Chuyên đề: Phương trình và bất phương trình logarit pptx

Chuyên đề: Phương trình và bất phương trình logarit.“Theo hướng dẫn mới nhất của Bộ giáo dục và đào tạo trong kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2009, thì đối với dạng bài tập về PT, BPT mũ và l

Chuyên đề: Phương trình và bất phương trình logarit.

“Theo hướng dẫn mới nhất của Bộ giáo dục và đào tạo trong kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2009, thì đối với dạng bài tập về PT, BPT mũ và logarit

sẽ không xét các PT, BPT chứa tham số; cũng như các PT, BPT chứa ẩn đồng thời ở cơ số và số mũ, hay chứa ẩn đồng thời ở cơ số và biểu thức dưới dấu logarit.”

A Kiến thức cơ bản:

1 Hàm số y = logax xác định khi x > 0

+ Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến

+ Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến

2 Một số tính chất đối với hàm số logarit

+) loga(xy) = loga x+ loga y,

y

x

a a









+) loga x loga x , loga 1loga x

α

α = = ,

+) a x a b b x a x logx a

1 log

, log log

B Một số phương pháp cơ bản giải PT – BPT logarit.

1 Phương pháp 1:

Đưa 2 vế của phương trình và bất phương trình về cùng 1 cơ số.

Kết quả:

1 loga f(x) = loga g(x) ⇔ f(x) = g(x) 2 loga f(x) =b ⇔ f(x) = ab

3 loga f(x) > loga g(x), xảy ra 2 khả

năng

+ Nếu a > 1 thì bpt ⇔ f(x) > g(x)

+ Nếu 0 < a < 1 thì bpt ⇔ f(x) <

g(x)

4 loga f(x) >b, xảy ra 2 khả năng + Nếu a > 1 thì bpt ⇔ f(x) > ab + Nếu 0 < a < 1 thì bpt ⇔ f(x) <

ab

Lưu ý rằng với các PT, BPT logarit ta cần phải đặt điều kiện để các biểu thức log a f(x) có nghĩa là f(x) ≥ 0

Một số ví dụ minh họa

1) log2(x2 – 4x – 7) = 2 2) 2 log log log 9

2 2

2 x+ x+ x=

3) log log log 6

2 3

3

4) log3(x + 2) + log3(x - 2) = 5 6) 0

4 log

log

2 6 7 ,









+

+

x

x x

7) log (4 144) 4 log 2 1 log ( 2 2 1 )

5 5

8) log 3 2 0

2

2

x x x

9) ( ) 0

3 2 4 log 2 27 2 15 4





+ +

2 Phương pháp 2: Dùng ẩn phụ

Với các PT, BPT mà có thể biểu diễn theo biểu thức logaf(x) thì ta có thể sử dụng phép đặt ẩn phụ t = logaf(x) Ngoài việc đặt điều kiện để biểu thức logaf(x) có nghĩa là f(x) > 0, chúng ta cần phải chú ý đến đặc điểm của PT, BPT đang xét ( chứa căn, có ẩn ở mẫu) khi đó ta phải đặt điều kiện cho các

PT, BPT có nghĩa

Một số ví dụ minh họa

1) 4 − log3 x= 3 log3x 2) log 3 log log 2

2 2

2

1 log

2 log

log

2

2

2

+

−

−

x

x x

log

2 1 log

6

2 2

= +

x

5) 1 + log2 x + 4 log4 x− 2 = 4 6) 2

) 1 log(

1

2 )

1 ( log 1

) 1 log(

1

− +

+

− +

− +

x x

x

7) loglog 2x x loglog 48x x

16

8 4

3

2

3 x+ x+ − =

3 Phương pháp 3: Phương pháp mũ hóa

Đôi khi ta không thể giải một PT, BPT logarit bằng cách đưa về cùng một

cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể đặt x = at ⇒ PT, BPT cơ bản (phương pháp này gọi là mũ hóa)

Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường chứa nhiều cơ số khác nhau

Một số ví dụ minh họa

1) log2x+ log3 x= 1 2) log3 x+ log5 x= lg 15

3) log3(x+ 1 ) + log5( 2x+ 1 ) = 2 4) log2x = log5(x + 3)

4 Phương pháp 4: Phương pháp đánh giá (hàm số).

Cơ sở của phương pháp như sau:

Ta xét pt: f(x) = g(x) (1)

+ Nếu trên điều kiện xác định của pt ta có : f(x) ≥ m và g(x) ≤ m thì khi đó

pt (1) xẩy ra khi và chỉ khi







=

=

m x g

m x f

) (

) (

⇒ giải hệ thu được nghiệm của PT + Trong một số trường hợp ta có thể tìm được giá trị x = a sao cho f(a) = g(a), còn với mọi x ≠a thì f(a) ≠ g(a) ⇒ tức là PT chỉ có duy nhất nghiệm x

= a

Một số ví dụ minh họa

1) log2x = 3 - x 2) log3(x2 + x + 1) – log3x = 2x - x2 3) log(x2 – x – 12) + x = log(x + 3)

3

2

2

+ +

+

x x x x

BÀI TẬP

Giải phương trình mũ

1) 62x+ 4 =3 23x x+ 8 2)

1

.

4 3 16

x x

−

 ÷

 

3) 2 5( x + 24) − 5x − = 7 5x + 7 4) 4x − 10.2x− 1 − 24 0 =

5) 22x −3.2x+ 2 +32 0= 6) 4x+ 1 + 2x+ 4 = 2x+ 2 + 16

7) 125x +50x = 23x+ 1 8) 8x +18x = 2.27x

9) 25 2x x− + 2 1 + 9 2x x− + 2 1 = 34.15 2x x− 2 10) 32x+ 1 =3x+ 2+ 1 6.3− x +32x+ 2 11) 4 x− 2 + =16 10.2 x− 2 12) 4.3 9.2 5.62

x

x − x = 13) (2 − 3) (x + + 2 3)x = 14 14) ( 2 − 3) (x + 2 + 3)x = 4 15) (4 − 15) (x + + 4 15)x = 62 16) (5 − 21) (x + 7 5 + 21)x = 2x+ 3

17) (7 3 5 + )x + 12 7 3 5( − )x = 2x+ 3 18) 2 3 5x x− 1 x− 2 =12

19) 4 xx = x4x 20) 3x+ 2 + 9x+ 1 = 4

21) 3.25x−2+(3x−10 5) x−2 + − =3 x 0 22) 2 2 ( ) 2

1 1

4x +x +2 −x =2 x+ +1 23) 64.9x −84.12x +27.16x =0 24) 4sin 2x +2cos 2x = +2 2

x

27) 2x+1 −4x = −x 1 28) 2x + =3x 5x

29) (2 − 3) (x + + 2 3)x = 4x 30) ( 3 − 2) (x+ 3 + 2) ( )x = 5 x Giải phương trình và bất phương trình logarit

1) log2( x− +3) log2( x− =1) 3 2) 2( ) 1

8

log x+ 4x +12x+ +9 log x+ 6x +23x+21 =4

6) lg( x2 + − + + − =x 6) x2 x 3 lg( x+ +3) 3x

3

1 log 3 1 2

2

x+ − − x x+ =

log 4x + = 1 log 2x+ − + 6 x 10) ( 2 ) 3

1

x

x

+

−

11) log log3 9 9 2

2

13) 4 log9 x+log 3 3x = 14) ( 2 ) ( )

2

log x − = 1 log x− 1 15) 4( )2 2( )3

lg x− 1 + lg x− 1 = 25 16) log 2 2 log 6 2 log 4 2 2

4 x − x = 2.3 x

Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và logarit

2

3

4

24.2(log 2 x)2 + x log 2 x ≤ 4 25.log5(x2 + 4 x + m)− log5( )x2 + 1 < 1

3 3

1

3 10 3

− +

+

+

−

x x

x

≥ 0 27.(x + 1)log23x + 4 x log3x − 16 = 0 28) logx(log3(9x - 72)) ≤ 1 29) 2x2−x −22+x−x2 =3 30) 2 2x + 3 3x > 6x − 1

31)











= + +

−

=

+

y

y y

x

x x

x

2 2

2 4

4 5

2

1

2 3

2

1 − 2 − + >

x

ln :33) 16 x – 3 x ≤ 4 x + 9 x

34) log2(x2 2 x 3)y 8 7 y2 3 y

2

+

−

≤ +

+ + 35) 8x + 4.12x - 18x - 2.27x = 0

log 4x + 144 − 4log 2 1 log 2 < + x− + 1

37) 2x2 +x − 4.2x2 −x − 2 2x + = 4 0 38) (x ) log (x 1) log ( )4x

4

1 3 log

2

1

2

8 4

39).2 log5x − logx125 < 1 40) 15 2x+1 + 1 ≥ 2x − 1 + 2x+1

41) ( )2 , 5 x − 2( )0 , 4 x+1 + 1 , 6 < 0 42 2(log 2 x)2 + x log 2 x ≤ 4

43) 4x 2 + x 2x2+1 +3.2x2 > x 2 2x2 +8x +12 44) ( )3

8

2

4 x + log x − 1

45).32x2+2x+1 −28.3x2+x +9 =0 46) logx−1(x + 1) > logx2−1(x + 1)

47)







= +

=

−

5

1152 2

3

2

2 x y log

log

y

x

48)









= +

+ +

= +

1

2

2 2

2

y x

a x y x

x

3

1 3 3

1 2 +  1 1 >



2 2









+

x log

x log x

log x log x

51) 2x−1 − 2x2−x =(x − 1)2 52) 4x2−3x+2 +4x2+6x+5 =42x2+3x+7 +1

53)









+

= + +

=

+

1 1

3

2 3 2

2

2

3 2

1

3

x xy x

. y x

y x

54)









= + + +

=

−

1 1 1

2 3 9

2 2

3

2 2

y x

xy log

xy log

2

1 7

1 log

6

+

−

x

x

56) log log3( 2 2log2 1) 3

1 3 3

3











57)log ( x 3 log x )









+

−

=

−

=

+

y x log y

x log

x

y y x

3

32 4









−

= +

− +

− +

+

= +

− +

1 4

2 2 4

1

3 1

2

4

2 4 4

4 4

2 2 4

y

x log x

y y

log xy

log

y x log x

log y

x log

60)xn + (a - x)n ≥ 2a2 n 61) 3x- log68x = log6(33x + x2 – 9) Sau khi làm các bài trên làm các bài sau

4

os2 log cos 2 os6 1

2 + =2 c x+ x −c x−

2

2x − x+ x −34x+376 x − +34 376 3log (+ x −34x+376) =35

2

Bài 4 : 212cosx2 +42cosx2 −(21 4)+ 2cosx2 =(21 4)+ 2sinx2 −212sinx2 −42sinx2 Bài 5 : 64x −3.343x− 1 = +8 12.4 7x x− 1

Bài 6 giải và biện luận PTlog2 x m x 3x 2

−

Bài 7( )sinx 2 ( )sinx 2

sinx cos+ x + 2sinx 2cos− x =3

Bài 8 : 20.11 1999x x+11x =1 Bài9 : 3x = + +1 x log (1 2 )3 + x

2

8sinx 12s inx 10sinx

2

x

12 : 3 t anx 1.sinx 2cos 21 t anx

sinx 3cos

x x

−

+

+

7

x

c

π

Bài 14 cho 0;

2

∈ ÷ chứng minh rằng os2 1

c otx

s in2

c x

x

≥

Bài15 cho

0;

2

n N

∈





 ∈ ÷



Chứng minh rằng t anxn +c otxn ≥ +2 n c2 os 22 x

Bài 16 cho 0 ( 1)

2

< + < CMR (1 cos− n x) (1 cos+ n x) <tgnx.sinx Bài 17 cho (3 2 2 + ) (x = 2 1 − )x + 3CMR ( 2 1) 2 os

9

x

Bài 18 cho pt lgx =sinxChứng minh rằng phương trình có nghiệm trong khoảng 3 ;5

π π

Bài 19 ( 2 sinx cos ) 20072 s inx cos 5

2007

log 2007 +4 x − =4 200 +4 x− −1

Bài 20 trong các nghiệm của bất phương trình saulogx2+y2 ( x y + ) ≥ 1

Tìm nghiệm sao cho x+2y lớn nhất Bài 23 2 2

3x +3x =2x +4x

2 x 7x 12 1 14x 2x 24 2 logx

Bài 22 giải hệ phương trình

4 cos

4

1 5 os 3

2

1 sinx sin 2

c x

m x

π



 +



24

x x

    25.a) 22x + 32x = 3x+1 + + + 2x x 1

25b) (1+ x) (2 4+ x) =3.4x

26.cho a b c , , > 0CMR ab c+ + ba c+ + ca b+ ≥ 1

27.tìm a để pt sau có 3 nghiệm

x x

x a

− −

28 tìm a để phương trình có it nhất 1 nghiệm

2

4 4

1 4 2 2 2 4

π

29 2 log3 6

x

30.cho

2

0 ≤ x < π

2

3 tan

sin

2 x + x > x+ b.CMR 2sinx +2tanx ≥ 2x+1

31 .CMR

a

a b a

b b

a

với 0<a<b

32

b

a b Tana Tanb

a

a

b

2

cos

−

<

−

<

−

với 0<a<b<π2

33

x x

x









 + +

>













+

+

+

1

1 1 1

1

1

1

với x>0

34 na n− 1(b−a) <b n -a n < nb n− 1(b−a) với 0<a<b ,n>1

35

2

 

37

41

( )

2 1

12 os 5 12 os 7 24 os 13 11 sin

3

4

x y

π







45 ):Cho bất phương trình: x 2x−x2 < x2 −ax2x +a2x 2x−x2

1.Giải bpt khi a=-1.2.Tìm a để bpt có nghiệm x>1

- Hết -