Truyền nhiệt CI Khái niệm cơ bản Truyền nhiệt Phương trình vi phân dẫn nhiệt

DẪN NHIỆT ⇒ Nhiệt lượng truyền giữa hai vật tiếp xúc trực tiếp với nhau có chênh lệch nhiệt độ ⇒ hoặc giữa các vùng có nhiệt độ khác nhau trong cùng một vật... TRAO ĐỔI NHIỆT ĐỐI LƯU ⇒

Chương I

Friday, September 17,

2010

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ

TRUYỀN NHIỆT và PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT

A CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Nhiệt lượng

⇒ Là năng lượng trao đổi khi có chênh lệch nhiệt độ

Nhiệt lượng trao đổi theo ba hình thức cơ bản: dẫn nhiệt,

I DẪN NHIỆT

⇒ Nhiệt lượng truyền giữa hai vật tiếp xúc trực tiếp

với nhau có chênh lệch nhiệt độ

⇒ hoặc giữa các vùng có nhiệt độ khác nhau trong

cùng một vật

II TRAO ĐỔI NHIỆT ĐỐI LƯU

⇒ Nhiệt lượng trao đổi giữa lưu chất và bề mặt rắn

khi có chênh lệch nhiệt độ

III TRAO ĐỔI NHIỆT BỨC XẠ

⇒ Nhiệt lượng trao đổi giữa hai vật có nhiệt độ

chênh lệch không tiếp xúc nhau trong môi trường

chất khí hoặc chân không

V TRAO ĐỔI NHIỆT PHỨC TẠP

⇒ Nhiệt lượng truyền giữa hai đối tượng có chênh

lệch nhiệt độ từ hai cách trên trở lên

Quá trình truyền nhiệt năng có liên quan chặt chẽ với sự phân bố nhiệt độ (hay gradient nhiệt độ)

VI TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ

Nhiệt độ Là thông số trạng thái biểu thị mức độ nóng

lạnh của vật

Là yếu tố quyết định phương hướng chuyển động của dòng nhiệt

Trường nhiệt độ Mô tả giá trị nhiệt độ trong vật theo

=

τ

=

,,,rft

,z,,rft

,z,y,xft

(1-1)

• Trường nhiệt độ ổn định

0t

z,y,xft

=τ

,y,xft

0zt

y,xft

=τ

0z

ty

t

xft

=τ

VII GRADIENT NHIỆT ĐỘ

Mặt đẳng nhiệt: Tập hợp các điểm có nhiệt độ giống

nhau tại một thời điểm nào đó

 Mặt đẳng nhiệt không cắt nhau

 Nhiệt độ sẽ thay đổi khi đi qua các mặt đẳng nhiệt

Gradient nhiệt độ: Độ biến thiên nhiệt độ theo phương

pháp tuyến

Là vectơ trùng với phương pháp

tuyến của bề mặt đẳng nhiệt theo

chiều tăng của nhiệt độ

t

kz

tj

y

ti

x

tt

∂

∂+

⋅

∂

∂+

Hay grad t = no grad t (1-7)

no Vectơ pháp tuyến đơn vị theo chiều tăng nhiệt độ với bề mặt đẳng nhiệt

k)z,ncos(

j)y,ncos(

i)x,ncos(

no = ⋅ + ⋅ + ⋅  (1-8)

z

2 y

2

'tt

VIII NGUỒN NHIỆT

Nguồn nhiệt là năng lượng chuyển hóa từ dòng điện,

phản ứng nguyên tử hoặc từ các phản ứng hóa học thành năng lượng nhiệt,

tính cho một đơn vị thể tích qv, W m3

Nhiệt lượng sinh ra từ thể tích V do nguồn nhiệt bên trong

B ĐỊNH LUẬT FOURIER

Đây là định luật cơ bản của dẫn nhiệt trong vật chất

“Nhiệt lượng dQτ truyền qua phần tử bề mặt đẳng nhiệt dF trong khoảng thời gian dτ tỷ lệ thuận với gradient nhiệt độ”

Dấu “ −” Do nhiệt lượng luôn đi từ nơi có nhiệt độ cao

đến nơi có nhiệt độ thấp

λ Hệ số dẫn nhiệt, là thông số vật lý đặc trưng

cho khả năng dẫn nhiệt của vật liệu W/(m.K)

Mật độ dòng nhiệt nhiệt lượng truyền qua một đơn vị

bề mặt đẳng nhiệt trong một đơn vị thời gian:

n

td

−

=τ

⋅

kqjqiq

−

=

z

tq

y

tq

x

tq

z y

x

(1-14)

tgrad

qF = − λ ⋅ hay qF = − λ ⋅∇t (1-15) Trường hợp tổng quát:

Dòng nhiệt truyền qua mặt đẳng nhiệt F trong một đơn vị

thời gian:

dFt

grad

C PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT

Hiện tượng dẫn nhiệt luôn liên quan với sự chuyển động

vi mô của vật chất

 Trong chất khí

⇒ là do khuếch tán của các phân tử và nguyên tử

 Trong chất lỏng và chất cách điện

⇒ do tác dụng của sóng đàn hồi

 Trong kim loại

⇒ do sự khuếch tán của các điện tử tự do (dao động

đàn hồi của mạng tinh thể đóng vai trò thứ yếu) Các giả thuyết khi thiết lập phương trình vi phân dẫn nhiệt: + Vật đồng chất và đẳng hướng

+ Thông số vật lý là hằng số

+ Vật xem là hoàn toàn cứng (sự thay đổi thể tích do nhiệt độ gây nên rất bé)

+ Các phần vĩ mô của vật không có sự chuyển động tương đối vơí nhau

+ Nguồn nhiệt bên trong phân bố đều: qv = const, W/m3

Phương trình vi phân dẫn nhiệt được xây dựng dựa trên

cơ sở định luật bảo toàn năng lượng và định luật Fourier

Định luật bảo toàn năng lượng: “Nhiệt lượng δQ 1 đưa

vào phần tử thể tích dV sau khoảng thời gian dτ do dẫn nhiệt

và do nguồn nhiệt bên trong phát ra bằng sự biến thiên nội

năng trong phần tử thể tích vật”

QQ

δQ1 Nhiệt lượng đưa vào phần tử thể tích bằng dẫn

nhiệt sau khoảng thời gian dτ

δQ2 Nhiệt lượng phát sinh trong phần tử thể tích sau

khoảng thời gian dτ do nguồn nhiệt bên trong

δQ Độ biến thiên nội năng trong phần tử thể tích dv

sau khoảng thời gian dτ

Theo phương x, nhiệt lượng đưa vào tại vị trí x và đưa ra

x sau khoảng thời gian dτ :

q

QQ

Q

dx x x

dx x x

x

(1-19.a)

Hàm qx+dx liên tục trong khoảng dx, do đó có thể khai

triển theo chuổi Taylor như sau:

!n

dxx

q

!2

dxx

qdx

x

qq

2x

2 x

x dx

∂

∂++

⋅

∂

∂+

⋅

∂

∂+

Như vậy, nhiệt lượng tích tụ lại trong phần tử thể tích dv

sau khoảng thời gian dτ do dẫn nhiệt là:



∂ ∂ ∂

∂+

∂+

∂

=

∂

qq

q

QQ

Q

Q1 x y 1z

(1-19.c)

Nhiệt lượng tỏa ra do nguồn nhiệt bên trong q [W/mv 3]

(phân bố đều):

τ

⋅

⋅τ

∂

∂

⋅ρ

⋅

=τ

⋅τ

tC

d

tdmC

Q

CC

Cv p

(1-19.e) Thay 1-19.c, 1-19.d, 1-19.e vào 1-18

−

=τ

∂

∂

.C

qq

.C

1

(1-20) Thế phương trình 1-15 vào 1-20

λ

=τ

∂

∂

.C

qt

.C

∂

∂

.C

qt

a

(1-21) ρ

λ

=.C

a hệ số khuếch tán nhiệt, là thông số vật lý tồn tại

trong quá trình dẫn nhiệt không ổn định và đặc trưng cho tốc độ biến thiên nhiệt độ của vật

Trong hệ tọa độ trụ

Ta thế quan hệ sau

sinry

cosr

x

(1-22)

vào phương trình 1-21, phương trình vi phân dẫn nhiệt

trong hệ tọa độ trụ có dạng:

∂

∂

.C

qz

t

tr

1r

tr

1r

ta

2

2 2

2 2

2 2

(1-23)

Trong hệ tọa độ cầu:

Ta thế quan hệ sau

⋅

=

θ

⋅φ

⋅

=cosr

z

sinsin

ry

sincos

∂

∂

⋅θ

q

tsin

.r

1t

sinsin

.r

1t

rrr

1a

2

2 2

2 2

2

2

(1-25)

∂

.C

qt

0t

0z

t0

yt

∂

∂

.C

qz

t

tr

1r

tr

1r

ta

2

2 2

2 2

2 2

Trường hợp này mặt đẳng nhiệt là những mặt trụ đồng tâm → nhiệt độ chỉ thay đổi theo phương bán kính

∂

∂

0q

0t

0z

t0

1dr

dr

dtrdr

III TRONG HỆ TỌA ĐỘ CẦU

Phương trình tổng quát 1-25

∂

∂

⋅ θ

q

t sin

r

1 t

sin sin

r

1 t

r r r

1 a

2

2 2

2 2

0t

0

t0

2dr

td0

t

rdr

dr

1

2

2 2

2

=

⋅+

dtr

0n

ii Tọa độ trụ

iii Tọa độ cầu

E ĐIỀU KIỆN ĐƠN TRỊ

I ĐIỀU KIỆN HÌNH HỌC

Đặc trưng hình dáng, kích thước của vật tham gia quá trình

II ĐIỀU KIỆN VẬT LÝ

Cho biết các thông số vật lý của vật: λ, C, ρ … và có

thể cho biết qui luật phân bố nguồn nhiệt bên trong vật

III ĐIỀU KIỆN THỜI GIAN HAY ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU

Điều kiện này cần thiết khi khảo sát quá trình không ổn định, nó cho biết qui luật phân bố nhiệt độ trong vật ở một thời điểm nào đó

Trong trường hợp chung, điều kiện này có thể biểu diễn dưới dạng:

Khi τ = 0 t = (x,y,z)

Nếu ở thời điểm ban đầu sự phân bố nhiệt độ đồng nhất thì:

Khi τ = 0 t = to = const

IV ĐIỀU KIỆN BIÊN

Cho biết đặc điểm tiến hành quá trình trên bề mặt của

vật Có thể biểu thị dưới dạng số học, dạng hàm số hoặc

dạng phương trình vi phân

1 Điều kiện biên loại 1

Cho biết nhiệt độ bề mặt của vật tw, cần xác định nhiệt lượng truyền qua δQ

2 Điều kiện biên loại 2

Cho biết nhiệt lượng truyền qua δQ, cần tìm quy luật

phân bố nhiệt độ bề mặt của vật tw

3 Điều kiện biên loại 3

Cho biết nhiệt độ môi trường xung quanh tf và quy luật trao đổi nhiệt giữa bề mặt với môi trường (trong quá trình

làm nguội hay gia nhiệt)

Định luật Newton-Rieman cho trường hợp trao đổi nhiệt đối lưu

(tf tw )

Nhiệt lượng này cũng bằng nhiệt lượng do dẫn nhiệt

(tại bề mặt):

t

−

⋅λ

4 Điều kiện biên loại 4

Điều kiện này đặc trưng cho qui luật truyền nhiệt năng giữa hai vật tiếp xúc nhau

Giả thuyết giữa các vật có sự tiếp xúc lý tưởng (nhiệt độ

chổ tiếp xúc đồng nhất) thì:

w

2 w

tn