Như vậy hệ thống khi sử dụng phản hồi trạng thái thì độ dự trữ ổn định tăng lên, thời gian quá độ giảm xuống nhưng sai số ở trạng thái xác lập lớn. Để khắc phục hiện tượng này ta mắc nối tiếp thêm khâu PID để làm giảm sai số của hệ thống ở trạng thái xác lập.
Trang 1Bài tập
phân tích và tổng hợp hệ điều khiển trên máy tính
I Lý thuyết:
Câu 1: Cho hệ thống có hàm truyền nh sau:
) (
) ( )
(
Ư
1
0
s U
s Y s
k
k n k n
m
j
j m j
s a s
s
c
= +
=
∑
∑
=
−
=
−
Hãy biến đổi thành dạng Jordan với n=3, r=0
Bài làm
Khi n=3 thì hàm truyền có dạng nh sau:
) (
) ( )
(
1
3 3
0
s U
s Y s
W
k
k k
m
j
j m j
s a s
s
c
= +
=
∑
∑
=
−
=
−
(1)
nh vậy ta phải đa từ dạng hàm truyền (1) về dạng trạng thái nh sau:
x = Ax+Bu
y= Cx + Du Trong đó: A,B,C,D là các ma trận hệ số mà chúng ta phải xác định từ hàm truyền (1)
U: tín hiệu điều khiển
X: biến trạng thái
Y: tín hiệu ra
Theo yêu cầu của đầu bài thì r = 0, điều đó có nghĩa lã đa thức đặc trng ở mẫu số của hàm truyền (1) có 3 nghiệm phân biệt Nh vậy ta có thể viết hàm tryuền (1) nh sau:
∑
∏
∑
∑
∑
−
=
−
= +
=
=
=
−
=
−
=
−
3 1 3
1
0 3
1
3 3
0
) (
) (
Ư
s
K s
s c s
a s
s c
j j
m
j
j m j
k
k k
m
j
j m j
s s
s W
1
0
s U s
s Y
s
K i
m
j j
∏
∑
−
= =
Trong đó: sj là các nghiệm của đa thức đặc trng trogn hàm truyền (1)
Kj đợc xác định theo cj và sj đã biết( với j = 1, 2 ,3; k = 0, 1,2 ) từ phơng trình:
−
=
=
−
3
3
) (
m
k
k m k j
3
3 2
2 1
s s U s s U s
K s
Y
s
K s
K
−
=
Đặt biến trạng thái: X1(s) =
) ( 1
1
s U
s−s ; X2(s) = 2 ( )
1 U s
s−s ; X3(s) =
) (
3
1 U s
s−s
Khi đó Y(s)= K1 X1(s)+ K2 X2(s)+ K3 X3(s)
Trang 2sX1(s) = s1X1(s) + U(s) sX2(s) = s2X2(s) + U(s) sX3(s) = s3X3(s) + U(s) Biến đổi ngợc Laplace ta có y= K1 x1(t)+ K2 x2(t)+ K3 x3(t)
.
x1 = s1 x1(t) + 0 x2(t) + 0 x3(t) + u(t)
.
x2 = 0 x1(t) + s2 x2(t) + 0 x3(t) + u(t) (2)
.
x3 = 0 x1(t) + 0 x2(t) + s3x3(t) + u(t)
từ hệ phơng trình (2) với các biến trạng thái x1,x2,x3 ta xác định đợc các na trận của hệ thống khi chuyển từ hàm truyền sang dạng không gian trạng thái nh sau:
s1 0 0 1 C= [K1 K2 K3] D= [0]
A = 0 s2 0 B= 1
0 0 s3 1 với các ma trận A,B,C,D nh trên chính là dạng Jordan của hàm tryuyền đạt ban đầu với r =0
Câu 2: Chứng minh định lý Chur Cohn cho hệ thống với bậc n= 5
Câu 3: Động học rời rạc: Định lý tính quan sát đợc:
Phát biểu định lý: Diều kiện cần và đủ để hệ thống rời rạc bậc n
X(k+1) = Ax(k) + Bu(k) (1)
Y(k) = Cx(k) + Du(k)
Quan sát đợc là: rank[C CA CA2 … CAn-1]T = n
Chứng minh:
Thật vậy hệ thống rời rạc đợc coi là quan sát đợc nếu trạng thái hệ thống tại thời điểm bất kỳ t=kT nào đó có thể xác định đợc thông qua hữu hạn các giá trị của tác động cho trớc và đáp ứng
Trên cơ sở hệ thống dã cho, theo phơng pháp truy hồi ta có thể nhận đợc trạng thái của hệ thống tại các thời điểm kT nh sau:
X(k) = Akx(0) + ∑−
=
−
−
1 0
1
) (
k
j
j k
j Bu
A (2)
đặt t=(k+r)T tơng tự nh (1) ta có:
X(k+r) = Arx(k) + ∑+−
=
−
− +
1 1
) (
r k
k j
j r k
j Bu
A (3) Thay (3) vào (1) ta có:
y(k+r) = CArx(k) + C ∑+ −
=
−
− +
1 1
) (
r k
k j
j r k
j Bu
A + Du(k+r) (4)
Từ (4) suy ra:
CArx(k) = y(k+r) - C ∑+ −
=
−
− +
1 1
) (
r k
k j
j r k
j Bu
A - Du(k+r) (5) Với r = 0,1,2…n-1 ta có
[C CA CA2….CAn-1]T x(k)= β (6)
từ (5) suy ra: y(k+r) - CArx(k) - Du(k+r) = β (7)
Căn cứ vào (6) ta có nhận xét rằng: Trạng thái x(k) của hệ thống tại t=kT tùy ý cho tr ớc sẽ xác
định hữu hạn duy nhất qua hữu hạn n trị số cho trớc của tác động u(j) và n giá trị tơng ứng của dáp ứng y(j), tức là n trị số thành phần của véc tơβ , điều này xảy ra khi và chỉ khi:
rank (C CA CA2… CAn-1) = n (đpcm)
II Thực hành:
Câu 1:
Cho hệ thống có hàm truyền nh sau:
Trang 3200 ( )
(1 0,5 )
s
+
Thiết kế bộ điều khiển Lead sao cho ts<0.5s; V< 500m/s; σ <30%; ∆<15m
Bài làm:
Với hệ thống ban đầu đã cho, trớc hết ta xét tính ổn định của nó theo các bớc nh sau:
>> Ac=[0 1;0 -2];
>> Bc=[0 1]';
>> Cc=[400 0];
>> Dc= [0];
>> ac=ss(Ac,Bc,Cc,Dc);
>> hc=tf(ac)
Transfer function:
400
-s^2 + 2 s
>> wk=feedback(hc,1);
>> step(wk)
>> nyqust(hc)
+Độ dự trữ ổn định: 85,3%,
+Thời gian quá đô; 3,8s,
+ Sai số ở chế độ xác lập: 0%
+ Độ dự trữ pha: 5,770
* Nh vậy hệ thống ban đầu đã cho là không ổn định, do đó ta sử dụng thêm phản hồi trạng thái
để làm tăng tính ổn định cũng nh chất lợng của hệ thống
Từ điều kiện ban đầu của bài toán là: ts<0.5s; σ <30% Ta áp dụng bất đẳng thức Evan để tìm các trị riêng mong muốn nh sau:
tsmac d
4
−
≤
4
mac d
Π
−
≤ (1)
Các trị riêng mong muốn có dạng nh sau: r =σd± iωd
Thay các giá trị ts<0.5s; σ <30% vào (1) ta đợc σd ≤-8và ωd ≤20,87.Vì vậy ta chọn
σd= - 12 ; ωd= 21
Để tăng tính ổn định của hệ thống sử dụng phản hồi trạng thái với trị riêng mong muốn r1= - 12 + 21*i và r2= - 12 - 21*i Từ đó xác định véc tơ phản hồi K nh sau:
>> r=[-12+21*i; -12-21*i];
>> K=acker(Ac,Bc,r)
Trang 4K =
585 22
>> A=Ac-Bc*K;
>> aps=ss(A,Bc,Cc,Dc); (Hệ thống có phản hồi trạng thái)
>> step(aps)
+Độ dự trữ ổn định: 16,6%,
+Sai số ở chế độ xác lập:35,5%
+ Thời gian quá độ:
Nh vậy hệ thống khi sử dụng phản hồi trạng thái thì độ dự trữ ổn định tăng lên, thời gian quá độ giảm xuống nhng sai số ở trạng thái xác lập lớn Để khắc phục hiện tợng này ta mắc nối tiếp thêm khâu PID để làm giảm sai số của hệ thống ở trạng thái xác lập
Khâu PID có hàm truyền nh sau:
WPID =Kp+
s
Ki; (Trong đó chọn Kp=1) Lúc đó phơng trình trạng thái của hệ thống khi mắc thêm khâu PID nh sau:
A1= [Ac-Bc*Cc 0; -Cc 0]; B1=[Bc 0]’; Bf=[Bc 1]’;D1=[0]
Các bớc tiến hành xác định ma trận và Km sau khi mắc thêm khâu PID nh sau:
>> A1=[0 1 0; -400 -2 0];
>> A1=[0 1 0; -400 -2 0;-400 0 0];
>> B1=[0 1 0]';
>> C1=[400 0 0];
>> D1=[0];
>> Bf=[0 1 1];
>> rm=[r;-15];( chọn trị riêng thứ ba mong muốn sau khi mắc thêm khâu PID là bằng -15)
>> Km=acker(A1,B1,rm)
Km =
545.0000 37.0000 -21.9375; (Trong đó hệ số Ki của khâu PID là -21,9375 )
>> ams=ss(A1-B1*Km,Bf',C1,D1);
>> step(ams)
>>nyquist(ams)
Trang 5+Độ dự trữ ổn định: 7,16%,
+Thời gian quá đô; 0,324s,
+Sai số ở chế độ xác lập:0%
* Nh vậy hệ thống khi sử dụng phản hồi trạng thái và mắc nối tiếp thêm khâu PID đã làm cho các chỉ tiêu chất lợng của hệ thống đảm bảo theo yêu cầu
Câu 2: Thiết kế hệ thống với đối tợng điều khiển có hàm truyền cho nh sau bằng phơng pha quĩ
đạo nghiệm
) 04 , 0 1 )(
5 , 0 1 (
200 )
(
Với điều kiện ts<0.5s; V< 500m/s; σ <30%; ∆<15m
Bài làm:
Với điều kiện ts<0.5s; σ <30% sử dụng bất đẳng thức Evan:
tsmac d
4
−
≤
4
mac d
Π
−
≤
Các trị riêng mong muốn có dạng nh sau: r =σd± iωd
Thay các giá trị ts<0.5s; σ <30% vào (1) ta xác định đợc σd= - 8; ωd= 21
Xét hàm truyền của hệ thống ban đầu để xác định các chỉ tiêu chất lợng của hệ thống:
>> n=[200];
>> d=[0.02 0.54 1];
>> Wo = tf(n,d);
>> Wk =feedback(Wo,1);
>> step(Wk)
>> nyquist(Wo)
+ Độ quá chỉnh:σ =65,2%
+ Thời gian quá độ của hệ thống: ts=0,288s
+ Độ dự trữ pha:15,4
Từ các chỉ tiêu chất lợng hệ thống xác định của hệ thống ban đầu ở trên ta tháy rằng hệ thống ban đầu là không ổn định
Nhiệm vụ của bài toán là phải thiét kế hệ thống với đối tợng điều khiển ban đầu đã cho ở trên
đảm bảo các chỉ tiêu chất lợng theo yêu cầu Để đạt đợc điều đó ta sử dụng phơng pháp quĩ đạo nghiệm
để thiế kế hệ thống Các bớc tiến hành nh sau:
Trang 6- Với đối tợng điều khiển đã cho để tăng tính ổn định của hệ thống ta mắc nối tiếp với hệ thống một khâu PI (tăng bậc phiếm tĩnh của hệ thống tức là làm tăng chất lợng của hệ thống) Hàm truyền của khâu PI có dạng nh sau:
WPI = KP +
s
Ki (1) Trong đó: KP và Ki là các hệ số
Ta có thể viết (1) dới dạng nh sau:
WPI =
s
s
Ki( 1 + τ ) Trong đó:
K
K i
p
=
τ
Hàm truyền của hệ hở là: Wc =
) 04 , 0 1 )(
5 , 0 1 (
) 1 ( 0
s s
s
s
K
+ +
+ τ =
) 04 , 0 1 )(
5 , 0 1 (
) 1 (
s s
s
s
K
+ +
+ τ
ν
Trong đó : Kν thỏa mãn điều kiện: Kν ≥
∆
V =33,3 Ta chọn Kν = 36
Sử dụng nguyên lý Evan ta xác định hàm Evan từ biểu thức: 1+ Wc = 0 (2)
Thay Kν = 36 vào Wc và Wc vào (2) ta đợc:
1 +
36 54
, 0 02 , 0
36
2 3
+ +
s
s s
Vậy hàm Evan là: Wτ (s) =
36 54
, 0 02 , 0
36
2 3
+ +
s
s
s
>> ne=[36 0];
>> de=[0.02 0.54 1 36];
>> We = tf(ne,de)
Transfer function:
36 s
-0.02 s^3 + 0.54 s^2 + s + 36
>> rlocus(ne,de);[t,p]=rlocfind(ne,de)
Select a point in the graphics window
selected_point = -10.6339 -15.1553i
t = 0.2276
p = -10.9011 +15.0821i
Trang 7-10.9011 -15.0821i
-5.1978
Xác định đợc: τ = 0,2276
Thay τ = 0,2276
>> n1=36*[0.228 1];
>> d1=[0.02 0.54 1 0];
>> Wc = tf(n1,d1);
>> Wk=feedback(Wc,1);
>> Wk=feedback(Wc,1);
>> step(Wk)
>> nyquist(Wc)
+ Độ quá chỉnh:25,9%
+ Thời gian quá độ của hệ thống: ts=0,46
+ Độ dự trữ pha:50,70
Câu 3 Thiết kế bộ điều khiển số Ricati
>> Ac=[-0.313 56.7 0;-0.0139 -0.426 0; 0 56.7 0];
>> Bc=[0.232 0.0203 0]';
>> Cc=[0 0 1];
>> Dc=[0];
>> Fc=ss(Ac,Bc,Cc,Dc);
>> step(feedback,1)
>> step(feedback(Fc,1))
>> T=0.01;
>> [A,B,C,D]=c2dm(Ac,Bc,Cc,Dc,T)
A =
0.9968 0.5649 0
-0.0001 0.9957 0
-0.0000 0.5658 1.0000
Trang 8B =
0.0024
0.0002
0.0001
C =
0 0 1
D =
0
>> Fd=ss(A,B,C,D,T);
>> Fz=feedback(Fd,1);
>> step(Fz)
>> R=[1];V=[50];Q=C'*V*C;
>> K=dlqr(A,B,Q,R)
K =
-0.6436 168.3611 6.9555
>> Fpz=ss(A-B*K,B,C-D*K,D,T);
>> step(Fpz)
>> nyquist(Fd)