Hàm hính quy nhận giá trị trong đại số clifford phụ thuộc tham số và ứng dụng

Trang 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI --- TẠ THỊ THANH MAI HÀM CHÍNH QUY NHẬN GIÁ TRỊ TRONG ĐẠI SỐ CLIFFORD PHỤ THUỘC THAM SỐ VÀ ỨNG DỤNG Trang 2 Lời cảm ơnĐể h

Định nghĩa và tính chất của đại số Clifford

Định nghĩa đại số Clifford

Định nghĩa 1.1 Cho e 1 , e 2 , , e n là cơ sở của R n và e 0 là vector đơn vị thỏa mãn: e 0 e i = e i e 0 = e i ∀i = 1 2, , , n e i e j +e j e i = 0 e 2 0 = e 2 1 = = e 2 p = 1 e 2 p+1 = e 2 p+2 = = e 2 p q + = 1− , p+ =q n

Ta thu được các phần tử e 0, e 1, , e n; e 1 e 2, , e n−1 e n; e 1 e 2 e 3, , e n−2 e n−1 e n; và tiếp tục như vậy, tạo thành cơ sở cho một cấu trúc đại số ký hiệu C` p,q với phần tử đơn vị e 0 Trong cấu trúc này, phép cộng và phép nhân với số thực được định nghĩa theo cách thông thường dựa trên từng tọa độ.

Hơn nữa, nếu thêm điều kiệne 1 e 2 e n 6 ±= 1 và p− ≡q 1(mod4) ta thu được một cấu trúc đại số gọi là đại số Clifford phổ dụng C` p,q

Chương 1 Đại số Clifford với tham số 8

Chú ý rằng C` p,q là không gian vector thực với cơ sở gồm 2n phần tử, và từ định nghĩa 1.1, chúng ta có thể bỏ qua bình phương các e i Đại số Clifford không giao hoán khi n > 1, vì e i e j = −e j e i, nhưng vẫn giữ tính chất kết hợp và phân phối.

Khi bình phương các thành phần cơ sở, ta tạo ra một cấu trúc đại số mới gọi là đại số Clifford - Grassmann Ký hiệu lại cơ sở của C` p.q là e i 1 i 2 i p := e i 1 e i 2 e i p, và sử dụng chỉ số A cho các tập con của P n, với P n = {1, 2, , n} Mỗi số Clifford có thể được diễn đạt dưới dạng x x = X.

Ký hiệu A đại diện cho số phần tử, và với p = 0, q = n, chúng ta ký hiệu C` n( ) như C` 0,n Đại số Clifford của không gian vector thực V có thể được hiểu thông qua dạng toàn phương Q x( ) trên V, trong đó phép nhân được đơn giản hóa bởi biểu thức x 2 = ( )Q x.

Với trường hợp đại số Clifford xác định như định nghĩa 1.1 ta có:

Chương 1 Đại số Clifford với tham số 9 e 2 i +e i e j +e j e i +e 2 j = e 2 i +e 2 j

Từ đó e i e j +e j e i = 0 Như vậy cặp (V, Q) xác định đại số Clifford.

Ví dụ 1.1 a) n = 0, `C 0 0 , có cơ sở e 0 ∈ R

Với mỗi x ∈ R, x = x.e 0 ta có C` 0 0 , chính là trường các số thực

Ký hiệu e 0 = 1, e 1 = i Với mỗi x ∈ C` 0 1 , ta có x= x 1 1 +x 2 i.

Ta nhận được C` 0 1 , là trường số phức C c) Đại số các số đối ngẫu: n = 1, p = 1, `C 1 0 , có cơ sở e 0 , e 1 thỏa mãn e 2 1 = 1.

Trong C` 1 0 , có ước của , thật vậy0

(1 +e 1 )(1−e 1 ) = 0 trong khi 1−e 1 và 1 +e 1 đều khác 0

Ta gọi C` 1 0 , là đại số của các đối ngẫu. d) Đại số của các số thực Quaternion: n = 2, p= 0, `C 0 2 , có cơ sở là e 0 = 1, e 1 , e 2 , e 1 e 2 với e 2 1 = e 2 2 = 1−

Ta thấy cơ sở của C` 2 0 , tương ứng với cơ sở của H với cùng luật tính toán Thật vậy, nếu ký hiệu e 3 = e 1 e 2 thì cơ sở của C` 2 0 thỏa mãn:

Chương 1 Đại số Clifford với tham số 10 i) e 2 0 = e 0 , e 2 i = −e 0 ( = 1 2 3)i , , ii) e i e j +e j e i = 0( = i6 j, i, j = 1 2 3), , iii) e 0 e i = e i e 0 = e i ( = 0 1 2 3)i , , , iv) e 1 e 2 = e 3 , e 2 e 3 = e 1 , e 3 e 1 = e 2

Do đó có đẳng cấu

C` 0 2 , ∼= H e) n = 3, p = 0, ta có C` 0 3 , sinh bởi không gian phản Euclid với e 2 1 = e 2 2 = e 2 3 = 1−

Cơ sở của C` 0 3 , gồm e 1 , e 2 , e 3 , e 12 , e 23 , e 13 , e 123 Ta có e 2 123 = 1 nên e 123 được gọi là thành phần giả vô hướng.

Với mỗi x ∈ C` 0 3 , ta có biểu diễn x = x 0 e 0 +x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 3 e 3 +x 4 e 1 e 2 +x 5 e 2 e 3 +x 6 e 3 e 1 +x 7 e 1 e 2 e 3

Hay x = (x 0 +x 1 e 1 )+(x 4 −x 2 e 1 )e 1 e 2 +(x 5 +x 7 e 1 )e 2 e 3 +(x 6 +x 3 e 1 )e 3 e 1 f) Đại số không gian - thời gian

Với n = 4, p = 1, đại số C` 1 3 , có cơ sở là 1, e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 12 , , e 1234 Mặt khác xét các ma trận Pauli σ 0 = 1 0

Có thể xem các phần tử sau là các phần tử cơ bản của C` 1 3 , : γ 0 = σ 0 0

Rõ ràng γ 0 2 = 1, γ 2 i = −1 Số γ i gọi là d-number Ta có hệ cơ sở của C` 1 3 , được biểu thị qua các số γ i là

Với ma trận đơn vị là 1 C` 1 3 , gọi là đại số không gian - thời gian.

Đại số Clifford C ` n ( )

Như đã nói ở trên, C` n( ) là ký hiệu thu gọn của C` 0,n Cơ sở của

C` 0,n gồm2 n phần tử được xây dựng từ các vectore 0 , e 1 , , e n thỏa mãn: e 2 i = 1− ∀i = 1, n e i e j +e j e i = 0 ∀ 6i = j

Ký hiệu X i = e i ( = 1i , n) ta có cấu trúc quan hệ.

Vành các đa thức R[X₁, X₂, , Xn] bao gồm các đa thức với hệ số thực Hai đa thức P và Q được gọi là tương đương, ký hiệu P ∼ Q, nếu sự khác biệt giữa chúng có thể biểu diễn dưới dạng một đa thức mà mỗi thành phần đều chứa ít nhất một trong các nhân tử.

X j X k +X k X j ( = j 6 k, j, k = 1, n)Như vậy C` n( ) đcũng có thể được hiểu là tập hợp các lớp tương đương trên vành R[X 1 , X 2 , , X n ] với quan hệ tương đương ∼

Người ta cũng thường dùng ký hiệu đại số Clifford A n thay cho

C` n( ) Sau đây là một số tính chất của đại số A n a) Số chiều của A n là 2 n

Sử dụng cấu trúc quan hệ (1 1) cho phép chúng ta thay đổi bậc của các nhân tử, bỏ qua bình phương và thay đổi dấu của chúng Nhờ đó, mọi đa thức có thể được biểu diễn một cách linh hoạt.

Với ký hiệu X 1 = e 1 , , X n = e n và cách viết ngắn gọn

X 1 X 2 = e 12 , X 2 X 3 = e 23 , , X 1 X n = e 1 n mỗi phần tử của A n có thể viết dưới dạng

A α A e A vớiα A là cỏc số thực và A là một hoỏn vị củam chỉ sốà 1 , , à m với

(khi A = ∅ ta ký hiệu α A = α 0 và e A = e 0 = 1) Mà số cách chọn m phần tử từ tập n phần tử là C n m nên A n là không gian tuyến tính có số chiều là

C n 0 + .+C n n = 2 n b) Đại số A n là không gian metric Đại số Clifford A n có thể được xem như không gian Euclid 2 n chiều với các vector cơ sở

Mỗi phần tử đều có dạng a = a 0+a 1 e 1+ a+ n e n +a 12 e 12+ a+ n −1 ,n e n −1 ,n + a+ 1 n e 1 n có thể viết thành dạng tọa độ a= (a 0 , a 1 , , a n , a 12 , , a n −1 ,n , , a 1 n )

Khoảng cách Euclid từ đến điểm gốc được gọi là chuẩn của ,a a ký hiệu | |a

Rõ ràng khoảng cách Euclid giữa hai điểm a =X

= | − |b a c) Không gian Euclid n+ 1 chiều R n+1 chính là không gian con của đại số Clifford A n Mỗi vector a = a 0 +

X n j=1 a j e j ∈ R n+1 có vector liên hợp được định nghĩa a = a 0 −

Khi đó, với hai điểm x, y x= x 0 +

X n j=1 y j e j thì bình phương khoảng cách Euclid giữa chúng được cho bởi

Tuy nhiên ta có e 1 e 2 = e 12 ∈/ R n+1 nên nói chung phép nhân trong R n+1 là không đóng kín. d) Kết quả phép nhân hai vector cơ sở e 12 e 2 = (e 1 e 2 )e 2 = e 1 (e 2 e 2 ) = −e 1 e 12 e 3 = (e 1 e 2 )e 3 = e 1 e 2 e 3 = e 123 e 12 e 23 = (e 1 e 2 )(e 2 e 3 ) = e 1 (e 2 e 2 )e 3 = −e 1 e 3 = −e 13

Tổng quát, với hai vector bất kỳ a =X

B b B e B thì phép nhân cho kết quả ab =X

B a A b B e A e B e) Mỗi phần tử a ∈ A n đều có thể viết dạng a = a 0 +a 1 e 1 + .+a n e n +a 12 e 12 + .+a n − 1 ,n + .+a 12 n e 12 n do đó a 0 được gọi là phần thực của a

Chương 1 Đại số Clifford với tham số 15 f) Phần tử trung hòa của phép cộng là , của phép nhân là 0 1 Nghịch đảo phải của phần tửa 6= 0là phần tử đểx xa = 1 Trong đại số Clifford A 2 , mỗi a6= 0 xác định duy nhất một nghịch đảo phải và cũng tương tự như vậy, duy nhất một nghịch đảo trái. Sau đây ta chỉ ra sự tồn tại của nghịch đảo trái của a = a 0 +a 1 e 1 +a 2 e 2 +a 12 e 12 6= 0

Ta cần có x= x 0 +x 1 e 1 +x 2 e 2 +x 12 e 12 để xa = 1 trong A 2 Rõ ràng từ xa = 1 cho ta hệ tuyến tính với các biến x 0 , x 1 , x 2 , x 12

Trong định thức trên, mỗi hàng đại diện cho một vector có độ dài |a| Hai vector bất kỳ trong hệ thống này vuông góc với nhau, do đó định thức sẽ khác không, đảm bảo rằng hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Vậy mỗi phần tử 0 = 6 a ∈ A 2 xác định duy nhất một nghịch đảo trái.

Chương 1 Đại số Clifford với tham số 16 g) Tuy nhiên chỉ cần xét trong A 3 , không phải mọi phần tử đều có nghịch đảo trái, nghịch đảo phải.

Giả sử a = 1 + e123 ∈ A3, ta có phản chứng với nghịch đảo trái x = x0 + x1e1 + x2e2 + x3e3 + x12e12 + x23e23 + x13e13 + x123e123 Từ phương trình x(1 + e123) = 1, ta suy ra một hệ 8 phương trình tuyến tính với 8 biến x0, x1, x2, x3, x12, x23, x13, x123 Trong đó, hệ số của phần thực e0 được xác định bởi x0 + x123 = 1, trong khi hệ số của e123 lại dẫn đến x0 + x123 = 0, điều này là vô lý Do đó, không tồn tại nghịch đảo trái, và tương tự, a cũng không có nghịch đảo phải.

Đại số Clifford với tham số

Định nghĩa

Định nghĩa 1.2 Đại số Clifford phụ thuộc tham số α i và γ ij (γ ij γ ij ∀ 6i = )j là đại số có được bởi sự thay thế ở (1 1) bằng cấu trúc quan hệ:

(1 2). Ở đó α j và γ ij là các tham số (có thể phụ thuộc vào biến x trong

Nếu các tham số này không phụ thuộc vào biến x và nếu n > 3 thì đại số Clifford sinh bởi cấu trúc đa thức (1 2) được ký hiệu là

Với n = 1, ta ký hiệu là A 1(k, α).

Với n = 2, thay ký hiệu α 1 bởi α, α 2 bởi β và γ 12 bởi ta có đại sốγ

Nếu trong A n (k j , α j , γ ij ) mà mọi k j = 2, ta ký hiệu A n (2, α j , γ ij ). Nếu các tham số α j , γ ij phụ thuộc vào biến , cấu trúc đa thức đượcx viết cụ thể như sau

Cấu trúc đa thức cho phép mỗi số hạng được biểu diễn dưới dạng cX 1 ν 1 X n ν n, trong đó c là hằng số thực và các hệ số ν j không vượt quá k j −1 (0 ≤ ν j ≤ k j −1) Đại số Clifford được sinh ra từ cấu trúc đa thức này được ký hiệu là A n (x k| j , α j ( )x , γ ij ( ))x nếu n ≥ 2, hoặc A 1 (x k, α| ( ))x nếu n = 1.

Như cách làm thông thường, ta ký hiệu X j bởi e j , e 1 e 2 bởi e 12 Khi đó A n (x k| j , α j ( )x , γ ij ( ))x có cơ sở là e ν 1 1 e ν 2 2 e ν n n (0 ≤ ν j ≤ k j − ∀1 j = 1, n)

Ta có số chiều củaA n (x k| j , α j ( )x , γ ij ( ))x bằng k 1 k 2 k n (khi n ≥ 2) và số chiều của A 1(x k, α| ( ))x bằng k(khi n = 1).

Một số ví dụ

Đại số CliffordC` n( ) mà ta xét ở phần 1.1, viết theo cách này sẽ có ký hiệu là A n (2 1 0), , có 2 n chiều.

Chương 1 Đại số Clifford với tham số 18 Đại số A 2 (3 1 0), , có số chiều là và cơ sở là9

1, e 1 , e 2 , e 2 1 , e 1 e 2 , e 2 2 , e 2 1 e 2 , e 1 e 2 2 , e 2 1 e 2 2 Đại số A 2 (k j , ,1 0) với k 1 = 2, k 2 = 3 có số chiều là và cơ sở là6

1, e 1 , e 2 , e 1 e 2 , e 2 2 , e 1 e 2 2 Đại số A 1 (4 1), có cơ sở là 1, e 1 , e 2 = e 2 1 , e 3 = e 3 1 và do đó có số chiều bằng 4 Đại số Clifford A n ( 2x| , α j ( )x , γ ij ( ))x với n ≥ 2 có số chiều bằng 2 n với cơ sở là

1, e 1 , e 2 , e n ;e 12 , e; 12 n Đại số A n (2, α j , γ ij ) có tính chất kết hợp vì

Tính chất của đại số Clifford phụ thuộc vào tham số trong cấu trúc quan hệ Ta sẽ cụ thể hóa điều này bởi ví dụ sau:

Ví dụ 1.2 Trong A 2(2 1, , γ), phần tử 1 +e 12 xác định duy nhất một nghịch đảo phải nếu γ 6 −= 1 Trong trường hợp γ = −1 thì

1 +e 12 không có nghịch đảo phải.

Do đó nếu γ = −1, hệ vô nghiệm Còn nếu γ 6 −= 1 hệ có nghiệm duy nhất

Đại số Clifford "exotic"

Trong mục này ta sẽ xét một số đại số Clifford mà cấu trúc đa thức có bổ sung thêm phần tuyến tính.

Ví dụ 1.3 Đại số Clifford sinh bởi cấu trúc quan hệ

X 1 X 2 +X 2 X 1 −X 1 −X 2 = 0 có cơ sở là 1, e 1 , e 2 , e 12 = e 1 e 2 với số chiều bằng , nhưng phép nhân4 trong đại số này không có tính chất kết hợp vì e 2 (e 1 e 2 ) = e 2 (e 1 +e 2 −e 2 e 1 ) = e 2 e 1 −1 +e 1

Tuy nhiên cũng có những đại số Clifford "exotic" có tính kết hợp. Sau đây là một ví dụ

4. Thật vậy, phần tử của đại số trên có dạng a + bi a, b( ∈ R) và i 2 = − −α i, do đó phép nhân được xác định bởi

Như vậy phép nhân có tính chất giao hoán, dễ thử được tính chất kết hợp bằng phép tính toán tương tự.

(1 8). Định thức của ma trận hệ số bằng a 2 0 −a 0 a 1 +αa 2 1 luôn dương nếu α > 1

4 nên phép nhân luôn xác định nghịch đảo duy nhất trong trường hợp này.

4, phần tử a 0 (1 + 2 )i sẽ không có nghịch đảo vì khi đó hệ

4a 0 x 0 −2a 0 x 1 = 4 2a 0 x 0 −a 0 x 1 = 0 là một hệ vô nghiệm

Cuối cùng, ta thấy đại số Quaternion có thể hiểu như đại số Clifford

"exotic" theo nghĩa này với cấu trúc đa thức của A 3 (2 1 0), , là

Hàm chính quy nhận giá trị trong Clifford có tham số

Định nghĩa hàm chính quy trong đại số Clifford

Hàm nhận giá trị trong đại số Clifford

Cho miềnΩ ⊂ R n+1 , hàm nhận giá trị trong đại số Clifford A n được mô tả dưới dạng u x( ) = X

A u A ( )x e A trong đó u A ( ) x là hàm nhận giá trị thực và x = (x 0 , x 1 , , x n ) chạy trong Ω

Do đại số Clifford A n có số chiều 2 n nên hàm nhận giá trị trong đại số Clifford là hệ thống gồm 2 n hàm thực.

Một số không gian hàm nhận giá trị trong đại số Clifford

Giả sử Ω là miền bị chặn trong R n và biên ∂Ω. Định nghĩa 2.1 Biên ∂Ω được gọi là biên Liapunov nếu các điều

Chương 2 Hàm chính quy nhận giá trị trong Clifford có tham số 22 kiện sau được thỏa mãn

• Tại mỗi điểm y ∈ ∂Ω đều tồn tại không gian tiếp xúc.

• Tồn tại một số thực r > 0 sao cho với mọi y ∈ ∂Ω, tập hợp

∂Ω ∩ B y, r( ) (hình cầu Liapunov) là tập liên thông, và mọi đường thẳng song song với vector pháp tuyến ngoài α y( ) chỉ có chung với tập hợp đúng một điểm.

• Vector pháp tuyến ngoàiα y( ) thỏa mãn điều kiện H¨older, nghĩa là tồn tại cỏc hằng số A > , < à0 0 ≤ 1 sao cho với mọi điểm x 6= y ∈ ∂Ω ta có

Trong bài viết này, chúng ta giả sử rằng Ω là miền có biên Liapunov trơn Chúng ta thường nghiên cứu các không gian Banach của các hàm có giá trị trong đại số Clifford.

• C k (Ω) là không gian các hàm khả vi đến cấp trênk Ω

• L p, H(Ω)(p ≥ 1) là không gian các hàm khả tích bậc trênp Ω.

• C H m,α (Ω)(m = 0 1 2, , , α; ∈ [0 1]), là không gian các hàm liên tục H¨older cùng với các đạo hàm riêng đến cấp m của nó.

Không gian W k p (Ω) (với 1 ≤ p < ∞ và k = 1, 2, ) bao gồm các hàm khả vi theo nghĩa suy rộng và thuộc vào không gian L p H(Ω) chứa các hàm cùng với các đạo hàm đến cấp tương ứng.

• W o p k (Ω)(1 ≤ p < ∞;k = 1 2, , ) là không gian các hàm thuộc không gian W k p (Ω) và triệt tiêu trên ∂Ω

Chương 2 Hàm chính quy nhận giá trị trong Clifford có tham số 23

Toán tử Dirac

Định nghĩa 2.2 (Toán tử Dirac) Cho {e i } n i=1 là cơ sở trong không gian vector R p,q thỏa mãn: e 2 i = 1( = 1 )i , p e 2 j = 1( = + 1− j p , p+q, p+ = )q n Toán tử

D :X n i=1 e i ∂ i : C 1 (G, `C p,q ) →C G, `( C p,q ) với G là miền trong R p,q được gọi là toán tử Dirac.

Giả sử u là hàm nhận giá trị trong C` 0,n thì toán tử Dirac tác động bên phải hàm như sauu

Còn tác động bên phải hàm như sauu uD X n i=1

∂x i Định nghĩa 2.3 (Toán tử Dirac liên hợp) Toán tử D được định nghĩa bởi

D X n i=1 e i ∂ i được gọi là toán tử Dirac liên hợp.

Không khó khăn, có thể chỉ ra

Sau đây là một số tính chất của toán tử Dirac.

Mệnh đề 2.4 Toán tử Dirac thỏa mãn

DDu = DDu ∀ ∈u C 2 (Ω, `C 0,n ) với ∆ là toán tử Laplace trong R n :

= ∆u (do ∂ i ∂ j u A = ∂ j ∂ i u A ∀A và e i e j +e j e i = 0) Chứng minh tương tự ta cũng có

Hệ quả 2.5 Nếu u ∈ kerD ∩ C 2 (Ω, `C 0,n ) thì u ∈ ker∆ ∩

Chẳng hạn, khi Ω ⊂ R 4 và C` 0,n là đại số Quaternion, ta có quy tắc tính tác động của toán tử Dirac lên tích hai hàm quaternion như sau:

Bổ đề 2.6 (Quy tắc Leibnitz) Giả sử hai hàm số u, v ∈ C 1 (Ω), khi đó

Bổ đề 2.7 Giả sử Ω là tập con mở của R 4 và f, g ∈ C 1 (Ω,H), khi đó ta có

Chứng minh Giả sử biểu diễn của f, g là f X3 i=0 f i e i g X3 i=0 g i e i thì f g X3 i,j=0 f i g j e i e j

Bổ đề 2.8 Giả sử f, g là hai hàm xác định trên Ω và nhận giá trị quaternion, f, g ∈ C 1 (Ω) Ta có d gdσf( ) = [(gD f) + (g Df dθ)] trong đó dθ = dx 0 ∧dx 1 ∧dx 2 ∧dx 3

Chương 2 Hàm chính quy nhận giá trị trong Clifford có tham số 27 là phần tử thể tích của miền , cònΩ dσ = e 0 dx 1 ∧dx 2 ∧dx 3 −e 1 dx 0 ∧dx 2 ∧dx 3

+e 2 dx 0 ∧dx 1 ∧dx 3 −e 3 dx 0 ∧dx 1 ∧dx 2

( 1)− i e i dx ∧ i là phần tử diện tích mặt của ∂Ω ở dạng vector.

Chứng minh Ta có gdσf X3 i=0 e i g i

Từ đó suy ra d gdσf( ) X3 l=0

Từ bổ đề trên ta thu được công thức Stokes

Toán tử Cauchy-Riemann trong giải tích Clif-

Ký hiệu ∂ i có nghĩa là ∂

: đạo hàm riêng theo biến x i

Toán tử ∂ := ∂ 0 +D C: 1 (G, `C p,q ) → C G, `( C p,q ) với G ⊂ R⊕R p,q được gọi là toán tử Cauchy-Fueter Toán tử này chính là sự mở rộng của toán tử Cauchy-Riemann.

Toán tử ∂, được định nghĩa là ∂ 0 − D, được gọi là toán tử liên hợp của toán tử Cauchy-Fueter Để đảm bảo tính nhất quán trong phần tiếp theo của luận văn, chúng ta sẽ gọi ∂ là toán tử Cauchy-Riemann Nếu f là một hàm nhận giá trị Clifford, thì f được xem là hàm chính quy nếu ∂f = 0.

Ví dụ về hàm chính quy trong các đại số cụ thể

Hàm chính quy trong không gian phức C 28 2.2.2 Hàm chính quy trong không gian Quaternion H 30

Trong bài viết này, chúng ta xem xét hàm số f(z) = u(z) + i.v(z) = u(x, y) + i.v(x, y), với u = f và v = f xác định trong miền G ⊂ C, nhận giá trị trong C Ký hiệu C^k(G) biểu thị lớp hàm khả vi liên tục cấp k, trong đó f ∈ C^k(G) có nghĩa là từng thành phần u và v đều thuộc lớp hàm này.

C k ( )G C 0 ( )G là lớp các hàm liên tục trên G

Toán tử ∂ được hiểu là

Gọi ∂ x , ∂ y là đạo hàm riêng của f theo và :x y

Chương 2 Hàm chính quy nhận giá trị trong Clifford có tham số 29 Đặt

∂ = 2∂ z , ∂ = 2∂ z Điều kiện ∂ z f = 0 tương đương với

Điều kiện Cauchy-Riemann cho hàm chỉnh hình được biểu diễn bằng phương trình ∂y u = −∂x v Định nghĩa hàm số f ∈ C¹(G) với G là miền trong C cho biết hàm này được gọi là chỉnh hình nếu tại mỗi điểm z ∈ G, tồn tại đạo hàm f' theo z, thỏa mãn f(z + h) = f(z) + h f'(z) + o(h) khi h → 0 Đạo hàm f'(z) được gọi là đạo hàm phức của f Định lý khẳng định rằng hàm số f ∈ C¹(G) là chỉnh hình trong G khi và chỉ khi f là chính quy (trái), tức là ∂f = 0.

Chứng minh Ta thấy tồn tại các đạo hàm riêng của và nên vớiu v h= h 1 +ih 2 thì u x( +h 1 , y+h 2)−u x, y( ) = u x (x, y h) 1+u y (x, y h) 2 + ( )o h v x( +h 1 , y+h 2 )−v x, y( ) = v x (x, y h) 1 +v y (x, y h) 2 + ( )o h

Chương 2 Hàm chính quy nhận giá trị trong Clifford có tham số 30 Ở đây đặt u x, y( ) = ( )u z và v x, y( ) = ( )v z Trong cả hai biểu thức của u, v ta đều có h 1 = h+h

Nếu ∂f bằng 0, điều này ngụ ý rằng ∂zf bằng 0, từ đó ta có thể đánh giá f(z + h) - f(z) = ∂zf(z)h + o(h) Điều này có nghĩa là f'(z) = (∂xf(z))(z) và ta đã chứng minh được điều kiện cần Đối với điều kiện đủ, nếu f chỉnh hình thì ta có thể viết f(z + h) - f(z) = f'(z) + o(h), từ đó ta có thể suy ra điều kiện đủ cho f.

Kết hợp với (2 1) ta được: f 0 ( ) =z ∂ z f z( ) +∂ z f z( )h h + (1)o

Hạng tử cuối cùng ở vế phải sẽ triệt tiêu trong trường hợp h | |h(cosϕ+ sin ) i ϕ →0

2.2.2 Hàm chính quy trong không gian Quaternion H

Xét hàm f G: → H với G là miền trong , ta định nghĩa tính khảH vi của f qua thương như sau:

Các hàm có giới hạn khi h→ 0 được gọi là H− khả vi.

Chương 2 Hàm chính quy nhận giá trị trong Clifford có tham số 31 Định lí 2.12 (Krylov, Mejlikhzhon).Cho là hàm thuộc lớpf C 1 ( )G là hàm xác định trên miền G ⊂ H lấy giá trị trong Nếu tại mọiH điểm trong , giới hạn sau tồn tạiG h lim → 0 h − 1 [ ( + )f x h −f x( )] =: f 0 ( )x Khi đó trong G, f có dạng f x( ) = +a xb (a, b ∈H)

Kết quả tương tự cũng xảy ra khi thay h − 1 [ ( + )f x h − f x( )] bằng [ ( + ) f x h − f x h( )] − 1 Để thay xấp xỉ bằng f x( 0 ) + xb (hoặc f x( 0 ) + ax), cần một giả thiết mạnh hơn, sẽ được trình bày trong định nghĩa hàm H− chỉnh hình.

Chứng minh Lần lượt cho h các giá trị đặc biệt h 0 , h 1 e 1 , h 2 e 2 , h 3 e 3 với h i ∈ R Dùng ký hiệu ∂ j = ∂

∂x i ∀i = 0 3, khi h i → 0 ta được f 0 = ∂ 0 f = −e 1 ∂ 1 f = −e 2 ∂ 2 f = −e 3 ∂ 3 f (2 2). Đồng nhất e 1 với đơn vị ảo , ta cũng chiai f thành các phần F 1 f 0 +if 1 , F 2 = f 2 −if 3 : f x( ) = F 1( ) +x e 2 F 2( )x

Do và1 e 2 phụ thuộc tuyến tính phức, các phần phức và các nhân tử của e 2 được biểu diễn

F1 là hàm chỉnh hình theo các biến z1 = x0 + ix1 và z2 = x2 + ix2, trong khi F2 là hàm của các biến liên hợp z1 và z2 Tất cả các hàm này đều khả vi vô hạn theo các biến thực x0, x1, x2 và x3.

Ta có thể kết luận rằng (∂ 0 −i∂ 1 )F 1 cũng chỉnh hình theo biến z 2 Do đó, đạo hàm hỗn hợp ∂ z 2 ∂ z 1 F 1 tồn tại và liên tục Theo định lý Schwarz, đạo hàm cấp hai có tính đối xứng.

Hai đẳng thức này cho thấy F 1 chỉ phụ thuộc một cách tuyến tính theo hai biến phức nếu các đạo hàm hỗn hợp triệt tiêu:

Tương tự như F 2 , f cũng chỉ phụ thuộc một cách tuyến tính theo các biến f x( ) = +a

X3 k=0 b k x k với vàa b k là các Quaternion Cuối cùng, từ (2 2) ta thu được b 0 = −ib 1 = −e 2 b 2 = −e 3 b 3

Có thể áp dụng phương pháp tương tự như đối với số phức cho hàm f(x) khả vi liên tục trong miền G ⊂ H Tuy nhiên, việc tính toán đạo hàm toàn phần trên các dạng Quaternion phụ thuộc vào x, và điều này phức tạp hơn Các đạo hàm riêng dx_k giao hoán với các Quaternion, nhưng cần lưu ý rằng các biểu thức Quaternion df và dx lại không có tính chất này Với định nghĩa ∂_k := ∂.

X3 k=0 e k dx k nhân các đẳng thức trên một cách thích hợp với e j sẽ có các công thức đơn giản hơn dx 0= 1

Trừ vế theo vế cho df ta có df = 1

So sánh với biểu thức của df trong C ta thấy vi phân theo các biến liên hợp dx bị tách với toán tử đạo hàm theo dạng

Chương 2 Hàm chính quy nhận giá trị trong Clifford có tham số 34 như các nhân tử đã nói phía trên Dễ thấy 1 2 ∂ chính là toán tử sinh của toán tử đạo hàm

2(∂ x +i∂ y ) Hơn nữa cũng có thể viết toán tử đạo hàm 1 2 ∂ dạng

Hàm H− chỉnh hình là một hàm f ∈ C 1 (G) với G là miền trong, nhận giá trị trong H Hàm này được gọi là hàm H− chỉnh hình trái (phải) nếu với mọi điểm x ∈ G, tồn tại các số quaternion a k phụ thuộc vào x, sao cho f(x + h) = f(x) + h f(x).

Định lý 2.14 khẳng định rằng một hàm f thuộc lớp C1 trên miền G sẽ nhận giá trị trong H là chỉnh hình trái (phải) nếu và chỉ nếu nó chính quy trái (phải), tức là phải thỏa mãn các điều kiện quy định.

Chứng minh Chỉ cần chứng minh với hàm chỉnh hình trái Theo [1] (mục A.1.4) và điều kiện trên ta có f x h( + )−f x( ) = df h[ ]+ ( ) = (o h ∂f h) 0 +

Nếu ∂f = 0, thì hàm f có xấp xỉ tuyến tính mong muốn, tức là f chỉnh hình Ngược lại, nếu f chỉnh hình, thì xấp xỉ tuyến tính cũng được thiết lập, với a k = ∂ k f Khi h 0 = 0, các h k trở thành các biến độc lập với các hệ số xác định duy nhất So với biểu thức trong định nghĩa (2 6), điều này cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa các yếu tố này.

Chứng tỏ ∂f = 0 hay f chính quy

Hàm chính quy trong không gian C ` n ( )

Trong trường hợp chiều, chúng ta gặp phải những khó khăn tương tự như với các quaternion, do đó phương pháp xử lý cũng tương tự Xét hàm f thuộc C 1 ( )G, với G là miền trong R n+1, biến x được biểu diễn dưới dạng vector x = x 0 + x 1 e 1 + + x n e n, có giá trị trong C` n( ) Cần lưu ý rằng trong C` n( ) không có tính chất giao hoán, dẫn đến việc chúng ta có cả định nghĩa và định lý một phía, bao gồm cả bến trái và bến phải Từ đẳng thức df, chúng ta có thể tiếp tục phân tích và áp dụng các phương pháp tương ứng.

2(e k dx−dxe k ), k = 1, n tương tự như các quaternion ta có df = 1

Biểu thức trên cũng tương tự như trong C hay Toán tửH

Chương 2 Hàm chính quy nhận giá trị trong Clifford có tham số 36 đóng vai trò cơ bản, quan trọng trong hệ thống lý thuyết Cũng giống trong , ta không phân tách được toán tử liên hợpH

Ta cũng xét các biến mới, các biến Fueter là các nghiệm của phương trình ∂f = 0 = f ∂: z k := −1

Trừ những biến này chodf và kết hợp vớidx k = dz k +dx 0 e k ∀k = 1, n ta được df = (f ∂ dx) 0 +

Nếu ta giả thiếtf∂ = 0 (hoặc ∂f = 0) ta có xấp xỉ tuyến tính giống như đối với :H

` x( ) X n k=1 a k z k hoặc ` x( ) X n k=1 z k a k Định nghĩa 2.15 (Hàm chỉnh hình Clifford) Xét hàm f ∈ C 1 ( )G trên miền G ⊂ R n+1 lấy giá trị trong C` n( ) Hàm f

- được gọi là chỉnh hình Clifford trái trênG nếu tại mọi điểmx ∈G, khi h →0 và các số Clifford a k phụ thuộc vào :x f x( + ) = ( ) +h f x

- được gọi là chỉnh hình Clifford phải trênG nếu tại mọi điểmx ∈ G, khi h →0 và các số Clifford a k phụ thuộc vào :x f x( + ) = ( ) +h f x

X n k=1 a k (h k −h 0 e k ) + ( )o h ở đây h k là các thành phần của h

Chương 2 Hàm chính quy nhận giá trị trong Clifford có tham số 37 Định lí 2.16 (CRD trong C` n( )) Hàm f ∈ C 1 ( )G với miền xác định G⊂ R n+1 , lấy giá trị trong C` n( ) là chỉnh hình trái (tương ứng phải) nếu và chỉ nếu

Hàm chính quy trong đại số Clifford có tham số

Hàm nhân Cauchy trong C ` n ( )

Định nghĩa 2.17 Ta gọi hàm số

| − |x ξ n+1 là hàm nhân Cauchy. Ở đó ω n+1 là độ đo diện tích bề mặt của hình cầu đơn vị trong R n+1 : ω n+1 = 2π n+1 2 Γ( n+1 2 )

Ví dụ 2.1 Với ξ = 0 ta có

Chương 2 Hàm chính quy nhận giá trị trong Clifford có tham số 38 Định lí 2.18 Hàm nhân Cauchy E n (x, ξ) là hàm chính quy trong

Ngoài ra, với ν = 1, n ta có

Hàm nhân Cauchy có ý nghĩa quan trọng trong việc hình thành công thức Cauchy-Pompeiu Ta phải chỉ ra điểm là kỳ dị yếu củaξ

E x, ξ( ) Để có điều này trước hết cần có đánh giá tích phân:

A u A ( )x e A là hàm nhận giá trị trong đại số Clifford thì giá trị tuyệt đối của hàm tại được xác định bởix

Z u A ( )x dx.e A nên một cách tương tự ta có

Tổng trên có 2 n số hạng và mỗi thành phần u A đều có u A ≤ | |u nên ta thu được đánh giá tích phân sau

|u x( )|dx Định lí 2.19 Hàm nhân Cauchy E x, ξ( ) có kỳ dị yếu tại ξ

Chứng minh Trước hết xét hàm nhận giá trị Clifford có kỳ dị tạiu ξ Giả sử u x( ) có thể đánh giá bởi

Chương 2 Hàm chính quy nhận giá trị trong Clifford có tham số 40 với C là hằng số cho trước.

Ký hiệu r = | − |x ξ thể hiện khoảng cách cực giữa x và ξ Vi phân ξ dx có thể được biểu diễn bằng yếu tố độ đo r với yếu tố độ đo trên biên là dà Nếu giả sử rằng dà 1 là yếu tố độ đo trên hình cầu đơn vị, ta có công thức: dà = r n dà 1.

Khi đó ta có đánh giá

Giá trị tuyệt đối của tích phân trên có thể nhỏ tùy ý nếu α < n+ 1 và δ 2 đủ nhỏ Điều này chỉ ra rằng với α < n+ 1 thì u x( ) có kỳ dị yếu tại ξ

Nên E x, ξ( ) cũng có kỳ dị yếu tại ξ

Biến đổi Todorescu

Cho Ω là một miền trong R n với biên ∂Ω trơn từng khúc Ta định nghĩa các chuẩn sau đây

! 1 p trong đó | |Ω là thể tích của miền Ω Định nghĩa 2.20 Toán tử

E y( −x u y dσ) ( ) y (:= (T u x)( )) được gọi là phép biến đổi Teodorescu trên miền Ω

Mệnh đề 2.21 Cho hàm u∈ L p (Ω) với p > n, khi đó a) Tích phân T u x( ) tồn tại khắp nơi trong R n \ Ω và dần tới 0 khi | | → ∞x Hơn nữa, (T Ω u x)( ) là hàm C` 0,n − chính quy trong

|(T Ω u x)( )−(T Ω u z)( )| ≤ || ||C u p | − |x z p n − −1 p Chứng minh a) Cho | | → ∞x thì có thể xem x 6= y nên ta có

Mà E x( ) là hàm chính quy khi x 6= 0 nên (T Ω u x)( ) cũng là hàm chính quy trong R n \Ω. b) Cho x 6= z ∈ R n , xét hình cầu B ε ( )x và miền Ω 0 = Ω\B ε ( )x : Tích phân T u giới hạn trên Ω 0 được ký hiệu bởi T 0 u.

2 và y ∈ Ω bất kỳ, ta có

Chương 2 Hàm chính quy nhận giá trị trong Clifford có tham số 42 suy ra

| − |y x n Áp dụng bất đẳng thức H¨older với 1 p + 1 q = 1 ta có

Sau đây là các kết quả về tính liên tục của toán tử T Ω trong không gian Sobolev.

Mệnh đề 2.22 Cho u là hàm liên tục khả vi trong , khi đóΩ T Ω u là hàm khả vi và ta có

E x( −y u y dy) ( ) Ở đây Ω ε = { ∈y Ω : | − | ≥ }x y ε với nhỏ tùy ý Do đóε

| − |y x α P n i=1 α i e i là vector pháp tuyến tại điểm x

Khi x→0 thì tích phân thứ hai hội tụ theo chuẩn tới

− 1 ω n E x( −y u y dy) ( ) hội tụ theo chuẩn đến tích phân kỳ dị

∂ k T L: p (R n , `C 0,n ) → L p (R n , `C 0,n ) là toán tử liên tục và

Chứng minh Từ mệnh đề 2.21 ta có

∂ k E y( − x u y dσ) ( ) y +e k u x( ) n với u ∈ C 0 1 (R n , C `( ) 0,n ) Sử dụng định lý Calderon-Zygmund ta có thể chứng minh

Do C 0 1 (R n , `C 0,n ) trù mật trong L p (R n , `C 0,n ) nên bất đẳng thức có thể mở rộng vào L p (R n , `C 0,n ), tức là ta có

Mệnh đề 2.24 Cho Ω là miền bị chặn Toán tử

T Ω : L p (Ω, `C 0,n ) → W p 1 (Ω, `C 0,n ) là toán tử liên tục

Chứng minh Ta sẽ mở rộng một cách liên tục hàm xác định trênu

Hệ quả 2.25 Toán tử Teodorescu thỏa mãn các tính chất sau a) T Ω : L p (Ω, `C 0,n ) → C 0, p n − n (Ω, `C 0,n ) là liên tục với p > n b) Cho u∈ L p (Ω, `C 0,n ) 1, < p < n thì với mọi r < np n−p ta có

Với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 để ||T Ω u x( ) − T Ω u x( 0 )|| ≤ || ||ε u p khi | −x x 0 | < δ Đặc biệt, ta có T Ω là toán tử compact trong

−1 n(x n −1) nếu n chẵn và chia hết cho 4, n= 06

−1 n(x n + 1) nếu n chẵn và không chia hết cho 4

Ví dụ về hàm nhân trong A 2 ( α, β, γ ) với khoảng cách Euclid

Câu hỏi đặt ra là trong đại số Clifford phụ thuộc tham số còn tồn tại hàm nhân Cauchy hay không?

Xét n = 2 với đại số Clifford phụ thuộc tham số A 2 (α, β, γ) được xác định bởi hệ 

 e 2 1 = −α e 2 2 = −β e 1 e 2+e 2 e 1 = 2γ Mọi phần tử x∈ A 2 (α, β, γ) có dạng x = x 0 +x 1 e 1 +x 2 e 2

Ta sẽ đi tìm hàm nhân Cauchy có dạng

∂E x, ξ( ) = 0 với là toán tử Cauchy-Riemann∂

Giả sử x = x 0 +ax 1 e 1 +bx 2 e 2 ξ = ξ 0 +cξ 1 e 1 +dξ 2 e 2 Ở đó a, b, c, d là các (số thực) khác phải tìm:0 x−ξ = (x 0 −ξ 0)−(ax 1 −cξ 1)e 1 −(bx 2 −dξ 2)e 2

Với khoảng cách Euclid, chuẩn của | − |x ξ được tính bởi p(x 0 −ξ 0) 2 + (ax 1 −cξ 1) 2 + (bx 2 −dξ 2) 2 Mặt khác

Nên ∂E n (x, ξ) = 0 khi và chỉ khi

Vế trái của phương trình trên có thể được viết lại:

−(ax 1 −cξ 1 )(bx 2 −dξ 2 )(be 1 e 2 +ae 2 e 1 ) +Ae 1 +Be 2 ]

Chương 2 Hàm chính quy nhận giá trị trong Clifford có tham số 50 ở đó

B = (b−1)(x 0 −ξ 0 )(bx 2 −dξ 2 ) Để hai vế cân bằng thì phải cóA = B = 0, phương trình cần nghiệm đúng với mọi (x, ξ) nên phải có a= = 1b Điều kiện cân bằng của phương trình dẫn tới

−2 (γ x 1 −cξ 1 )(x 2 −dξ 2 )] Đẳng thức đúng với mọi (x, ξ) nên phải có

Sau khi rút gọn đẳng thức ta thấy đẳng thức chỉ đúng với mọi (x, ξ) trong điều kiện α= = 1β , γ = 0.

Vậy với khoảng cách Euclid, nhân Cauchy chỉ tồn tại với đại số

A 2 (1 1 0), , , chính là đại số Clifford C`(2)

Nói thêm, nếu xét chuẩn của được xác định bởix

Giả sử cần tìm hàm nhân Cauchy có dạng

Chương 2 Hàm chính quy nhận giá trị trong Clifford có tham số 51 với là toán tử Cauchy-Riemann∂

Giả sử x = x 0 +ax 1 e 1 +bx 2 e 2 ξ = ξ 0 +cξ 1 e 1 +dξ 2 e 2 Ở đó a, b, c, d là các (số thực) khác phải tìm:0 x−ξ = (x 0 −ξ 0)−(ax 1 −cξ 1)e 1 −(bx 2 −dξ 2)e 2

Chuẩn của | − |x ξ được tính bởi p(x 0 −ξ 0) 2 + (α ax 1 −cξ 1) 2 + (β bx 2 −dξ 2) 2 −2 (γ ax 1 −cξ 1)(bx 2 −dξ 2) Mặt khác

+ [ ( (b β bx 2 −dξ 2 )−γ ax( 1 −cξ 1 ))]e 2 ] Nên ∂E n (x, ξ) = 0 khi và chỉ khi

Cân bằng hệ số của e 0 ta được 1 +αa+βb = + 1n và rút gọn được

 ax 1 −cξ 1 = αa 2 x 1 −αacξ 1 −γabx 2 +γadξ 2 bx 2 −dξ 2 = βb 2 x 2 −βbdξ 2 −γabx 1 +γbcξ 1

Hệ trên phải đúng với mọi x 1 , x 2 , ξ 2 , ξ 2 nên

 a = αa 2 c = αac b = βb 2 d = βbd γab = 0 γad = 0 γbc = 0

Có thể chọn a = α 1 , b = β 1 , c = d = 1, γ = 0, khi đó n + 1 1 +αa+βb = 3.

Tóm lại với A 2(α, β,0) ta có hàm nhân Cauchy thỏa mãn điều kiện chính quy là

Tuy nhiên hệ (2 3) chỉ ra rằng trong trường hợp γ 6= 0 thì không tồn tại hàm nhân Cauchy.

Hàm nhân Cauchy trong đại số Clifford có

Để định nghĩa hàm nhân Cauchy (với nghĩa thỏa mãn điều kiện chính quy) ta xét toán tử Cauchy - Riemann trong A n (2, α j , γ ij ).

Ta có đại số A n (2, α j , γ ij ) được xác định bởi cấu trúc

∀i, j = 1, n, i 6= j Ở đó α j và γ ij là hằng số với γ ij = γ ji

Khi đó, với hàm chính quy u =X

A u A e A nhận giá trị trong đại số Clifford A n (2, α j , γ ij ), cấu trúc dẫn tới phương trình vi phân cấp hai thuần nhất

Do các hệ số α j và γ ij là số thực, phương trình vi phân (2 5) sẽ đúng với mọi hàm thành phần u A nhận giá trị thực Ma trận hệ số u của phương trình vi phân này được xác định rõ ràng.

Trong trường hợp α j > 0, phương trình (2.5) là elliptic nếu |γ ij | không quá lớn Tức là nếuγ ij bị chặn bởi một hằng số thích hợp thì

(2 5) là elliptic Để minh họa cho điều này, ta xét với trường hợp n = 2, khi đó cấu trúc đa thức trở thành

(2 7). Ở đó α(= α 1), β(= β 2 ) là các hằng số dương Khi đó phương trình

Do đó (2 8) là elliptic nếu γ 2 < αβ.

Trong phần tiếp theo, chúng ta giả định rằng định thức của ma trận (2 6) khác không, điều này dẫn đến trường hợp đặc biệt khi phương trình (2 5) là elliptic Do đó, ma trận hệ số (2 6) sẽ là khả nghịch, với ma trận nghịch đảo có dạng .

(2 9). ở đó A ij = A ji (vì γ ij = γ ji ).

Ta định nghĩa khoảng cách "non-Euclidean" giữa điểm ξ (ξ 0 , ξ 2 , , ξ n ) và x= (x 0 , x 2 , , x n ) của R n+1 là :ρ ρ 2 = (x 0 −ξ 0) 2 +

Ta sẽ chỉ ra rằng hàm số sau là nghiệm của phương trình ∂u = 0 với kỳ dị tại :ξ

Chương 2 Hàm chính quy nhận giá trị trong Clifford có tham số 56 với

Sử dụng cấu trúc quan hệ của đại số Clifford ta thu được

Biểu thức trên là tớch vụ giữa hàng thứ hai của (2 6) và cột thứ hai của (2 9), có giá trị +1, do đó biểu thức trong dấu ngoặc thứ nhất của (2 11) bằng n + 1 Để đơn giản hóa việc tính toán, ta chọn ξ = (0, 0, , 0), thì ngoặc vuông thứ hai của (2 11) được tính như sau.

Hệ số của x 2 0 là , thành phần tuyến tính của1 x 0 bị triệt tiêu Hệ số bậc hai của các x j được xác định bởi:

−X l,i e l A lj e i A ij = −X l e 2 l A 2 lj − X il e l e i A lj A ij

| {z } tích của hàng thứ l+1 trong (2 6) với cột thứ j+1 trong (2 9)

Tương tự, hệ số của x j x k ( = ;j 6 k j, k = 1, n), chẳng hạn x 1 x 2 , được xác định như sau

Tóm lại ta được tính toán trong ngoặc vuông thứ hai của(2 11) (với ξ 6= 0) là

Hàm E x, ξ( ) được định nghĩa bởi (2 11) là hàm chính quy trong đại số Clifford A n (2, α j , γ ij ) với điều kiện x khác ξ Theo Định lý 2.26, ta có A νk (x ν ξ ν )(x k −ξ k ) = ρ 2 Trong trường hợp phương trình vi phân (2 5) là elliptic, E x, ξ( ) sẽ có điểm kỳ dị yếu tại x = ξ.

Tính toán tương tự ta cũng chỉ ra rằng E x, ξ( ) cũng là hàm chính quy phải.

Hàm E x, ξ( ) là nghiệm của phương trình vi phân cấp hai (2 5) Một nghiệm của phương trình này là hàm giá trị thực ρ − − (n 1), không phải là nghiệm của phương trình Cauchy - Riemann ∂u= 0 So sánh điều này với đại số Clifford cổ điển.

Nghiệm của phương trình Laplace trong R n+1, tương ứng với khoảng cách cực Euclid, là nghiệm của hệ phương trình Cauchy - Riemann Hệ Cauchy - Riemann xác định nghiệm thông qua các điều kiện cụ thể.

Thí nghiệm này là một trường hợp đặc biệt của E x, ξ( )nếu chọn α i = 1 và γ ij = 0 Khi n = 2, cấu trúc đa thức được xác định bởi (2 7), dẫn đến ma trận hệ số theo (2 6).

Ma trận này có nghịch đảo là

Trong trường hợp elliptic (αβ > γ 2 ), khoảng cách non-Euclidean ρ được xác định bởi: ρ 2 = x 2 0 + 1 αβ −γ 2 (βx 2 1 + 2γx 1 x 2 +αx 2 2 )

Công thức Cauchy-Pompeiu trong Clifford với tham số

Trong chương này, để đơn giản, toán tử Cauchy-Riemann được ký hiệu bởi D thay cho ∂

Công thức tích phân Green-Gauss cho hàm nhận giá trị trong Clifford

Công thức tích phân Gauss cho toán tử

Riemann Định lí 3.1 ChoΩ là miền trong R n+1 với biên đủ trơn Hàm nhận giá trị trong Clifford A n là P

A u A e A với các hàm thành phần u A có đạo hàm liên tục trong Ω (ký hiệu là C(Ω,A n )) Khi đó ta có công thức tích phân Gauss:

Chương 3 Công thức Cauchy-Pompeiu trong Clifford với tham số 61

Trong đó dσ X n j=0 e j N j dà : yếu tố độ đo Clifford

N = (N 0 , N 1 , , N n ) : vector pháp tuyến đơn vị ngoài của ∂Ω dà : yếu tố độ đo của biờn ∂Ω

Chứng minh Với hàm giá trị thực f 0 , f 1 , , f n thì ta có công thức tích phân Gauss:

X n j=0 f j N j dà (3 1). Áp dụng công thức (3 1) với f 0 ≡ f 1 ≡ ≡ f j − 1 ≡ 0, f j ≡ u A , f j+1 ≡ ≡f n ≡ 0 ta có

Nhân (3 2) với e A và lấy tổng trên A ta thu được

(Vì N j là số thực nên có thể viết trước hoặc sau hàm nhận giá trịu trong Clifford)

Nhân (3 3) với e j và lấy tổng theo ta cój

Nếu chính quy (u Du = 0) ta có công thức tích phân Gauss cho hàm chính quy nhận giá trị trong đại số Clifford:

Công thức Green-Gauss cho toán tử Cauchy-

Trước hết, nhìn lại công thức Green-Gauss cho toán tử Cauchy- Riemann trong giải tích phức ta có

(với ω là hàm nhận giá trị phức).

Sử dụng quy tắc nhân trong giải tích phức

∂ z (f.g) = ∂ z f.g +f.∂ z g Áp dụng công thức tích phân Green-Gauss cho hàm ω = f.g ta thu được:

Cách phát triển tự nhiên nhất cho công thức tích phân Green-Gauss cho toán tử Cauchy-Riemann trong giải tích phức là áp dụng công thức tích phân Gauss cho hàm u.v, với u, v là hai hàm nhận giá trị Clifford Tuy nhiên, trong đại số Clifford, quy tắc nhân không còn đúng như trong giải tích phức thông thường, dẫn đến sự phức tạp khi áp dụng công thức tích phân Green-Gauss.

Hàm u = x₁ e^(-x₂ e²) trong đại số A² được xác định là hàm chính quy, vì nó thỏa mãn cả tính chính quy trái và chính quy phải Nếu quy tắc nhân trong A² vẫn đúng, thì u² cũng sẽ là hàm chính quy Cụ thể, u² = -x₁² - x₂², cho thấy rằng tích của hai hàm chỉnh hình vẫn giữ tính chất chỉnh hình.

Du 2 = 2− x 1 e 1 −2x 2 e 2 = u 2 D chứng tỏ u 2 không chính quy trái, không chính quy phải.

Tuy nhiên vẫn tồn tại công thức tích phân Green-Gauss có dạng

Để có được công thức tích phân Green-Gauss, ta áp dụng công thức tích phân Gauss cho hàm thực đối với tích của các hàm thành phần của hàm nhận giá trị Clifford (khả vi liên tục) Định lý 3.2 khẳng định rằng, với Ω là miền trong R n và các hàm u, v thuộc đại số Clifford A n trong lớp C(Ω,A n ), công thức này có thể được áp dụng.

∂Ω v.dσ.u (3 6). Chứng minh Giả sử hàm và có dạngu v u =X

A v A e A Áp dụng công thức (3 1) với f 0 ≡ f 1 ≡ ≡ f j − 1 ≡ 0, f j ≡ v B u A , f j+1 ≡ ≡ f n ≡ 0 ta được

Nhân hai vế với e j và lấy tổng theo đượcj

Lấy tổng trên A ta có

Lấy tổng trên B ta thu ngay được

Ta thấy công thức tích phân Gauss(3 4) có thể thu được từ công thức trên khi thay thế v ≡ 1.

Chúng ta sẽ xây dựng công thức Cauchy-Pompeiu cho toán tử Cauchy-Riemann trong giải tích Clifford bằng cách áp dụng công thức Green-Gauss cho hàm u có giá trị Clifford khả vi liên tục và v = E x, ξ( ) Hàm E x, ξ( ) là hàm nhân Cauchy đã được đề cập trước đó Do hàm này có kỳ dị yếu tại một số điểm, chúng ta cần tìm cách khử kỳ dị của nó, và vấn đề này sẽ được thảo luận trong phần 3.2.2 của chương.

Công thức Cauchy-Pompeiu trong giải tích Clifford 64

Công thức Cauchy-Pompeiu trong giải tích phức 64

Định lí 3.3 Cho hàm phức f có đạo hàm liên tục trong , khi đóΩ ta có công thức f ξ( ) = 1

∂zf z( ) z−ξ (3 8). Chứng minh Để chứng minh công thức (3 8) , ta áp dụng công thức Green-Gauss đối với hàm g z( ) = f z( ) z−ξ với là điểm cố định trong ξ Ω

Hàm g z( ) là hàm phức có kỳ dị cô lập tại Tuyξ g không có đạo hàm trên cả miền Ω nhưng ở đây ta chỉ hạn chế xét trên miền Ω ε :

Với B ε ( )ξ là lân cận bán kính của điểm ε ξ

Do 1 z−ξ là hàm chỉnh hình trong Ω ε nên

Khi cho ε → 0, tích phân đầu tiên trong (3 9) sẽ dần hội tụ về

∂ z f z−ξdxdy Đối với tích phân thứ hai:

Do đó từ (3 9) khi cho ε → 0 ta thu được

Công thức Cauchy-Pompeiu trong giải tích

Định lí 3.4 Cho hàm f z( ) nhận giá trị trong Clifford A n có đạo hàm liên tục trong miền Ω ⊂ R n+1 với biên đủ trơn Khi đó ta có công thức: f ξ( ) Z

Trong đó: ξ là điểm trong của Ω

D là ký hiệu toán tử Cauchy-Riemann

| − |z ξ n+1 là nhân Cauchy. với ω n+1 là độ đo diện tích bề mặt của hình cầu đơn vị trong R n+1

Chứng minh rằng, với B ε (ξ) là lân cận bán kính của điểm ξ và Ω ε = Ω \ B ε (ξ), ta áp dụng công thức Green-Gauss cho hai hàm f và E(x, ξ) Lưu ý rằng E(z, ξ) là hàm chính quy trong Ω ε.

Xét biểu thức thứ hai bên vế phải của (2 6) ta có z−ξ = −ε N( 0 e 0 +N 1 e 1 + .+N n e n ) kéo theo z−ξ =−ε N( 0 e 0 −N 1 e 1 − .−N n e n )

 f ξ( ) = −f ξ( ) Định lý được chứng minh hoàn toàn.

Công thức Cauchy-Pompeiu trong đại số Clifford với

Cho Ω là miền bị chặn trong R n+1 với biên đủ trơn Xét đại số

Clifford A n (2, α j , γ ij )(α j > 0) với cơ sở 1, e 1 , , e n , e 12 , , e 12 n

Giả sử u và v là các hàm liên tục khả vi trong đại số Clifford cổ điển trên miền Ω Yếu tố độ đo Clifford dσ được xác định bởi công thức dσ = Σ từ j=0 đến n của e^j N^j, trong đó N = (N₀, , Nn) là vector pháp tuyến đơn vị ngoài của Ω, và dâ là yếu tố độ đo vụ hướng của biên ∂Ω.

Ta có công thức tích phân Gauss cổ điển là

Giả sửD = P n j=0 e j ∂ j là toán tử Cauchy-Riemann trong A 2(2, α j , γ ij ).

Giả thiết thêm DDu = 0 elliptic và do đó hàm E x, ξ( ) định nghĩa bởi

 có điểm kỳ dị x = ξ Để áp dụng (3 6) với u = (E x, ξ) ta phải khử kỳ dị ξ

Xét Ω ε = Ω\U ε ( )ξ với U ε ( )ξ là ε− lân cận của :ξ

Do DE x, ξ( ) = 0 trên Ω ε nên từ (3 6) kéo theo

Mà DDu = 0 là elliptic nên khoảng cách non-Euclidean địnhρ nghĩa bởi (2 10) có thể đánh giá ρ ≥ const.r với là khoảng cách Euclid giữa hai điểm và Suy rar x ξ

Do đó E x, ξ( ) có kỳ dị yếu tại , tức làξ lim ε → 0

Ω vD.E x, ξ dx( ) Đối với tích phân thứ hai của vế phải

| − |x ξ = ;ε x j = ξ j +εy j ∀j = 0, n y = (y 0 , , y n ) thuộc hình cầu đơn vị

Mặt khác, ta có công thức \(dà = ε n dà 1\), trong đó \(dà 1\) là yếu tố đo trên hình cầu đơn vị Do đó, tích phân này không phụ thuộc vào \(m\), mà chỉ phụ thuộc vào giá trị của các tham số \(\alpha_j\) và \(\gamma_{ij}\) trong cấu trúc quan hệ.

Ta ký hiệu giá trị của tích phân này là c α( j , γ ij ) Rõ ràng c α( j , γ ij ) phụ thuộc liên tục vào α j và γ ij

Nếu α j = 1 và γ ij = 0 ta có A ik = δ ik Trong trường hợp này ta có (y 0 , , y n ) = (− N 0 , , N n ) và hệ quả

Từ đó ta có ngay c ,(1 0) = ω n+1 với ω n+1 là độ đo bề mặt của hình cầu đơn vị trong R n+1

Do c α( j , γ ij ) phụ thuộc liên tục vào α j và γ ij nên c α( j , γ ij ) = 06 nếu

|α j | < c và γ ij < c với đủ nhỏ.c

Mặt khác, do liên tục nên các giá trịv

| − | x ξ =ε v ξ dσ.E x, ξ( ) ( ) sai khác một lượng nhỏ với đủ nhỏ.ε

Khi cho ε→ 0 trong công thức Cauchy-Pompeiu trong đại số Clifford A 2(2, α j , γ ij ), ta có thể áp dụng định lý 3.5 Định lý này khẳng định rằng nếu hàm là khả vi liên tục và nhận giá trị trong đại số A 2(2, α j , γ ij ), thì ta có v ξ c α( ) (j , γ ij ).

Ω vD.E x, ξ dx( ) với mỗi trong ξ Ω

Rõ ràng, định lý 3 5 cũng dẫn tới công thức tích phân Cauchy cho hàm chính quy phải (vD = 0). v ξ c α( ) ( j , γ ij ) Z

Do E x, ξ( ) cũng là hàm chính quy phải nên với mọi hàm u khả vi liên tục ta cũng có công thức Cauchy-Pompeiu: d α( j , γ ij ) ( ) =.u ξ

Luận văn đã hệ thống hóa kiến thức cơ bản về đại số Clifford cổ điển và đại số Clifford phụ thuộc tham số, đồng thời trình bày cách tiếp cận các đại số khác từ đại số Clifford Bài viết cũng đề cập đến các khái niệm và công thức cơ bản trong giải tích Clifford, bao gồm hàm chính quy, hàm nhân Cauchy, công thức Green-Gauss và công thức Cauchy-Pompeiu.

2 Các kết quả chính đã đạt được của luận văn là:

• Đưa ra công thức xác định nhân Cauchy đối với hàm chính quy nhận giá trị trong đại số Clifford phụ thuộc tham số.

• Tìm được phản ví dụ chứng tỏ không tồn tại hàm nhân Cauchy trường trường hợp xét với khoảng cách Euclid.

• Trình bày công thức Cauchy-Pompeiu đối với hàm đủ trơn nhận giá trị trong đại số Clifford phụ thuộc tham số.

3 Luận văn có thể tiếp tục nghiên cứu, phát triển theo các hướng:

• Tìm hiểu các ứng dụng khác nhau của lý thuyết hàm nhận giá trị trong đại số Clifford phụ thuộc tham số.

• Mở rộng các kết quả khác đã có của giải tích Clifford cổ điển sang giải tích Clifford phụ thuộc tham số.

[1] Klaus G¨urlerbeck, Klaus Habetha, Wolfgang Spr¨obig Holo- morphic Functions in the Plane and n- dimensional Space,

Birkh¨auer, Basel-Boston-Berlin 2008.

[2] Le Hung Son, Wolfgang Tutschke Generationalzation of complex function theory, Course notes, Hanoi 2007.

[3] Wolfgang Tutschke, Carmen Judith Vanegas A boundary value problem for monogenic functions in parameter-depending Clif- ford algebras, (article).

[4] Wolfgang Tutschke, Carmen Judith Vanegas Clifford Algebras depending on parameters and their application to partial differential equations, (article).

[5] Wolfgang Spr¨ossig, Klaus G¨urlerbeck, Quaternion and Clifford analysis with applications to fluid flow problems, Lecture notes,

Freiberg University of Mining and Technology, Bauhaus Uni- versity Weimar, 2007.

[6] Klaus G¨urlerbeck, Wolfgang Spr¨obig, Quaternion Analysis and Elliptic Boundary value problems, Akademie - Verlag Berlin,

[7] Bernd Goldschmidt, "Existence Theorems for Overdetermine Systems of Partial Differential Equations of First Order",

[8] Klaus G¨urlebeck and Wolfgang Spr¨ossig, Quaternionic Analy- sis and Elliptic Boundary Value Problems, Akademie - Verlag,

[9] Klaus G¨urlebeck and Wolfgang Spr¨ossig, Quaternionic and Clifford Calculus for Physicists and Engineers, John Wiley and

Sons, Chichester - New York - Weinheim - Brisbane - Singapore

[10] Lars H¨ormander, An Introduction to Complex Analysis in Sev- eral Variables, North Holland Publishing Company, Amster- dam - London, 1973.

[11] Le Hung Son, "Matrix Criterions for the Extension of Solutions of a General Linear System of Partial Differential Equations",

[12] Le Hung Son, "Extension Problem for the Solution of Partial Differential Equations in R n ", Preprint Nr.956, Technische

[13] R Delanghe, F Sommen and V Soucek, Clifford Algebra and Spinor-Valued Functions, Kluwer Academic Publisher, Dor- drecht, Boston, London, 1992.

Bản tóm tắt luận văn Thạc sĩ, đề tài

HÀM CHÍNH QUY NHẬN GIÁ TRỊ TRONG ĐẠI SỐ CLIFFORD

PHỤ THUỘC THAM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

Tác giả: Tạ Thị Thanh Mai HDKH: GS.TSKH Lê Hùng Sơn

Bài luận văn này nghiên cứu các hàm chính quy trong đại số Clifford phụ thuộc tham số và ứng dụng của chúng Nội dung được tổ chức thành ba chương, mỗi chương sẽ trình bày một khía cạnh khác nhau của chủ đề, từ lý thuyết cơ bản đến ứng dụng thực tiễn.

Chương 1 khám phá quá trình xây dựng đại số Clifford phụ thuộc tham số dựa trên cấu trúc đại số Clifford cổ điển Bên cạnh đó, chương cũng nhấn mạnh việc so sánh và đối chiếu một số tính chất quan trọng của các đại số này.

Chương 2 giới thiệu khái niệm hàm chính quy trong đại số Clifford phụ thuộc tham số, bắt đầu từ mối liên hệ giữa hàm chính quy và các toán tử trong đại số quen thuộc Kết quả nổi bật của chương là việc xây dựng nhân Cauchy trong đại số Clifford phụ thuộc tham số, đồng thời cung cấp phản ví dụ chứng minh rằng hàm nhân Cauchy không tồn tại khi xét trong bối cảnh khoảng cách Euclid.

Chương 3 khám phá sự tiến hóa của công thức Cauchy-Pompeiu từ các đại số đã biết đến đại số Clifford phụ thuộc tham số Phương pháp được sử dụng chủ yếu là áp dụng công thức Green-Gauss kết hợp với tính chất chính quy của hàm nhân Cauchy trong đại số Clifford phụ thuộc tham số.

Các kết quả chính đã đạt được:

• Đưa ra công thức xác định nhân Cauchy đối với hàm chính quy nhận giá trị trong đại số Clifford phụ thuộc tham số.

• Tìm được phản ví dụ chứng tỏ không tồn tại hàm nhân Cauchy trường trường hợp xét với khoảng cách Euclid.

• Trình bày công thức Cauchy-Pompeiu đối với hàm đủ trơn nhận giá trị trong đại số Clifford phụ thuộc tham số.

Ý tưởng chủ đạo trong cách bố cục và trình bày luận văn là hướng đến việc đạt được các kết quả đẹp một cách tự nhiên Những kết quả ban đầu trong luận văn đã mở ra hướng nghiên cứu triển vọng về việc phát triển các tính chất, công thức và định lý từ đại số Clifford cổ điển sang đại số Clifford phụ thuộc tham số.

Luận văn có thể tiếp tục nghiên cứu, phát triển theo các hướng:

• Tìm hiểu các ứng dụng khác nhau của lý thuyết hàm nhận giá trị trong đại số Clifford phụ thuộc tham số.

• Mở rộng các kết quả khác đã có của giải tích Clifford cổ điển sang giải tích Clifford phụ thuộc tham số.

Tiêu đề	Hàm Chính Quy Nhận Giá Trị Trong Đại Số Clifford Phụ Thuộc Tham Số Và Ứng Dụng
Tác giả	Tạ Thị Thanh Mai
Người hướng dẫn	GS.TSKH. Lê Hùng Sơn
Trường học	Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội
Chuyên ngành	Toán Công Nghệ
Thể loại	Luận Án Tiến Sĩ
Năm xuất bản	2009
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	77
Dung lượng	631,79 KB