Tìm hiểu về direction field (9 2) và mô hình quần thể đa loài (9 6 predator prey system) trong james stewart, calculus early transcendantals

Định nghĩa và ý nghĩa của Direction field: - Trường định hướng là biểu diễn đồ thị của phương trình vi phân cấp một.Mặc dù trường định hướng có thể được sử dụng để hình dung nghiệm của p

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NHÓM: GT1-DT04-09

BTL Giải tích 1 Nhóm 9

STT MSSV Họ Tên Phân công công việc Ghi chú

1 1915228 Ngô Quốc Thắng Word - Powerpoint

2 2113198 Nguyễn Minh Đông Câu 2

3 2212255 Đỗ Ánh Ngọc Câu 1

4 2212689 Mai Huy Phương Câu 1

5 2248067 Hồ Trung Tín Câu 2

6 2213581 Trần Thị Thanh Trâm Không

tham gia

Đề bài: (đề số 5)

Câu 1: Tìm hiểu về Direction field (9.2) và mô hình quần thể đa loài (9.6

Predator - Prey System) trong James Stewart, Calculus - Early transcendantals

Câu 2: Tìm hiểu cách sử dụng Slope Field Plotter để vẽ direction field Vẽ

minh họa direction fields cho phương trình y’= f(x,y) và hàm nghiệm cùa bài

BTL Giải tích 1 Nhóm 9

BTL Giải tích 1 Nhóm 9

Mục lục

Câu 1 4

1.1 4

1.2 8

Câu 2 14

Tổng kết 16

Tài liệu tham khảo 17

BTL Giải tích 1 Nhóm 9

1 Câu 1

1.1 Direction field – Trường định hướng

1.1.1 Định nghĩa và ý nghĩa của Direction field:

- Trường định hướng là biểu diễn đồ thị của phương trình vi phân cấp

một.(Mặc dù trường định hướng có thể được sử dụng để hình dung

nghiệm của phương trình vi phân cấp một nhưng trường định hướng không phải là đồ thị nghiệm của phương trình vi phân)

- Bằng cách sử dụng trường định hướng, có thể biểu diễn một phương

trình hoặc bất đẳng thức dưới dạng một đồ thị

1.1.2 Cơ sở lý thuyết:

𝐹(𝑥, 𝑦) là biểu thức nào đó theo x và y Ta có hệ số góc của một đường cong

nhận được Trường định hướng Các đoạn thẳng này cho thấy hướng mà một đường cong nghiệm đang tiến về

Mật độ điểm được vẽ càng dày đặt giúp ta càng dễ xác định chính xác hình

dạng của đường cong nghiệm

Độ dày đặc thấp Độ dày đặc cao

Hình 1.1: Trường định hướng của phương trình vi phân 𝑦′= 𝑥 + 𝑦

BTL Giải tích 1 Nhóm 9

1.1.3 Ví dụ :

Câu 1: Vẽ trường định hướng của phương trình vi phân 𝒙𝒚′ = 𝟐𝒚

Lời giải

𝑥𝑦′ = 2𝑦

<=> 𝑦′ = 2𝑦

𝑥

Tiếp theo chọn vài điểm trên mỗi góc phần tư cũng như trên hai trục

Tính hệ số góc tại các điểm đã chọn đó

𝑦′ = 2𝑦

Cuối cùng có thể vẽ các đoạn thẳng ngắn tại mỗi điểm dựa vào hệ số góc

BTL Giải tích 1 Nhóm 9

Hình 1.2 Trường định hướng của phương trình vi phân 𝑥𝑦′ = 2𝑦

Câu 2: Vẽ hai đường cong nghiệm của phương trình vi phân 𝒚′= 𝒚

BTL Giải tích 1 Nhóm 9

Để xác định đường cong nghiệm, ta bắt đầu từ phía ngoài cùng bên trái của trường định hướng Khi di chuyển dần dần về bên phải, ta sẽ thấy được các đoạn thẳng ngắn Nếu các đoạn thẳng này có hệ số góc âm, đường cong nghiệm

di chuyển dần xuống dưới Và ngược lại, nếu các hệ số góc dương, đường cong nghiệm đi lên

Hình 1.3 Hai đường cong nghiệm của phương trình vi phân 𝑦′ = 𝑦

1.2 Mô hình quần thể đa loài (Predator – Prey System)

1.2.1 Mô hình quần thể đa loài là gì?

BTL Giải tích 1 Nhóm 9

Là một cấu trúc sinh thái lưới thức ăn thẳng đứng được mô tả bởi một phương trình vi phân thông thường có các biến số đại diện cho thảm thực vật được chăn thả bởi động vật ăn cỏ và sau đó được ăn bởi động vật ăn thịt Các tham số mô tả tốc độ tăng trưởng hoặc tỷ lệ tử vong tương ứng của từng loài trong các điều kiện khác nhau

1.2.2 Cơ sở lý thuyết:

Một số tình huống yêu cầu nhiều hơn một phương trình vi phân để mô hình hóa một tình huống cụ thể Chúng ta có thể sử dụng một hệ phương trình vi phân để lập mô hình hai loài tương tác với nhau, một loài săn mồi loài kia Ví dụ: chúng

ta có thể lập mô hình cách quần thể sói tương tác với quần thể thỏ

Con mồi chính của sói là thỏ Chúng ta sẽ biểu thị số lượng thỏ rừng

bằng R(t) và số lượng sói bằng W(t) , trong đó t là thời gian tính bằng năm

- Nếu không có sói, thỏ rừng sinh sản với tốc độ tỷ lệ thuận với số lượng của chúng và không bị ảnh hưởng bởi tình trạng quá đông Nghĩa là, dân số thỏ rừng sẽ tăng theo cấp số nhân:

𝑑𝑅

- Vì sói săn thỏ rừng, nên tốc độ thỏ rừng bị sói săn được tỷ lệ thuận với

tốc độ tương tác giữa thỏ rừng và sói Do đó, phương trình dự đoán tốc

độ thay đổi của quần thể thỏ rừng trở thành:

𝑑𝑅

𝑑𝑡 = 𝑎𝑅 − 𝑏𝑅𝑊 (với a,b là một hằng số dương)

Với RW là số lần tương tác có thể có giữa sói và quần thể thỏ rừng

- Nếu không có thức ăn, quần thể sói sẽ giảm với tốc độ tỷ lệ thuận với số lượng của nó:

𝑑𝑊

𝑑𝑡 = −∝ 𝑊 (với α là hằng số dương)

- Tốc độ sinh ra của sói tỷ lệ thuận với số lượng thỏ rừng bị ăn thịt và tỷ

lệ này tỷ lệ thuận với tốc độ tương tác giữa thỏ rừng và sói Do đó, tốc độ tăng trưởng của quần thể sói có thể được mô tả bằng:

BTL Giải tích 1 Nhóm 9

𝑑𝑡 = 𝑐𝑅𝑊−∝ 𝑊 (với c,α là hằng số dương)

- Bây giờ chúng ta có một hệ phương trình vi phân mô tả cách hai quần thể tương tác với nhau

𝑑𝑅

𝑑𝑡 = 𝑎𝑅 − 𝑏𝑅𝑊 𝑑𝑊

𝑑𝑡 = 𝑐𝑅𝑊−∝ 𝑊

Chú ý rằng số hạng bRW làm giảm tỷ lệ tăng trưởng tự nhiên của con mồi và

số hạng cRW làm tăng tỷ lệ tăng trưởng tự nhiên của thú săn

Hệ phương trình này được gọi là hệ phương trình thú

săn-con mồi, hoặc hệ phương trình Lotka – Volterra Nghiệm của hệ

phương trình này là cặp hàm số R(t) và W(t) mô tả số lượng con mồi

và thú săn dưới dạng các hàm số theo thời gian Bởi vì đây là hệ

phương trình được ghép thành cặp (R và W xuất hiện trong cả hai

phương trình), nên chúng ta không thể giải lần lượt từng phương trình

này đến phương trình kia Ta phải giải chúng 1 cách đồng thời

Không may là cho đến thời điểm hiện tại, ta không thể tìm được các

công thức tường minh cho R và W dưới dạng các hàm số theo t,

nhưng ta có thể sử dụng phương pháp Trường định hướng để phân

tích các phương trình này

1.2.3 Ví dụ:

Bây giờ ta sẽ gán giá trị cụ thể cho các hằng số a, b, α và c để

phân tích thử mô hình trên

Ví dụ: Giả sử quần thể thỏ và sói được mô tả bằng phương trình

Lotka-Volterra với a = 0.08, b = 0.001, α = 0.02 và c = 0.00002 Thời gian t được tính theo tháng

(a) Tìm các nghiệm cân bằng và nêu ý nghĩa sinh học của chúng

𝑑𝑅

(c) Vẽ trường định hướng cho phương trình vi phân vừa tìm được trong mặt phẳng R-W

BTL Giải tích 1 Nhóm 9

(d) Giả sử vào một thời điểm nào đó có 1000 con thỏ và 40 linh miêu Vẽ đường cong nghiệm tương ứng và sử dụng nó để mô tả sự thay đổi về số lượng trong cả hai quần thể

(e) Sử dụng câu (d) để vẽ đồ thị biễu diễn R và W theo biến t

Lời giải

a Thay các giá trị đề cho vào hệ 2 phương trình vi phân ta được:

𝑑𝑅

𝑑𝑡 = 0.08𝑅 − 0.001𝑅𝑊 𝑑𝑊

𝑑𝑡 = 0.00002𝑅𝑊 − 0.2𝑊

R và W sẽ là hằng số nếu đạo hàm của chúng bằng 0, khi đó:

Một nghiệm của hệ là R = W = 0, điều này là hiển nhiên vì nếu không

có con thỏ và sói nào thì kích thước mỗi quần thể chắc chắn sẽ không thay đổi và bằng 0 Một nghiệm khác của hệ là:

0.001 = 80 và 𝑅 = 0.2

0.00002 = 1000

Vậy quần thể cân bằng sẽ có 1000 con thỏ và 80 con sói Điều này có nghĩa rằng 1000 con thỏ chỉ đủ để duy trì một số lượng sói là 80 con

b Ta sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp để khử t:

𝑑𝑊

𝑑𝑊 𝑑𝑡 𝑑𝑅 𝑑𝑡

0.08𝑅 − 0.001𝑅𝑊

c Ta có phương trình vi phân W theo R:

𝑑𝑊

𝑑𝑊 𝑑𝑡 𝑑𝑅 𝑑𝑡

0.08𝑅 − 0.001𝑅𝑊

Ta tiến hành vẽ trường định hướng cho phương trình vi phân và dựa vào

đó vẽ các đường cong nghiệm của hệ Ta thấy được mối liên hệ giữa R

và W thay đổi thế nào qua thời gian và những đường cong nghiệm này

là những đường cong khép kín Điểm (1000; 80) luôn nằm bên trong tất

cả các đường cong nghiệm và ta gọi nó là điểm cân bằng vì nó tương

BTL Giải tích 1 Nhóm 9

Hình 1.4: Trường định hướng của phương trình vi phân 𝑑𝑊

𝑑𝑅

Hình 1.5: Đường cong nghiệm của phương trình vi phân 𝑑𝑊

𝑑𝑅

𝑑𝑡

𝑑𝑅

𝑑𝑡 = 0.08(1000) − 0.001(1000)(40) = 40

𝑑𝑡 > 0 , ta kết luận được R đang tăng tại P0 và di chuyển ngược

BTL Giải tích 1 Nhóm 9

Hình 1.6: Đường cong nghiệm đi qua P 0 (1000;40)

giữa các quần thể, vì thế số lượng thỏ tăng lên Điều đó dẫn đến có

nhiều sói hơn và cuối cùng có rất nhiều sói đến nỗi quần thể thỏ khó

tránh bị ăn thịt

cực đại 2800 con) Điều này dẫn đến sau một thời gian, quần thế sói bắt

Nhưng điều này có lợi cho thỏ, vì vậy quần thể của chúng sau đó

cuối cùng cũng tăng lên Điều này xảy ra khi các quần thể quay trở lại

giá trị ban đầu là R=1000 và W=40 Toàn bộ chu kỳ bắt đầu lại

e Mặc dù không thể tìm được công thức tường minh của W(t) và R(t), ta

vẫn có thể ước tính được đồ thị của hai hàm số này Từ diễn tả về sự

tăng giảm số lượng của thỏ và sói ở câu (d) ta có thể vẽ lại đồ thị của R

thời điểm t1, t2 và t3

BTL Giải tích 1 Nhóm 9

Hình 1.7a: Đồ thị của R theo thời gian Hình 1.7b: Đồ thị của W theo thời gian

Để dễ so sánh hơn, ta vẽ các biểu đồ trên cùng một hệ trục nhưng với các tỷ lệ

trước sói

Hình 1.8: Biểu đồ so sánh số lượng thỏ và sói tại từng thời điểm

BTL Giải tích 1 Nhóm 9

2 Câu 2

Chương 2: Công cụ Slope Field Plotter của Geogebra

Công cụ Slope Field Plotter của phần mềm Geogebra cho phép người sử

dụng dựng trường định hướng và các đường cong nghiệm của phương trình vi phân Đây là công cụ rất cần thiết cho quá trình học tập và nghiên cứu toán học

2.1 Danh sách hàm dùng trong Slope Field Plotter:

- SlopeField( f(x,y), Number n) : Dựng trường định hướng của phương trình vi

- SolveODE( f’(x,y), Point on f) : Tìm đường cong nghiệm thỏa mãn phương

2.2 Ví dụ:

Bài 1: Cho phương trình vi phân 𝑦′ = 𝑦(𝑦 − 2)(𝑦 − 4) Vẽ trường định hướng

và các đường cong nghiệm ứng với:

Lời giải

Hình 2.1: Trường định hướng và các đường cong nghiệm của phương trình vi

phân 𝑦′ = 𝑦(𝑦 − 2)(𝑦 − 4)

BTL Giải tích 1 Nhóm 9

Bài 2: Dựng trường định hướng của phương trình vi phân 𝑥𝑦′ = 2𝑦 và vẽ vài

đường cong nghiệm thỏa mãn

Lời giải

Ta có:

𝑥

Hình 2.2: Trường định hướng và các đường cong nghiệm của phương trình vi

phân 𝑥𝑦′= 2𝑦

BTL Giải tích 1 Nhóm 9

TỔNG KẾT:

Các khái niệm, cơ sở lý thuyết và ví dụ về Direction Field và mô hình Predator

- Prey System đã được trình bày khá đầy đủ trong bài báo cáo Tuy nhiên, vì lý

do thời gian không nhiều cũng như lượng kiến thức còn hạn chế, bài báo cáo vẫn còn một số lỗi và nhóm chưa tìm hiểu được các ứng dụng nâng cao của những nội dung này

- Về Geogebra, đây là phần mềm giúp vẽ Trường định hướng và các đường cong nghiệm một cách dễ dàng Tuy nhiên vẫn còn một số hạn chế như không chạy được với các phương trình vi phân khó hơn, vì thế nếu dùng phần mềm chuyên dụng khác như MATLAB sẽ khắc phục được những hạn chế này

BTL Giải tích 1 Nhóm 9

TÀI LIỆU THAM KHẢO:

James Stewart, Daniel K Clegg, and Saleem Watson Calculus: Early

Transcendentals Thomson Learning, 2008