Đề tài "Rèn luyện năng lực giải toán tiếp tuyến với đồ thị (C) y = f(x) cho học sinh THPT theo định hướng TDST" pot

Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu của tiểu luận này là: "Rèn luyện năng lực giải toán tiếp tuyến với đồ thị C y = fx cho học sinh THPT theo định hướng TDST".. Giả thuyết khoa học Nếu

ĐỀ TÀI

"Rèn luyện năng lực giải toán tiếp tuyến với

đồ thị (C) y = f(x) cho học sinh THPT theo

định hướng TDST"

Giáo viên hướng dẫn :

Sinh viên thực hiện :

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Thế giới ngày nay đang thay đổi theo một tốc độ luỹ thừa, nhằm đáp ứng được những thay đổi nhanh chóng đó trong khoa học, công nghệ, truyền thông Chúng ta không những dựa trên các giải pháp của quá khứ, mà còn phải tin tưởng vào những quá trình giải quyết các vấn đề mới

Điều này không chỉ hàm ý nói đến những kỹ thuật mới mà còn nói đến mục tiêu giáo dục Mục tiêu của giáo dục phải là phát triển một xã hội trong đó con người có thể sống thoải mái với sự thay đổi hơn là sự xơ cứng Vì thế bắt buộc bản thân các nhà giáo dục phải vừa giữ gìn, lưu truyền tri thức và các giá trị của quá khứ vừa chuẩn bị cho một tương lai mà ta chưa biết rõ

Toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại, nó thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá sản xuất, trở thành công cụ thiết yếu cho mọi ngành khoa học và được coi là chìa khoá của sự phát triển

Xuất phát từ những yêu cầu xã hội đối với sự phát triển nhân cách của thế hệ trẻ,

từ những đặc điểm của nội dung mới và từ bản chất của quá trình học tập buộc chúng

ta phải đổi mới phương pháp dạy học theo hướng bồi dưỡng TDST cho học sinh Việc học tập tự giác tích cực, chủ động và sáng tạo đòi hỏi học sinh phải có ý thức về những mục tiêu đặt ra và tạo được động lực trong thúc đẩy bản thân họ tư duy

để đạt được mục tiêu đó

Trong việc rèn luyện TDST cho học sinh ở trường phổ thông, môn Toán đóng vai trò rất quan trọng Bởi vì, Toán học có một vai trò to lớn trong sự phát triển của các ngành khoa học và kỹ thuật; Toán học có liên quan chặt chẽ và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống

xã hội hiện đại; Toán học còn là một công cụ để học tập và nghiên cứu các môn học khác

Vấn đề bồi dưỡng TDST cho học sinh đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước

quan tâm nghiên cứu Với tác phẩm "Sáng tạo toán học" nổi tiếng, nhà toán học kiêm

tâm lý học G.Polya đã nghiên cứu bản chất của quá trình giải toán, quá trình sáng tạo toán học ở nước ta, các tác giả Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn, Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, Tôn Thân, Phạm Gia Đức,… đã có nhiều công trình giải quyết những vấn đề về lý luận và thực tiễn việc phát triển TDST cho học sinh

Như vậy, việc bồi dưỡng và phát triển TDST trong hoạt động dạy học toán được rất nhiều nhà nghiên cứu quan tâm Việc bồi dưỡng TDST thông qua dạy giải các bài tập về vấn đề tiếp tuyến với đồ thị hàm số ở trường THPT cũng là một chủ điểm cần khai thác và đi sâu vào nghiên cứu cụ thể Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu của tiểu

luận này là: "Rèn luyện năng lực giải toán tiếp tuyến với đồ thị (C) y = f(x) cho học

sinh THPT theo định hướng TDST"

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của tiểu luận này là rèn năng lực giải toán tiếp tuyến với đồ thị (C) y = f(x) cho học THPT theo định hướng TDST thông qua bài giải các bài toán

cụ thể

3 Giả thuyết khoa học

Nếu quan tâm đúng mức và tiến hành hợp lí việc khái thác, tập luyện cho học sinh THPT các dạng toán liên quan đến phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) thì sẽ phát triển được ở họ khả năng TDST, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường THPT

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

4.1 Làm sáng tỏ khái niệm TDST

4.2 Xác định các vấn đề đã đề xuất nhằm rèn luyện TDST cho học sinh

4.3 Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập phương trình tiếp tuyến với đồ thị phù

hợp với sự phát triển TDST cho học sinh

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận:

- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học môn toán, lý luận dạy học môn toán

- Các sách báo, các bài viết về khoa học toán phục vụ cho đề tài

- Các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài

6 Cấu trúc tiểu luận

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Phụ Lục chuyên đề, Tiểu luận có hai chương:

Chương 1: Những vấn đề về cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Hệ thống hóa, tập luyện giải toán phương trình tiếp tuyến với đồ thị

hàm sốy f x( ) nhằm phát triển khả năng TDST

PHẦN NỘI DUNG

Chương 1 NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Tư duy sáng tạo

Theo nhà tâm lý học người Đức Mehlhorn cho rằng: “ TDST là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục” Còn theo J Danton (1995) cho rằng “TDST là những năng lực tìm những ý nghĩ mới, tìm những mối quan

hệ mới; là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đáng giá, là một quá trình” Theo ông, một cách dạy và học phát triển TDST cho học sinh bao gồm một chuỗi chứa đựng những điều như: sự khám phá, sự phát minh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm.”

Theo Tôn Thân: “Tư duy là sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả cao trong quyết định vấn đề.”

1.2 Một số đặc trưng của tư duy sáng tạo

Theo các nhà nghiên cứu, TDST bao gồm năm thành phần sau đây:

- Tính mềm dẻo là khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt

- Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động,

phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng

- Tính nhạy cảm vấn đề là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, mâu

thuẫn, sai lầm, hoặc thiếu logic, … do đó, nảy ra ý muốn cấu trúc lại hợp lý, hài hòa, tạo ra cái mới

Các yếu tố cơ bản của TDST nêu trên đã biểu hiện khá rõ ở học sinh nói chung

và đặc biệt rõ nét đối với học sinh khá giỏi Trong học tập Toán mà cụ thể là trong hoạt động giải toán, các em đã biết di chuyển, thay đổi các hoạt động trí tuệ, biết sử dụng xen kẽ phân tích và tổng hợp, dùng phân tích trong khi tìm tòi lời giải và dùng tổng hợp để trình bày lời giải Ở học sinh khá và giỏi cũng có sự biểu hiện các yếu tố đặc trưng của TDST Điều quan trọng là người giáo viên phải có phương pháp dạy học thích hợp để có thể bồi dưỡng và phát triển tốt hơn năng lực sáng tạo ở các em

1.3 Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo

Tư duy biện chứng có thể phản ánh đúng đắn thế giới xung quanh và nhiệm vụ của người thầy giáo là rèn luyện cho học sinh năng lực xem xét các đối tượng vàn hiện tượng trong sự vận động, trong những mối liên hệ, mối mâu thuẫn và trong sự phát triển

Tư duy biện chứng rất quan trọng, nó là cái giúp ta phát hiện vấn đề và định hướng tìm tòi cách giải quyết cấn đề, nó giuisp ta cũng cố lòng tin khi trong việc tìm tòi tạm thời gặp thất bại, trong khi đó ta vẫn vững lòng tin rằng rồi sẽ có ngày thành công và hướng tìm đến thành công là cố nhìn cho được mỗi khái niệm toán học theo nhiều cách khác nhau, càng nhiều càng tốt

Tư duy sáng tạo là loại hình đặc trưng bởi hoạt động và suy nghĩ nhận thức mà những hoạt động nhận thức ấy luôn theo một phương diện mới, giải quyết vấn đề theo cách mới, vận dụng trong một hoàn cảnh hoàn toàn mới, xem xét sự vật hiện tượng, về mối quan hệ theo một cách mới có ý nghĩa, có giá trị Muốn đạt được điều đó khi xem xét vấn đề nào đó chúng ta phải xem xét từ chính bản thân nó, nhìn nó dưới nhiều khía cạnh khác nhau, đặt nó vào những hoàn cảnh khác nhau, … như thế mới giải quyết vấn đề một cách sáng tạo được Mặt khác tư duy biện chứng đã chỉ rõ là khi xem xét

sự vật phải xem xét một cách đầy đủ với tất cả tính phức tạp của nó, tức là phải xem xét sự vật trong tất cả các mặt, các mối quan hệ trong tổng thể những mối quan hệ phong phú, phức tạp và muôn vẻ của nó với các sự vật khác Đây là cơ sở để học sinh học toán một cách sáng tạo, không gò bó, đưa ra được nhiều cách giải khác nhau Điều đó có nghĩa là chúng ta phải rèn tư duy biện chứng cho học từ đó có thể rèn luyện được tư duy dáng tạo cho học sinh

1.4 Một số biện pháp nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

1.4.1 Nhóm biện pháp 1: Tạo cho học sinh thói quen mò mẫm, dự đoán rồi

phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự

1.4.2 Nhóm biện pháp 2: Tập cho học sinh biết phân tích tình huống đặt ra

dưới nhiều góc độ khác nhau, biết giải quyết vấn đề bằng nhiều cách khác nhau

và lựa chọn các giải quyết tối ưu

1.4.3 Nhóm biện pháp 3: Tập cho học sinh biết hệ thống hóa kiến thức và hệ

thống hóa phương pháp

1.5 Một số cách thức khai thác bài toán trong SGK theo định hướng phát triển năng lực tư duy sáng tạo

1.5.1 Lập bài toán tương tự với bài toán ban đầu

1.5.2 Lập bài toán đảo của bài toán ban đầu

1.5.3 Thêm vào bài toán ban đầu một số yếu tố đặc biệt hóa bài toán ban đầu 1.5.4 Bớt đi một số yếu tố của bài toán ban đầu, khái quát hóa bài toán ban đầu 1.5.5 Thay đổi một số yếu tố của bài toán ban đầu

1.6 Tiềm năng của chủ đề tiếp tuyến với đồ thị hàm số trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh

Trong quá trình học Toán thì kỹ năng vận dụng Toán học là quan trọng nhất, nhà trường phổ thông không chỉ cung cấp cho học sinh những kiến thức Toán học, mà

còn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng tính độc lập, sự độc đáo và khả năng sáng tạo

Các nhà tâm lý học cho rằng: "Sáng tạo bắt đầu từ thời điểm mà các phương pháp logic để giải quyết nhiệm vụ là không đủ và gặp trở ngại hoặc kết quả không đáp ứng được các đòi hỏi đặt ra từ đầu, hoặc xuất hiện giải pháp mới tốt hơn giải pháp cũ"

Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần phải được khai thác và sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển TDST biểu hiện ở các mặt như: khả năng tìm hướng đi mới (khả năng tìm nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quả của một bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau của một bài toán)

Chủ đề bài toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số y=f(x) chứa đựng nhiều tiềm năng

to lớn trong việc bồi dưỡng và phát huy năng lực sáng tạo cho học sinh Bên cạnh việc giúp học sinh giải quyết các bài tập sách giáo khoa, giáo viên có thể khai thác các tiềm năng đó thông qua việc xây dựng hệ thống bài tập mới trên cơ sở hệ thống bài tập cơ bản, tạo cơ hội cho học sinh phát triển năng lực sáng tạo của mình

Trong quá trình dạy học giáo viên cần dẫn dắt học sinh giải quyết hệ thống bài tập mới, tạo cho học sinh phát hiện vấn đề mới, đó là vấn đề quan trọng mà ta cần quan tâm bồi dưỡng cho học sinh

Có nhiều phương pháp khai thác khác các bài tập cơ bản trong sách giáo khoa,

để tạo ra các bài toán có tác dụng rèn luyện tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo của tư duy

Trên cơ sở phân tích khái niệm TDST cùng những yếu tố đặc trưng của nó và dựa vào quan điểm: bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của TDST cho học sinh là một trong những biện pháp để phát triển năng lực TDST cho các em Các bài tập chủ yếu nhằm bồi dưỡng tính mềm dẻo của TDST với các đặc trưng: dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, suy nghĩ không rập khuôn; khả năng nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, khả năng nhìn thấy chức năng mới của đối

tượng quen biết Các bài tập chủ yếu nhằm bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn của TDST với các đặc trưng: khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và hoàn cảnh khác nhau, khả năng xem xét đối tượng dưới những khía cạnh khác nhau Các bài tập chủ yếu nhằm bồi dưỡng tính nhạy cảm vấn đề của TDST với các đặc trưng: nhanh chóng phát hiện những vấn đề tìm ra kết quả mới, tạo được bài toán mới, khả năng nhanh chóng phát hiện ra các mâu thuẫn, thiếu logic

1.7 Kết luận chương 1

Trong chương này tiểu luận đã làm rõ các khái niệm TDST, nêu được các yếu

tố đặc trưng của TDST, một số cách khai thác các bài toán trong SGK theo định hướng TDST và vận dụng được tư duy biện chứng để phát triển TDST, đồng thời nêu được tiềm năng của chủ đề tiếp tuyến với đồ thị hàm số trong việc bồi dưỡng TDST cho học sinh

Việc bồi dưỡng TDST cho học sinh thông qua quá trình dạy học giải bài tập toán là rất cần thiết bởi qua đó chúng ta giúp học sinh học tập tích cực hơn và kích thích được tính sáng tạo của học sinh trong học tập và trong cuộc sống

Vậy công việc của mỗi giáo viên trong quá trình dạy học là tìm ra được các phương pháp nhằm phát triển và rèn luyện TDST cho học sinh

Chương 2

HỆ THỐNG HÓA, TẬP LUYỆN GIẢI TOÁN TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ

HÀM SỐ NHẰM PHÁT TRIỂN KHẢ NĂNG TƯ DUY SÁNG TẠO

2.1 Tiếp tuyến của đường cong phẳng

Cho đồ thị (C): y f x( ) Gọi

o

M , M là hai điểm phân biệt và

cùng thuộc đồ thị (C) Khi đó, nếu

cố định điểm M và cho điểm M o

di động trên (C) đến gần điểm M o

thì vị trí giới hạn của cát tuyến

(M M ) là tiếp tuyến o M T tại o

điểm M o lim  o 

M Mo M M

tuyến M T o

2.2 Phân loại các bài toán về tiếp tuyến với đồ thị hàm số y f x( )

2.2.1 Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm M x y thuộc đồ thị o( ;o o)

1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1

3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 6

4) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm cho (C) với trục hoành

M

M 1

5) Dự đoán và chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất Phát biểu tổng quát cho hàm số yax3bx2cxd (a0)

Bài giải

1) Ta có: y'3x26x2  ''y 6x 6 ''y   0 x 1

Do đó tọa độ điểm uốn là (1;0)U

Phương trình tiếp tuyến tại U là ( ) : d y y'(1)(x    1) 0 x 1

2) Ta có: x o  1 y o  6 và Ta có: y x'( )o  y'( 1) 11  Suy ra

Phương trình tiếp tuyến là: ( ) :d y y'( 1)( x  1) 6 11x5

3) Gọi M x y là tiếp điểm, ta có: o( ;o o)

x  x  x   x  x    x 

Vậy phương trình tiếp tuyến là: ( );d y y'(3)(x  3) 6 11x27

4) Phương trình giao điểm của (C) với Ox : 3 2

Nhận xét: Chứng minh tương tự ta có kết quả tổng quát của câu 5 như sau: “Cho hàm

số yax3bx2cxd (a0)

Nếu a0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất

Nếu a0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất “

Bài 2 Cho hàm số y f x( )x3 1 m x( 1)(C m) Viết phương trình tiếp tuyến của

(C m)tại giao điểm của (C m) với trục Oy Tìm m để tiếp tuyến đó tạo với Ox; Oy một tam giác có diện tích bằng 8

2 2

2'( )

2 2

2'( )

Bài 5 Cho hàm số

2

( )1

 giao điểm hai tiệm cận là điểm I(1;2)

Giả sử M x y( ;o o)( )C  2

1

o o o

x y x



  tiếp tuyến tại M x y( ;o o)( )C

x y





a) Gọi M x y o( ;o o)( )C Vẽ tiếp tuyến tại M với (C) cắt tiệm cận đứng tại A, cắt tiệm

cận ngang tại B Dự đoán diện tích tam giác IAB (I là giao điểm của hai đường tiệm cận) Hãy chúng minh điều dự đoán là đúng Từ đó khái quát lên đối với hàm nhất biến, hàm hữu tỉ Mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi

b) Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất

0

0 0

x

x x

) 1 (

2 )

( '







x x y

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M0 có dạng:

1

1 )

( )

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (C) là: x = 1

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C) là: y =1

Toạ độ giao điểm của hai đường tiệm cận là A(1; 1)

Toạ độ giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là nghiệm của hệ:

1

1 )

( ) 1 (

2

0 0

0 0 2

0

y

x x

y

x

x x x x

y

Gọi C( 2x0  1 ; 1 )

Tương tự, toạ độ giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là: )

1

3

;1(0

3

0 0

x

AC = 2x0 1

Do tam giác ABC vuông tại A nên diện tích của tam giác ABC là:

412.1

4.2

1

2

1

0 0

AB

Tổng quát: Diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến tại một điểm bất kì thuộc đồ thị hàm

số nhất biến ( hữu tỉ) với 2 tiệm cận của đồ thị là một số không đổi

b) Ta có chu vi của tam giác ABC là:

2448)22(2

.2

AB AC

AB AC

AB BC AC AB

212

)1(

0

0 2

0

x

x x

Vậy, những điểm thuộc (C) có hoành độ thoả mãn x1 2 thì tiếp tuyến tại đó lập với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất

2.2.2 Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm A x( A;y A) cho trước đến đồ thị hàm số ( ) :C y f x( )

* Phương pháp tìm tiếp điểm

Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua

( A; A)

A x y tiếp xúc ( ) :C y f x( )

tại tiếp điểm có hoành độ x suy o

ra phương trình tiếp tuyến có

dạng: ( ) :d y f x'( )(o xx o) f x( )o

( A; A)

( ) :C yf x( )

- Điểm A x( A;y A)( )d  y A  f x'( )(o x A x o) f x( )o Giải phương trình này có nghiệm x , từ đó có phương trình tiếp tuyến o

Phương pháp 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc

- Phương trình đường thẳng qua điểm M x y o( ;o o) với hệ số góc k có phương trình: ( )d yk x( x A)y A tiếp xúc với đồ thị ( ) :C y f x( )

Giả hệ phương trình (*)  nghiệm x o y o  f x( )o ; k  f x'( )o

- Phương trình tiếp tuyến tại x x o là: ( ) :d y f x'( )(o xx o) y o

Bài 1 Cho yx33x1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua điểm 2

o o

x x

(d) là tiếp tuyến: hệ điều kiện tiếp xúc

Với x o   1 k 0  tiếp tuyến: ( ) :d y 1

* Lời bình: Đối với bài toán này học sinh thường lầm hai khái niệm tiếp tuyến đi qua

và tiếp tuyến tại điểm từ đó dẫn đến việc xác định thiếu tiếp tuyến của đồ thị (C) Vì vậy qua bài tập này phải cho học sinh nhận rõ hai loại tiếp tuyến này có sự khác nhau

Để từ M a( ;2) kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt thị hệ điều kiện có 3 nghiệm phân biệt

 phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác 2

a a a

Để từ M a( ;2) kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt thị hệ điều kiện có 3 nghiệm phân biệt

 phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác 2

a a a

* Lời bình: Qua hai bài toán trên ta thấy bản chất của cả hai phương pháp đã nêu

đều đi tìm tọa độ tiếp điểm nên chúng ta có thể chọn phương pháp 2 để thao tác giải toán dễ dàng hơn

Bài 3 Tìm m để từ A(0;1) kẻ được 2 tiếp tuyến phân biệt tới (Cm):

2

1

x mx m y

1 (1)1

2 (2)( 1)

x mx m

kx x

x x k

Để từ (0;1)A kẻ được 2 tiếp tuyến thì hệ tiếp xúc có 2 nghiệm

 Phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

x x y

x

 



 Dùng hình tượng dự đoán trên Oy tồn tại các điểm mà từ

đó kẻ được đúng 1 tiếp tuyến tới đồ thị CMR: điều dự đoán đó là đúng

Bài giải

Gọi A(0; )a Oy đường thẳng qua A(0; )a Oy: ( ) :d ykxa

(d) là tiếp tuyến 

2

2 2

2

(1)1

(2) ( 1)

x x

kx a x

x x k

C x

x x y

Phương trình đường thẳng qua A(1; 0) với hệ số góc k có dạng: ( ) : d yk x( 1)

Ta có:

1

12

1( 1)

x

x

  

 (C) Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:

1(

11

)1()1(1

11

Lấy (1) – (3) ta được: k

 1 1

k x

I

2)1(

111

1)

( Hệ này có nghiệm khi và chỉ khi

51

)/(2

510

01

01

0

2

1 2

2

m t k

m t k

k

k k

k k k

Phương trình đường thẳng qua A(0; a) có dạng: y = kx + a (d)

Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:

a kx

2(2)1()

1(

31

(**)2

10

)2(3

10

a a

Gọi x1; x2 là các tiếp điểm Do hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành nên y(x1).y(x2) < 0 (x1; x2 là các nghiệm của phương trình (*))

1)(

4)(

20

1

2

1

2

2 1 2 1

2 1 2 1

2 2

x x x x x

a x x

t a

a x

x

1

2

21

)2(2

2 1

2 1

10

1

4501

t t

)1(5

695

41

25

2

1

a a

thì yêu cầu bài toán được thoả mãn

Bài 7 Cho hàm số y x3  6x2  9x 1(C) Dự đoán từ một điểm bất kì trên đường thẳng x2 chỉ có thể kẻ được duy nhât 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C) và chứng minh rằng điều dự đoán đó là đúng

x

b x

k x x

x

912

3

)2(196

2

)2)(

9123

(196

2 3

2 2

x

b

b x

x x

x x

x x

y'  6 2  24  24  6 (  2 )2  0   Do đó hàm số đồng biến

Vì hàm số đã cho luôn đồng biến nên đường thẳng y = - b cắt đồ thị hàm số :

17 24 12