Chìa khoá giải toán ôn thi đại học

CHỨNG MINH 3 ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI : Ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng này nằm trên hai mặt phẳng phân biệt mà có giao Muốn tìm thiết diện của   với khối chóp: * Ta tìm các đ

Chuyên:

 THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI CỦA BGD & ĐT

 HỆ THỐNG TẤT CẢ CÁC CÔNG THỨC & PHƯƠNG

GIẢI TÍCH Vấn đề 1: Miền xác định của hàm số:

Miền xác định (MXĐ) của hàm sốy f x( )là

tập hợp tất cả các giá trị của biến số xRsao cho ta

tính được giá trị y f x( ) Kí hiệu: D f hoặc D và

Miền giá trị (MGT) của hàm số y f x( )là tập

hợp tất cả các giá trị yRsao cho ta tìm được biến

 Bước 3: Giải điều kiện ta tìm được y với yG

Lưu ý: Đây cũng là một phương pháp tìm

Vấn đề 4: Phương pháp khử dạng vô định

0:  Phân tích tử và mẫu (chia choxx0)(khi tử và mẫu là đa thức)

0 0

Chú ý: Hàm số sơ cấp xác định tại đâu thì liên tục

tại đó

Vấn đề 6: Đạo hàm

1 Qui tắc tính đạo hàm:

  1 0

1 lim 1 ,lim 1

x x

2 Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp:

3 Đạo hàm cấp 2:

 Dấu hiệu nhận biết:

Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng

(giảm) dần từ 1.2 đến (n-1).n hoặc tăng (giảm) dần

4 Đạo hàm cấp cao của hàm số:

Nếu hàm sốy f x( )có đạo hàm trên khoảng (a, b)

thì f x ( )là một hàm mới xác định trên khoảng (a, b)

Đạo hàm f x ( ) là đạo hàm cấp một Đạo hàm

của f x ( ) (nếu có) là đạo hàm cấp hai và ký hiệu:

đổi (còn gọi là hàm hằng) trên K

 a b, thì hàm sốy f x( )tăng trên a b, (tương tự cho các trường hợp khác)

số f x( )

b) Nếu f x ( )  0trên khoảng(x0h x; 0)và f x ( )  0trên khoảng( ;x x0 0h)thìx0là một điểm cực tiểu của hàm số f x( )

( )u v w u v w u v w u v w    '

e) 2

' ' ( 0)

6) (tan ) ' 2

os

u u

* Bước 4: Từ bảng biến thiên ta suy ra các điểm

cực trị

2 Định lý 2:

Cho hàm sốy f x( )có đạo hàm cấp 2 trong

khoảng (x0h x; 0h)với h > 0

a) Nếu f x ( 0)  0và f (x0)  0thìx0là điểm cực tiểu

b) Nếu f x ( 0)  0vàf (x0)  0thìx0là điểm cực đại

làA x y( ,1 1)vàB x y( 2, 2)trong đóx x1, 2là nghiệm của

phương trìnhy  0, để viết phương trình đường

thẳng đi qua A và B ta thực hiện các bước sau:

nghiệm của phương trìnhy  0, để viết phương

trình đường thẳng đi qua A và B ta thực hiện các

'( ) 0 '( ) '( ) 0 ''( ) 0

'( ) 0 '( ) '( ) 0 ''( ) 0

'( ) 0 '( ) '( ) 0 ''( ) 0

 Có n cực trị: y'  0có n nghiệm đơn (bội đơn)

 Không có cực trị: y'  0vô nghiệm hoặc có nghiệm kép (bội kép)

Lưu ý: Cực trị các hàm số như sau

- Hàm bậc 3 và bậc 2/bậc 1 hoặc có 2 cực trị hoặc không có cực trị

- Hàm trùng phương hoặc có 3 cực trị hoặc có 1 cực trị

- Hàm nhất biến không có cực trị

Vấn đề 9: Đồ thị lồi, lõm, điểm uốn

đổi dấu từ (+) sang (-) khi quax0

đổi dấu từ (-) sang (+) khi qua x0

đổi dấu khi qua

x0

* Bước 1: Giải phương trình f x ( )  0, giả sử có

nghiệmx x1; 2; ;x nđoạn a b, (ta loại nghiệm nằm

viếty f x( ) g t x( ( )) Gọi T là miền giá trị của hàm

số ( ) (thường gọi là điều kiện của t đối với x), thì:

min ( ) min ( ), ax ( ) ax g(t).

x f x  T g t m x f x m T

c) Tìm max – min của hàm số l.tục trên khoảng (a,

b) hoặc trên R

* Bước 1: Giải phương trình f x ( )  0 Giả sử n có

nghiệm x x1; 2; ;x nD (ta loại các nghiệm không

1 Đường thẳngyy0được gọi là đường tiệm cận

ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số

với( )C

b)Cho hàm sốy f x( ),yg x( )có đồ thị lần lượt

là(C1)và(C2) Ta nói(C1)và(C2)tiếp xúc với nhau tại điểmM  ( ;x y0 0)nếu chúng có một tiếp tuyến chung tại điểmM  ( ;x y0 0)

2) Định lý (điều kiện tiếp xúc):

Cho 2 hàm sốy f x( ),yg x( )có đồ thị lần lượt

là(C1)và(C2) Điều kiện cần và đủ để(C1)và(C2)

tiếp xúc với nhau là hệ phương trình:

( ) ( ) ( ) ( )

f x g x là hệ số góc của tiếp tuyến chung

II) Các dạng tiếp tuyến thường gặp:

1) Tiếp tuyến tại điểmM ( ;x y0 0)  ( ) :C y f x( ) Bước 1: Kiểm tra điểm M thuộc đường cong( )C

Bước 1: Gọi M x y( ;0 0)là tiếp điểm Phương trình

tiếp tuyến có dạng: '

( ).( ) ( )

y f x xx  f x (d) Bước 2:

   0 :y  0vô nghiệm hoặc có nghiệm

képhàm số đơn điệu trên R

0 

+ C Đ 0



CT CĐ

y



+ 0

0 _

▪ (1) Vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số

đơn điệu trên D

khi khi

0) 0)

x x

+ Nhánh 1 của( ')C trùng với( )C khix 0(phần bên phải trục tung)

+ Nhánh 2 của( ')C đối xứng nhánh 1 qua Oy

khi khi

( ) 0) ( ) 0)

+ Nhánh 1 của( ')C trùng với( )C khi f x( )  0 (phần (C) trên Ox)

+ Nhánh 2 của( ')C đối xứng( )C khi f x( )  0

Lưu ý: nếu (*) là bậc ba thì nhẫm 1 nghiệm x 0 , rồi

* Bước 3: Số nghiệm của (1) tùy thuộc vào số giao

điểm của đồ thị( )C và đường thẳng song song với

trục hoành (d): yh m( ).

ĐẠI SỐ Vấn đề 1 Cần nhớ :

( 0) ( 0)

A A

2 x 3  4 x  9) Nếum n,  0 m2x2n2 (ví dụ 2

x x x x x x

a d

a b c a

a b a

a b a

a

S P

a

S P

2

b x a

a

xkép

Cùng dấu a ( )

a b c a

a b c a

x x

Đưa về phương trình bậc 2 ẩn số t biết cách giải



CT

đi qua nghiệm bội lẻ, giữ nguyên dấu nếu x đi qua

trên a b, thỏa f a f b( ) ( )  0thì phương

trình f x( )  0có nghiệm trong (a, b) (ngược lại không đúng)

2) Định lý 2: Hàm số f x( )liên tục trên a b, và

có f x ( )  0hoặc f x ( )  0trong khoảng (a, b) thì phương trìnhf x( )  0có không quá một nghiệm trong (a, b)

- Miền giá trịG (0;  )

Hsố ng.biến trên R Hsố đồng biến trên R

Hsố ng.biến trên R Hsố đồng biến trên R

c

b b

c) DD xD y 0: Hệ có vô số nghiệm hoặc vô

không, nếu có tìm x và thu được nghiệm

* Bước 2: Vớiy 0đặt x = ty thay vào hệ phương

phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) rồi

thế vào một trong hai phương trình của hệ

và trừ lần lượt hai phương trình đưa về hệ mới

tương đương gồm 2 phương trình tích (thông

thường tương đương với 4 hệ mới)

* Cách 1: Đưa PT đối xứng về dạng tích, giải y

theo x thế vào phương trình còn lại

3) Đối với câu hỏi tìm điều kiện m để phương trình

có từ hai nghiệm phân biệt trở lên thì ta phải dùng BBT

4) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ t = t(x) và tìm điều kiện của t (miền giá trị T)

5) Đối với hệ phương trình ta đưa về phương trình 1

2

2

- Cho n sô không âma a1, 2, ,a nta có:

a) Định nghĩa số phức:

Biểu thức dạng a + bi, trong đó 2

a bR i   được gọi là số phức

Đối với số phức z = a + bi, ta nói a là phần thực, b

z = a + bi được gọi là dạng đại số của số phức

∙ a = 0z = bi gọi là số ảo (hay thuần ảo)

Mỗi số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm

M(a, b) trong mặt phẳng tọa độ Oxy

cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a + bi.

Vấn đề 2: Giải phương trình bậc hai

a) Căn bậc hai của số phức:

▪ a > 0 có hai căn bậc hai là:  a

▪ a < 0 có hai căn bậc hai là:  a i.

▪ Tìm căn bậc hai của z = a + bi ? Gọi w = x + yi = z , suy ra 2

acgumen của z (thường kí hiệu là )

ii) Cho z có mô đun r và acgumenthì dạng lượng giác của z là: zr c( os isin )

b) Chuyển từ dạng đại số sang dạng lượng giác:

d) Công thức Moivre: z n r c n( osn isinn)

e) Căn bậc hai của số phức:

Số phức z dưới dạng lượng giác (r > 0) có hai căn

Ví dụ: Cho gócxác định bởi điểm M trên đường

tròn xanh Hãy tìm giá trị hàm số lượng giác ứng

Hãy nhớ phần này và sử dụng nhanh khi gặp trong

phương trình lượng giác

Vấn đề 2: Cung góc liên kết

1) cos  x c xos

2) sin  x sin x 3) tan(  x) tan x

4) cot(  x) cot x

1) sin x sin x 2) cos(x)  c xos 3) tan(x)  tan x 4) cot(x) ?

3) cos(x)  c xos 4) sin x sin x

e) Cung (góc) hơn kém nhau

cos

1 cot tan

x x

x x

1) sin (xy)  sin cosx yc xos siny

2) cos(xy)  cos cosx y sin sinx y

3) tan ( ) tan tan

3tan tan tan 3

t



2 2

1 os 1

t x t

8) tan(xk)  tanx 9) cot(xk)  cotx

Vấn đề 12: Phương trình lượng giác cơ bản

(k chẳn) (k lẻ) (k chẵn) (k lẻ)

* Bước 1: Đặt ẩn phụ t = cosx (hoặc t = sinx, t =

tanx, t = cotx) và điều kiện của t (nếu có)

Vấn đề 15: Các định lý trong tam giác ABC

TrongABC, ta ký hiệu:

1) a, b, c lần lượt là các cạnh đối diện các góc A, B,

C

2) R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp

3)

2

 là nửa chu vi củaABC

4) m m m a a, b, c lần lượt là độ dài các trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B,C

5) h h h a, b, clần lượt là độ dài các đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B,C

6) S là diện tích củaABC

5) S p p( a p b p)(  )( c)

Vấn đề 19: Bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại

tiếp tam giác

1) ( ) tan ( ) tan ( ) tan

1 Hệ tọa độ đề các vuông góc Oxy:

2 Tọa độ điểm – tọa độ véctơ:

A B I

A B C G

x G

AA BC BA

A B M

x kx x

k

y ky y

▪I là tâm đường tròn ngoại tiếpABC

▪ D là chân đường phân giác trong góc A

E là chân đường phân giác ngoài góc A

- Tìm D là chân đường phân giác trongAcủaABC

- Tìm I là chân đường phân giác trongBcủaABD

- Trọng tâm là giao điểm 3 đường trung tuyến

- Trực tâm là giao điểm 3 đường cao

- Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm 3 đường

- Màu xanh là vectơ pháp tuyến

M x y vtcpa a a

- Hai đường thẳng vuông gócpháp tuyến của

đường này là chỉ phương đường kia và ngược lại;

a b c trùng nhau

2) Giữa 2 điểm đối với 1 đường thẳng:

Cho hai điểmM x y1( ;1 1),M2(x y2; 2)và đường thẳng (d): AxBy C 0ta có:

- Tâm A(1, 1) và tiếp xúc( ')C tâm k(1, 2), R = 3

b Phương trình tổng quát của đường tròn:

2) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:

Loại 1: Tiếp tuyến

Loại 2: Tiếp tuyến có phương cho trước:

Bước 1: Định dạng tiếp tuyếnđưa về dạng tổng

quát

AxBy C 0

Bước 2: Điều kiện tiếp xúc: d I ,( )   R

Loại 3: Tiếp tuyến quaA x( A,y A)

Bước 1: Định dạng tiếp tuyến qua A (dùng cách 1

hoặc cách 2)

Bước 2: Điều kiện tiếp xúck hoặc A, B

3) Vị trí tương đối của đường thẳng (d) và đường

b) (C1)tiếp xúc ngoài với(C2) I I1 2R1R2

c) (C1)cắt(C2)tại điểm phân biệt R1R2 I I1 2R1R2

d) (C1)tiếp xúc trong với(C2) I I1 2 R1R2

e) (C1)và(C2)chứa nhauI I1 2 R1R2

5) Phương tích:

Cho đường tròn( )C x2y2 2ax 2by c 0và điểm M x y( ;0 0),

vẽ cát tiếp tuyếnM AB0 và tiếp tuyếnM M0 Phương tích của điểm

b

a -b

( )x a a

2 2

I TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG: Cách 1:

Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng Đường nối hai điểm chung chính là giao tuyến

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

I

IJ J

( ) ( ) / / / / / /

( ) ( )

x

a b

a b M

x

M M

o Tìm giao tuyến giữa ( ) & ( ) 

o Giao tuyến cắt d ở đâu đó là giao điểm phải tìm

( ) ( ) ( ) ( )

III CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG :

Ta ch.minh 3 điểm cùng thuộc 2 mặt phẳng phân biệt

2

4

MH=M

F MH=M

IV CHỨNG MINH 3 ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG

QUI :

Ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng

này nằm trên hai mặt phẳng phân biệt mà có giao

Muốn tìm thiết diện của   với khối chóp:

* Ta tìm các đoạn giao tuyến giữa   với các mặt

của khối chóp;

* Hoặc tìm giao điểm của  với các cạnh của khối

chóp

VI CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH:

1 Chứng minh hai đường thẳng song song:

- Dùng phương pháp trong hình học phẳng như:

định lý Talet, tính chất đường trung bình, tính chất

so le…

- Dùng 3 tính chất giao tuyến ở phần I

- Hai mp song song bị cắt bởi mp thứ ba tạo nên

hai giao tuyến song song

2 Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng:

- Chứng minh đg.thẳng // với đường thẳng a

trong  

/ / ( ) / /( ) ( )

3 Chứng minh hai mặt phẳng song song:

Ta chứng minh trong mặt phẳng này có hai

đường thẳng cắt nhau và // với mặt phẳng kia

II CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH:

1 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:

- Chứng minh góc giữa chúng là góc vuông bằng cách trong hình học phẳng như định lý Pitago

- Ta chứng minh  với mặt phẳng chứa đường thẳng d hoặc ngược lại

( ) ( )

a b

3 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:

Ta chứng minh trong mặt phẳng này có chứa 1 đ.thẳng vuông góc với m.phẳng kia

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

a a

III MỘT SỐ KHÁI NIỆM:

1 Mặt phẳng trung trung của đoạn thẳng AB:

Là mặt phẳng đi qua trung điểm và vuông góc với AB

Tính chất: Tất cả những điểm thuộc mặt phẳng trung trực cách đều hai đầu đoạn thẳng AB

2 Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

Là giao điểm của 3 đường trung trực của các cạnh

Lưu ý:

* Nếu tam giác đều tâm là giao điểm 3 đường trung trực, 3 đường trung tuyến, 3 đường cao, 3 đường phân giác

* Nếu tam giác vuông tâm là trung điểm cạnh huyền

3 Tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông, hình chữ nhật:

Là giao điểm hai đường chéo

4 Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác:

Là đường thẳng đi qua tâm của đường tròn

ngoại tiếp đa giác, đồng thời vuông góc với mặt

phẳng đa giác

Lưu ý: 2 kết quả quan trọng phần vuông góc

Nếu hai mặt phẳng vuông góc nhau, đường

thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với giao

tuyến thì sẽ vuông góc với mặt phẳng kia

Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt

phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng sẽ vuông góc

4 Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song:

chóp, có đỉnh nào nhìn một cạnh của hình chóp dưới một góc vuông?

+ Nếu có thì xét các đỉnh còn lại, nếu các đỉnh còn lại cũng nhìn cạnh đó dưới một góc vuông thì tâm mặt cầu là trung điểm cạnh đó;

+ Nếu không thì qua bước 2;

đa giác đáy

Trường hợp 1: Nếu( )  đồng phẳng với một cạnh bên nào đó của hình chóp thì trong mặt phẳng chứa( )  và cạnh bên, ta dựng đường trung trực d

của cạnh bên, khi đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao điểm của( )  và d;

Trường hợp 2: Nếu( )  không đồng phẳng với một cạnh bên nào thì tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao điểm của( )  và trục đường tròn ngoại tiếp của một mặt bên nào đó của hình chóp; hoặc là giao điểm của( )  và mặt phẳng trung trực của 1 cạnh bên nào đó của hình chóp

tại I tại J

VẤN ĐỀ 5 : THỂ TÍCH - DIỆN TÍCH

I THỂ TÍCH:

a) Thể tích khối lăng trụ: V = S.h (S: là diện tích

dáy, h: là độ dài đường cao)

b) Thể tích khối chóp: V =1

3S.h (S: là diện tích dáy, h: là độ dài đường cao)

g) Mặt phẳng (P) song song mặt đáy, cắt khối chóp

S.ABCD tại A’, B’, C’, D’ Ta có tỉ lệ:

a) Diện tích xung quanh hình nón: S xqRl (R:

bán kính đáy, l: là độ dài đường sinh)

b) Diện tích toàn phần hình nón: S tp R R( l) (R:

bán kính đáy, l: là độ dài đường sinh)

c) Diện tích xung quanh hình trụ: S xq 2Rh (R:

bán kính đáy, l: là độ dài đường cao)

d) Diện tích toàn phần hình trụ: S tp  2R R( h) (R:

bán kính đáy, l: là độ dài đường cao)

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH KHÔNG GIAN

BẰNG TỌA ĐỘ

Để giải được các bài toán hình không gian bằng

phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ

thích hợp Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa

vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình

b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông (hoặc

hình thoi) tâm O đường cao SO vuông góc với đáy

c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD

và AB = b, SAD đều cạnh a vuông góc với đáy

- Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng đáy

- Hình hộp có đáy là hình bình hành nhưng không nhất thiết phải là hình chữ nhật

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG

GIAN VẤN ĐỀ 1: CÔNG THỨC TÍNH TỌA ĐỘ

2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

Cho mặt phẳng( ) đi qua

đoạn chắn)

5 Chùm mặt phẳng:

Định nghĩa: Tập hợp các mặt phẳng (Q) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng( ) và( ) được gọi là chùm mặt phẳng

đường thẳng d nếuunằm trên d hoặc đường thẳng chứausong song với d

Chú ý: Đường thẳng đi trong không gian không có

Chú ý: Ta có thể tìm hình chiếu H của M trên d và

Chú ý: Phương trình đường tròn trong không gian

Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tâm I(a, b, c)





QuaN Vtcpu

của d1và d2như sau

* Hệ phương trình có nghiệm duy nhấtd1cắtd2

* Hệ phương trình có vô số nghiệmd1trùngd2

* Hệ vô nghiệm vàu u1; 2 cùng phươngd1song song vớid2

* Hệ vô nghiệm vàu u1; 2 không cùng phươngd1,d2chéo nhau

3 Của đường thẳng và mặt phẳng:

Cho (d) qua điểm M và có VTCP u , và m.phẳng( ) có VTPT n

* d cắt( ) u n  0 (hoặc hệ phương trình có nghiệm duy nhất)

* d ( ) u n  0và M ( ) (hoặc hệ phương trình

vô nghiệm)

* d ( ) u n  0và M ( ) (hoặc hệ vô số nghiệm)

* d ( ) u nu n 0