Giải bài toán không gian bằng hệ trục tọa OXYZ

GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG GIAN BẰNG HỆ TRỤC TỌA OXYZ Theo như chia sẻ của các anh chị đi truớc truyền lại thì bài toán hình học không gian trong các đề thi đại học vốn đã khó nuốt, giờ nếu phả

GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG GIAN BẰNG HỆ TRỤC TỌA OXYZ

Theo như chia sẻ của các anh chị đi truớc truyền lại thì bài toán hình học không gian trong các đề thi đại học vốn đã khó nuốt, giờ nếu phải rèn luyện lại thật là vất vả và không mấy kết quả Nhưng nhờ phương pháp giải bằng tọa độ mà mình hầu như áp dụng nó một cách dễ dàng vào các bài toán hình học không gian mà không cần suy nghĩ quá lâu Nhưng để sử dụng thuần thục phương pháp này để có thể tiết kiệm tối đa khi làm các đề thi thì đòi hỏi các bạn phải làm nhiều lần phương pháp này Mình không khuyến khích bạn áp dụng phương pháp này cho tất cả các bài toán mà bạn gặp vì trong các bài hình học không gian đơn giản mà bạn có thể TỰ GIẢI QUYẾT được, thì phương pháp này sẽ dài hơn cách giải thông thường

Thường để giải các bài toán hình không gian (đặc biệt là các bài về tính khoảng cách, tính góc…) thường phải tìm vẽ thêm một, hay là nhiều đường thẳng, việc xác suy luận và phát hiện ra hướng làm tốn rất nhiều thời gian (thòi gian là vàng bạc, nhưung trong các kì thi như thi ĐH thì có thể nói thời gian là kim cương) mà đôi không chắc chắn có thể tìm được hướng giải Bằng phương pháp đưa hệ tọa độ oxyz vào giúp ta đơn giản hóa mọi thứ

Để giúp cho các bạn có cái nhìn tổng thể và sau sắc hơn về phương pháp giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ, trong chuyên đề này, mình muốn giới thiệu với các bạn 3 nội dung chính sau:

PHẦN 1: PHƯƠNG PHÁP

PHẦN 2: BÀI TẬP HƯỚNG DẪN

PHẦN 3: BÀI TẬP ỨNG DỤNG VÀ SO SÁNH

(ĐÁP ÁN VỚI HAI PHƯƠNG PHÁP GIẢI: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ BẰNG TỌA ĐỘ)

Chỉ cần nhắm vũng những nội dung này và vận dụng linh hoạt thì mình tin chắc rằng các bài toán hình học không gian không còn là thứ khó nuốt và ám ảnh các bạn nữa….!!! chúc các bạn thành công ^^

PHẦN 1: PHƯƠNG PHÁP

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz phù hợp Chú ý đến điểm O thường là đỉnh các góc vuông, tâm các mặt cầu ) Bước này sẽ dễ dàng thực hiện nếu trong bài toán đang xét có dạng tam diện vuông, hay mặt phẳng vuông góc hay các quan hệ vuông góc khác Tuy nhiên, nếu không có ta vẽ thêm đường phụ để tạo nên góc tam diện vuông

 Đây là bước rất quan trọng vì bài toán đơn giản hay phức tạp hơn phục thuộc vào cách chọn hệ trục tọa độ và đơn vị trên các trục

Bước 2: Tìm tọa độ của các điểm, các đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu dựa vào các

giả thuyết đề cho Nếu muốn bạn chỉ cần tìm tọa độ những điểm cần thiết

Bước 3 : Sử dụng tất cả các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán

 Thể tích khối đa diện

 Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc

……

PHẦN 2: BÀI TẬP HƯỚNG DẪN

VÍ DỤ 1 (B 2006): Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = a

√ , SA = a SA vuông góc (ABCD) Gọi M là trung điểm AD và N là trung điểm SC I là

giao điểm của BM và AC Chứng minh hai mặt phẳng (SAC) và (SMB) vuông góc

Tính thể tích khối tứ diện ANIB

GIẢI

Chọn A làm gốc toạ độ và đơn vị độ dài là a, sao cho B(1, 0, 0), D(0, √ 0), và S(0,0, 1) (chọn A làm gốc tọa độ vì A là giao của 3 mặt phẳng vuông góc với nhau (ABCD), (SAD), (SAB)

 Chứng minh (SAC) và (SMB) vuông góc

Ta chứng minh hai VTPT của chúng vuông góc Vì ⃗⃗⃗⃗⃗ ) và ⃗⃗⃗⃗⃗ ( √ ) nên VTPT

VÍ DỤ 2 (A.2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là

tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N,, P lần lượt là

trung điểm của SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc BP và tính thể tích tứ diện

CMNP

GIẢI

(vì hình đề bài cho không phải có dạng tam diện vuông, hay mặt phẳng vuông góc… do đó, ta

nên tìm được 1 điểm thỏa mãn là giao của 3 mặt phẳng vuông góc với nhau

Theo đề bài cho ta thấy, (SAD) vuông với vs (ABCD) Do đó, gốc tọa độ sẽ là một điểm thuộc

giao tuyến của 2 mặt phẳng này)

Gọi H là trung điểm của AD, ta có SH vuông góc AD Suy ra SH vuông góc với (ABCD) vì (SAD)

vuông góc (ABCD) Chọn hệ trục gốc là H, trục hoành qua A, trục tung cùng hướng với ⃗⃗⃗⃗⃗ và

trục cao qua S Chọn đơn vị độ dài là a / 2 thì A = (1, 0, 0) vì HA = a, S = (0, 0, √ ) vì HS =

 Chứng minh đường này song song với một đường thứ ba vuông góc với đường kia

 Sử dụng định lí đảo của Pitago

 Sử dụng các tính chất của hình học phẳng như tính chất trung tuyến của tam giác cân

Thì trong phương pháp toạ độ , ta chỉ có một cách duy nhất: tìm toạ độ vecto chỉ phương của

hai đường thẳng (vecto qua hai điểm của đường thẳng ) rồi chứng minh tích vô hướng của

chúng bằng 0, như đã làm ở trên

Việc tính thể tích khối tứ diện trong hình học không gian, có hai bước;

 Chọn một mặt là đáy Ở đây chọn đáy là tam giác CNP, là tam giác vuông tại C Tính

diện tích đáy bằng công thức, ở đây là ½ CN CP

 Sau đó xác định đường cao hình chóp và tính chiều cao ấy Ở đây chiều cao là đoạn

vuông góc vẽ từ M đến mp(CNP) tức mp (ABCD) Thường xác định đoạn vuông góc là bài toán

phức tạp nhất trong hình không gian Ở đây ta phải nhận ra đã có SH vuông góc với (ABCD),

do đó đường cao hình chóp M CNP chính là đoạn MK, đoạn trung bình của tam giác SBH (K là

trung điểm BH) và chiều cao là độ dài MK = SH/2

Cần chú ý là trong bài toán này, muốn giải bằng phương pháp toạ độ, học sinh phải biết tính

chất của hai mặt phẳng vuông góc để thấy đường cao hình chóp S.ABCD là đoạn nối S đến

trung điểm của AD Nhờ đó mới chọn được hệ trục toạ độ thích hợp Nếu ta không nhớ đến

tính chất “sinh tử “ này thì đường vào phương pháp toạ độ là đường chết

VÍ DỤ 3(D 2009): Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC vuông tại B, AB = a , AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC)

GIẢI

Chọn B làm gốc toạ độ , đơn vị độ dài là a

(Bên cạnh việc chọn gốc tọa độ thì việc chọn đơn vị độ dài

hợp lý sẽ giúp ích cho các bạn rẩt nhiều cho các bạn trong

việc tạo nên các điểm có tọa độ đơn giản)

Do đó, A(1, 0, 0), B’ (0, 0, 2) (vì BB’ = AA’ = 2a) Để tính toạ

độ của C trên trục tung, ta đặt C =(0, c, 0) Ta có: A’ = (1,

0, 2)

A’C2 = 12 + c2 + 22 = 32 (vì A’C = 3a = 3 đơn vị độ dài)

 c2 = 4 Vậy c = 2 và C = (0, 2, 0)

(Lẽ dĩ nhiên ta có thể dùng định lí Pitago trong các tam giác

vuông AA’C và ABC để được BC = 2a Nhưng dùng phương

Ghi chú: Giải bằng phương pháp toạ độ, việc khó khăn nhất là tính được toạ độ những điểm

liên hệ đến đối tượng cần tính Đôi khi kết hợp với sự trợ giúp của hình học cổ điển (thuần túy),

ta sẽ đến kết quả nhanh hơn và đỡ phức tạp hơn Một khi toạ độ tính được, thì việc còn lại chỉ

là sử dụng công thức và không cần kỹ năng suy nghĩ khéo léo và chọn lọc như khi giải bằng hình không gian 11)

VÍ DỤ 4 (A.2011) : Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB =

BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 0 Tính thể tích khối chóp S BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a

 Xác định toạ độ N:

Để tìm toạ độ N ta viết phương trình đường thẳng AC và

phương trình mặt phẳng (P) qua SM và song song với BC

Phương trình AC qua A(0, 0, 0) và có VTCP ⃗⃗⃗⃗⃗ = (2, 2, 0)

 Trong bài này, câu hỏi đầu dùng hình không gian 11 sẽ giải nhanh hơn, nhưng câu hỏi sau, thì phương pháp toạ độ có ưu thế hơn khi không đòi hỏi phải động não

VÍ DỤ 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là 60 o Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a

Và | [ ⃗ ] | = 24√

Vậy: d(SA, BC) = [ ⃗⃗ ⃗ ] [ ⃗⃗ ⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗ √ √ √ đơn vị độ dài = √ √

GIẢI

Chọn H là gốc toạ độ , trục cao qua S, trục tung qua B, trục

hoành cùng hướng với 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , C là trung điểm AB Chọn độ dài

đơn vị là a/6 (cho toạ độ A, B là số nguyên), ta có: B(0,

Ghi chú:

(a) Trong bài này việc chọn một hệ trục rất phức tạp Chân H được chọn làm điểm gốc thì hiển nhiên, trục cao và trục tung cũng vậy Chỉ có trục hoành là tương đối khá khó khăn và khó hình dung Cần vẽ thêm đường cao CH để thấy trục hoành cùng hướng với

(b) Việc chọn đơn vị độ dài là a/6 vì ở đây HB = a/3

và HA = 2a/3 và HM = a/6 , nên chọn đơn vị độ dài a/6

sẽ cho các toạ độ của A, B là nguyên, do đó việc tính

toán sẽ thuận tiện hơn Nếu không thì có thêm một chút

khó khăn mà thôi

(c) Nếu biết góc của SA và (ABC) là góc SCH thì có

ngay ̂ và SH = CH tan 600 Tính CH bằng

Pitago, suy ra được độ dài SH Nếu tính SH bằng phương

pháp toạ độ, thì bạn cần biết cách tính góc của đường

thẳng và mặt phẳng, như sau:

Nhờ đó, ta thiết lập được phương trình tính cao đô h của đỉnh S

(d) Lần nữa, trong bài này, ta phải tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và

BC Đây là bài toán khó chịu nhất của hình không gian 11 Cách giải bằng phương pháp toạ độ luôn là chọn lựa cho loại câu hỏi này, tuy phải tính phức tạp, nhưng không cần kỹ năng suy nghĩ thông minh, chỉ có được qua bao tháng năm rèn luyện



𝑎 𝑛⃗ ) 𝑎⃗ 𝑛⃗ 𝑎⃗ 𝑛⃗

tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I)

 Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông

 /B/C/ là các tam giác đều cạnh a

 Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

a z

y

M C

 Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc A(0; 0; 0),

 Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương SA; SB nên có pháp vectơ n1

 Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương SA; SC nên có pháp vectơ n2

 (SAB) (SAC)   cos(n ; n ) 01 2 

 Từ các tam giác vuông OAK; ONB có:

A z

H B

C

 Vậy, d(OM; AB) OH a 15 .

5

Cách 2:

 Dựng hệ trục Oxyz, với Ox, Oy, Oz

đôi một vuông góc O(0; 0; 0),

y C

N O

M a

x B

2 2

3ax 2 IM

 Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G

trên AB, AC Tứ giác AEGF là hình vuông

a

3

 Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),

 Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương SA, SB nên có pháp vectơ n1

 Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương SA, SC nên có pháp vectơ n2

 Góc phẳng nhị diện (B; SA; C) bằng 60o

2 o

x

y C

B

A

E

F G M

Câu 5:

Cách 1:

 Gọi M là trung điểm của BF  EM // AF

(SA; AF) (EM; AF) SEM

 Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

C S

F M B

E K

z

a S

A x

C

 Phương trình mặt phẳng (SEM) qua S với pháp vectơ n : 2x z a 0   

 Khoảng cách từ A đến (SEM): d(A;SEM) 0 0 a a 2

 Vậy, d(SE; AF) a 3 .

 Dựng hệ trục tọa vuông góc Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc và

2a a A(0; 0; 0), C(0; a 5; 0), S(0; 0; 2a), B ; ; 0

S

chân đường cao đỉnh S trùng với

giao điểm ba đường cao là trực tâm O

suy ra: BC SH, BC AH,   nên SHA  

 Vì S.ABC là hình chóp đều

nên chân đường cao đỉnh S trùng

với tâm O đường tròn (ABC)

 Gọi M là trung điểm của BC Ta có:

3 2 / B A MCN

2

 Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

a

C A

I

* Phương trình mp(ABC): z = 0 có pháp vectơ n1 (0; 0; 1)

* mp (AB/I) có cặp vectơ chỉ phương AB , AI/ , nên có pháp vectơ: