Có viết tay chương nội suy bí quyết chinh phục giữa kì phương pháp tính hk232

Có viết tay chương nội suy bí quyết chinh phục giữa kì phương pháp tính hk232 hcmut. Có viết tay chương nội suy bí quyết chinh phục giữa kì phương pháp tính hk232. Có viết tay chương nội suy bí quyết chinh phục giữa kì phương pháp tính hk232.Có viết tay chương nội suy bí quyết chinh phục giữa kì phương pháp tính hk232.

SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ

1.Sai số Độ sai lệch giữa giá trị gần đúng và giá trị chính xác được gọi là sai số

Số a được gọi là số gầnđúng của số chính xác A, kí hiệu là 𝑎 ≈ 𝐴 nếu a khác A không đáng kể và được dùng thay cho A trong tính toán Đại lượng gần đúng ∆= |𝑎 − 𝐴| được gọi là sai số tuyệt đối của số

Trongthực tế, do không biết số chính xác A, ta ước lượng một đại lượng dương a càng bé càng tốt thỏa điều kiện |𝑎 − 𝐴| ≤ ∆ 𝑎 được gọi là sai số tuyệt đối giới hạn của số gần đúng a

Trong thực tế ta sẽ ký hiệu 𝐴 = 𝑎 ± ∆ 𝑎

KHÓA HỌC ONLINE PHƯƠNG PHÁP TÍNH 4

Ví dụ Bán kính miệng giếng là 𝑅 = 1,2 ± 0,01(𝑚)

Sai số tương đối của số gần đúng a so với số chính xác A là đại lượng nhỏ hơn hoặc bằng a, với a được tính theo công thức:

Trên thực tế thì A không xác định được nên 𝛿 𝑎 = ∆ 𝑎

Những chữ số có nghĩa của một số là những chữ số của số đó kể từ chữ số khác không đầu tiên tính từ trái sang phải

 Số 78.05 có 4 chữ số có nghĩa

3 Quy tắc làm tròn (xem live để dễ hiểu)

Làm tròn quá bán (thường dùng ở bài toán xác định nghiệm)

Làm tròn lên (thường dùng ở bài toán xác định sai số, hệ số co, hệ số điều kiện)

 Làm tròn lên số 15,4847 đến chữ số thập phẩn thứ 2 là 15,48

 Làm tròn quán bán 15,4857 đến chữ số thập phẩn thứ 2 là 15,49

 Làm tròn lên số 15,4001 đến chữ số thập phẩn thứ 3 là 15,401 (chú ý trường hợp này)

 Làm tròn lên số 15,4000 đến chữ số thập phẩn thứ 3 là 15,400 (chú ý trường hợp này)

Cho số gần đúng 𝑎 với sai số tuyệt đối là ∆ 𝑎 , số chữ số đánh tin bên phải dấu phẩy 𝑘 ≤

− log 10 (2∆ 𝑎 ) Còn lại là chữ số không đánh tin

Ví dụ: Cho số gần đúng 𝑎 = 42,42357 với sai số tuyệt đối là ∆ 𝑎 = 0,0058 Xác định các chữ số đáng tin và không đáng tin

Ta có: 𝑘 ≤ − log 10 (2∆ 𝑎 ) → 𝑘 ≤ 1,9355 → 𝑘 = 1 (chọn số nguyên lớn nhất mà nhỏ hơn 1,9355)

Vậy số gần đúng 𝑎 = 42,42357 có 3 chữ đáng tin là 4;2;4 và có 4 chữ số không đáng tin là 2;3;5;7

Ví dụ (đề thi): Cho số gần đúng 𝑎 = 13,2618 với sai số tương đối là 𝛿 𝑎 = 0,056% Số chữ số đánh tin trong cách viết thập phân của a là:

Ví dụ (đề thi): Cho số gần đúng 𝑎 = 89,83 với sai số tương đối là 𝛿 𝑎 = 0,078% Số chữ số đánh tin trong cách viết thập phân của a là:

4.Các dạng toán hay thi

5.1/ Biết A có giá trị gần đúng là 𝑎 với sai số tương đối (hoặc tuyệt đối) là 𝛿 𝑎 Ta làm tròn 𝑎 thành 𝑎 ∗ theo nguyên tắc quá bán (hoặc làm tròn lên) Tính sai số tuyện đối (tương đối) của 𝑎 ∗ , kí hiệu ∆ 𝑎 ∗

Với |𝑎 − 𝑎 ∗ | gọi là sai số làm tròn

Ví dụ: Biết A có giá trị gần đúng là 𝑎 = 4,2556 với sai số tương đối (hoặc tuyệt đối) là

𝛿 𝑎 = 0,047% Ta làm tròn 𝑎 thành 𝑎 ∗ theo nguyên tắc quá bán đến chữ số thập phân thứ

2 sau dấu phẩy Tính sai số tuyện đối 𝑎 ∗

Làm tròn a theo nguyên tắc quá bán đến chữ số thập phân thứ 2 sau dấu phẩy là thành

0,0065 (bài toán sai số nên phải làm tròn lên)

Ví dụ: Biết A có giá trị gần đúng là 𝑎 = 2,0266 với sai số tương đối là 𝛿 𝑎 = 0,047% Ta làm tròn 𝑎 thành 𝑎 ∗ = 2,03 Tính sai số tuyện đối 𝑎 ∗

5.2/ Tính sai số của hàm một và nhiều biến

 Sai số tuyệt đối của hàm 𝑓(𝑥) là 𝑓′(𝑎) ∗ ∆ 𝑥

 Sai số tương đối của hàm 𝑓(𝑥) là 𝑓′(𝑎)∗∆ 𝑥

 Sai số tuyệt đối của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) là 𝑓 𝑥 ′ (𝑎, 𝑏) ∗ ∆ 𝑥 +𝑓 𝑦 ′ (𝑎, 𝑏) ∗ ∆ 𝑦

 Sai số tương đối của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) là 𝑓 𝑥 ′ (𝑎,𝑏)∗∆ 𝑥 +𝑓 𝑦 ′ (𝑎,𝑏)∗∆ 𝑦

 Sai số tuyệt đối của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) là

 Sai số tương đối của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) là 𝑓 𝑥 ′ (𝑎,𝑏,𝑐)∗∆ 𝑥 +𝑓 𝑦 ′ (𝑎,𝑏,𝑐)∗∆ 𝑦 +𝑓 𝑧 ′ (𝑎,𝑏,𝑐)∗∆ 𝑧

Ví dụ: Cho biểu thức 𝑓 = 𝑥 3 + 𝑥 Biết 𝑥 = 3,2623 ± 0,0060 Sai số tuyệt đối của 𝑓 là:

∆ 𝑥 = 0,0060 → sai số tuyệt đối 𝑓 là 𝑓 ′(3,2623) ∗ ∆ 𝑥 = 0,19757

Ví dụ (đề thi): Cho biểu thức 𝑓 = 𝑥 3 + 𝑥𝑦 + 𝑦 3 Biết 𝑥 = 3,2623 ± 0,0060, 𝑦 1,9362 ± 0,0014 Sai số tuyệt đối của 𝑓 là:

Ví dụ (đề thi): Cho hàm số 𝑓 = 𝑥 2 + ln (1 + 𝑥) với 𝑥 = 1,3432 ± 0,0015 Làm tròn 𝑓 thành 𝑓 ∗ đến hai chữ số sau dấy phẩy thập phân theo nguyên tắc quá bán Sai số tuyển đối của 𝑓 ∗

HÀM PHI TUYẾN

Mục đích của chương này là tìm nghiệm gần đúng của phương trình 𝑓(𝑥) = 0 với

𝑓 (𝑥) là hàm liên tục trên một khoảng đóng hay mở nào đó

Khoảng đóng [a,b] hoặc khoảng mở (a,b) mà trên đó tồn tại duy nhất một nghiệm gọi là khoảng cách ly nghiệm của phương trình 𝑓(𝑥) = 0 được gọi là khoảng cách ly nghiệm Định lý: Giả sử hàm 𝑓(𝑥) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b) Nếu 𝑥 ∗ là nghiệm gần đúng của nghiệm chính xác 𝑥̅ trên khoảng [a,b] Thì công thức đánh giá sai số tổng quát là:

𝑚 với m là GTNN của |𝑓 ′ (𝑥)| trên khoảng [a, b]

Ví dụ: Cho phương trình 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4 = 0 trong đoạn [1;3] có nghiệm gần đúng 𝑥 ∗ 1,99 Khi đó sai số tổng quát là bao nhiêu?

Vậy sai số tổng quát là:

Ví dụ: Cho phương trình 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 5𝑥 2 − 6 = 0 trong đoạn [0;3] có nghiệm gần đúng

𝑥 ∗ = 1,012 Khi đó sai số nhỏ nhất đánh giá theo sai số tổng quát là bao nhiêu?

Ví dụ: Cho phương trình 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 5𝑥 2 + 12 = 0 trong đoạn [-2;-1] có nghiệm gần đúng 𝑥 ∗ = 1,39 Khi đó sai số nhỏ nhất đánh giá theo sai số tổng quát là bao nhiêu?

Cho phương trình 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 3 trog khoảng ly nghiệm [-3;-2] Bằng phương pháp chia đôi, hãy tìm gần đúng 𝑥 5 và đánh giá sai số của nó theo sai số tổng quát và sai số phương pháp chia đôi

2 : 𝑋 3 + 3𝑋 2 − 3 (xem video nha) Nhấn CALC: M=-1; A=-3; B=-2

Vậy 𝑥 5 = −2,54387 Đánh giá sai số

Sai số theo phương pháp lập đơn: 𝑏−𝑎

2 5+1 ≈ 0,0157 Sai số theo công thức sai số tổng quát: (chỉ xét ở khoảng [−2,5625; −2,53125])

Ví dụ: Sử dụng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng với sai số theo phương pháp chia đôi nhỏ hơn 10 −2 của phương trình 2 + cos(𝑒 𝑥 − 2) − 𝑒 𝑥 = 0 trong khoảng ly nghiệm [0,5;1,5]

Giả sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình 𝑓 (𝑥) = 0 Nội dung của phương pháp lặp đơn là đưa phương trình này về phương trình tương đương

Hàm 𝑔(𝑥) được gọi là hàm co trong đoạn [a, b] nếu tồn tại một số 𝑞 ∈ [0, 1), gọi là hệ số co, sao cho

𝑞 ≥ |𝑔′(𝑥)| hay 𝑞 = 𝑀𝑎𝑥(|𝑔′(𝑥)|) Ý nghĩa hệ số co: 𝑞 ∈ [0, 1) thì nghiệm sẽ hội tụ theo phương pháp lập đơn, q càng bé thì càng nhanh hội tụ

Ví dụ: Tìm hệ số co cảu hàm 𝑔(𝑥) = √5 − 𝑥 trên đoạn [0;2]

Ví dụ: Cho phương trình 𝑥 = √9𝑥 + 7 3 thỏa mãn điều kiện lập đơn trên [3;4] Nếu chọn

𝑥 0 = 3,3 thì nghiệm gần đúng 𝑥 3 theo phương pháp lập đơn là

Cách 1: Gán giá trị 𝐴𝑛𝑠 = 3,3, sau đó nhập √9𝐴𝑛𝑠 + 7 3

1 − 𝑞|𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑛−1 | Với n là lần lại lần thứ n

𝑥 0 = 3,3 thì sai số tuyệt đối nhỏ nhất của nghiệm gần đúng 𝑥 3 theo công thức tiên nghiệm và hậu nghiệm là:

Nhận xét: nếu đề yêu cầu dùng công thức hậu nghiệm thì ưu tiên cách casio 1, vì dễ lưu 2 giá trị cuối (𝑥 3 , 𝑥 2 ở 𝑣í 𝑑ụ 𝑡𝑟ê𝑛) bằng chức năng STO

Nâng cao nên dùng: Bài toán sai số hậu nghiệm bấm casio cách 2 như sau:

1−𝐴|𝑌 − 𝑋|: 𝑋 = 𝑌 với A là hệ số co

𝑥 0 = 2,5 thì sai số tuyệt đối nhỏ nhất của nghiệm gần đúng 𝑥 3 theo công thức tiên nghiệm bao nhiêu? (đáp án: 0,0004)

Ví dụ: Cho phương trình 𝑥 = √6𝑥 + 7,5 4 thỏa mãn điều kiện lập đơn trên [2;3] Nếu chọn

𝑥 0 = 2,8 Hỏi sau bao nhiêu lần lập thì sai số theo công thức tiên nghiệm nhỏ hơn

Ví dụ: Cho phương trình 𝑥 = √6𝑥 + 7,5 4 thỏa mãn điều kiện lập đơn trên [2;3] Nếu chọn

𝑥 0 = 2,8 Hỏi sau bao nhiêu lần lập thì sai số theo công thức hậu nghiệm nhỏ hơn 10 −6 ?

Ví dụ: Cho phương trình 𝑥 = √8 − 3𝑥 3 thỏa mãn điều kiện lập đơn trên [2;3] Nếu chọn

𝑥 0 = 1 Hỏi sau bao nhiêu lần lập thì |𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑛−1 | < 10 −6 ?

Giả sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình f (x) = 0 Nội dung của phương pháp Newton là trên [a, b] thay cung cong AB của đường cong y = f (x) bằng tiếp tuyến với đường cong y = f (x) tại điểm A hoặc tại điểm B và xem hoành độ x1 của giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành là giá trị xấp xỉ của nghiệm đúng ξ Ta xây dựng x2, xn tương tự Xây dựng phương pháp:

Ta sẽ chọn 𝑥 0 là a hoặc b theo điều kiện Fourier

𝑓 𝑛−1 ′ (𝑥) Định lý: Cho phương trình f (x) = 0 trên khoảng cách ly nghiệm (a, b) Phương pháp Newton hội tụ nếu 𝑓 ′′ (𝑥) giữ nguyên dấu trên đoạn (a, b) Đánh giá sai số:

Giả sử (a, b) là khoảng cách ly nghiệm của phương trình 𝑓(𝑥) = 0 Trên [a, b] luôn có

|𝑓′(𝑥)| ≥ 𝑚 thì công thức đánh giá sai số của phương pháp Newton là

Ví dụ: Tìm nghiệm xấp xỉ 𝑥 5 bằng phương pháp Newton của phương trình 𝑥 3 + 𝑥 2 +

Cách 1: Gán giá trị 𝐴𝑛𝑠 = 1, sau đó nhập 𝐴𝑛𝑠 − 𝐴𝑛𝑠 3 +𝐴𝑛𝑠 2 +𝐴𝑛𝑠−1

Ví dụ: Tìm nghiệm xấp xỉ bằng phương pháp Newton của phương trình 𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 −

1 = 0 với khoảng ly nghiệm [0;1] với độ chính xác (sai số tuyệt đối) nhỏ hơn 10 −3

Tương tự dữ kiện câu trên nhưng thay đổi cách bấm máy tính

Vậy sau 3 lần lập thì sai số tuyệt đối nhỏ hơn 10 −3 với nghiệm là 0,5438

Nhận xét: Những bài có liên quan đến sai số thì bấm theo cách 2

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp nhân tử LU

Mục đích giải hệ phương trình

Nội dung của phương pháp nhân tử LU là phân tích ma trận A thành tích của 2 ma trận L và U, trong đó L là ma trận tam giác dưới, còn U là ma trận tam giác trên

Cách giải hệ phương trình:

KHÓA HỌC ONLINE PHƯƠNG PHÁP TÍNH 14 Đặt UX = Y → LY = B Vậy Y = L −1 B → X = U −1 Y

0 0 u 33 ] Các phần tử của 2 ma trận L và U được xác định theo công thức

{ u 1j = a 1j l i1 = a i1 u 11 uij = a ij − ∑ l ik u kj i−1 k=1 l ij = 1 u ij (a ij − ∑ l ik u kj j−1 k=1

Công thức tính nhanh Trace(U) = u 11 + u 22 + u 33 = ∆ 1 + ∆ 2

∆ 1 = định thức ma trận con cấp 1 của A

Ví dụ: Cho ma trận A = [

] Bằng phương pháp LU Xác định ma trận L, U, vecto UX , trace(U)

Hai phần tử l 32 , u 23 sẽ hay được hỏi trong đề thi nhất

Ta lấy: { hàng 3 ma trận L ∗ cột 2 ma trận U = 6 hàng 2 ma trận L ∗ cột 3 ma trận U = −2→ { −2 ∗ l 32 = 6

AX = B → LUX = B (Tách A=LU) Đặt UX = Y → LY = B Vậy Y = L −1 B → X = U −1 Y

Nhắc lại một số kiến thức

 Ma trận vuông A được gọi là đối xứng nếu A T = A

 Ma trận vuông A xác định dương khi và chỉ khi tất cả những định thức con chính của nó đều lớn hơn 0

Ví dụ: Với những giá trị α nào thì ma trận A = [

] là ma trận xác định dương?

Cho ma trận vuông A là đối xứng và xác định dương Khi đó A = B B T , với B là ma trận tam giác dưới và được xác định như sau:

{ b11= √a11, b i1 = a i1 b 11 b ii = √a ii − ∑ b ik 2 i−1 k=1 b ij = 1 b ji (a ij − ∑ b ik b jk j−1 k=1

Công thức tính nhanh Trace(B) = b 11 + b 22 + b 33 = √∆ 1 + √ ∆ 2

] Phân tích ma trận A = BB T tho phương pháp Choleski, xác định ma trận B và tính trace(B)

Lấy hàng 3 ma trận B nhân cột 2 ma trận B T =−1 ∗ −1 + √2 ∗ b 32 = −5 → b 32 = −2√2 Vậy B=[

Chuẩn của ma trận A = (a ij ) được xác định như sau:

1 Max 1≤j≤n ∑ |a n i ij |(giá trị lớn nhất trong các tổng trị tuyệt đối các phần tử theo cột: Chuẩn cột

∞ Max 1≤i≤n ∑ |a n j ij |(giá trị lớn nhất trong các tổng trị tuyệt đối các phần tử theo hàng: Chuẩn hàng

Số nhỏ nhất k(A) thỏa điều kiện k(A) ≤ Cond(A) = ||A|| ||A −1 || được gọi là số điều kiện của ma trận A

Số điều kiện k(A) của ma trận A thỏa 1 ≤ k(A) ≤ +∞ (làm tròn lên)

Ví dụ: Cho ma trận A = [2 −2

2 −9] Số điều kiện tính theo chuẩ cột và hàng của A là

Số điều kiện tính tính theo chuẩn cột: k(A) ≤ ||A||

] Số điều kiện theo chuẩn vô cùng của ma trận

Tính chất: Với 2 ma trận bất kì X, Y

 ||aX|| = |a| ||X|| với a là hằng số

4.Ma trận chéo trội nghiệm ngắt

Ma trận A được gọi là ma trận đường chéo trội nghiêm ngặt nếu thoả mãn điều kiện

] Được gọi là ma trận đường chéo trội nghiêm ngặt vì {

5.1 Dạng hệ phương trình 2 ẩn

−5x 1 + 14x 2 = 6 Với x (0) = [0,7 0,8] T a/ Xác định ma trận D, L, U, T, C b/ Tìm nghiệm gần đúng x (3) c/ Tìm sai số nghiệm gần đúng x (3) tiên nghiệm và chuẩn 1 d/ Tìm sai số nghiệm gần đúng x (3) tiên nghiệm và chuẩn hàng e/ Tìm sai số nghiệm gần đúng x (3) hậu nghiệm và chuẩn 1 f/ Tìm sai số nghiệm gần đúng x (3) hậu nghiệm và chuẩn hàng g/ Theo công thức tiên nghiệm và chuẩn vô cùng, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn

10 −3 h/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn cột, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn 10 −3 k/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn vô cùng, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn

Giải (kết hợp với video bài giảng mới hiểu nha) a/ Xác định ma trận D, L, U, T, C

KHÓA HỌC ONLINE PHƯƠNG PHÁP TÍNH 20 Đặt {x 1 = X(giá trị hiện tại) = A(giá trị trước đó) x 2 = Y(giá trị hiện tại) = B(giá trị trước đó)

1 − ||T|| ||X (n) − X (n−1) || c/ Tìm sai số nghiệm gần đúng x (3) tiên nghiệm và chuẩn 1

1 = 0,1964 (nên dùng chức năng STO để lưu giá trị)

Sai số cần tìm là: ||T|| 1

14 ) 3 1− 14 5 ∗ 0,1964 (làm tròn lên) d/Tìm sai số nghiệm gần đúng x (3) tiên nghiệm và chuẩn hàng

∞= 0,1214 (nên dùng chức năng STO để lưu giá trị)

Sai số cần tìm là: ||T|| ∞

14 ) 3 1− 14 5 ∗ 0,1214(làm tròn lên) e/Tìm sai số nghiệm gần đúng x (3) hậu và chuẩn 1

14 Đặt {x 1 = X(giá trị hiện tại) = A(giá trị trước đó) x 2 = Y(giá trị hiện tại) = B(giá trị trước đó)

⏟ sai số hậu nghiệm chuẩn cột

Bấm tới lần lập thứ 3 ta được sai số là 0,0122 f/Tìm sai số nghiệm gần đúng x (3) hậu nghiệm và chuẩn hàng

= X: B = Y Bấm máy đến lần lập thứ 3, sai số nào lớn hơn thì chọn sai số đó

Kết quả: sai số 1=0,00466; sai số 2=0,00753 → Chọn sai số là 0,00753 g/ Theo công thức tiên nghiệm và chuẩn vô cùng, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn

Vậy n tối thiểu bằng 6 h/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn cột, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn 10 −3

14 Đặt {x 1 = X(giá trị hiện tại) = A(giá trị trước đó) x 2 = Y(giá trị hiện tại) = B(giá trị trước đó)

Bấm tới khi nào sai số nhỏ hơn 10 −3 k/Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn vô cùng, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn

= X: B = Y Bấm máy đến khi nào thỏa sai số lớn hơn trong 2 sai số đó nhỏ hơn 10 −3

Với x (0) = [−2, −3, 1] T a/ Xác định ma trận D, L, U, T, C b/ Tìm nghiệm gần đúng x (3) c/ Tìm sai số nghiệm gần đúng x (3) tiên nghiệm và chuẩn 1 d/ Tìm sai số nghiệm gần đúng x (3) tiên nghiệm và chuẩn hàng e/ Tìm sai số nghiệm gần đúng x (3) hậu nghiệm và chuẩn 1 f/ Tìm sai số nghiệm gần đúng x (3) hậu nghiệm và chuẩn hàng g/ Theo công thức tiên nghiệm và chuẩn vô cùng, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn

10 −3 h/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn cột, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn 10 −3 k/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn vô cùng, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn

2 Đặt { x 1 = X(giá trị hiện tại) = A(giá trị trước đó) x 2 = Y(giá trị hiện tại) = B(giá trị trước đó) x 3 = Z(giá trị hiện tại) = C(giá trị trước đó)

1 − ||T|| ||X (1) − X (0) || c/ Tìm sai số nghiệm gần đúng x (3) tiên nghiệm và chuẩn 1

1−0,45∗ 6,05 (làm tròn lên) d/Tìm sai số nghiệm gần đúng x (3) tiên nghiệm và chuẩn hàng

1−0,5∗ 2,8 (làm tròn lên) e/Tìm sai số nghiệm gần đúng x (3) hậu và chuẩn 1

Bấm tới lần lập thứ 3 ta được sai số là… f/Tìm sai số nghiệm gần đúng x (3) hậu và chuẩn hàng

Bấm máy đến lần lập thứ 3, sai số nào lớn nhất thì chọn sai số đó g/ Theo công thức tiên nghiệm và chuẩn vô cùng, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn

Vậy n tối thiểu bằng 13 h/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn cột, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn 10 −3 Với T = [

Bấm đến khi nào sai số hậu nghiệm chuẩn cột nhỏ hơn 10 −3 k/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn vô cùng, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn

Bấm máy đến khi sai số lớn nhất trong ba sai số đó nhở hơn 10 −3

6.Phương pháp lặp Gauss-Seidel

−5𝑥 1 + 14𝑥 2 = 6 Với 𝑥 (0) = [0,7 0,8] 𝑇 a/ Xác định ma trận D, L, U, T, C b/ Tìm nghiệm gần đúng 𝑥 (3) c/ Tìm sai số nghiệm gần đúng 𝑥 (3) tiên nghiệm và chuẩn 1 d/ Tìm sai số nghiệm gần đúng 𝑥 (3) tiên nghiệm và chuẩn hàng e/ Tìm sai số nghiệm gần đúng 𝑥 (3) hậu nghiệm và chuẩn 1 f/ Tìm sai số nghiệm gần đúng 𝑥 (3) hậu nghiệm và chuẩn hàng g/ Theo công thức tiên nghiệm và chuẩn cột, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn 10 −3 h/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn cột, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn 10 −3 k/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn vô cùng, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn

KHÓA HỌC ONLINE PHƯƠNG PHÁP TÍNH 29 b/ Tìm nghiệm gần đúng 𝑥 (3)

1 − ||𝑇|| ||𝑋 (𝑛) − 𝑋 (𝑛−1) || c/ Tìm sai số nghiệm gần đúng 𝑥 (3) tiên nghiệm và chuẩn 1

1 = 25/112 (nên dùng chức năng STO để lưu giá trị)

Sai số cần tìm là: ||𝑇|| 1

1−95/224∗ 25/112 (làm tròn lên) d/Tìm sai số nghiệm gần đúng 𝑥 (3) tiên nghiệm và chuẩn hàng

560 (nên dùng chức năng STO để lưu giá trị)

Sai số cần tìm là: ||𝑇|| ∞

560(làm tròn lên) e/Tìm sai số nghiệm gần đúng 𝑥 (3) hậu và chuẩn 1

Bấm tới lần lập thứ 3 ta được sai số

KHÓA HỌC ONLINE PHƯƠNG PHÁP TÍNH 31 f/Tìm sai số nghiệm gần đúng x (3) hậu và chuẩn hàng

{x 1 = X(giá trị hiện tại) = A(giá trị trước đó) x 2 = Y(giá trị hiện tại) = B(giá trị trước đó)

Bấm máy đến lần lập thứ 3, sai số nào lớn hơn thì chọn sai số đó g/ Theo công thức tiên nghiệm và chuẩn cột, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn 10 −3

1 = 25/112 (nên dùng chức năng STO để lưu giá trị)

Vậy đến lần lập thứ 7 thì sai số nhở hơn 10 −3 h/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn cột, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn 10 −3

Bấm đến khi nào sai số nhỏ hơn 10 −3 k/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn vô cùng, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn

{x 1 = X(giá trị hiện tại) = A(giá trị trước đó) x 2 = Y(giá trị hiện tại) = B(giá trị trước đó)

Bấm đến khi nào sai số lớn hơn có giá trị nhỏ hơn 10 −3 thì dừng lại

Với x (0) = [−2, −3, 1] T a/ Xác định ma trận D, L, U, T, C b/ Tìm nghiệm gần đúng x (3) c/ Tìm sai số nghiệm gần đúng x (3) tiên nghiệm và chuẩn 1 d/ Tìm sai số nghiệm gần đúng x (3) tiên nghiệm và chuẩn hàng e/ Tìm sai số nghiệm gần đúng x (3) hậu nghiệm và chuẩn 1 f/ Tìm sai số nghiệm gần đúng x (3) hậu nghiệm và chuẩn hàng

KHÓA HỌC ONLINE PHƯƠNG PHÁP TÍNH 33 g/ Theo công thức tiên nghiệm và chuẩn cột, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn 10 −3 h/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn cột, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn 10 −3 k/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn vô cùng, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn

2 Đặt { x 1 = X(giá trị hiện tại) = A(giá trị trước đó) x 2 = Y(giá trị hiện tại) = B(giá trị trước đó) x 3 = Z(giá trị hiện tại) = C(giá trị trước đó)

1 − ||T|| ||X (n) − X (n−1) || c/ Tìm sai số nghiệm gần đúng x (3) tiên nghiệm và chuẩn 1

1−0,517∗ 6,7975 (làm tròn lên) d/Tìm sai số nghiệm gần đúng x (3) tiên nghiệm và chuẩn hàng

∞ = 3,37 (nên dùng chức năng STO để lưu giá trị)

1−0,29∗ 3,37(làm tròn lên) e/Tìm sai số nghiệm gần đúng x (3) hậu và chuẩn 1

Bấm tới lần lập thứ 3 ta được sai số f/Tìm sai số nghiệm gần đúng x (3) hậu nghiệm và chuẩn hàng

Bấm máy đến lần lập thứ 3, sai số nào lớn nhất thì chọn sai số đó g/ Theo công thức tiên nghiệm và chuẩn cột, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn 10 −3 Với T = [

Vậy đến lần lập thứ 15 thì sai số nhỏ hơn 10 −3 h/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn cột, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn 10 −3 Với T = [

Bấm đến khi nào sai số nhỏ hơn 10 −3 k/ Theo công thức hậu nghiệm và chuẩn vô cùng, số bước lập cần thiết để sai số nhỏ hơn

Bấm đến khi nào sai số lớn nhất có giá trị nhỏ hơn 10 −3 thì dừng lại

NỘI SUY ĐA THỨC

Phương pháp spline tự nhiên

Tổng quát: Giả sử bảng giá trị có n nút

Ví dụ 6: Giả sử bảng giá trị có n nút

Dùng spline bậc 3 tự nhiên để xấp xỉ giá trị của hàm số tại x=1,7

Tìm ma trận A là ma trận vuông có kích thước nxn

Tìm ma trận B có kích thước nx1

Tìm ma trận C có kích thước nx1

Tìm hệ số từng spline

IONF14 i = 12 = - - 1 7 075 + 2 6) ã - of Ko C - > ! d do = = E 1125 I = 0 11 0 = 0 Sh

HCMUT CNCP PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYỄN QUỐC VƯƠNG

Phương pháp spline có điều kiện 𝑔 ′ 𝑎 = 𝛼; 𝑔 ′ 𝑏 = 𝛽

Tổng quát: Giả sử bảng giá trị có n nút

Ví dụ 7: Xây dựng spline bậc ba ràng buộc nội suy bảng số

Thỏa mãn điều kiện 𝑦 ′ (0) = 0, 𝑦 ′ (3) = 0 Tính 𝑦(2)

Dùng spline bậc 3 tự nhiên để xấp xỉ giá trị của hàm số tại x=1,7

Tìm ma trận A là ma trận vuông có kích thước nxn

Tìm ma trận B có kích thước nx1

Tìm ma trận C có kích thước nx1

Tìm hệ số từng spline

5.Phương pháp bình phương cực tiểu(bình phương bé nhất)

Mục đích: Tìm ra hàm 𝑓(𝑥) gần đi qua điểm nút nhất

Trường hợp này dùng chúc năng thống kê của casio để tính

Nhập giá trị X và cột X , giá trị Y và cột Y và nhập xác suất của biến đó vào cột Freq, xong rôi ấn AC

Lưu ý, Casio 570, Vinacal không tính được hàm 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 2

Menu → Thống kê(6) → bấm 2 nếu (a+bx) bấm 3 nếu 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 2

Nhập giá trị X và cột X, giá trị Y và cột Y và nhập xác suất của biến đó vào cột Freq, xong rôi ấn AC

- n là số nút nội suy

A,B chính là nghiệm của hệ phương trình: { 𝑛𝐴 + (∑ 𝑛 𝑘=1 𝑥 𝑘 )𝐵 = ∑ 𝑛 𝑘=1 𝑦 𝑘

Ví dụ: Cho tập dữ liệu {(𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 ): 𝑗 = 1,2 … ,14} với các dữ kiện sau:

Tìm đường thẳng 𝑦 = 𝐴 + 𝐵𝑥 theo phương pháp bình phương bé nhất cho dữ liệu này? Bài giải

Vậy đường thẳng cần tìm là 𝑦 = −0,134 + 0,39175𝑥 a/Dạng 𝑓(𝑥) = 𝐴 + 𝐵𝑋 + 𝐶𝑋 2

- n là số nút nội suy

A,B,C là nghiệm của hệ phương trình:

Ví dụ: Tìm hàm 𝑓(𝑥) = 𝐴 + 𝐵𝑋 + 𝐶𝑋 2 xấp xỉ tốt nhất bảng số

Tìm A, B giải hệ phương trình

Hướng dẫn bấm máy tính (bật chế độ Radian)

= 𝑀 + 𝑞(𝑥) 𝑌 CALC A,B,C,D,M=0, giá trị x, y nhập theo bảng cho đến hết

Ví dụ 8: Tìm hàm 𝑓(𝑥) = 𝐴√𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑥) xấp xỉ tốt nhất bảng số

Tiêu đề	Bí Quyết Chinh Phục Phương Pháp Tính Giữa Kì
Tác giả	Nguyễn Quốc Vương
Trường học	Học viện Công nghệ Bách Khoa
Chuyên ngành	Phương Pháp Tính
Thể loại	Khóa Học Online
Năm xuất bản	HK232
Thành phố	Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	48
Dung lượng	3,85 MB