Entdeckungen

Wenn p eine beliebige ungerade Zahl ist, f ¨uhrt JACOBIin diesem Briefeaus, so kann man durch eine Substitution

x =

zA+A0z2+ · · · +Ap2−12 zp2−1

B+B0z2+ · · · +Bp2−12 zp 2 − 1zur Gleichung gelangen

dxp

(1−x2)(1− κ2x2) = pp dz

(1−z2)(1− κ2z2),

und diese Substitution kann wiederum ersetzt werden durch

dxp

(1−x2)(1− κ2x2) =

M dyp

(1−y2)(1−λ2y2),dy

p

(1−y2)(1−λ2y2) =

pM

dzp

(1−z2)(1− κ2z2)

zugeh ¨oren; dadurch ist aber die Existenz einer unendlichen Anzahl vonModulnketten erwiesen Nach Ausf ¨uhrung der in den beiden fr ¨uherenBriefen an SCHUMACHER ver ¨offentlichten Formeln f ¨ur die prim¨are undsupplement¨are Transformation bemerkt JACOBI:

»Il n’y a que tr`es-peu de temps que ces recherches ont prisnaissances Cependant elles ne sont pas les seules entreprises

en Allemagne sur le mˆeme objet M GAUSS, ayant appris decelles-ci, m’a fait dire qu’il avait d´evelopp´e d´ej`a en 1808 les cas

de 3 sections, 5 sections et de 7 sections, et trouv´e en mˆemetemps les nouvelles ´echelles de modules qui s’y rapportent.Cette nouvelle, `a ce qui me paraˆıt, est bien int´eressante«

Durch diese Mittheilung veranlasst, hat sich LEGENDRE, der f ¨ur GAUSSschon in Folge von Priorit¨atsstreitigkeiten mit demselben nicht g ¨unstig ge-stimmt war, in der am 30 November 1827 an JACOBIgerichteten Antwort

zu den Worten hinreissen lassen:

»Comment se fait-il que M GAUSS ait os´e vous faire dire que

la plupart de vos th´eor`emes lui ´etaient connus et qu’il en avaitfait la d´ecouverte d`es 1808 ? Cet exc`es d’impudence n’est pascroyable de la part d’un homme, qui a assez de m´erite person-nel pour n’avoir pas besoin de s’approprier les d´ecouvertes desautres « ;

und doch beruhten nicht bloss die Angaben von GAUSS, wie sich jetztaus seinem Nachlasse unzweifelhaft ergiebt, auf Wahrheit, GAUSS warvielmehr schon seit langer Zeit allen bisher auf diesem Gebiete gemachtenEntdeckungen weit vorausgeeilt JACOBI nimmt auch in einem sp¨aterenBriefe an LEGENDRE vom 12 April 1828 GAUSS gegen die Vorw ¨urfe

LEGENDRE’s in Schutz, freilich ohne die Gr ¨osse der Entdeckungen, die

GAUSSschon dreissig Jahre zuvor gemacht, auch nur zu ahnen:

»Quant `a M GAUSS, il n’a rien encore publi´e sur les FonctionsElliptiques, mais il est certain, qu’il a eu de jolies choses S’il

a ´et´e pr´evenu et peut-ˆetre surpass´e, c’est une juste peine de

ce qu’il a r´epandu un voile mystique sur ses travaux Je ne leconnais pas personnellement, ayant ´etudi´e la philologie `a Ber-lin, o `u il n’y a pas des g´eom`etres de distinction«

Aber LEGENDRE kann nicht glauben, dass man Entdeckungen von ner solchen Tragweite unver ¨offentlicht l¨asst, wie es GAUSSleider in Wirk-lichkeit gethan;

ei-»si M GAUSS, heisst es in einem Briefe LEGENDRE’s an JACOBIvom 14 April 1828, ´etait tomb´e sur de pareilles d´ecouvertes,qui surpassent `a mes yeux, tout ce qui a ´et´e fait jusqu’ici enAnalyse, bien s ˆurement il se serait empress´e de les publier«

Wir werden nachher Gelegenheit haben, auf die grossartigen und vergleichlichen Arbeiten von GAUSSin dieser Disciplin zur ¨uckzukommenund n¨aher auszuf ¨uhren, wie ein grosser Theil der Entdeckungen in derTheorie der elliptischen Transcendenten, die in den n¨achsten Jahren von

un-ABEL und JACOBI gemacht wurden, von GAUSS seit langer Zeit bereitsvorweg genommen war

Zugleich mit den eben besprochenen Arbeiten JACOBIS erschien imSeptember 1827 im zweiten Heft des 2 Bandes des CRELLE’schen Journalsder erste Theil der »Recherches sur les fonctions elliptiques« von ABEL, derbei Abfassung der beiden Theile dieses Memoirs von den vorher behan-delten Untersuchungen JACOBI’s, wie er selbst in einem Zusatze zu dem

am 12 Februar 1828 CRELLE ¨ubersandten zweiten Theile dieses Aufsatzeserkl¨art, noch keine Kenntniss genommen:

»Avant termin´e le m´emoire pr´ec´edent sur les fonctions tiques, une note sur les mˆemes fonctions par Mr C G J JA-COBI, inser´ee dans le No 123 ann´ee 1827 du recueil de Mr

ellip-SCHUMACHER, qui a pour titre »Astronomische Nachrichten«,m’est venu sous les yeux Mr JACOBI donne le th´eor`eme sui-vant : Ce th´eor`eme ´el´egant, que M JACOBI donne sansd´emonstration est contenu comme cas particulier dans la for-mule (227) du m´emoire pr´ec´edent, et au fond il est le mˆemeque celui de la formule (270) Nous allons d´emontrer cela«.

Nach allen Vorarbeiten ABEL’s, die aus seinem Nachlasse bekanntgeworden, nach dem Charakter der einen, im ersten Bande des CREL-

LE’schen Journals ver ¨offentlichten Arbeit, nach der Form sowie dem halte der recherches kann es nicht wohl zweifelhaft sein, dass ABEL schonseit fast zwei Jahren in dem Besitze einer allgemeinen und umfassendenTheorie der elliptischen Transcendenten war, und dass ihm daher jeden-falls in sehr vielen Punkten, wie auch JACOBIanerkannte, die Priorit¨at derEntdeckung wird zugesprochen werden m ¨ussen, wenn auch wiederum

In-JACOBI das Verdienst einer neuen und selbst¨andigen Construction der

Theorie der elliptischen Functionen nie wird aberkannt werden k ¨onnen.Wir haben es in den recherches mit einer grossen, in sich vollendetenTheorie der elliptischen Transcendenten zu thun Nachdem die Umkeh-rungsfunction des Integrales

α =

Z x 0

dxp

wicklung der Multiplicationsformeln f ¨ur ϕ(nα), f(nα), F(nα)in rationale

Functionen von ϕ(α), f(α), F(α) ¨uber

Der Behandlung des Multiplicationsproblems folgt die L ¨osungder schwierigen Aufgabe der Division der elliptischen Functionen

ABEL weist die algebraische Ausdr ¨uckbarkeit der Functionen ϕ α

A21−B12n+1+ · · ·

+ 2n+1

rA2n+

q

A22n−B2n2n+1

),

und die Gr ¨ossen C, D rationale Functionen von ϕ1(β), die Gr ¨ossen A, B

ebensolche Functionen von ϕ(2n+1)βsind

F ¨ur diese sch ¨one und folgenreiche Entdeckung schreibt JACOBI diePriorit¨at unbedingt ABELzu; auf eine Anfrage LEGENDRE’s, die auf einemMissverst¨andniss einer Mittheilung JACOBI’s beruhte, antwortet letzterer

am 14 M¨arz 1829 aus K ¨onigsberg:

»Vous supposez que j’ai trouv´e des moyens `a exprimer riquement les fonctions trigonom´etriques des amplitudes que

alg´eb-vous d´esignez par αm, en ajoutant que sans cela ma formulecontiendrait des coefficients que je ne pourrai d´eterminer Mais,

Monsieur, ce que vous d´esirez est une chose tout `a fait

im-possibledans le cas g´en´eral, et qui ne s’ex´ecute que pour desvaleurs sp´eciales du module Ma formule qui donne l’expres-sion alg´ebrique de sin am(u) au moyen de sin am(nu) sup-pose connue la section de la fonction enti`ere C’est ainsi qu’onsavait r´esoudre alg´ebriquement depuis plus d’un si`ecle les

´equations qui se rapportent `a la division d’un arc de cercle,toutefois en supposant connue celle de la circonf´erence enti`ere,cette derni`ere n’´etant donn´ee g´en´eralement que dans ces der-niers temps par les travaux de M GAUSS Vous voyezdonc Monsieur, que M ABEL a prouv´e ce th´eor`eme impor-tant, comme vous le nommez, dans son premier M´emoire sur lesFonctions Elliptiques, quoiqu’il n’y ait pas trait´e de la transfor-mation, et qu’il ne paraˆıt pas mˆeme avoir song´e, du temps qu’il

le composa, que ses formules et ses th´eor`emes trouveront unepareille application Quant `a moi, je n’ai pas trouv´e n´ecessaire

de reproduire cette d´emonstration dans les ´ecrits que j’ai bli´es jusqu’ici sur cette mati`ere, car il me reste trop `a faire pour

pu-ne pas ´epargpu-ner mon temps le plus que possible«

Die in den oben angegebenen algebraischen Ausdr ¨ucken den Gr ¨ossen