Bài giảng toán cao cấp hàm số một biến số thực giới hạn sự liên tục của hàm

Bài giảng toán cao cấp HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC- GIỚI HẠN - SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM.

Bài giảng toán cao cấp

HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC- GIỚI

HẠN - SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM

M C L C Ụ Ụ

Bài 4: Kh o sát s h i t hay phân kì c a các tích phân suy r ng sau:ả ự ộ ụ ủ ộ 74

CH ƯƠ NG I HÀM S M T BI N S TH C- GI I H N Ố Ộ Ế Ố Ự Ớ Ạ - S LIÊN T C C A HÀM Ự Ụ Ủ

S h u t còn có th đ nh nghĩa theo cách khácố ữ ỷ ể ị : s h u t là các s th p phân ho c ố ữ ỷ ố ậ ặ

th p phân vô h n tu n hoàn ậ ạ ầ

Ví dụ :

10

233

5610

21)56(0,010

21)

56(1,

- N a kho ngử ả : (a , b ] - là t p các giá tr th c x sao cho a < x ậ ị ự ≤ b

[a , b) - là t p các giá tr th c x sao cho a ậ ị ự ≤ x < b

Các kho ng vô h n ả ạ :

- Kho ng (a , ả +∞ ) - là t p các giá tr th c x sao cho a < x ậ ị ự

- Kho ng [a , ả +∞ ) - là t p các giá tr th c x sao cho a ậ ị ự ≤ x

- Kho ng (ả −∞ , a ) - là t p các giá tr th c x sao cho x < aậ ị ự

- Kho ng (ả −∞ , a ] - là t p các giá tr th c x sao cho x ậ ị ự ≤ a

- Kho ng (ả −∞ , +∞ ) - là t p các giá tr th c x ậ ị ự

• Lân c n đi mậ ể : cho m t s ộ ố δ > 0 , x0 là m t s th c ộ ố ự

Người ta g iọ : δ - lân c n đi m xậ ể 0 là m t kho ng s th c ( xộ ả ố ự 0 - δ , x0 + δ ) và đượ c

ký hi u là ệ Uδ(x0) , t c là bao g m các giá tr xứ ồ ị : x− x0 < δ

2 Đ nh nghĩa hàm s ị ố

Cho hai t p h p X, Y ậ ợ ⊆ R N u ng ế ứ m i s th c x ỗ ố ự ∈ X mà cho duy nh t ấ m t s ộ ố

th c y ự ∈Y theo m t ộ quy lu t f ậ thì khi đó nói r ng y là hàm s c a x xác đ nh trên X ằ ố ủ ị

Chú ý : n u cho hàm s y = f(x) mà không nói gì đ n mi n xác đ nh thì hi u mi n xácế ố ế ề ị ể ề

đ nh c a hàm s là t p t t c các giá tr th c x sao cho khi thay các giá tr x này vào bi u th cị ủ ố ậ ấ ả ị ự ị ể ứ

Hàm s đố ược cho b i m t t p h p đi m trong m t ph ng to đ ( thở ộ ậ ợ ể ặ ẳ ạ ộ ường là m tộ

đường cong trong m t ph ng ).ặ ẳ

H t a đ đây có th là h t a đ Đ - Các vuông góc : Oxy ( hình 1.a) ho c có thệ ọ ộ ở ể ệ ọ ộ ề ặ ể

là h t a đ c c ( hình 1.b)ệ ọ ộ ự

r

1x

0xkhi1

M(x,y)

M(r,)

Cho hai t p s th c X và Y ậ ố ự , các giá tr x ị ∈ X và y ∈ Y có quan h hàm s y = f(x) (t cệ ố ứ

là v i m i x cho tớ ỗ ương ng duy nh t m t giá tr y), n u quan h này cũng đứ ấ ộ ị ế ệ ược bi u di nể ễ

dướ ại d ng x là hàm c a y , t c là y = f(x) <=> x = ủ ứ ϕ(y) thì quy lu t ậ ϕ là ngượ ủc c a quy

lu t f Khi đó nói r ng hàm s f v i t p xác đ nh là X và t p giá tr Y s có hàm ngậ ằ ố ớ ậ ị ậ ị ẽ ược , đượ c

ký hi u là ệ f−1, nh v y quy lu t ư ậ ậ f−1 chính là quy lu t ậ ϕ.

Ví d ụ : Cho hàm s y = f(x) = xố 2 v i t p xác đ nh X ớ ậ ị ≡ [ 0 , 2 ] và t p giá tr y ậ ị ≡ [0, 4]khi đó v i m i giá tr y ớ ỗ ị ∈ Y đ u cho duy nh t m t giá tr x = ề ấ ộ ị y ∈ [0, 2], nh v yư ậ

yy

• N u hàm y = f(x) ế đ ng bi n ồ ế ho c ặ ngh ch bi n ị ế trên (a , b) thì f(x) được g i là đ n đi uọ ơ ệ trên (a , b)

• N u y = f(x) đ n đi u trên (a, b) thì s t n t i ế ơ ệ ẽ ồ ạ f−1

• Đ th hàm s y = f(x) và y = ồ ị ố f−1(x) đ i x ng v i nhau qua đố ứ ớ ường phân giác c a gócủ

ph n t th nh t trong h t a đ đ - các 0xyầ ư ứ ấ ệ ọ ộ ề

- Hàm lượng giác ngược: y = arcsinx, arccosx, arctgx, arccotgx.

+) Đ n đi u tăng trên ơ ệ ,

- Mi n xác đ nh: Rề ị

- Mi n giá tr : ề ị (0,π)-Tính ch t: ấ Đ n đi u gi mơ ệ ả

• Các hàm s không ph i là các hàm s c p đố ả ơ ấ ược g i là các hàm ọ siêu vi t ệ :

Ví dụ : y = | x| - là hàm siêu vi t vì nó không bi u di n đệ ể ễ ược qua các hàm s c p c b nơ ấ ơ ả

nh các phép toán ờ t ng, hi u, tích, thổ ệ ương và hàm h pợ

BÀI 2 : GI I H N HÀM S Ớ Ạ Ố

Nghiên c u gi i h n c a hàm s y = f(x) là nghiên c u quá trình bi n thiên c a giá tr y khiứ ớ ạ ủ ố ứ ế ủ ịgiá tr c a đ i s x ị ủ ố ố → a ( h u h n ) ho c khi x ữ ạ ặ →∞ Trong hai quá trình bi n thiên c a đ iế ủ ố

s x nh trên thì giá tr c a y có th ti n đ n giá tr L (gi i h n h u h n) ho c ti n đ n ố ư ị ủ ể ế ế ị ớ ạ ữ ạ ặ ế ế ∞

(gi i h n vô c c), ho c không có gi i h n ( ớ ạ ự ặ ớ ạ ∃ gi i h n )ớ ạ

1 Các đ nh nghĩa v gi i h n c a hàm s ị ề ớ ạ ủ ố

1.1 Gi i h n ớ ạ h u h n ữ ạ c a hàm s khi x ủ ố → a

Đ nh nghĩa : ị Gi s hàm s y = f (x) xác đ nh trong ả ử ố ị lân c n ậ c a đi m a (có th không xácủ ể ể

đ nh t i a ) Giá tr L đị ạ ị ược g i là gi i h n c a f(x) khi x d n t i a ( ký hi u ọ ớ ạ ủ ầ ớ ệ lim ( )x a f x =L )

=

01

0

13

x khi

x khi x

x x

Đ nh nghĩa : ị Gi s hàm s y = f (x) xác đ nh trong ả ử ố ị lân c n ậ c a đi m a (có th không xácủ ể ể

lim ) n u: ế ∀ε > 0 ( nh tùy ý cho trỏ ước) ,

luôn ∃ N > 0 đ ể ∀ x > N thì f )(x − L < ε

• Gi s hàm s y = f(x) xác đ nh ả ử ố ị ∀ x < a Giá tr L đị ược g i là gi i h n c a f(x)ọ ớ ạ ủkhi x d n t i -ầ ớ ∞ ( ký hi u ệ x f x = L

trước) , luôn ∃ N > 0 đ ể ∀ x > N thì f(x) > M

→ +

0

x x

x(lim

0 x 0

∞

Chú ý: N u ch ra đế ỉ ược hai dãy {un} và {vn} →a mà lim (u ) lim (vn)

n n

00

Khi g p các d ng vô đ nh đó, mu n bi t c th ph i tìm cách đ ặ ạ ị ố ế ụ ể ả ể kh d ng vô đ nh ử ạ ị Sau đây sẽ

là m t s k t qu c b n cho phép ta có th kh độ ố ế ả ơ ả ể ử ược các d ng vô đ nh đó.ạ ị

4 Hai tiêu chu n t n t i gi i h n ẩ ồ ạ ớ ạ

4.1 Tiêu chu n 1: ẩ (Nguyên lý k p gi i h n) ẹ ớ ạ

Đ nh lí: ị Gi s 3 hàm s : f(x), g(x), h(x) xác đ nh t i lân c n c a đi m x = xả ử ố ị ạ ậ ủ ể 0 ( không

c n xác đ nh t i xầ ị ạ 0 ) và tho mãn: ả f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) ∀ x thu c ộ lân c n c a a.ậ ủ

khi đó n u ế lim ( ) lim ( )x a f x =x a h x =L thì lim ( )x a g x =L.

Áp d ng: ụ T đ nh lí trên, ngừ ị ười ta ch ng minh đứ ược công th c gi i h n c b n: ứ ớ ạ ơ ả

+

+ = 1

(G i ýợ : ex <1+ex < 2ex ⇒ x = lnex < ln(1+ex ) < ln2ex = ln2 + x)

Sau đây là m t s ví d áp d ng k t qu trên.ộ ố ụ ụ ế ả

• N u f(x) ế đ n đi u tăng và b ch n trênơ ệ ị ặ thì t n t i ồ ạ xlim ( )+ f x

• N u f(x) ế đ n đi u gi m và b ch n dơ ệ ả ị ặ ướ thì t n t i i ồ ạ xlim ( )− f x

- Hàm f(x) đ ượ c g i là đ n đi u tăng (ho c đ n đi u gi m ) trên kho ng (a , b) n u ọ ơ ệ ặ ơ ệ ả ả ế

)b,a(

khi đó có [ ] [ ] [ ]

) x ( v ) 1 ) x ( u (

x x

) x ( v x

x

1 ) x ( u 1

0 0

)1)x(u(1lim)

x(ulim

[(u(x) 1).v(x)] lim[( u ( x ) 1 ) v ( x )]x

x

0 x 0

ee

2

x

x x

1cos.0

x x

3 3

x

6x

x

6x

5.3.1 Quy t c thay th VCB (VCL) t ắ ế ươ ng đ ươ ng

Gi s ả ử α( x ), α(x) là hai VCB (VCL) tương đương khi x→x0 (x→∞)

Ví d 1: ụ lim0sin 5 lim05 5

5

2 2

x x

• Ch đỉ ược thay th các VCB tế ương đương trong các d ng tích và thạ ương Không

được thay th trong các d ng t ng và hi u.ế ạ ổ ệ

• Khi tìm gi i h n v i quá trình ớ ạ ớ x a a, 0, ta có th đ i bi n t = x – a, đ chuy n quáể ổ ế ể ểtrình x a b ng quá trình ằ t 0 vì trong quá trình này ta có nhi u d ng VCB tề ạ ươ ng

5.3.2 Quy t c ng t b các VCB c p cao ắ ắ ỏ ấ

Gi s trong cùng m t quá trình nào đó có các đ i lả ử ộ ạ ượng VCB α1(x);α2(x); ;αm( )x và

)

( ;

Ví d 3 ụ : ( ) ( )

3 3 0

411x

4

6

xxsin

Pn(x) ≈ đây k, n nguyên dở ương, ai h ng s , aằ ố n khác 0.

• Khi x→ +∞, ta có th x p x p các VCL sau theo th t b c cao d n nh sau:ể ắ ế ứ ự ậ ầ ư

542

3 2

−+

x x

x x

Khi đó đi m xể 0 g i là ọ đi m liên t c ể ụ c a hàm s f(x).ủ ố

Ví dụ: f(x) = sinx liên t c trên R.ụ

2

1)(

−

=

x x

<

=

x x

f

0khi2x a

0 xkhi 2e)(

x

1 cos3

khi x 0( )

V y v i a = ậ ớ 9

2 thì hàm s đã cho liên t c trên R.ố ụ

Ví d 2: ụ Xác đ nh các h ng s a, b đ các hàm s sau đây liên t c:ị ằ ố ể ố ụ

1)

3 2 3

khi x 11

( ) ax khi -1 0

1 khi 0 < x

x

x x

e x

+ −

< −+

4 khi 2 < x

x2x

2

1lim

1x2x

21x

1x2lim

1x

1x2lim)

0

1

(

3 2 3

1

x

3 2 3

1 x

3 1 x

=+

−+

2) f(x) là hàm s s c p xác đ nh t i m i x < 1, 1 < x < 2, và x > 2 nên liên t c t i các đi mố ơ ấ ị ạ ọ ụ ạ ể này.

K t lu n: v i a = -3; b = 8 thì hàm s đã cho liên t c trên R.ế ậ ớ ố ụ

3 Liên t c trên m t kho ng, đo n ụ ộ ả ạ

• Hàm s f(x) liên t c trong kho ng (a, b) n u f(x) liên t c t i m i x ố ụ ả ế ụ ạ ọ ∈ (a, b)

0 a b x f(a)

4 Tính ch t c a ấ ủ hàm liên t c trên m t đo n ụ ộ ạ

a) Tính ch t 1 ấ : (Tính b ch n)ị ặ

N u f(x) liên t c trên [a, b] thì f(x) b ch n trên [a, b].ế ụ ị ặ

T c là: ứ ∃ M > 0 : ∀x∈ [a, b] : f x( ) <M

b) Tính ch t 2: ấ

N u f(x) liên t c trên [a, b] thì f(x) đ t giá tr nh nh t và giá tr l n nh t trên [a, b].ế ụ ạ ị ỏ ấ ị ớ ấ

T c là: ứ ∃ x1, x2∈ [a, b]: f x( ) min ( ); ( )1 = [a, b] f x f x2 =m[a, b]ax ( )f x

0 a c b x

Áp d ngụ : Ph ươ ng pháp chia đôi liên ti p ế : Gi i b ng g n đúng phả ằ ầ ươ ng trình f(x) = 0

Đ gi i g n đúng phể ả ầ ương trình f(x) = 0 theo phương pháp chia đôi liên ti p thì hàm f(x)ế

c n th a mãn đi u ki n : ầ ỏ ề ệ f(x) liên t c trên [a , b ] và f(a) f(b) < 0 ụ

0 a c b x

Thu t gi i: ậ ả

B ướ c 1 c : =

2

b

a +

B ướ c 2. N u f(c) f(a) < 0 thì b : = c - trế ường h p a) t c là thay [a , b ] b i [a , c ]ợ ứ ở

N u f(c) f(a) > 0 thì a : = c - trế ường h p b) t c là thay [a , b ] b i [c , b ]ợ ứ ở

II Đi m gián đo n c a hàm s ể ạ ủ ố

1 Đ nh nghĩa: ị Hàm s f(x) g i là gián đo n t i đi m xố ọ ạ ạ ể 0 n u f(x) không liên t c t i xế ụ ạ 0 Khi

đó đi m xể 0 g i là đi m gián đo n c a hàm s ọ ể ạ ủ ố

2 Các tr ườ ng h p gián đo n ợ ạ

Đi m xể 0 là đi m gián đo n c a f(x) n u thu c m t trong các trể ạ ủ ế ộ ộ ường h p sau:ợ

• Hàm s f(x) không xác đ nh t i xố ị ạ 0

Ví dụ:

x x

f( )= 1 có đi m gián đo n x = 0ể ạ

0 x khi x

x x

f

sin)

(

3 Phân lo i đi m gián đo n ạ ể ạ

Gi s đi m xả ử ể 0 là đi m gián đo n c a hàm s f(x).ể ạ ủ ố

• Đi m xể 0 g i là ọ đi m gián đo n lo i 1 ể ạ ạ c a hàm s f(x) n u t n t i gi i h n trái và gi iủ ố ế ồ ạ ớ ạ ớ

f( )= sin gián đo n t i x = 0ạ ạ

0 xkhi

sin)

x x

0 xkhi

sin)

x x

0 xkhi

1sin)

(x x x f

x -2

10

khi x)(

1xkhi 2

cos)

(

x x

Gi s hàm s y = f(x) ả ử ố xác đ nh t i đi m xị ạ ể 0 và lân c n c a xậ ủ 0 Cho x0 s gia ố ∆x , khi đó nh nậ

đượ ốc s gia tương ng c a hàm s : ứ ủ ố ∆y = f(x0 +∆x ) – f (x0 )

N u t n t i ế ồ ạ lim0

x

y x

Cho x s gia ố ∆x => ∆f = sin(x + ∆x) - sinx = 

do đó

2x2

xsin2

xxcoslimx

2

xsin2

xxcos2limx

f

lim

0 x 0

x 0

 N u hàm f(x) có đ o hàm t i đi m xế ạ ạ ể 0 thì đường cong y = f(x) s có ti p tuy n t iẽ ế ế ạ

đi m Mể 0(x0 , f(x0) ) và đường cong được g i là ọ tr n ơ t i xạ 0 Phương trình ti p tuy n t iế ế ạ

Gi s hàm s y = f(x) xác đ nh t i đi m xả ử ố ị ạ ể 0 và lân c n trái c a xậ ủ 0 ( t c là v i x < xứ ớ 0 ) Cho x0

s gia ố ∆x < 0 , khi đó nh n đậ ượ ốc s gia tương ng c a hàm s :ứ ủ ố

Ví d ụ f(x) = /x/ liên t c t i x = 0 nh ng không có đ o hàm t i x = 0ụ ạ ư ạ ạ

• N u t n t i fế ồ ạ ’(x0 - 0) ≠ f’(x0 + 0) mà f(x) liên t c t i xụ ạ 0 thì t i đi mạ ể M(x0, f(x0)) đường cong y = f(x) có hai ti p tuy n:ế ế

f’(x0 + 0): h s góc ti p tuy n bên ph i f’(xệ ố ế ế ả 0 - 0): h s góc ti p tuy n bên trái.ệ ố ế ế

Ví dụ: y= x có f ’(0- 0) = -1, f ’( 0+0) = 1.

c) Đ o hàm trên m t kho ng, m t đo n ạ ộ ả ộ ạ

+) Hàm s f(x) có ố đ o hàm trên (a, b) n u f(x ) có đ o hàm t i m i xạ ế ạ ạ ọ ∈(a, b)

+) Hàm s f(x) có đ o hàm trên [a, b] n u f(x) có đ o hàm trong (a, b) và có đ o hàmố ạ ế ạ ạ

y = arccotgx ==> y’ = - 1 2

1+x)b Tính đ o hàm theo quy t c ạ ắ

+) Đ o hàm c a t ng, hi u, tích, th ạ ủ ổ ệ ươ ng.

Gi s f(x), g(x) có đ o hàm trên (a, b) Khi đó:ả ử ạ

[f(x) + g(x)]’ = f ’(x) + g’(x)[f(x) - g(x)]’ = f ’(x) - g’(x)[K f(x)]’ = K f ’(x)[f(x)g(x)]’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)

y = sin(2x+1) → y’= (2x + 1)’.cos(2x+1) = 2.cos(2x +1)

y = cos(lnx) → y’= - sin (lnx) (lnx)’ 1 sin(lnx)

++ ) → y’=

T ng quát ta có: y’ổ x= f ’u.u’x

trong đó A là h ng s ch ph thu c xằ ố ỉ ụ ộ 0 và α (∆x) là VCB c p cao h n ấ ơ ∆x khi ∆x → 0.

f(x0 +∆x ) ≈ f (x0 ) + f ’(x0)∆x

Ví d : ụ

 Tính 3 1,02 , đ t f(x) = ặ 3 x , l y xấ 0 = 1, ∆ x = 0,02 , có .

x3

1)

x('f

3 2

=

=> f(x0 +∆x ) = 3 1,02 = f (x0 ) + f ’(x0)∆x = .0,02 1 3002 300302

13

11

3 2

V y ậ 31,02 ≈

300302

2

3.1802

1) Quy t c Lopital 1 ( ắ xét cho quá trình x → x0 h u h n )ữ ạ

x f

x

→ '( )

)('lim

x g

x f

x

)(lim

0

Do

)x(g)x(g

)x(f)x(flim)

x

(

g

)x

(

lim

0

0 x

x x

−

=

→

→ mà f(x) và g(x) liên t c trên [ x , x ụ 0] ( ho c trên [x ặ 0 , x]),

kh vi trên (x , x ả 0) ( ho c trên (x ,x ặ 0 )) , áp d ng Cauchy ta đ ụ ượ c

)c(g

)c(flim)

x(g)

x

(

g

)x()

)x(lim)

x3sinlim

0 x 0

2limx

)x21ln(

lim

0 x 0

→

x

)x21ln(

lim

0 x

xtglimx

3

xtg11limx

tgxx

2 0 x

2 0

x 3

tgxx

x và g’(x) ≠0 lân c n xở ậ 0

x g

x f

x

→ '( )

)('lim

x g

x f

x

)(lim

0

Ví d : ụ

ln.xlim

0 x 0

∞

∞ xét

( )

β

−

=β

−

→ β

→ β

→

xlimx

.x

1lim

x1

xlnlimx

0 x 0

x 0

x(lim

) x (x)

)x('flim

) x (x

)x(lim

) x (x

arctgx2

lim)

arctgx2

xlim1

xx1

1limx

+

=

−+

→

∞ +

∞ +

x )

x

(x và g’(x) ≠0 ∀x > a (∀x <a)

)x('g

)x('flim

) x (x

)x(lim

) x (x

→

∞ +

elimx

xét ( )

1limx

.x

1limx

xln

lim

x 1 x

α

=α

=

′

′

α + ∞

→

− α + ∞

→ α

+ ∞

x

xlnlim

+ ∞

Chú ý

• Trong các phát bi u trên A có th là giá tr h u h n ho c vô c cể ể ị ữ ạ ặ ự

• Quy t c Lopital có th đắ ể ược áp d ng liên ti p nhi u l nụ ế ề ầ

Ví d : ụ 3

0

xsinx

0

0 nên ta áp d ng Lôpital :ụ

xsinx

được k t qu gi i h n ế ả ớ ạ

6

1x

xsinx

) x (x→→x∞0

) x ( x

x 0 nh ng v n có th ư ẫ ể lim gf((xx))

) x (x→→x∞0

) x (x x0

n u t n t i thì m i có ế ồ ạ ớ

k t lu n s t n t i c a ế ậ ự ồ ạ ủ lim g((xx))

) x (x→→x∞0

xsinxlim

x x

+

=

′

′+

xlimx

1sin

x

lim

0 x

cos

x

1cosx

1xx

1sin.x2limx

sinx

1sinxlim

0 x 2

2

0 x

2

0

−+

(2x 1).x lim

2 x

−

CH ƯƠ NG III: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM M T BI N Ộ Ế

BÀI 1: TÍCH PHÂN B T Đ NH Ấ Ị

I Nguyên hàm.

1 Đ nh nghĩa ị

Gi s hàm s f(x) xác đ nh trên (a,b).ả ử ố ị Hàm số F(x) được g i là nguyên hàm c a f(x) trênọ ủ

đo n (a, b) n u F’(x) = f(x) v i m i xạ ế ớ ọ ∈(a, b).

 N u hàm s f(x) có m t nguyên hàm trong kho ng (a, b) thì nó s có vô sế ố ộ ả ẽ ố nguyên hàm khác và các nguyên hàm này ch sai khác nhau 1 h ng s c ng ỉ ằ ố ộ

t n t i m t h ng s Cồ ạ ộ ằ ố 0 đ F(x) = G(x) + Cể 0

II Tích phân b t đ nh ấ ị

1 Đ nh nghĩa ị

N u F(x) là m t nguyên hàm c a hàm f(x) trên kho ng (a, b) thì ế ộ ủ ả bi u th c ể ứ F(x) + C ( v i Cớ

là h ng s tùy ý) đằ ố ược g i là tích phân b t đ nh c a f(x) trên kho ng (a, b) ọ ấ ị ủ ả

th c ứ , nó bi u th m t h các hàm s là các nguyên hàm c a hàm dể ị ộ ọ ố ủ ướ ấi d u tích phân

 Ứng v i m t giá tr xác đ nh c a h ng s C, ta đớ ộ ị ị ủ ằ ố ược m t hàm s xác đ nh – là nguyênộ ố ịhàm c a hàm đủ ướ ấi d u tích phân Đ th c a các hàm s này trên h t a đ Oxy là cácồ ị ủ ố ệ ọ ộ

đường cong “ đ ng d ng ” – t nh ti n theo tr c oy Và nh v y m i đi m M(x,y) trênồ ạ ị ế ụ ư ậ ỗ ểOxy ( mà x (a , b) ) s ch có m t đẽ ỉ ộ ường cong y = F(x) + C0 đi qua

• N u ế ∫ f(x)dx = F(x) + C thì ∫ f(u) du = F(u) + C v i u = u(x).ớ

sin1

12

2

41

x x

e

dx e

+ (HD: Đ t t = ặ 41+e x )

1.2 Đ i bi n x = ổ ế ψ(t)

Ph ươ ng pháp:

- Đ t x = ặ ψ(t) trong đó ψ(t) là hàm đ n đi u, kh vi liên t c đ i v i t trênơ ệ ả ụ ố ớ

m t kho ng (a, b) nào đó Khi đó ta có hàm ngộ ả ược t = ω( )x

- Sau khi đ i bi n ta ph i quay tr l i bi n ban đ u.ổ ế ả ở ạ ế ầ

- N u bi u th c dế ể ứ ướ ấi d u tích phân có ch a các căn th c ứ ứ a2−x2 , x2−a2 thì s d ng cácử ụphép đ i bi n tổ ế ương ng: x = a.sint, t ứ ∈ [ ,2