Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất của một biểu thức

Giúp học sinh có thêm kiến thức và tự tin hơn trong việc giải quyết bài toán khó này. Giúp cho quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp dạy Toán có một tài liệu tham khảo trong quá trình giảng dạy bộ môn của mình. Mời quý thầy cô và các em học sinh tham khảo sáng kiến trên.

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KỸ THUẬT GIẢM BIẾN TRONG BÀI TOÁN TÌM GTNN – GTLN

CỦA MỘT BIỂU THỨC

Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) của một biểu thức nhiều biến là một bài toán bất đẳng thức và đây là một trong những dạng toán khó ở chương trình phổ thông Trong đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng hàng năm, nội dung này thường xuất hiện ở dạng câu khó nhất Trong Sách giáo khoa Giải tích 12 thì chỉ trình bày cách tìm GTNN, GTLN của hàm số (tức biểu thức một biến số) Vì vậy, một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa một biến trở nên đơn giản Tuy nhiên thực tế, hầu hết học sinh là không giải quyết được cho bài toán từ hai biến trở lên, thậm chí còn có tâm lí không đọc đến

Qua quá trình giảng dạy lớp chuyên Toán và luyện thi Đại học tôi đã tích lũy được một số kinh nghiệm cho nội dung này Các vấn đề trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm là chuyên đề được ứng dụng trong giảng dạy lớp 11T2 chuyên Toán của trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu và các lớp luyện thi Đại học Sáng kiến kinh nghiệm này là sự tổng kết có chọn lọn các chuyên đề của bản thân đã viết ra trong thực tiễn giảng dạy cùng với sự đóng góp nhiệt tình của quý Thầy, Cô trong Tổ Toán – Tin trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu

Đề tài này xuất phát từ những lí do sau:

 Giúp học sinh có thêm kiến thức và tự tin hơn trong việc giải quyết bài toán khó này

 Giúp cho quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp dạy Toán có một tài liệu tham khảo trong quá trình giảng dạy bộ môn của mình Và qua chuyên đề này tôi hy vọng quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp sẽ yêu thích hơn trong việc giảng dạy chuyên đề này Thực tế một số Thầy, Cô không thích dạy, và kể cả những Thầy, Cô nhiều năm luyện thi Đại học cũng không đi sâu lắm về chuyên đề này

Phần mở đầu

1 Bối cảnh của đề tài

2 Lý do chọn đề tài

- Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy Toán ở các trường trung học phổ thông tham khảo và các em học sinh lớp 12 ôn thi Đại học, Cao đằng

- Phạm vi nghiên cứu của đề tài này bao gồm:

+ Nhắc lại cách tìm GTNN, GTLN của hàm số thông qua một vài ví dụ + Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai biến bằng cách thế một biến qua biến còn lại

+ Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai biến bằng cách đặt ẩn phụ theo tính đối xứng t = x + y, t = x2 + y2 hoặc

+ Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa

ba biến bằng cách đặt ẩn phụ hoặc thế hai biến qua một biến còn lại

Bản thân nghiên cứu đề tài này nhằm mục đích:

- Chia sẻ với quý Thầy, Cô, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh kinh nghiệm để giải quyết bài toán tìm GTNN, GTLN trong đề thi tuyển sinh Đại học

- Bản thân nhằm rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm

- Hưởng ứng phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm của trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu

Sáng kiến được chia thành ba phần :

Phần mở đầu

Phần nội dung: gồm 3 chương

Chương 1 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số Chương 2 Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN, GTLN của biểu thức

Chương 3 Một số bài toán trong các đề thi tuyển sinh Đại học Phần kết luận

3 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu

4 Mục đích nghiên cứu

5 Cấu trúc SKKN

Chương I GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT , GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ

Trong mục này chúng tôi trình bày lại một số kiến thức về đạo hàm và một số công thức về đạo hàm

1.1 Định lí Giả sử D là một khoảng hay hợp các khoảng

Nếu hai hàm số u = u x( ) và v = v x( ) có đạo hàm trên D thì

u ¢= ¢( )e x ¢ = e x ( )e u ¢= e u u ¢

(lnx)¢ = 1x(x > 0) (ln ) u

u

u ¢ = ¢(sinx)¢ = cosx (sinu)¢= u¢ cosu

(cosx)¢ = - sinx (cosu)¢= - u¢ sinu

1 Cho hàm số y ax b

cx d

+

= + với a c ¹ 0,ad - cb ¹ 0 Ta có

2.1 Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D Ì ¡

a) Nếu tồn tại một điểm x0 Î D sao cho f x( )£ f x( )0 với mọi x Î D thì số ( )0

M = f x được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên D, kí hiệu là

a) f x( )£ M (hoặc f x( )³ m ) với mọi x Î D ;

b) Tồn tại ít nhất một điểm x0 Î D sao cho f x( )0 = M (hoặc f x( )0 = m )

2.2 Nhận xét Người ta đã chứng minh được rằng hàm số liên tục trên một đoạn

thì đạt được giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn đó

Trong nhiều trường hợp, có thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn mà không cần lập bảng biến thiên của nó

Quy tắc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn éëa b; ùû như sau :

1 Tìm các điểm x x1, , ,2 x n thuộc khoảng ( )a b; mà tại đó f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

I.2 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

t - 2 2 2( )

Thí dụ 1 ( Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2003)

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f x( )= x + 4 - x2

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

KỸ THUẬT GIẢM BIẾN TRONG BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ

NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC

Từ kết quả của Chương I chúng ta thấy rằng việc tìm GTNN, GTLN của hàm số khá đơn giản Việc chuyển bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức không ít hơn hai biến sang bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số chứa một biến sẽ giúp chúng ta giả được bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức

Trong phần này chúng tôi trình bày một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của biểu thức chứa hai biến bằng cách thế một biến qua biến còn lại Từ đó xét hàm

số và tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P = xy + x + 2y+ 17

Lời giải. Từ giả thiết y £ 0,x2 + x = y + 12 ta có y = x2 + x- 12 và

x + x- £ hay - 4 £ x £ 3 Khi đó P = x3 + 3x2 - 9x - 7 Xét hàm số ( ) 3 3 2 9 7, 4; 3

x = y =

Nhận xét. Qua ba thí dụ này cho ta một kỹ thuật giảm biến khi tìm GTNN, GTLN của biểu thức hai biến bằng cách thế một biến qua biến còn lại và sử dụng các giả thiết để đánh giá biến còn lại Từ đó tìm GTNN, GTLN của hàm số chứa một biến bị chặn

1/ Cho x y, Î -éë 3;2ùû thỏa mãn x3 + y3 = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 + y2

2/ Cho x y ³, 0 thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

7/ Cho x y Î, ( )0;1 thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x + y

Bài tập tương tự

P = x + - x - = f x + f - x ³ fæ ö÷ ç ÷=

ç ÷÷

8/ Cho x y >, 0 thỏa mãn x + y = 2 Chứng minh rằng xy £ x y x y

Trong phần này chúng tôi trình bày một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của

biểu thức chứa hai biến mà giả thiết hoặc biểu thức đó thể hiện tính đối xứng

Từ đó bằng phép đặt ẩn phụ ta chuyển về bài toán tìm G của hàm số

y = , ta có minP = 0 đạt được khi t = 0 hay x = y = 0

Nhận xét Bài toán này giả thiết và biểu thức P được cho dưới dạng đối xứng

với hai biến Vì vậy, chúng ta nghĩ đến cách đổi biến t = x + y Nhưng để giải

bài toán trọn vẹn thì phải tìm điều kiện của biến t Sau đây là một số bài toán

với định hướng tương tự

Thí dụ 2 Cho x y >, 0 thỏa mãn x2 + xy + y2 = 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1

xy P

xy P

x y

= + +

Lời giải Đặt t = x + y Từ giả thiết x2 + y2 + xy = x + y + 1 ta có

t

-

-= + Xét hàm số ( ) 2 1

2 1

1 -

1 3

Đặt t = x + y Từ giả thiết 0 < x y, £ 1 và x + y = 4xy suy ra

x y = + -

Thí dụ 5. Cho x y Î ¡, thỏa mãn x y ¹, 0 và xy x( + y)= x2 + y2 - x - y + 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 1 1

t

- +

= + Áp dụng bất đẳng thức (x + y)2 ³ 4xy suy ra 3 2 2 4 8 0

2 2

5 2

luôn đúng với mọi t ³ 2, dấu bằng xảy ra khi t = 2 hay x = y = 1

Thí dụ 7 Cho x y >, 0 thỏa mãn x2 + y2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Nhận xét. Qua các thí dụ trên, cho ta một kỹ thuật giảm biến của bài toán tìm GTNN, GTLN của biểu thức hai biến có tính đối xứng: Do tính đối xứng nên ta luôn có thể biến đổi đưa về một trong các dạng đặt t = x + y, t = x2 + y2 hoặc

Trong phần này chúng tôi trình bày một số dạng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá

trị lớn nhất của biểu thức chứa hai biến mà giả thiết hoặc biểu thức đó thể hiện

tính đẳng cấp Từ đó xét hàm số và tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm

2 1 1

Từ bảng biến thiên ta có ( ) ( ) 2 1

2 0

5 3

Từ bảng biến thiên ta có ( ) 5, 0

3

f t < " ³t và ( ) ( )1

2 0

2 2

8 4

= Từ giả thiết x y >, 0 suy ra t > 0 Khi đó bất đẳng thức cần

chứng minh tương đương với

2

8 4

f t¢ = Û t = Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có ( ) ( )2

2 0

1/ Cho x y >, 0 thỏa mãn xy £ y- 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Thí dụ 1 Cho x y z >, , 0 thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh rằng 1 1 16

1 + 3

7 27

1 4

Từ bảng biến thiên ta có

0;1 2

Bài 1 (Đề thi tuyển sinh Đại học A – 2011)

Cho x y z, , là ba số thực thuộc đoạn éë1; 4ùû và x ³ y x, ³ z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a b dương và ab ³ 1 Dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi : a = b hoặc ab = 1

Áp dụng (*), với x và y thuộc đoạn éë1; 4ùû và x ³ y, ta có:

1

x P

y = Î ë ûé ù Khi đó: 2 2

2 1

t P

t t

+ + Xét hàm số : ( ) 2 2 2 , 1;2

Dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi t = 2 x 4 x 4,y 1

Từ (1) và (2) suy ra dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi : x = 4,y = 1 và z = 2

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P bằng 34

33, khi x = 4,y = 1,z = 2

Bài 2 (Đề thi tuyển sinh Đại học B – 2011)

Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a2 + b2)+ ab = (a + b ab)( + 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4 a33 b33 9 a22 b22

Bài 3 (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2010)

Cho các số thực không âm a b c, , thoản mãn a + b+ c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 3(a b2 2 + b c2 2 + c a2 2)+ 3(ab+ bc + ca)+ 2 a2 + b2 + c2

Đặt t = ab+ bc+ ca, ta có : ( )2

1 0

Bài 4 (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2009)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3(x4 + y4 + x y2 2) (- 2 x2 + y2)+ 1 với x y,

Ta biến đổi A như sau:

Bài 5 (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D – 2009)

Cho x y ³, 0 và x + y = 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :

Suy ra 1 ( ) ( )

4

1 16 0;

191 min

25 max

25 2

Sáng kiến này đã đạt được một số kết quả sau :

+ Nhắc lại cách tìm GTNN, GTLN của hàm số thông qua một vài ví dụ

+ Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai biến bằng cách thế một biến qua biến còn lại

+ Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai biến bằng cách đặt ẩn phụ theo tính đối xứng t = x + y, t = x2 + y2 hoặc t = xy + Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai biến bằng cách đặt ẩn phụ theo tính đẳng cấp t x

Với sáng kiến kinh nghiệm này hy vọng góp thêm một tài liệu cho quý Thầy, Cô

và các bạn đồng nghiệp ; giúp các em học sinh có thêm những kinh nghiệm cho loại toán này, từ đó tự tin hơn khi thi Đại học

Sáng kiến kinh nghiệm này có thể triển khai như một chuyên đề để bồi dưỡng học sinh giỏi ; cũng như dùng để giảng dạy cho các em học sinh ôn tập thi đại học, nhằm giúp các em học sinh có thể vượt qua trở ngại tâm lí từ trước tới nay cho loại bài toán này

1 Sách Giáo khoa Giải tích 12, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam

2 Tuyển tập Tạp chí Toán học và tuổi trẻ năm 2008, 2009, 2010 ; và Tạp chí Toán học và tuổi trẻ hàng tháng

3 Nguồn Internet : http://www.VnMath.com.vn, …

Tài liệu tham khảo