Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điều kiện tối ưu cấp hai của bài toán tối ưu đa mục tiêu

Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI CỦA BÀI TỐN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Học viên: NGUYỄN NGỌC UYỂN NHI - Cao học K

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI

CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Học viên: NGUYỄN NGỌC UYỂN NHI - Cao học K23

Cán bộ hướng dẫn: PGS.TS PHAN NHẬT TĨNH

“Thừa Thiên Huế, năm 2017

LOI CAM ON

Trước tiên em xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo hướng dẫn PGS.TS

Phan Nhật Tĩnh Thầy đã giao đề tài, hướng dẫn em trong suốt quá trình

hoàn thực hiện luận văn này

Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô khoa Toán, Trường,

Dai Học Sư Phạm Huế đã dạy học và giúp đỡ em trong thời gian qua

Thừa Thiên Huế, tháng 12 năm 2017

LOI MG DAU

Lý thuyết các điều kiện tối ưu trong tối ưu đơn mục tiêu và đa

tiêu trơn và không trơn đã và đang phát triển rất mạnh mẽ với nhiều kết

quả đẹp đẽ và phong phú Lý thuyết các điều kiện cấp 2 của bài toán tối

ưu đa mục tiêu là một bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu

Trong những năm qua, đã có một sự quan tâm ngày càng nhiều về các

điều kiện cấp 2 của bài toán tối ưu vì bên cạnh vai trò kiểm tra tính tối

cần ta có được

ưu, đặc biệt khi không có giả thiết lồi (từ các điều kiệ

tập các điểm dừng mà trong đó bao hàm các nghiệm của bài toán tối ưu,

các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho phép ta tìm ra nghiệm của bài toán

đó), các điều kiện cấp hai còn là cơ sở cho việc thiết kế các thuật toán tối

tu và đồng thời trợ giúp cho việc nghiên cứu tính nhạy cảm của nghiệm

tối ưu trong các bài toán có nhiễu

Vì những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài cho luận văn cao học là “

Điều kiện tối ưu cấp hai của bài toán tối ưu đa mục tiêu”

Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung, kết luận và

danh mục các tài liệu tham khảo

Chương 1: Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu đa mục tiêu

Chương 2: Diều kiện cần tối ưu cấp hai của bài toán tối ưu đa mục tiêu

không trơn với ràng buộc tập hợp

Chương 3: Điều kiện đủ tối ưu cấp hai của bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn với ràng buộc tập hợp và trường hợp không ràng buộc tập hợp

Nguyễn Ngọc Uyển Nhi-Luận uăn Thạc sỹ 2017 2

1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối wu đa mục tiêu 1

§1 Quan hệ thứ tự từng phần trong " 1

§2 _ Nghiệm cực tiểu, nghiệm cực tiểu yếu, nghiệm cực tiểu địa

phương của bài toán tối ưu đa mục tiêu - 3

2_ Điều kiện cần tối ưu cấp hai của bài toán tối ưu đa mục

$1 - Diều kiện đủ của bài toán tối ưu cấp hai 29

§2 _ Trường hợp bài toán không ràng buộc tập hợp 31

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết tối ưu đa mục tiêu

§1 Quan hệ thứ tự từng phần trong R”

Định nghĩa 1.1.1 Một quan hệ hai ngôi tren R™ là một tập hợp con không rỗng R của R" x R", khi đó ta oiết zRụ tới (x,y) € R

b) Một quan hệ hai ngôi < trên R"" được gọi là thứ tự từng phần nếu tới

moi x,y,2z,w € R™, cdc tinh chất sau được thỏa mãn:

i) « <x (Tinh phan 2a)

ii) x <y,y S232 <2 (Tinh bite cau)

ii) # < „0 < z => œ +10 < + z (Tính tương thích theo phép cộng) iv) x <y,a € Ry > ax < ay (Tinh twang thich theo nhân tử uô hướng)

©) Thứ tự từng phần < trén R™ được gọi là phản đối xứng nếu:

V+,u€lR”,z <,U<+®+=

Định nghĩa 1.1.2 Không gian tuyến tính 8" được trang bị bởi quan hệ thứ tự từng phần được gọi là không gian tuyến tính thứ tự từng phân

Thứ tự từng phần trên R” mà ta gọi là thứ tự tự nhiên <„ được xác định bởi:

Xm= {(2,y) €R x R" |e; < ụ, Vi = 1 „m}

Định nghĩa 1.1.3 a) Một tập hợp Ở C R”" được gọi là lồi nếu uới mọi +, € € tà À € (0,1) fa có Àz + (1— À)y € Ơ

b) Một tập hợp không réng K C R™ được gọi là nón nếu uới mọi điểm

ke K vad >0, ta cb Kk E K, néu K là tập lồi thì nó sẽ được gọi là nón lôi

©) Nón K được gọi là nón nhọn nếu K ñ\(—K) = {0}

Nhận xét: Trong không gian hữu hạn chiều JR”, mặt phẳng, đường thẳng, đoạn thẳng, tam giác, hình cầu cho ta các hình ảnh về tập lồi

Chú ý 1.1.4 i) Quan hệ thứ tự từng phân có thể được mô tả bởi một nón

lài Bất kỳ thứ tự từng phần < trên R" zác định một nón lồi:

K=zeRP"l0, <2}

Và bắt kỳ một nón lồi K C RR", cũng được gọi là nón thứ tự, xác định

một thứ tự từng phần trên IR" bỏi:

§2_ Nghiệm cực tiểu, nghiệm cực tiểu yếu, nghiệm

cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu đa mục

tiêu

2.1 Các khái niệm

Định nghĩa 1.2.1 Cho 7 là tập hợp khác rỗng của không gian tuyến

tính R"" được sắp thứ tự từng phần bởi một nón lồi K Điểm J € T được gọi là K-điểm cực tiểu của tập hợp T nếu:

Hình 1.1: K-điểm cực tiểu g Điểm ÿ <x

Cho f : R" + R™ va QC R" Giả sử ïR'" được sắp thứ tự bởi nón lồi # Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu sau:

Định nghĩa 1.2.2 Một điển # € © được gọi là nghiệm cực tiểu (hoặc nghiệm hữu hiệu hoặc K-cực tiểu) của bài toán tối ưu đa mục tiéu (MOP)

theo nón thứ tự K nếu ƒ(8) là K-điểm cực tiểu của tập hợp ƒ(©)

được gọi là một giá trị K-cực tiểu (hau hữu hiệu theo nón K)

iii) Voi K = R™ thi K-điểm cực tiểu còn được gọi là điểm cực tiểu

Edgeuorth-Pareto (EP-điểm cực tiểu)

iu) Hình 1.2 là uí dụ uề bài toán tối ưu đa mmục tiêu tới số chiều n = 2 Tap hop 2 va ƒ(Q) cũng như nón nhọn thứ tự được chỉ ra Tập giá trị

hữu hiệu được biểu thị bởi đường dàu hơn

Định nghĩa 1.2.4 Cho K là một nón nhọn, lồi, tới inf(K) # Ú Điểm

#€© được gọi là nghiệm cực tiểu yếu của (MOP) theo K nếu:

Ứ(Œ) ~ int(K)) n /(9) = 0

Chú ý 1.2.5 ¡) Tập hợp tắt cả các nghiệm cực tiểu yếu theo nón K (còn

gọi là K-điểm cực tiểu yếu) ký hiệu là M,.(f(Q), K)

ii) Tập hợp ảnh của tập hợp các điểm cực tiểu yếu là:

ewl S(O), K) = {ƒ(z)J# € Mu(ƒ(9), K)}

tà được gọi là tập hợp giá trị hữu hiệu yếu theo nón K

iii) K-diém cực tiểu yếu chính là điểm cực tiểu theo nén int(K) U {Om},

do dé, My(f(Q), K) = M(f(Q), int(K) U {Om})-

Với bài toán tối ưu đa mục tiêu, ta có các khái niệm về cực tiểu địa

phương:

Định nghĩa 1.2.6 Cho K là một nón nhọn, lồi vdi int(K) 4 0

Điểm # € 9 được gọi là nghiệm cực tiểu địa phương của bài toán tối

tu đa mục tiêu (MOP) theo nón thứ tự K nếu tồn tại lân cận U của # sao cho không có ụ € Ƒ(QnU)\{ƒ(#)} tới ƒ(8) Ey + K

Điểm # € © được gọi là nghiệm cực tiểu yếu địa phương của bài toán

tối ưu đa mục tiêu (MOP) theo nón thứ tự K nếu tồn tại lân cận U của

# sao cho không có ụ € ƒ(QñU) uới ƒ(#) € + intK

Nguyễn Ngọc Uuển Nhỉ-Luận uăn Thạc sỹ 2017 5

Kết quả được phát biểu tương tự với tập hợp các nghiệm cực tiểu yếu

Hệ quả 1.2.8 Cho K, va K: là nón lồi, nhọn, phần trong khác rỗng tà

Kì C Ky Khi do:

Mu(f(Q), K2) C Mu(f(Q), A)

Chitng minh: Véi K; C Ky din dén int(Ky) C int(K2) khi d6:

Mu(f (2), Ko) = M(f(Q), int(K2) U {Om})

M(f(Q), K) C M(f(Q), int(K) U {Om}) = Mu(f(Q), K)

Do đó với e(ƒ(9), K) = {ƒ(z)|z e A4(/(9) K)} thì

e(f(Q), K) C ew(f(Q), K)

Nguyén Ngoc Uyén Nhi-Ludn vin Thac si 2017 6

Dinh nghia 1.2.10 Cho A C R™ Diém y € R™ duoc goi là điểm biên ctia A néu vdi moi c > 0 thi Bly,c) 1A 40 va Bly.) A (R™\A) # 0

Tap hợp tắt cả điểm biên của A kí hiệu là OA

Định ly 1.2.11 Cho K là nón lồi, nhọn và K # {0„} Khi đó:

e(f(Q), K) C AF(Q)

Chứng minh: Tương tự cách chứng minh định lý 1.2.12

Dinh ly 1.2.12 Cho K là một nón nhọn, lồi va int(K) #0 Khi đó:

©) Tập tiếp xúc cấp hai asymtotic tới © tại (#,) được định nghĩa là tập:

Tỷ(O.Z,) = {w € R"|3t„ —> 0°, +„ —y ÚŸ, tuy —> w sao cho ¥,12 +0

va E+ tyv + Ynwn € ©,Vn € Ñ}

d) Nón tiếp xúc phần trong vdi Q tại # được định nghĩa là tập::

TT(O,#) = {u € R*|Bồ > (0 sao cho 8+ € ©,Vt € (0,6), Vw € B(v, 6)}

Định nghĩa 2.1.2 Gid sit Q là một tập lồi Tu nói Q la T?-6n định tại

Tit (1) (2), (3) dẫn đến 72(O, , v) UTR(Q,2, v) £0

Mệnh đề 2.1.4 Cho Q C R" là tập hợp lồi và # € clQ, int A 0 Khi đó: IT(int9,8) = TT(Q,8) = cone; (intQ — 8) = int cone(9 — 8) Chứng minh:

ï) Ta chứng mình đẳng thức đầu tiên: 77(©, #) = IT(Q,2)

Lay u € IT(infQ,Z), khi đó 3ổ > 0 sao cho # + fø € int C 9,

Vt € (0,6] va Vw € B(u,ö) Do đó, IT(int9,#) C IT(O, 2)

Ngược lại, lấy œ € JT(Q,#) nên 3ổ > 0 sao cho # + tw € Q, Vt € (0,4)

va Vw € B(u,ô) Đặt z¡ = # + tu € ©

Do ¿m© là trù mật trong © (nghĩa là Q C in#M) nên 3z; € infQ sao cho

|lri — z2|| = ||E + te — z2|| < é nên # + ti € B(2a,e) C int

Vậy IT(O, #) C IT(intO, #) nên IT(intO, 2) = IT(Q, 2)

ii) Chứng mình đẳng thức cuối: cone¿ (infQ — #) = int cone(Q — #)

Ta có: cơne+ (infQ — #) = Ua»oa(intQ — #) là một tập mở chứa trong

cone(Q = 2)

Do dé, cone, (int — 2) C int(cone(Q = 2)

Tiép theo, Lay v =

+—#) € cone(Q—#) với œ > 0 và z € 9 Cho e > 0,

do intQ la tri mật trong © nên 3z¡ € im£© sao cho ||# — zi||< a1

Suy ra, inf cone(Q — 2) C cone, (int = 2)

Vay cone, (intQ — 2) = int cone(Q — 8)

iii) Cuối cùng, chứng minh: [T(Q, 2) = int(cone(Q — #))

Lay u € int(cone(Q—2)) C cone(Q— 2), khi d6 u = a(x —2) voia > 0

va x € Q Dat t= 8+ tu € 9 Vì vây, u € IT(O, #)

Ngược lại, lấy u € IT(Q, 2) = IT (int, 2) nén 35 > 0 sao cho

& + tw € intQ, Vt € (0,6) va Vw € B(u, 6)

Khi dé, u € B(w, 6), dat x = % + tw € intl vaa= ; > 0 Ta cé:

+

w= = a(x — 2) € cone, (intQ = 2) = int cone(Q — 3)

Vay IT(intQ, 2) = IT(Q, 2) = cone, (int — 2) = int cone(Q = 2)

Chú ý 2.1.5 Với nón K = R? tà ụ = (MI.wa m) € PT", ta có các

biểu thức đối uới tập tiếp xúc sau:

i) T(RY,y) = {v ER™: v; > 0 nếu j € J(w)}

c) Tập tuyến tính bậc 2 của © tại (#,0) được định nghĩa là tập:

Mea) = OY tad" — yaw + g"@)(0,0 Mộ

“tit gid thiét lim w, = w va nooo

Chitng minh: Dat w, =

i) Tit (ii) suy ra (i) khi cho v = 0

Dinh nghia 2.1.9 i) Néw ding thite T(Q,2) = C(Q,2) xấu ma, ta nói ring diéu kién Abadie (ACQ) théa tai 8

ii) Nếu đẳng thức T2(Q, #,v) = C2(Q,#,v) #0 xéy ra, ta nói rằng điều kiện bậc hai Abadie (SOACQ) théa tai (2,v)

Nguyễn Ngọc Uyén Nhi-Luan vin Thac sj 2017 13

§2_ Điều ki

cần tối ưu cấp hai của bài toán có

ràng buộc tập hợp

Cho ƒ : R" —› R” là một hàm khả vi cấp hai, R™ được sắp thứ tự bởi

một nón K lồi, nhọn, phần trong khác rỗng Cho © C R*, xét bài toán tối ưu đa mục tiêu sau:

min f(x)

Nếu nón K = R? thì bài toán (MOP) còn được gọi là bài toán tối ưu đa

mục tiêu Edgeworth-Pareto và K-điểm cực tiểu của bài toán (MOP) còn được gọi là EP-điểm cực tiểu

Cho # € Q,v € R", đặt I(Z,v) = {i € I: fi(Z)v = 0} trong đó,

T= {1,2, ,m}, f= (fis fos fn)

Định nghĩa 2.2.1 Cho # € O

a) Các tập hợp các hướng giảm của ƒ tại # được định nghĩa như sau:

Co(f.2) = {v ER”: f'(@)v € ~intK}

Nguyén Ngoc Uyén Nhi-Ludn vin Thac si 2017 1

Dinh lý 2.2.2 Nếu # € Q la nghiệm cực tiểu yếu địa phương của bài toán (MOP) thà:

Béi f'(z)v € —clK (với ò € C(ƒ.#)) Từ Mệnh đề 2.1.4 của §1 thì:

—int cone(K + ƒ'(#)u) = TT(—intM, ƒ(#)u) nên từ (5), ta có: ø €

'Từ (6) với e, sẽ tồn tại nọ € N sao cho:

Từ (9) và (7) Ta có: ƒ(#u) — ƒ(#) € —intK Điều này mâu thuẫn với

định nghĩa nghiệm cực tiểu yếu địa phương của Z

Do đó, 72(0,#,) n C2(ƒ,#,») = Ú Vò e T(9,#) n |C(ƒ.#)\€o(ƒ.2)) i) va tir (ii) suy ra (i) khi cho v = 0

Ap dung Dinh lý 3.2.2 đối với bài toán đa mục tiêu Edgeworth-Pareto

(nón K = R), ta đi đến hệ quả tiếp theo

Hệ quả 2.2.3 (Điều kiện cần đối uới EP-cực tiểu) Giả sử K = R™

Nếu # là EP-nghiệm cực tiểu yếu địa phương của ƒ trên © thà uới mỗi

veTQ,2)N {ve X: fi(Z)v < 0,Vi = Tm va Fi: fi(Z)v = 0} thì hệ

dưới đây không có nghiệm trong R"

+ € T2(Q,, 0)

(Œ) + ƒƒ(#)(0,0) < 0, Vi € T(#, 0) trong dé I(z,v) = {i € I: fi(B)v = 0} vdi I = {1,2, ,m}

Chứng minh: Áp dụng định lý 2.2.2(1i) với:

Định lý 2.2.4 Cho K = RƑ Nếu # € Q là EP-nghiệm cực tiểu địa phương của (MOP) thì uới mọi e € C\(ƒ,#) n1 T(9,#):

fi(Œn)— f(#) < Li(@) Anton 5fi (Z)(tnv+7nWn, tnV+7nWn)+en (11)

Với en > 0 khi n + +00, về phải (11), ta có: ƒ

§3 Dinh ly Motzkin

Cho tập hợp E cita R?, nén eve am cita E duge dinh nghia la:

E” = {we R?: (u,x) <0,Vz € E}

“Tương tự, nón cực dương của E được định nghĩa là: #* = —

iii) B 1a tap con cia R?, D C RP là nón lồi khác rỗng thỏa 8 + D C Ỡ

iv) 9: R" + R™ Ia tuyén tinh va yo € R”

v) ŒC R”" là nón lồi với intŒ # 0

Khong gian đối ngẫu của R là RP, một phần tử / € R được xem như

hàm tuyến tính ø từ R? vào T8

riB la phan trong tương đối của B

øp là hàm giá của tập lồi B: øp(g) = suuep(/, b)

Bồ đề 2.3.1 Cho ¡ € RP, a €R, BC RP là một tập lồi, D C RP là

một nón lồi Khi đó:

a>Øp+p(u) ®u€ D~ tà œ 3 øn(p)

Chứng minh:

(=) Néu (1, d) > 0 voi d € D thi limp soo (u,b + td) = +00 va do dé gid

thiết là sai Vì vậy, € D~ Ta có:

sup{ (u,b +d) :b € B,d € D} =sup{(y1,b):b€ B} (12) Bởi vì max{(w,d) : đ€ D} = 0 do p € D> Vi vay: a > onsp(u)

=> a > sup{(p,b)+(p,d) +b € B,d € D} = sup{ (u,b) : b € B} = op (yu)

Nguyễn Ngọc Uyén Nhi-Luan vin Thac sj 2017 18