Xác định số hạng tổng quát của dãy số - Huỳnh Thanh Luân pptx

B3: Nghiệm của 2 là: *x = +x x Để không sử dụng kiến thức ngoài chương trình thì ta nên làm the Để không sử dụng kiến thức ngoài chương trình thì ta nên làm theo hướng: Làm nháp bằng phư

1 D·y tuyÕn tÝnh víi hÖ sè h»ng sè D·y tuyÕn tÝnh víi hÖ sè h»ng sè

1 0

1

2

1 1 0

(i) NÕu ( )* cã k nghiÖm thùc ph©n biÖt λ λ1, , ,2 λ k th× nghiÖm cña (1) lµ

VD: Gi¶i l¹i c¸c bµi tËp trong phÇn tr−íc

1.2.2 Lo¹i kh«ng thuÇn nhÊt: 1 2

B3: Nghiệm của (2) là: *

x = +x x

Để không sử dụng kiến thức ngoài chương trình thì ta nên làm the

Để không sử dụng kiến thức ngoài chương trình thì ta nên làm theo hướng: Làm nháp bằng phương o hướng: Làm nháp bằng phương

pháp sai phân để tìm nghiệm rồi ta sẽ chứng minh bằng qui nạp.

pháp sai phân để tìm nghiệm rồi ta sẽ chứng minh bằng qui nạp

nx n x x

n

nx n x x

k

kx k x x

Bài toán được giải xong

Giải lại các bài phần trước

1.3 Ta sẽ giải một số dãy đặc biệt gọi là dãy số tuần hoàn

x n k+ =x n,∀ =n 1,2, (1)

Số k bé nhất thỏa mãn (1) được gọi là chu kỳ của dãy số tuần hoàn { }x n n+∞=1

Sử dụng phương trình sai phân ta sẽ xác định được các dãy số tuần hoàn

Bài toán 1 (dãy số tuần hoàn chu kỳ 2)

Tìm dãy số { }x n n+∞1

= biết 1 2

2

,, 1,2,

Phương trình đặc trưng của dãy số đã cho là λ2 = ⇔ ∈ ư1 λ { }1,1 Do đó 1n ( 1) ,n 1,2,

n

x =A + ưB ∀ =n Bởi vậy từ giả thiết x1=α, x2 =β , ta có

22

trong đó các hằng số A, B, C sẽ được xác định khi biết x x x1, ,2 3

2( 1) 2( 1) A k cos k B k sin k , k 1,2,

trong đó các hằng số β β0, , ,1 β k−1 sẽ đ−ợc xác định khi biết x x1, , ,2 x k

2 Dãy phân tuyến tính với hệ số hằng số Dãy phân tuyến tính với hệ số hằng số

cx d

+ , nếu nó tồn tại Khi đó dãy số (x n n)+∞=1 gọi là dãy phân tuyến tính

Chú ý rằng nếu cho ( )x n n+∞=1 là dãy phân tuyến tính thì ta hiểu rằng với mọi n=1,2, … luôn tồn tại x n

y x z

y x z

0

1 1

1

0

1 1

2 1 1

Định lí 1 Cho , , ,a b c d∈R sao cho ad−bc≠0,c≠0 Cho x1∈ℝ và với mọi n = 1, 2, , đặt n 1

n n

Điều này quy về x1≠t n với mọi n mà t xác định n

NÕu c d 1

c d

αλβ

NÕu λ = −1 vµ x1≠β th× d·y { }x n ph©n kú víi c¸c gi¸ trÞ x vµ 1 x xen kÏ n

Tr−êng hîp λ=1 kh«ng thÓ x¶y ra

ax b a b x

cx d c d

α+

x X x

βα

x X x

βα

( 1)n

n

y = − , víi mäi n=1, 2,…, kh«ng héi tô (ph©n kú)

Ta cã lim 2n 1 lim( 1) 1 1 lim 2n

Từ n

n

n

x X

x

βα

βα

→∞

ư

=

ư , nghĩa là dãy { }X n hội tụ, đến đây ta gặp mâu thuẫn)

Trường hợp λ=1 không thể xảy ra bởi vì nếu λ=1 thì c d 1

c d

α

β+ =+ Suy ra

cα + =d cβ+d ⇒cα =cβ⇒α β= Mà điều này không thể xảy ra được do 2

c

ư

= Khi đó a) x1=g khi và chỉ khi x n = ∀ =g, n 1, 2,

cv d

+ , víi a = 0, b = − 1, c = 1 vµ d = 3(ad − bc = ≠ 1 0, c ≠ 0) Ph−¬ng tr×nh 2

b v

cx d

+

+

=+ , víi a = 0, b = 1, c = − 3, d = 4, c≠0,ad−bc= ≠3 0

Xét hai dãy số ( )y n và ( )z n thõa mãn điều kiện sau:

.3 ,n 1, 2,

n

y = +A B ∀ =n

( A và B là các hằng số sẽ tìm sau ) Vì z n =y n+1 nên 1

.3n , 1, 2,

n

z = +A B + ∀ =n Vì z1 =1 nên 1= + A 9 B Vì y1=x1 nên x1= +A 3B

216

x A

x B

y x

z = , khi đó

1

1 1

n n

n

x y

z

+

+ +

n

n n

giấy nháp, còn khi trình bày lời giải ta chỉ cần nêu công thức 1 1

minh công thức này bằng phương pháp quy nạp

Ngoài cách giải trên, sử dụng định lý 1 và định lý 4 ta cũng suy ra được kết quả

Bài tập 6 ( đề thi học sinh giỏi quốc gia, bảng B, năm học 2002-2003)

Cho số thực α ≠0 và dãy số thực { }x n ,n=1, 2, 3, , xác định bởi:

1 0, n 1( n ) 1 1, 2,

x = x + x +α = + ∀ =α n

a) Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho

b) Chứng minh dãy số ( )x n có giới hạn hữu hạn khi n→ +∞ Hãy tìm

cx d

+

+

=+ , với a=0, b= +α 1, c = 1, d=α, c≠0 và

+ +

y + = α+ z + = α+ y +αz = α + y +α α+ z = α+ y +αy + Vậy phương trình đặc trưng của dãy số { }y n là

1

n n

+

Ta có

n n n

A B

ααα

1 1

Xét dãy số { }x n n+∞=1 nh− sau: x1=1 và với mọi n = 1, 2 ,…, thì ( )

2 1

2 2 cos 2 2 cos 2

n n

n

x x

n n

đ−ợc số hạng tổng quát của dãy số { }y n Tuy nhiên, giải theo cách này sẽ gặp phải những tính toán không đơn giản, dễ gây nhầm lẫn nếu kỹ năng tính toán không thật vững

2 1

2 2 cos 2 2 cos

2 2 cos 2 2 cos 2

n n

n

x x

Bài tập 8: Cho dãy { }x n n+∞=1 như sau: 1 1, 1 2(2 1), 1, 2,

3

n n

+ Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ

và tìm giới hạn của dãy số đó

n x

→∞ =

Bài tập 9 ( Đề thi vô địch sinh viên Moskva, 1982 )

Cho dãy { }x n như sau: 0 1982, 1 1 ( 0,1, )

Bài tập 10 ( Đề thi vô địch Tiệp )

Cho dãy số ( )a n được xác định như sau:

Việc dự đoán công thức rồi dùng phương pháp qui nạp để chứng minh cũng là một phương pháp mạnh cho dãy

số vì các công thức trong phần dãy số đều phụ thuộc vào các số tự nhiên

1 2

Ta hy vọng rằng sẽ đưa được về dãy tuyến tính:

Ta dùng qui nạp để chứng minh công thức vừa dự đoán

Tæng qu¸t d·y sè cã d¹ng ( ) 1 2 2

1 2

;:

n n

u a u b

u u

Bạn đọc nên ghi nhớ một số phép đổi biến rất thường dùng sau đây (không những thường dùng trong dãy

số mà những phép đổi biến này còn hay dùng khi giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức,… )

+) Nếu ta gặp hàm đa thức bậc hai 2

41

63

n n

*)u n =bv n →v n+ =2v n−1

Và ta cũng biết rằng mọi tam thức bậc hai bất kỳ ta đều có thể đổi biến về đỉnh của nó để ta đ−ợc hàm chẵn, tức

là mất đi bậc nhất: 2

ax +b Tuy nhiên, nó có thỏ tính chất trên hay không thì ta cần phải kiểm tra cụ thể

1 2

π π

2 1

2 2

1

2 1

5 mét vµi D·y sè kh¸c mét vµi D·y sè kh¸c

1 1 1

1

n n

1

n n

1 1

n n n

x x− + =x +a (1) T−¬ng tù ta còng cã

2

n n n

x − x =x − +a (2) Trõ (1) cho (2) theo vÕ ta ®−îc

n n

2 1

, 2 trong đó:

n n

1, 166

113

n n n

u u u u

n n

Bài tập 21 : T×m x biÕt n u1=1,u n+1=2u n+ +n2 2.2 ,n n∈N*

Với mỗi n=1,2,… đặt p n( )= p n Khi đó p1=1 và với mỗi n=3,4,… ta có:

Vì p1=1,p2 =1 nên ta tìm đ−ợc A và B, từ đó tìm đ−ợc số hạng tổng quát của dãy số { }p n n+∞=1

Baứi taọp 25 : Tìm x biết n x1=1,x2 =0,x n+1−2x n +x n−1=2.2 ,n ∀ =n 2, 3,

1, 1

4 2 , 1, 1

( )

32

3 32

Baứi taọp 32 :

0 1

01

1

1

2

n n n

Lấy logarit hai vế

Baứi taọp 38 : Tìm dãy số { }x n n+∞1

= biết 2

x =α x+ =ax +bx + ∀ =c n (1) Trong đó a≠ và 0

2

24

b b c

  Thử lại bằng phương pháp quy nạp thấy đúng

Baứi taọp 39 : Tìm dãy số { }x n n+∞1

b ac

2 2