Hướng dẫn giải bài tập lũy thừa và logarit docx

Cho a,b là các số dương .Rút gọn biểu thức sau : a...  Nếu hai số là hai lũy thừa , thì ta phải chú ý đến cơ số , sau đó sử dụng tính chất của lũy thừa dạng bất đẳng thức... HƯỚNG DẦN G

Trang 1

HƯỚNG DẦN GIẢI BÀI TẬP LŨY THỪA VÀ LO GA RÍT

BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA DẠNG : RÚT GỌN

Bài 1: Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )

1

3

: 2



( đáp số : D=1 )

b

2

B

Giải

a/

   

1 1

2

1

2



1

b/

2

9

Bài 2 Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )

1

ax 4



Giải

a

4

A

2 2

1 -1

2

ax





LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ Bài 1 Cho a,b là các số dương Rút gọn biểu thức sau

2

1 1

2 2

1 2 a b :

b



Trang 2

   

2 2

2

2 2

2



 

2



Bài 2 Cho a,b là các số dương Rút gọn biểu thức sau :

a 3 a3b a 23 b23 3 ab

1 1

3 3 : 2 3 a 3 b

Giải

a/ 3a3b a 23 b23  3ab3 a3b   3a 2 3a b3  3b 2    3 a 3 3b 3  a b

b/

: 2

2



Bài 3.Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )

a

1 1

3 2

4 4

b

2 2 2

4 4 4 2

a B

a a

a





  



Giải

a/

3

2

4

a a

B

a a







Bài 4 Tính giá trị các biểu thức sa ( với giả thiết chúng có nghĩa )

1

2



b

5 3

3

5 2

10 5

2 27

3 32 2 3

2 3

y





Với y = 1,2

Giải

Trang 3

1



Với x= 3,92 x2 3,92 4 x2 0,08 2 4  x2 0,16

5 3

1

3 3

1 1 5

2

1 1 5

5 2

2 27

y y



2 2 3y 3 y 3.2 y 2 3 y y

Với y=1,2 suy ra 2

1, 44

y 

Bài 5 Rút gọn biểu thức sau :

a

2

3 3

3

8

1 2

a



ĐS: A=0

b

6

B

Giải

1

3

8 8

a



0 8



b/

2

B



2

2 2

3 3

2

b a



Bài 6 Rút gọn biểu thức sau

a

1



Trang 4

b    

1 2

4

B



 

Giải

a/

1

2

3 5 2 5 2 3 3 5 15 A= 3 5 : 2 : 16 : 5 2 3

b/

 

3

B



Bài 7 Rút gọn biểu thức sau :

a

1 1

2 2

4 4

:



b

1 1

2 2



Giải

a/

1

a



b/

Bài 8 a Rút gọn các biểu thức sau :  

1

2

1 1

2 2

ax

C

x a



(đáp số C=1) b Chứng minh : a23 a b4 2  b23b a4 2  3 a2 3b23

Giải

Trang 5

2

1 1 1

2 2 2

ax

x a

2

1 1

2 2

2

1 1

2 2

1



b Chứng minh : a23 a b4 2  b23 b a4 2  3 a2 3b23

a2 3 a b4 2 b2 3 a b2 4 2 2a b2 2 a2 3a b2 4 b2 3 a b4 2 a2 33 a b4 2 33 a b2 4 b2

Bài 9.

8 8

1

Giải

3125

27

b/  1 8382 83 8 2 4342  3 2 ; VP 43 42 4342  3 2

 3 2  3 2 3 2 1 VT

Bài 10 Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau :

5 3

a b

Giải

3 1 3

Trang 6

b/

1

1 1

11 16

a



LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ VÔ TỶ Bài 1 Đơn giản các biểu thức :

a

2 1

a



 

 

  b a.4 a a2: 4  c  3 3

:

Giải

2 1

a



 

 

1 1 2

2 4

a



2

a

Bài 2 Đơn giản các biểu thức :

a

2 2 2 3

2





4 3 3

1



(đáp số : a 3 1)

c

2 5 3 7 2 7



(đáp số : a 35  b37 ) d  

1 2

4



(đáp số : a b



Giải

a/

2



3

1

a

c/



DẠNG : SO SÁNH CÁC CẶP SỐ

 Nếu hai số là hai căn không cùng chỉ số , thì ta phải đưa chúng về dạng có cùng chỉ số , sau dó so sánh hai biểu thức dưới dấu căn với nha

 Nếu hai số là hai lũy thừa , thì ta phải chú ý đến cơ số , sau đó sử dụng tính chất của lũy thừa dạng bất đẳng thức

Trang 7

Bài 1 Hãy so sánh các cặp số sau :

   



   

Giải

3

15 3 15 3 5

30 30 243.10







b/ 45  3 7 Ta có :

3 12

4 12







6 3 6

3

6 2







d/ 413 523 Ta có :

20 5 20 4

5 4

20 4

13 13 371.293

23 23 279.841







e/

   



   

   

     

   

f/ 4 5  4 ;7 7  5 4 5 4 7

Bài 2 Hãy so sánh các cặp số sau :

a 1,7 0,8

1,7 0,8

   



   



d

5

2

5

1

7



 



 

 

e

2,5

12 1 2

2

  

  f 0,765  0,713

Giải a/ 21,7  2 ;0,8 vi:1,7 0,8  21,7 20,8 b/

2

do







 

c/

2

do



d/

5 0

7

do





;

Trang 8

e/    2  

2,5

2,5 6,25



f/

5 5 4 1

6 36 36 3

0 0,7 1

do

     

  

     

     

 







Bài 3 Chứng minh :202303 2

Giải

Ta có :

20 20

20 30 30

30







Bài 4 Tìm GTLN của các hàm số sau

a y 3 x x

0,5 x

y 

Giải

a/ y 3 x x

t x   yx x t t t  y  t   t   m  

 

b/  sin2

0,5 x

Bài 5 Tìm GTNN của các hàm số sau “

  c y 5sin 2x5cos 2x e 1 2

x x

y e 

Giải

GTNNy









b/

1 3

   



c/

sin os sin os

sin os





1

VẼ ĐỒ THỊ Bài 1 Hãy vẽ đồ thị của mỗi cặp hàm số sau trên cùng một hệ trục

   c y x 2  y x 12

( Học sinh tự vẽ đồ thị )

Trang 9

Bài 2 Chứng minh hàm số sau đây là đơn điệu :

2 2

2

y



Giải

Giả sử :

 

   

 

     

1 2

   



   

1 2



Bài 3 Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là đồng biến , hàm số nào là nghịch biến ?

a

3

x

y  

x

y e

 

 

x



x x



Giải

a/

3

x

y  

x

y

   

x

y

e

 

 

x

y

 

    

x



x

d/

3

x

x x

x



BÀI TẬP VỀ LÔ-GA-RÍT

I SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VỀ LOGARIT Bài 1 Tìm tập xác định của các hàm số sau :

2

1 log

5

x y

x





2

5

1 log log

3

x y

x



1

x y

x





2 0,3 3

2 log log

5

x y

x



2

1

x



2

1

6

x y

x







Giải

2

1 log

5

x y

x





1 2

1

0

1 1

x

x x







Vậy D=1; 

Trang 10

b/

2

5

1 log log

3

x y

x



2 3

2

1

3

x





 



3; 2 2;7

x

     



        



Phần còn lại học sinh tự giải

Bài 2 Tính giá trị của các biểu thức sau :

1 1log 4

log 8 log 2

4 2



4

1log 3 3log 5

1 log 5 2



1log 9 log 6

log 4 2



Giải

log 4 log 8 log 2 4 log 4 2log 2 2log 2

1

2 3log 2

1 log 4 3 log 4 3

4



4

1log 3 3log 5

2 1 log 5 log 3 6log 5

1log 9 log 6

log 4 log 9 2log 6 2log 4

36 16

II SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC VỀ LO-GA-RÍT Bài 1 Tính giá trị của các biểu thức sau :

a A log 15 log 18 log 109  9  9 b 1 1 1 3

1 2log 6 log 400 3log 45

2

6

1 log 2 log 3

2

4

log log 4.log 3

D 

Giải

log 15 log 18 log 10 log log 3 log 3

6

log 2 log 3 log 2 log 3 log 2.3

Trang 11

4

log log 4.log 3 log log 3.log 4 log log 4 log 2

Bài 2 Hãy tính

a log 2sin2 log os2

1 log log 216 2log 10 4log 3

3

x

Giải

1

c/ C=log tan 4 log cot 4 log tan 4.cot 410  10    log1 0

log log 216 2log 10 4log 3 log 6 log 10 log 3 log

Bài 3 Hãy tính :

b Chứng minh :

log log log

1 log

a

bx

x







2

1

loga loga loga k 2loga

k k



Giải

a/

log 2 log 3 log 2011 log 1.2.3 2011

A

log 2011!x

log log log

1 log

a

bx

x







log

log ax 1 log

x



2

1

loga loga loga k 2loga

k k



log log log 1 2 3 log

2log

k

a

x



Bài 4 Tính :

5 3 3 2

log

a

a a

d log tan10log tan 20log tan 30 log tan 89 0

Trang 12

a/

1 1 3

2 5 10

b/

1

1 1

2

3

   

 

c/

3 2 1

2 4

a a

 



d/ log tan10log tan 20log tan 30 log tan 89 0 log tan1 tan 89 tan 2 tan 87 tan 45 0 0 0 0 0 0

tan 89 cot1  tan1 tan 89 tan1 cot1 1; Tương tự suy ra kết quả

1 log 2.log 3.log 4 log 14.log 15 log 15.log 14 log 4.log 3.log 2 log 2

4

Bài 5 Chứng minh rằng :

a.Nếu : a2b2 c a2; 0,b0,c0,c b 1, thì :

logc b alogc b a2logc b a.logc b a

b Nếu 0<N1thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo thứ tự đó ) là :

, , 1

a b c



c Nếu : log ,log ,logx a y b z ctạo thành cấp số cộng ( theo thứ tự đó )thì :

2log log

log log

b





Giải

a/ Từ giả thiết : a2 c2 b2 c b c b     2 log ac b logac b 

b/ Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có : b2 ac

Lấy lo ga rít cơ số N 2 vế :

2log log log

c/ Nếu : log ,log ,logx a y b z ctạo thành cấp số cộng thì logx alogz c2logy b

2log log

log

b

y



2 2

3

a b

Trang 13

ln ln

III SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ Bài 1 Tính

a.A log 166 Biết : log 27 x12 

b B log 30125 Biết : log 3a;log 2b c C log 1353 Biết: log 52 a;log 32 b

d D log 356 Biết : log 527 a;log 78 b;log 32 c e Tính : log 3249 Biết : log 14 a2 

Giải



(*)

Do đó :

4

6

log 2 4log 2 log 16

log 6 1 log 2

 



2

log 3

C



log 5 log 5 log 5 3 ; log 7 log 7 log 7 3

6

log 3.log 5 log 7

log 35

b a

D



e/ Ta có : log 142   a 1 log 72  a log 72  a 1

Vậy :

 

5 2

log 32

log 7 2log 7 2 a 1



Bài 2 Rút gọn các biểu thức

a Aloga blogb a2 log  a b logab blogb a1

b 2   log log 2 1 2 4

1

2

c C loga plogp a2 log a p logap p loga p

Giải

2

log 1

log

a

b

a

b

a



 2  2  2

1 3log x log x 8 log x 9 log x 3log x1

Trang 14

c/    

2 2



Bài 3 Trong mỗi trường hợp sau , hãy tính loga x , biết loga b3;loga c2:

c

2 4 2 4 3

x



Giải

2

4 3 3

c

c/ Ta có :

2 4 2 4 3

Bài 4 Chứng minh

a log 3  log 2 1log log 

2

b Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 1, ta có :

c  b ; log log loga b b c c a 1

Giải

a/ Từ giả thiết : a3b0;a29b2 10ab a2 6ab9b2 4ab a 3b2 4ab

2

b/ Chứng minh : log2a b log2a c

* Thật vậy :

loga b loga c loga c loga b loga c loga c



* log log loga b b c c a 1 log loga b b aloga a1

* Từ 2 kết quả trên ta có :

2

loga logb logc loga logb logc 1

Chứng tỏ trong 3 số luôn có ít nhất một số lớn hơn 1

IV BÀI TẬP VỀ SO SÁNH

Trang 15

 Nếu so sánh hai loga rít có cùng cơ số thì ta chú ý đến cơ số trong hai trường hợp (0;1)

và lớn hơn một để so sánh hai biểu thức bị lo ga rít hóa với nhau

 Trong trường hợp hai lo ga rít khác cơ sô , khác biểu thức bị lo ga rít hóa thì ta chọn một số b nào đó Sau đó ta so sánh hai lo ga rít với số b Từ đó suy ra kết quả

1 log 4 log

3

log 4 log 3 1;log log 4 1 log 4 log

 Ví dụ 2 So sánh : 3log 1,1 6  7log 0,99 6 Ta có :

log 1,1 log 1 log 0,99 log 1 log 1,1 log 0,99

3 3 1; 7 7  1 3 7

Bài 1 Không dùng bảng số và máy tính Hãy so sánh :

a log0,4 2 log 0,340,2 b 5 3

log log

5

1 log log 3 2

2  3 d log 2 log 33  2

e log 3 log 112  3 f 2 1

2

2log 5 log 9



5 log 3 log 11

9

8

log 2 log

9



1 log 2 log 5 2

3

1

18 6



 



 

 

Giải

a/ log0,4 2 log 0,340,2 Ta có : 0,4 0,4 0,2 0,4

2 1 log 2 log 1 0

log 0,3 log 2 0,3 1 log 0,3 log 1 0







log log









5

1 log

log 3 2

5

log 3 log 1 0

1

2

1 log 3 log

2









log 1 log 2 log 3 0 log 2 1

log 3 log 2 log 2 log 3 log 4 1 log 3 2







e/ log 3 log 112  3 Ta có : 2 3 2

1 log 3 2

log 11 log 3 log 11 log 9 2







2

2log 5 log 9



25 2log 5 log 9 log

9

2



2



g/ log 3 log2 4 5

11

9 11 5

5 1 5 log 9 log log log 3 log 2log 3 log

5 11

5 5



5 log 3 log 11

81.11 891 90

Trang 16

h/ 3 1

9

8

log 2 log

9



3 3

3 9 9

log 2 log 2log 2 log log 2 log log

8

 

 

 

1

log 2 log 5

1

18 6



 



 

 

1

2 log 2 log 5 log 10 log

3



 

 

 

Bài 2 Hãy so sánh :

a log 10 log 302  5 b log 5 log 43  7 c 3 1

2lne 8 ln

e

 

Giải

a/ log 10 log 302  5 Ta có : 2 2 2 5

log 10 log 8 3







b/ log 5 log 43  7 Ta có : 3 3 3 7

log 5 log 3 1







2lne 8 ln

e

3

2ln 2.3 6

1

8 ln 2 ln 1

8 ln 8 1 9

e

e e

e









Bài 3 Hãy chứng minh :

2

1 log 3 log 2

2

   b log 7 5 log 4 5

4 7 c log 7 log 3 23  7 

d log 5 2 log 3 2



Giải

2

1 log 3 log 2

2

b/ 4log 7 5 7log 4 5 Ta có :   5

log 7 log 4 log 7.log 4 log 4

c/ log 7 log 3 23  7  Ta có : 3 3 7 3

3

1 log 7 0 log 7 log 3 log 7 2

log 7

d/ 3log 5 2 5log 3 2 Ta có :   2

2 log 3 log 5 log 5.log 3 2

Trang 17

e/ 1 log 3 log19 log 2

1 log 3 log 10 log 3 log 3 10 log 900 2

log19 log 2 log log









361 1 log 900 log log 3 log19 log 2

f/ log5 7 log 5 log 7

Bài 4 Hãy so sánh :

log log

log e log  d

Giải

a/Ta có :









6 5

log log

5 6

3 1









 



log 9 log 17 Ta có : 1 1

1

log 9 log 17 3

9 17



 





 



1

log log

e





 





 



HÀM SỐ LO-GA-RÍT

I ĐẠO HÀM : Bài 1 Tính đạo hàm các hàm số sau :

y x  x e b sinx-cosx 2x

y







x

Giải

a/ yx2 2x2e x y'2x 2e xx2 2x2e x x e2 x

b/ sinx-cosx 2x ' cosx+sinx 2x 2 sinx-cosx  2x 3sin osx 2x

4 '



2

1

x



lnx 1 ln x 1 2ln x

Trang 18

Bài 2 Tính đạo hàm các hàm số sau :

2

ln

4 log

4

x

y

x





2 3

9 log

5

x y

x

  



2

x y

x

  

Giải

2

2 1

1 ln 2

x



 

3



d/

2

ln10

II GIỚI HẠN Bài 1 Tìm các giới hạn sau :

0

ln 3 1 ln 2 1

lim

x



0

ln 3 1 lim

sin 2

x

x x





0

ln 4 1 lim

x

x x





0

lim

2

x







1 1

x x

e x





0

ln 1 lim

2

x

x x





Giải

a/

ln 3 1 3

sin 2

2

x x

x



4

 

5

3

x x

e





1 1

x x x

 

Bài 2 Tìm các giới hạn sau

0

ln 2 1

lim

tan

x





0

lim 5

x





0

1 lim

x x

e x





Trang 19

d

1

lim x

 



x

x x

x





Giải

ln 2 1 2

tan tan

x x

x



 

5

2

c/

3

1

x

e

x

e/ lim0sin 3 lim 30 sin 3 3

3

2 2 2

5 2sin

2

4 5

25 2

x



 

 

 

Bài 3 Tìm các giới hạn sau :

a lim0 osx 2os3

sin

x





b

2

1

os





  c lim 2 sin 3

x

4

2 2cos lim

sin

4

x

x x



Giải

2

2sin 2 sin



b/

2

1

os



Đặt :

2

c





2

2sin

2sin os

t

t t

c

2

tan

2

t x

t





c/ lim 2 sin 3

x

lim 2 sin lim 6 3 3

  





     





Trang 20

d/

4

2 2cos

lim

sin

4

x

x x



2 2cos

2 1 ost+sint

4

sin

4

c x

t x













t



Vậy :

4

2 2cos

2 sin

4

t o x

x



Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	1,11 MB