Các dạng phương trình vô tỷ và phương pháp dẫn giải hay.

LỜI TỎ TÌNH:Do rất nhiều em đang cần tài liệu này nên anh xin được trình bày cho các 1 số bài toán, cũng như 1 số dạng toán liên quan đến chuyên đề này,do thời gian biên soạn khá gấp rút nên không tránh khỏi những sai sót, mong các em đóng góp ý kiến và chỉ giáo.Đối với dạng toán này mà nói thì các em đã quen trong các đề thi dại học , vì thế anh sẽ tổng hợp các dạng toán mà các em thường hay gặp:Anh sẽ nêu ra cho các em phương hướng tư duy , cách làm và ý tưởng, việc của các em phải là làm rõ ý tưởng và lập luận ra kết quả bài toán.

 LỜI TỎ TÌNH:

Do rất nhiều em đang cần tài liệu này nên anh xin được trình bày cho các 1 số bài toán,

cũng như 1 số dạng toán liên quan đến chuyên đề này,do thời gian biên soạn khá gấp rút nên

không tránh khỏi những sai sót, mong các em đóng góp ý kiến và chỉ giáo

Đối với dạng toán này mà nói thì các em đã quen trong các đề thi dại học , vì thế anh sẽ

tổng hợp các dạng toán mà các em thường hay gặp:

Anh sẽ nêu ra cho các em phương hướng tư duy , cách làm và ý tưởng, việc của các em

phải là làm rõ ý tưởng và lập luận ra kết quả bài toán

Dạng 1: Phương trình dạng:

(𝒂 𝒙 + 𝒃)𝒏= 𝒑 √(𝒂𝒏 ′ 𝒙 + 𝒃′

+ q.x +r

Các em nhận thấy, dạng toán này khá phổ biến, và khá phức tạp trong cách làm.Nhìn vào đây

các em nên nhận thấy rằng khi lũy thừa cua a.x +b và căn của a’.x +b’ là n.( Tức là nó bằng nhau)

Anh sẽ đưa ra ví dụ và trình bày lời giải ở vi dụ cho các em làm:

Ví dụ: 1 GPT: 𝒙𝟐+ √𝟐𝒙 − 𝟑 + 5 = 5.x

Chúng ta sẽ đưa về dạng toán trên như sau: 𝑥2− 2 𝑥 + 1 = −√2𝑥 − 3 + 3.x -4

 (𝑥 − 1)2 = −√2𝑥 − 3 + 3.x -4 Như vậy chúng ta đã đưa được về dạng toán trên

Đến đây các em làm như sau: Đặt √2𝑥 − 3 = (𝑦 − 1) ( y≤ 1) => 2.x -3 = (𝑦 − 1)2 (1)

Thay √2𝑥 − 3 = (𝑦 − 1) Vào phương trình ta được: (𝑥 − 1)2 = −y+1 +3.x -4

 (𝑥 − 1)2 = -y +3x -3 (2)

Từ (1) và(2) chúng ta có hệ pt.{ (𝑥−1) (𝑦−1) 2 2 = −y +3x −3 = 2𝑥−3 lấy pt (2) trừ pt(1) ta sẽ có:

(x –y) (x +y -2) = x –y  x = y hoặc x + y -2 =1

Đến đây các em chỉ cần thay x theo y vào để tìm nghiệm y, các em cần phải đối chiếu điều

kiện của bài toán nữa Sau đó mới tìm x là nghiệm của pt đã cho

{(2𝑥−1)(2𝑦−1)3 = 2y −1−2 x3= −(𝑥+1). Đến đây các em trừ về theo vế , chúng ta sẽ nhóm đc nhân tử chung

Bài toán được giải quyết 80% nhé các em Các em nên rút x theo y, sau đó thay vào pt để tìm

y, và đối chiếu điều kiện của y, sau đó rút theo x

Qua 2 ví dụ trên các em nhận thấy rằng, chúng ta đặt √𝑎′ 𝑥 + 𝑏′ = a.x + b

Hoặc √𝑎′ 𝑥 + 𝑏′ = -(a.x +b) Các em nên nhớ khi gặp dạng

Các cách đặt ẩn phụ này là phương pháp đưa về hệ đối xứng thuần túy.( không phải bài nào các em

cũng làm được theo phương pháp này, nhưng đây cũng là 1 cách tư duy mới khi các em gặp loại toán

này)

Dạng 2 : Phương trình đẳng cấp dạng : a.p(x) + b.q(x) + c √𝒑(𝒙) 𝒒(𝒙) = 0

Đối với loại này các em nên làm theo các cách sau : Đặt t = √𝑝(𝑥)𝑞(𝑥) Có điều kiễn nữa các em nhé

Khi đó dẫn tới pt: a.𝑡2+ 𝑐 𝑡 + 𝑏 = 0

Ví dụ: GPT - 2𝑥2+ 𝑥 − 5 = √𝑥3− 1

Bài toán này chưa có dạng như chúng ta đề cập ở trên, vì thế các em cần 1 số bước biến đổi để đưa về

dạng

-2𝑥2+ 𝑥 − 5 = √𝑥3− 1  -2𝑥2+ 𝑥 − 5 = √(𝑥 − 1) (𝑥2+ 𝑥 + 1 )

Việc còn lại là phân tích ;−2𝑥2+ 𝑥 − 5 ) = 𝑎 (𝑥 − 1) + 𝑏 (𝑥2+ 𝑥 + 1)

1 kinh nghiệm cho các em là : Các em hãy đồng nhất đẳng thức trên để tìm a, b

Trong trường hợp này, a, b là : a =3 Và b = -2

Lưu ý: Dạng toán này các em cần 1 số bước biến đổi để đưa về dạng chúng ta đã nêu trên, và ác em

cần phải tìm đc kiện của t Các em còn có thể đặt √𝑞(𝑥) = 𝑡 √𝑝(𝑡)

Ví dụ 2: Cho phương trình 𝑥2− 3𝑥 + 1 = 𝑚 √𝑥4+ 𝑥2+ 1

1 Giai phương trình với m = - √33

2 Tìm tập hợp các giá trị của m để pt có lẽ số nghiệm

Giai: Các em nhận thấy 1 điều khá thú vị là:

𝑥4+ 𝑥2+ 1 = (𝑥2+ 1)2− 𝑥2= (𝑥2− 𝑥 + 1)(𝑥2+ 𝑥 + 1)

Khí đó pt có dạng:

𝑥2− 3𝑥 + 1 = 𝑚√(𝑥2− 𝑥 + 1)(𝑥2+ 𝑥 + 1) Khi đó Cũng bằng cách phân tích như trên, các em đồng nhất thức, chúng ta được:

2.(𝑥2− 𝑥 + 1) − (𝑥2+ 𝑥 + 1) = 𝑚√(𝑥2− 𝑥 + 1)(𝑥2+ 𝑥 + 1)

Đặt ; √𝑥2− 𝑥 + 1 = t √𝑥2+ 𝑥 + 1

Khi đó pt trở thành: 2 (𝑥2+ 𝑥 + 1 )2 𝑡2− (𝑥2− 𝑥 + 1) = 𝑚((𝑥2+ 𝑥 + 1) 𝑡

Do ; 𝑥2− 𝑥 + 1 > 0 Nên phương trình có dạng: 2 𝑡2− 𝑚 𝑡 − 1 = 0.(t>0)

Ta tìm điều kiện cua t như sau: √𝑥2− 𝑥 + 1 = t √𝑥2+ 𝑥 + 1  𝑥2− 𝑥 + 1 = 𝑡2 𝑥2+ 𝑡2 𝑥 + 𝑡2

 (𝑡2− 1) 𝑥2+ (𝑡2+ 1) 𝑥 + 𝑡 − 1 = 0 Nhận thấy với t =1, là nghiệm của pt trên

Khi đó ta đi giải quyết bài toán không có gì là khó nữa:

1 Các em thay m = - √33 Vào và làm bình thường

2 Các em nhận thấy là : (𝑡2− 1) 𝑥2+ (𝑡2+ 1) 𝑥 + 𝑡 − 1 = 0 với 1

√3 ≤ 𝑡 ≤ √3 Có không quá 2 nghiệm Do đó để pt có nghiệm lẽ thì pt trên phải có 1 nghiemj duy nhất:

tìm được các giá trị của m

Bài toán đã giải quyết xong 90%

Ví dụ 3: √𝟓 𝒙𝟐+ 𝟏𝟒𝒙 + 𝟗 - √𝒙𝟐− 𝒙 − 𝟐𝟎 = 5.√𝒙 + 𝟏

Các em dùng 1 số phép biến đổi để đưa về dạng trên Nhưng trước tiên các em di tìm điều

kiện của x

Sau đó: phương trình sẽ tương đương: √5 𝑥2+ 14𝑥 + 9 = 5.√𝑥 + 1 + √𝑥2− 𝑥 − 20

Sau 1 phép toán bình phương các em sẽ có được dạng sau:

Từ đây các em thay vào và phương trình trở thành:

𝑡 = 2 − 𝑡2  𝑡2+ 𝑡 − 2 = 0  t = -2 Đến đây các em thay vào t = √𝑥 − 2 – √𝑥 + 2 Các

em tìm x ra Bài toán đã được giải quyết 80% nhé các em

Ví dụ 2: Cho phương trình: √𝒙 + 𝟏 + √𝟐 − 𝒙 + √(𝒙 + 𝟏)(𝟐 − 𝒙) = m

1 Giai phương trình với m =

2 Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

Bài toán này rất quen thuộc với 1 số em rồi, nhưng anh muốn nhắc tới để đè cập tới vấn đề tìm

điều kiện của t

Các em đặt t = √𝑥 + 1 + √2 − 𝑥 Với t > 0

Sau 1 phép bình phương thì các em nhận được: 𝑡2= 3 + 2 √(𝑥 + 1) (2 − 𝑥) Điều này dẫn

tới t > √3 Và các em suy ra được: √(𝑥 + 1) (2 − 𝑥) = 𝑡2− 3

2

Đến đây rất là nhiều em cho rằng điều kiện của t là: t > √3 Và cứ tiếp tục làm bài

Nhưng thực ra còn 1 điều kiện của t nữa, các em làm như sau:

√𝑥 + 1 + √2 − 𝑥 ≤ √1 + 1.√1 + 2 = √6 (Bunhiacopski)

Vậy điều kiện cuối cùng của t là: √3 ≤ 𝑡 ≤ √6

Đến đay các em có thể chuyển hương trình về dạng:

𝑡 + 𝑡22−3 = m Vậy đến đây các em có thể làm bài toán 1 cách bình thương

Bài toán đã được giải 70% nhé các em

Ngoài ra còn có rất nhiều cách mà có thể giải quyết phần này, nhưng anh chỉ đề cập tới phương

pháp thông dụng này cho các em Trong chương trình dạy onl năm 2015 anh sẽ nói rõ hơn cho các em

Qua bài này anh muốn đề cập đến vấn đề tìm điều kiện của t để đi xử lý các câu dạng tìm m để

pt có nghiệm duy nhất, có nghiệm dương…

Đây là 1 loại phương trình khá phức tạp, hầu như các không làm được khi gặp loại này, các em

nhìn có vẻ đối xứng và trông rất quen thuộc, nhưng khi làm thì chúng ta không ra được bài toán đẹp

Loại toán này không có 1 phương phap cụ thể nào để giải quyết cả, các em ần làm thật nhieuf

bài tập mới rút được ra cho mình 1 kinh nghiệm để giải toán được Anh luôn quan niệm là hãy làm bài

tập và đúc kết cho mình 1 kho kinh nghiệm quý báu

Ví dụ : 4 √1 + 𝑥 - 1 = 3x +2 √1 − 𝑥 + √1 − 𝑥2 Nhìn bài toán rât đẹp nhưng khi làm thì các

em khó mà làm dc

Loại này giải được phải dựa vào kinh nghiệm làm toán của các em

Giai: Đặt √1 + 𝑥 = t Lúc đó: 3x = 2(1 +x) – (1-x) - 1 = 2(1 +x ) – 𝑡2-1 Khi đó phương

trình trở thành:

4 √1 + 𝑥 – 1 = 2(1 +x ) – 𝑡2-1 +2 √1 − 𝑥 + √1 − 𝑥2

 𝑡2− (2 + √1 − 𝑥 )t + 4 √1 + 𝑥 - 2(1 +x)

Khi đó các em xem phương trình trên là phương trình bậc 2 với ẩn là t

Các em tính ∆ Trong trường hợp này ∆ Rất đẹp hì

Bài toán được giải quyết 50% nhé

Các em thấy quen không, dạng này anh đã trình bày cho các em 1 lần rồi nhé

Em nào chưa biết thì xem lại nhé Loại này anh đã nêu rất kỹ ở bài đăng lần trước rồi nhé

Bài tập : 1 𝑥2+ 2𝑥 + 12 = 6 √2 𝑥2+ 4𝑥 + 4

TRÊN ĐÓ LÀ 4 DẠNG TOÁN CƠ BẢN MÀ CÁC EM SẼ THÔNG THƯỜNG ĐƯA VỀ

ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN

Sau đây anh xin được trình bày cho các em về các cách đặt ẩn phụ, cách nhìn nhận 1 bài

toán như thế nào để ra cách làm

Khi đó phương trình được đưa về dạng: 𝑡2+ 4𝑡 + 3 = 𝑜

Đến đây bài toán được giải quyết 80% nhé các em

2 GPT : 𝒙𝟑+ 𝟏 = 𝟐 √𝟐𝒙 − 𝟏𝟑

Đây là 1 dạng toán mà anh đã đề cấp tới trong phần trên của chuyên đề này, nhưng sau đây

anh xin được trình bày 1 cách giải khác choa các em được biết

Bài toàn được giải quyết 80% nhé các em

Chú ý: bài toán có thể dùng phương pháp hàm số , bằng việc biến đổi pt về dạng:

(𝑥3+ 1) /2 = √2𝑥 − 13

Sau đó xét 2 hàm số, và chứng minh chúng ngược nhau.Dạng này sẽ được nói sau

3 𝟕𝒙 +𝟐

𝒙+ 𝟏 = 𝟕√𝒙𝟐+ 𝒙 + 𝟐

Đây là dạng toán khá hay, nó yêu cầu các em cần có 1 phương pháp nhìn và đặt ẩn phụ

Lời giải: Để đặt ẩn phụ được thì các em cần phải qua 1 số phép biến đổi như sau:

Đến đây các em thấy đây là pt đối xứng dẳng cấp, chỉ việc chia 𝑡2 là xong

Đến đây bài toán được giải quyết 85% nhé các em

Lưu ý : Đối với bài toán chưa căn thức phức tạp thì việc các em dùng pp biến đổi tương đương

để đưa ra các dang toán quen thuộc sẽ dễ dàng hơn rất nhiều trong việc đặt ẩn phụ

4 Tương tự bài trên, các tự làm bài toán sau:

𝑥2− 5𝑥 √2𝑥 − 3 + 4(2x -3) = 0

Đó chỉ là 1 số bài toán điển hình cho việc đặt ẩn 1 ẩn phụ, do thời gian gấp rút nên anh chỉ biên

soạn được chừng đó Trong những thời gian tiếp theo, nếu gắn bó lâu dài được với các em thì anh sẽ

nói rõ với các em hơn trong chương trình dạy onl của mình vào năm 2015 tới

Phương pháp 2: Phương pháp đặt 2 ẩn phụ:

Dạng này các em hình dung là nó cần các em đặt 2 ẩn phụ trong 1 bài toán:

Chúng ta đi qua các ví dụ cụ thể sau:

1 𝒙𝟐+ 𝟓𝒙 + 𝟕 = 𝟕 √𝒙𝟑+ 𝟏

Ta biến đổi phương trình 1 chút :

𝑥2+ 5𝑥 + 7 = 7 √𝑥3+ 1  𝑥2− 𝑥 + 1 − 7 √(𝑥 + 1)(𝑥2− 𝑥 + 1) + 6x +6 = 0

Đến đây các em có thể xữ lý theo cách mà anh đã biên soạn phía trên

Nhưng ngoài cách đó ra, chúng ta có thể đặt 2 ẩn phụ như sau:

Dặt : √𝑥2 – 𝑥 + 1 = u Và Đặt : √𝑥 − 1 = v ( u> 0 v ≥ 0) Khi đó ta có phương trình 2

ẩn : 𝑢2 − 7 𝑢 𝑣 + 6 𝑣2 = 0 Đến đây các em nhận ra phương trình đẳng cấp rồi chứ Việc của chúng

ta là chia cả 2 vế cho 𝑢2 Và tìm mối liên hệ u, v Sau đó thay bằng x để tìm nghiêm

Bài toán được giải quyết 70 % các em nhé

Bài tập hoàn toàn tương tự :

Khi đó phương trình có dạng: u + v = √3 𝑢2+ 𝑣2 Đến đây các em nhận thấy giống với bài

toán trên chưa, điều quan trong ở đây là các em thắc mắc tại sao lại phân tích được như vây

ở đây các em nên nhìn nhanh ra dạng toán đặt 2 ẩn phụ, lúc đó các em phải ìm cách phân tích

ra được dạng đối xứng để đặt 2 ẩn phụ, Làm nhiều sẽ có kinh nghiệm thôi em ạ Hì hì

Đến đây các em dưa về phương trình đẳng cấp quen thuộc và làm 1 cách bình thường, co 1 số

em đến đây cũng còn rất mơ hồ, nhưng yên tâm, sang năm 2015 anh sẽ day cho các em hiểu

Phương pháp 3: Phương pháp hàm số:

Loại này các em hầu như đã biết cách làm và anh không nói nhiều ở dạng này nữa, các bài toán

phức tạp anh sẽ nói sau, và chỉ cần các em năm được quy tắc giải toán loại này là ổn

1 chú ý là các em hãy nhớ và đưa về dạng toán này mà làm, xét 2 hàm số và chúng minh chúng

ngược nhau,các em khảo sát 1 vài tính chất đặc biết nào đó của hàm số để dẫn đến kết luận nghiệm cho

phương trình , bất phương trình đang xét

Phương pháp 4: Phương pháp lượng giác hóa

Trong 1 số bài toán, các em sẽ vận dụng kiến thức lượng giác để ap dụng vào bài toán của

mình, cụ thể các em đặt các giá trị theo cost , sint, tant, cott Để đưa bài toán về phương trình lượng

giác Hầu như các em rất ít khi dùng pp này, nhưng nó là pp khá hay và có ứng dụng cao trong việc

giải toán

Phương pháp 5: Phương pháp vecto

Phương pháp này anh rất muốn đề cập cho các em nhưng do lượng time không cho phép nên

anh chỉ nêu ra cho các em học, các em nên tìm hiểu qua sách, vở để tìm hiểu thêm, với dạng toán này

các em cần 1 số kỹ năng và tính chất về vecto là ok rồi hì

Loại này anh sẽ dạy trong chương trình onl năm 2015 cho các bạn

Phương pháp 6: Nhẩm nghiệm

Tại sao anh lại đưa pp này cuối cùng, đáng nhẽ, anh định mang nó lên đầu tiên, nhưng anh

nghi các em nên biết tới các pp trên đã, để không bị phụ thuộc quá nhiều vào pp này

PP nhẩm nghiệm được coi là phương pháp hay và là cánh cửa cho nhưng lời giải, khi các em

biết được nghiệm rồi thì mọi chuyện trở nên vô cùng dễ dàng Các em có thể chon rất nhiều cách làm

khi biết nghiệm: Như đặt làm nhân tử chung, chứng minh nó là nghiệm duy nhất, đặt ẩn phụ và dùng

hàm số …

Việc nhẫm nghiệm các em có thể dùng may tính FX 570 ES, hoặc nhẫm bằng đầu mình, các

Các bài toán về bất phương trình điển hình nhất cho các

dạng và các cách làm, cách suy luận

Tiếp theo anh sẽ đề cập tới cho các em về bất phương trình, anh sẽ nêu ra các ví dụ và

qua đó các em hãy đúc kết kinh nghiệm cho bản thân mình, và đúc kết dạng, phương

pháp làm

Các phương pháp làm dạng bất phương trình thì các em có rất nhieu cách làm:

Các em có thể dùng phương pháp biến đổi tương đương, dùng đặt nhân tử chung và các

phương phác khác nhau để đem về dạng toán quen thuộc:

Nhưng anh sẽ trình bày cho các em phương pháp đặt ẩn phụ trong việc giải toán

Đến đây các em nhận thấy : 2x+t > 0 , Nên x –t ≤ 0

Đến đây bài toán được giải quyết 60 % các em nhé

Chú ý: bài toán này có nhiều cách giải nữa, nhưng đều vận dụng khả năng biến đổi đòi hỏi

kinh nghiệm và tư duy cao, anh chỉ giới thiệu cho các em về pp đặt ẩn phụ

Ví dụ 2: 4𝑥2+ 3𝑥 + 3 ≤ 8𝑥√𝑥 + 1

Bài toán này khá giống với bài toán 1 ở trên, và cách làm hoàn toàn không có gì khác, chỉ là

qua 1 số phép biến đổi

Đến đó các em có thể tự làm được rồi nhé, bài toán đã được giải quyết 50%, các em nhớ đối

chiếu điều kiện x nữa nhé:

Tất nhiên bài này cũng có nhiều cách giải nữa, nhưng anh đang giới thiệu pp đặt ẩn phụ cho

Đặt √𝑥3+ 2𝑥 − 3 = u và √𝑥 − 1 = v

Khi đó phương trình dươc dưa về dạng sau:

𝑢2+ 3𝑢𝑣 − 10𝑣2≥ 0

 u(u +5v) -2v(u +5v) ≥ 0  (u +5v)(u-2v) ≥ 0

Đến đây anh đã trình bày dạng này rồi nhĩ Các em nhớ lại và áp dụng làm nhé

Ví dụ 4: 𝟑𝒙𝟐+ 𝟐𝟕 ≥ 𝟕√𝒙𝟑+ 𝒙 − 𝟏𝟎

Bài này các em cũng làm hoàn toàn tương tự như bài trên, mấu chốt là các em phải phan tích

dược veefdangj quen thuoc đo để đặt ẩn phụ

Giai: ĐK

Ta biến đổi phương trình như sau: :

3𝑥2+ 27 ≥ 7√𝑥3+ 𝑥 − 10  3(𝑥2+ 2𝑥 + 5) − 6(𝑥 − 2) ≥ 7√𝑥2+ 2𝑥 + 5 √𝑥 − 2

Đến đây các em có thể tự đặt được ẩn và làm được dạng toán này rồi chứ:

Cái điều quan trọng ơ đây mà các em nên nhớ là các em phân tích cái trong căn ra dạng tích

Sau đó dùng phương pháp đồng nhất để biểu diễn cái ngoài căn thành từng thành phần của tích trong

Ta biến đổi: 𝑥 − 3√𝑥 + 2 ≤ √𝑥2+ 7𝑥 + 4  𝑥 + 2 − 3√𝑥 ≤ √(𝑥 + 2)2+ 3𝑥

Đặt : x + 2 = u và √𝑥 = 𝑣

Khi đó phương trình trở thành: 𝑢 − 3𝑣 ≤ √𝑢2+ 3𝑏2

Đến đây các em giải bình thường, tìm điều kiện và bình phương 2 vế sau đó nhóm nhân tử chung Loại

này đã quen thuộc với các em rồi nhé

Đến đó các em nhóm nhân tu chung Dạng này khá quen thuộc với các em trong chuyên đè

của anh rồi

Đến đây thì không còn quá khó khăn nữa

Do thời gian gấp rút nên anh đã biên soạn 1 cách tổng quát nhất cho các em, đây là các cách mà các

em tư duy khi làm toán, các em cần trình bày cụ thể các bài toán trên nền ý tưởng giải mà anh đã nêu

ra, đương nhiên sẽ có những chỗ các em khó hiểu, rất mong các em đóng góp ý kiến qua hộp thư của

anh để các lần biên soạn sau được tốt hơn tranmautu@gmail.com