Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Vành đa thức và tuyển chọn một số bài toán về đa thức

Trang 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONGNGUYỄN THỊ THU HIỀN – Mã học viên: C00838VÀNH ĐA THỨC VÀ TUYỂN CHỌNMỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨCTÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCCHUYÊ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

NGUYỄN THỊ THU HIỀN – Mã học viên: C00838

VÀNH ĐA THỨC VÀ TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 8 46 01 13NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS BÙI HUY HIỀN

Mục lục

1.1 Xây dựng vành đa thức một ẩn 5

1.2 Bậc và định giá của đa thức 5

1.3 Phép nhân ngoài Cấu trúc A - đại số của A[X] 5

1.4 Phép đạo hàm 5

1.5 Hàm đa thức 5

1.6 Số học trong vành A[X] 5

1.7 Nghiệm của đa thức 5

1.8 Vành đa thức nhiều ẩn 6

1.9 Đa thức trên các trường số 6

1.9.1 Định lý cơ bản của đại số học số phức 6

1.9.2 Đa thức trên trường số thực 7

Chương 2 Tuyển chọn một số bài toán về đa thức 8 2.1 Một số bài toán về nghiệm của đa thức 8

2.1.1 Chứng minh đa thức không có nghiệm hữu tỉ 8

2.1.2 Chứng minh đa thức không có nghiệm thực 8

2.1.3 Chứng minh đa thức có nghiệm thực 9

2.1.4 Tìm mối liên hệ giữa các hệ số của phương trình khi biết mối quan hệ giữa các nghiệm của nó 10

2.2 Bài toán xác định đa thức 10

2.2.1 Xác định đa thức bởi phép biến đổi biến số 10

2.2.2 Xác định đa thức dựa vào đặc trưng hàm 11

2.2.3 Xác định đa thức dựa vào các đặc trưng nghiệm 12

2.2.4 Xác định đa thức theo các đặc trưng nội suy 13

2.3 Khai triển và biểu diễn đa thức 13

2.4 Ứng dụng của đa thức vào giải một số bài toán ở phổ thông 14

2.4.1 Tìm điểm đặc biệt của họ đường cong 14

2.4.2 Chứng minh đẳng thức 15

2.4.3 Chứng minh bất đẳng thức 16

2.4.4 Giải hệ phương trình 17

2.4.5 Một số bài toán lượng giác 18

2.4.6 Một số bài toán tổ hợp 19

MỞ ĐẦU

Đa thức là một trong những phần quan trọng của chương trình Toán học

ở bậc phổ thông Cùng với số nguyên, khái niệm đa thức đã được đề cập đếnrất sớm trong Toán học và đã được giảng dạy ở các trường học Trong chươngtrình phổ thông, học sinh đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc Trung học

cơ sở, với những phép cộng, trừ, nhân, chia đa thức đến phân tích đa thức rathừa số, dùng sơ đồ Hocner để chia đa thức, giải các phương trình đại số .Các bài toán về đa thức được xem như những dạng toán khó ở THPT, được

đề cập nhiều ở phần đại số trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia, OlympicQuốc tế và kì thi Olympic sinh viên giữa các trường Đại học, Cao đẳng Chính

vì vậy, tôi chọn đề tài “ Vành đa thức và tuyển chọn một số bài toán về đathức”

Để bản luận văn được trình bày một cách có hệ thống, trước hết xây dựnglại về vành đa thức sau đó giới thiệu một số bài toán về đa thức, trong đó chú

ý nhiều đến các bài toán trong các kì thi học sinh giỏi, thi Olympic Toán sinhviên toàn quốc và áp dụng giải một số bài toán về đa thức ở trường phổ thông.Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệutham khảo

triển và biểu diễn đa thức và một vài ứng dụng của đa thức vào giải một sốbài toán ở phổ thông.

Dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn nội dung được trình bày trong luận vănkhông tránh khỏi thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô

và tạo mọi điều kiện cho tôi trong xuyên suốt thời gian học tập và nghiên cứu.Trân trọng!

Hà Nội, tháng 12 năm 2018

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hiền

Chương 1

Vành đa thức

Trong chương này trình bày những nội dung sau:

1.1 Xây dựng vành đa thức một ẩn

1.2 Bậc và định giá của đa thức

1.3 Phép nhân ngoài Cấu trúc A - đại số của A[X]

Định lý 1.7.1 (Định lý Viète thuận) Cho P = a0Xn + a1Xn−1+ · · · + an ∈

A [X], n ≥ 1, a0 6= 0, α1, α2, , αn là các không điểm của A[X] Khi đó ta có

1≤i 1 <i 2 <···<ik≤n

αi 1αi 2· · · αik =(−1)kak

a0

α1α2· · · αn = (−1)nan

a0.Đặt

σ2 = X

i<j

αiαj = a2

a0

1.9 Đa thức trên các trường số

1.9.1 Định lý cơ bản của đại số học số phức

Định lý 1.9.1 Mọi đa thức bậc n (n ≥ 1) với hệ số phức đều có ít nhất mộtnghiệm phức

Bổ đề 1.9.1 Mọi đa thức với hệ số thực có bậc lẻ có ít nhất một nghiệm thực

Bổ đề 1.9.2 Mọi đa thức bậc hai ax2+ bx + c, với hệ số phức, bao giờ cũng

Hệ quả 1.9.2 Đa thức bất khả quy trên C[X] là và chỉ là đa thức bậc 1

Hệ quả 1.9.3 Mọi đa thức bậc n (n ≥ 2) với hệ số phức đều phân tích đượcthành tích n nhân tử bậc nhất

Hệ quả 1.9.4 Trường số phức C là trường đóng đại số

1.9.2 Đa thức trên trường số thực

Mệnh đề 1.9.1 Đa thức bất khả quy trên trường số thực là và chỉ là các đathức bậc nhất và đa thức bậc hai không có biệt thức ∆ = b2− 4ac < 0

Định lý 1.9.4 (Định lý Be’zout) Cho f (x) ∈ R[X] và α ∈ R Số α là nghiệmcủa f (x) khi và chỉ khi f (x) (x − α) Điều này có nghĩa là tồn tại đa thứcg(x) ∈ R[X] sao cho f (x) = (x − α)g(x)

Định lý 1.9.5 (Định lý về nghiệm hữu tỷ của đa thức với hệ số nguyên) Cho

đa thức f (x) = a0+ a1x + a2x2+ · · · + anxn ∈ Z[X], an 6= 0 Nếu x = p

q, (p, q) =

1, q 6= 0, (p, q ∈ Z) là nghiệm của f (x) thì p | a0, q | an Từ đó suy ra nếu

an = 1 thì các nghiệm hữu tỷ của đa thức này phải là số nguyên

Chương 2

Tuyển chọn một số bài toán về đa thức

2.1 Một số bài toán về nghiệm của đa thức

2.1.1 Chứng minh đa thức không có nghiệm hữu tỉ

P (x) = axn+1+ b1xn + · · · + bnx − akhông có nghiệm hữu tỉ

Ví dụ 2.1.2 Xét đa thức P (x) ∈ Z[X] thỏa mãn P (0), P (1) đều là các sốnguyên lẻ Chứng minh rằng đa thức này không có nghiệm nguyên

Ví dụ 2.1.3 Cho đa thức P (x) ∈ Z[X] thỏa mãn: tồn tại số k nguyên sao cho

P (2017k)P (2018k) = 2019k Chứng minh rằng đa thức này không có nghiệmnguyên

2.1.2 Chứng minh đa thức không có nghiệm thực

Phương pháp giải

Để chứng minh đa thức không có nghiệm thực ta dựa vào tính chất:Mọi đa thức khác không bậc n có không quá n nghiệm Từ đó xây

dựng một dãy vô hạn, đôi một khác nhau các nghiệm thực của đathức sau đó suy ra điều vô lý.

Ví dụ 2.1.4 (Đề thi học sinh giỏi quốc gia 1990) Giả sử P (x) = anxn +

an−1xn−1+ · · · + a1x + a0 là đa thức với các hệ số thực, có an 6= 0 và thỏa mãnđẳng thức sau với

P (x)P (2x2) = P (2x3+ x), ∀x ∈ R (2.1)Chứng minh P (x) không có nghiệm số thực

Ví dụ 2.1.5 Cho 2 cấp số cộng (an), (bn) và số m nguyên dương, m > 2 Xét

m tam thức bậc hai Pk(x) = x2+ akx + bk với k = 1, 2, , m Chứng minh nếu

P1(x) và Pm(x) không có nghiệm số thực thì các tam thức còn lại cũng không

có nghiệm số thực

2.1.3 Chứng minh đa thức có nghiệm thực

Ví dụ 2.1.6 Chứng minh rằng nếu đa thức P (x) bậc n có n nghiệm thựcphân biệt thì đa thức P (x) + P0(x) cũng có n nghiệm thực phân biệt

Ví dụ 2.1.7 Cho đa thức P (x) bậc 2018 có 2018 nghiệm dương Chứng minhrằng đa thức sau cũng có đúng 2018 nghiệm dương

Q(x) = (1 − 2018x).P (x) + (x2+ 2018x − 1).P0(x) − x2.P (x)

Ví dụ 2.1.8 (Đề thi Olympic Toán sinh viên lần thứ XIV – 2006) Cho đathức P (x) bậc n có nghiệm thực phân biệt lớn hơn 1 Chứng minh rằng đathức Q(x) = (x + 1).P (x).P0(x) + P2(x) + x.(P0(x))2 có ít nhất 2n − 1 nghiệmthực phân biệt

Ví dụ 2.1.9 Cho đa thức f (x) ∈ R[X] có bậc 2014 và có 2014 nghiệm thực.Giả sử F (x) là nguyên hàm của f (x) và F (x) có ít nhất 2014 nghiệm thực.Chứng minh rằng với mọi α ∈ R, đa thức F (x) + αf (x) có 2015 nghiệm thực

Ví dụ 2.1.10 (Đề thi Olympic Toán sinh viên lần thứ IX – 2001) Cho

a, b, c, d, e là các số thực Chứng minh rằng nếu phương trình ax2+(b+c)x+d+

e = 0 có nghiệm thực trong [1, +∞) thì phương trình ax4+bx3+cx2+dx+e = 0cũng có nghiệm thực

Ví dụ 2.1.11 (Đề thi Olympic Toán sinh viên lần thứ XXII – 2014) Cho P

là một đa thức bậc n với hệ số hữu tỉ Giả sử số thực a là một nghiệm của Pvới bội > n

2 Chứng minh a là một số hữu tỉ.

Ví dụ 2.1.12 Cho P (x) ∈ Z[X] và P (x) = 1, P (x) = 2, P (x) = 3 có ít nhấtmột nghiệm nguyên lần lượt là x1, x2, x3 Chứng minh P (x) = 5 không có hơnmột nghiệm nguyên

Ví dụ 2.1.13 Xét phương trình x2− an−1xn−1− an−2xn−2− · · · − a1x − a0 = 0với ai là các số thực dương Chứng minh phương trình này có không quá 1nghiệm dương

Ví dụ 2.1.14 Cho ab 6= 0 Chứng minh phương trình x3− 3(a2+ b2)x + 2(a3+

b3) = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Ví dụ 2.1.15 Cho các đa thức Pk(x), k = 1, 2, 3 xác định bởi

P1(x) = x2− 2, Pi+1 = P1(Pi(x)), i = 1, 2, 3,

Chứng minh rằng Pn(x) = x có 2n nghiệm thực phân biệt nhau

Ví dụ 2.1.16 Cho đa thức P (x) = x3+ ax2+ bx + c có 3 nghiệm phân biệt.Chứng minh rằng Q (x) = x3 + ax2 + (4b − a2) x + (4ab − a3− 8c) cũng có 3nghiệm phân biệt

2.1.4 Tìm mối liên hệ giữa các hệ số của phương trình khi biết mối

quan hệ giữa các nghiệm của nó

Ví dụ 2.1.17 Tìm a để phương trình 16x4− ax3+ (2a + 17)x2− ax + 16 = 0

có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân

Ví dụ 2.1.18 Tìm a, b nguyên sao cho phương trình x4+ x3+ bx2+ ax + 1 = 0

2.2 Bài toán xác định đa thức

2.2.1 Xác định đa thức bởi phép biến đổi biến số

Ví dụ 2.2.1 (Olympic Moldova - 2004) Tìm đa thức P (x) ∈ R[X], thỏa mãn(x3+ 3x2+ 3x + 2) P (x − 1) = (x3− 3x2

Ví dụ 2.2.6 Tìm đa thức P (x) ∈ R[X] sao cho

2.2.2 Xác định đa thức dựa vào đặc trưng hàm

Ví dụ 2.2.9 (Đề dự tuyển Olympic Toán sinh viên toàn quốc 2014 – Đại họcHùng Vương) Tìm tất cả đa thức P (x) ∈ R[X] thỏa mãn

P2(x) − P2(y) = P (x + y)P (x − y), ∀x, y ∈ R (2.7)

Ví dụ 2.2.10 Tìm tất cả các đa thức f : R → R thỏa mãn điều kiện

3 +√3

3

b) Tồn tại hay không đa thức f (x) với hệ số nguyên mà f √3

3 +√39
= 3+√3

3

Ví dụ 2.2.14 Tìm đa thức hệ số nguyên có bậc nhỏ nhất nhận x2

0 + x0+ 1làm nghiệm trong đó x0 là nghiệm của đa thức P (x) = x3+ 7x − 7

Ví dụ 2.2.15 Tồn tại hay không đa thức

ax2012− ax2011+ b1x2010+ b2x2009+ + b2009x2− 20122cx + c,

( a, b1, , b2009, c ∈ R) có đúng 2012 nghiệm thực dương phân biệt

Ví dụ 2.2.16 (Đề thi Olympic Toán sinh viên lần thứ XII – 2004) Xác định

đa thức f (x) dạng f (x) = x5− 3x4+ 2x3+ ax2+ bx + c Biết rằng nó chia hếtcho đa thức (x − 1)(x + 1)(x − 2)

Ví dụ 2.2.17 Tìm tất cả các đa thức f (x) ∈ R[X] bậc n có nghiệm thực vàthỏa mãn điều kiện

f (x) f 2x2
= f 2x3+ x
(2.10)

Ví dụ 2.2.18 Xác định đa thức bậc 4 dạng P (x) = x4 + bx2 + c (b, c > 0)sao cho phương trình P (x) = x2 không có nghiệm thực, còn phương trình

P (P (x)) = x4 có nghiệm thực

Ví dụ 2.2.19 Tìm tất cả các đa thức f (x) = x2 − px + q, biết f (x) có 2nghiệm nguyên dương phân biệt và p, q là số nguyên tố

2.2.4 Xác định đa thức theo các đặc trưng nội suy

Phần này tập trung vào bài toán xác định đa thức theo công thứcnội suy Lagrange

Ví dụ 2.2.20 Tìm tất cả các đa thức P (x) thỏa mãn điều kiện P (1) =1.P (2) = 2, P (3) = 4

Ví dụ 2.2.21 Tìm đa thức P (x) có bậc nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện P (−2) =

0, P (−1) = 1, P (0) = 1, P (1) = 2, P (2) = 3

Ví dụ 2.2.22 Xác định đa thức P (x) bậc 4 thỏa mãn điều kiện P (−1) = 0và

P (x) − P (x − 1) = x (x + 1) (2x + 1) (2.11)

Ví dụ 2.2.23 Cho đa thức P (x) bậc n thỏa mãn điều kiện P (k) = 1

C k n+1

, k =

0, 1, 2, , n Tìm P (n + 1)

2.3 Khai triển và biểu diễn đa thức

Ví dụ 2.3.1 Tìm (λ, µ) ∈ R2 để x4+ λx3+ µx2+ 12x + 4 là bình phương củamột đa thức thuộc R[X]

Ví dụ 2.3.2 Biểu diễn đa thức f (x) = x4+ x3+ x2 + x + 1 dưới dạng hiệubình phương của hai đa thức [P (x)]2− [Q (x)]2 bậc khác nhau và với các hệ

số thực Chứng minh rằng, không tồn tại đa thức g(x) với các hệ số thực để

f (x) = (g(x))2

Ví dụ 2.3.3 Cho các số nguyên a1, a2, , an đôi một khác nhau Chứngminh rằng đa thức P (x) = (x − a1)2(x − a2)2 (x − an)2+ 1 không thể phântích được dưới dạng tích của hai đa thức có hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặcbằng 1

2.4 Ứng dụng của đa thức vào giải một số bài toán ở phổ thông2.4.1 Tìm điểm đặc biệt của họ đường cong

2.4.1.1 Tìm điểm cố định

a Bài toán: Xét họ đường cong (Cm) có phương trình y = f (x, m),trong đó f là hàm đa thức theo biến x với m là tham số Hãy tìmnhững điểm cố định thuộc họ đường cong khi m thay đổi

• Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong (Cm) không có điểm cốđịnh.

• Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (Cm)

Ví dụ 2.4.1 Tìm điểm cố định của họ đường cong (Cm)

2.4.1.2 Tìm điểm có tọa độ nguyên

a Bài toán: Cho đường cong (C) có phương trình y = f (x) (f (x) làhàm phân thức) Hãy tìm những điểm có tọa độ nguyên của (C)

Bước 1: Coi A, B là biểu thức của biến x nào đó.

Bước 2: Biến đổi đẳng thức A = B về đẳng thức P (x) = Q(x), trong

đó P (x), Q(x) là hai đa thức của biến x

Bước 3: Xác định max{deg P (x), deg Q(x)} = m Khi đó ta sẽ chỉ ra cónhiều hơn m số βi sao cho P (βi) = Q(βi), ∀i = 1, 2, , n, n ≥ m + 1.Theo nguyên lý so sánh hệ số ta có P (x) = Q(x) hay A = B

∗ Đa thức đối xứng cơ sở: Các vế của đẳng thức là các đa thức đốixứng nên đưa được về đa thức của các đa thức đối xứng cơ sở.Bước 1: Biểu diễn các đa thức đối xứng ở vế trái và vế phải của đẳngthức theo các đa thức đối xứng cơ sở

Bước 2: Ở dạng đa thức đối xứng cơ sở ta có đẳng thức cần chứngminh

∗ Nghiệm của đa thức: Sử dụng tính chất nghiệm của đa thức, đặcbiệt là tính chất: Mọi đa thức bậc n đều có không quá n nghiệm.Nếu đa thức có số nghiệm lớn hơn số bậc của nó thì đa thức đó đồngnhất 0

Ví dụ 2.4.9 Với a, b, c là những số thực bất kì, chứng minh

a(b + c)2+ b(c + a)2+ c(a + b)2 − 4abc = (b + c) (c + a) (a + b)

Ví dụ 2.4.10 Giả sử an − bn = (a + b)n, n ∈ N, n > 1 Chứng minh rằngab(a + b) = 0

Ví dụ 2.4.11 Cho x + y = 1, x3 + y3 = a, x5 + y5 = b Chứng minh rằng5a(a + 1) = 9b + 1.

Ví dụ 2.4.12 Chứng minh rằng với mọi số thực x, y ta có

(x + y)4+ x4+ y4 = 2 x2+ xy + y2
2.2.4.3 Chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp giải

Sử dụng đa thức đối xứng cơ sở

Ví dụ 2.4.13 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c, ta có

(ab + bc + ca)2 ≥ 3abc (a + b + c)

Ví dụ 2.4.18 (Đề thi học sinh giỏi lớp 12, tỉnh Phú Thọ năm học 2010 –2011) Giải hệ phương trình

x sin a + y sin 2a + z sin 3a = sin 4a

x sin b + y sin 2b + z sin 3b = sin 4b

x sin c + y sin 2c + z sin 3c = sin 4c

2.4.5 Một số bài toán lượng giác

Ví dụ 2.4.23 Chứng minh đẳng thức sau:

3

rcos2π

7 +

3

rcos4π

7 +

3

rcos6π

1sin2 3π7 +

1sin2 6π7 .

• Khai triển mũ bao nhiêu ?

• Tích của khai triển nào ?

• Hệ số của số mũ cân bằng ?

Ví dụ 2.4.28 Chứng minh C2nn = (Cn0)2+ (Cn1)2+ (Cn2)2+ + (Cnn)2

Ví dụ 2.4.29 Chứng minh đẳng thức Vandermonde

Cm+nk = Cn0Cmk + Cn1Cmk−1 + + CnkCm0, với k ≤ n ≤ m

Ví dụ 2.4.30 Chứng minh

Cn+4k = Cnk + 4Cnk−1 + 6Cnk−2+ 4Cnk−3+ Cnk−4, 4 ≤ k ≤ n

KẾT LUẬN

Luận văn trình bày cấu trúc của vành đa thức một ẩn và nhiều

ẩn Tuyển chọn một số bài toán về đa thức trong đó chú ý nhiều đếncác bài toán trong các kì thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc và

áp dụng giải một số bài toán về đa thức ở trường phổ thông

Nội dung chính của luận văn gồm:

- Trình bày xây dựng vành đa thức một ẩn và nhiều ẩn

- Phép nhân ngoài, phép đạo hàm, hàm đa thức

- Số học trong vành A[X]

- Nghiệm của đa thức

- Đa thức trên các trường số

- Tuyển chọn một số bài toán về đa thức: các bài toán về nghiệmcủa đa thức, bài toán xác định đa thức, khai triển và biểu diễn đathưc, ứng dụng của đa thức vào giải một số bài toán ở phổ thông

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[3] Nguyễn Hữu Điển (2003), Đa thức và ứng dụng NXB Giáo dục.[4] Nguyễn Văn Mậu (2006), Đa thức đại số và phân thức hữu tỉ.NXB Giáo dục

[5] Lê Hoành Phò, Nguyễn Văn Nho, Nguyễn Tài Chung (2016),Chuyên khảo đa thức NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội

[6] Vũ Hữu Bình (2013), Nâng cao và phát triển toán 9 (tập 2).NXB Giáo Dục Việt Nam

[7] Tạp chí toán học và tuổi trẻ (2007), Tuyển chọn theo chuyên đềtoán học và tuổi trẻ (quyển 1) NXB Giáo Dục

Tiếng Anh

[8] V.V Prasolov (2009), Polynomial, Springer

[9] Ronald S Irving (2008), Interger, polynomials, anh rings,Springer