bài giảng về ổn định và động lực học của các công trình xây dựng dân dụng và công nghiệp

Hiện nay một trong những phương hướng mới được quan tâm nhiều, khi nghiên cứu dao động công trình là áp dụng phương pháp thống kê; phương hướng này áp dụng có hiệu quả đặc biệt đối với n

kỷ XX, môn Động lực học công trình mới được coi như một phần riêng biệt trong lĩnh vực cơ học kết cấu

Quá trình phát triển của lý thuyết dao động công trình liên quan mật thiết đến quá trình phát triển của lý thuyết dao động nói chung và gắn liền với yêu cầu phát triển của nền kinh tế quốc dân.Đặc biệt là trong mấy chục năm gần đây, sự phát triển nhảy vọt trong các ngành giao thông vận tải, xây dựng cơ bản, chế tạo máy, hàng không đã thể hiện rõ sự thành công rực rỡ trong lĩnh vực nghiên cứu lý luận và thực nghiệm của môn

Động lực học các công trình

Bài toán đơn giản đầu tiên về động lực học công trình là nghiên cứu cách tính dao

động cho sơ đồ kết cấu dầm; tiếp đó là các loại kết cấu hệ thanh phức tạp hơn như dàn, vòm, khung, dầm liên tục Đặc biệt là trong khoảng mười năm gần đây, việc nghiên cứu dao dộng của tấm và vỏ đã được chú ý đến nhiều Trong thực tế ta thường phải giải quyết các bài toán về dao động công trình khi thiết kế xây dựng các công trình như các công trình nhà công nghiệp chịu tải trọng động, công trình cầu chịu tải trọng di động, công trình cầu và các công trình cao chịu tải trọng khí động, các công trình thủy công

Đến nay, đã có rất nhiều công trình lớn nghiên cứu về dao động công trình; trong đó các nhà khoa học của các nước XHCN như Liên Xô (xem [3],[26]) Ba Lan, Tiệp Khắc, CHDC Đức (xem [15], [12], [3]) đã đóng góp nhiều công trình nghiên cứu xuất sắc Bên cạnh việc nghiên cứu đề xuất ra lý luận tính toán, các tác giả cũng đã nghiên cứu tìm biện pháp làm giảm ảnh hưởng động của tải trọng động tác dụng lên công trình

Hiện nay một trong những phương hướng mới được quan tâm nhiều, khi nghiên cứu dao động công trình là áp dụng phương pháp thống kê; phương hướng này áp dụng có hiệu quả đặc biệt đối với những loại dao động chịu các ngoại lực có tính chất ngẫu nhiên (xem chương III của tài liệu [3]).Bên cạnh đó việc xuất hiện các công cụ tính toán mới như máy tính điện tử, đã thúc đẩy rất mạnh việc nghiên cứu dao động của các công trình cũng như trong cơ học kết cấu nói chung (xem chương IV của tài liệu [3])

Trong khuôn khổ của tài liệu giáo khoa, giáo trình này sẽ chỉ đề cập đến những vấn

đề rất cơ bản của lý thuyết dao động công trình; dao động của hệ có một số bậc tự do, dao

động của hệ có vô cùng bậc tự do, sau đó vận dụng để tính toán một số loại kết cấu thường gặp như dầm, vòm, khung, dầm liên tục Tài liệu cũng đề cập đến một số vấn đề cơ bản trong lý thuyết tính dao động của dầm chịu tải trọng di động và khái niệm về lý thuyết dao động có thông số Toàn bộ giáo trình này trình bày hạn chế trong phạm vi của

lý thuyết dao động tuyến tính, vật liệu làm việc tuân theo định luật Húc và tính toán theo sơ

đồ không biến dạng

ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH

Tài liệu tham khảo:

1 Ổn định và động lực học công trình - Phạm Khắc Hùng, Đào Trọng Long, Lê Văn Quý, Lều Thọ Trình

2 Dynamics of structures - Ray W Clough, Josept Penzien 1993

3 Dynamics in engineering structures - Vladimir Kolosek 1995

4 Устойчивость и динамика сооружений в примерах и задачах - Н

И Безухов, И В Лужин, Н И Колкунов 1987

i2 CáC DạNG TảI TRọNG Và NHIệM Vụ CủA BàI TOáN

DAO ĐộNG CÔNG TRìNH

Trong các phần trên của giáo trình cơ học kết cấu, chúng ta đã nghiên cứu cách tính các công trình chịu tải trọng tác dụng tĩnh Trong phân này chúng ta sẽ nghiên cứu các công trình chịu tải trọng tác dụng động Như trong giáo trình cơ học lý thuyết và sức bền vật liệu, ta đã biết tải trọng động là tải trọng gây ra lực quán tính

Trong thực tế ta thường gặp một số dạng tải trọng động chủ yếu như sau:

1. Tải trọng có vị trí không đổi, còn trị số biến thiên theo thời gian P(t)

Ví dụ : Mô-tơ có phần quay không cân bằng vì khối lượng đặt lêchị tâm (hình 1a)

Khi môtơ chạy, dầm sẽ bị dao động

ngang do thành phần đứng của lực quán tính

Đó là loại tải trọng động có trị số biến

thiên theo chu kỳ

2 Tải trọng di động có trị số không đổi

P(z) Ví dụ như tải trọng của đoàn xe chạy

trên cầu

3 Tải trọng di động có trị số thay đổi P(z,t) Ví dụ như tải trọng động gây ra bởi

đầu máy xe lửa chạy trên công trình Phần khối lượng không cân bằng do đối trọng đặt tạicác bánh xe đầu máy gây ra lực quán tính ly tâm; thành phần thẳng đứng của lực này tác dụng trên công trình theo dạng tải trọng di động có trị số thay đổi Chu kỳ biến thiên của tải trọng di động phụ thuộc vào tốc độ đầu máy

4 Lực địa chấn, xuất hiện khi có động đất

5 Lực khí động, do gió tác dụng vào công trình

6.Tải trọng va chạm :Loại tải trọng này xuất hiện khi có vật rơi hoặc đập trên công trình

Ví dụ quai búa lên đe, bánh xe đi qua các “ổ gà” do đường không bằng phẳng, bánh xe lửa chạy qua các đầu nối đường ray, sóng vỗ vào đập

7 Tải trọng động phức tạp Dạng tải trọng này

là tổ hợp của các dạng tải trọng kể trên Chẳng hạn

như tải trọng di động va chạm, đồng thời thay đổi

trị số Đầu máy xe lửa chạy trên cầu là một Ví dụ

về dạng tải trọng vừa di động vừa thay đổi trị số,

đồng thời còn gây ra va chạm khi qua các khe hở ở

chỗ nối đường ray (hình 2)

P(t)=P.sinrt

m m

a)

b)

Nhiệm vụ chủ yếu của bài toán động lực học công trình bao gồm:

a) Kiểm tra hiện tượng cộng hưởng của các công trình chịu tải trọng động tránh khả năng xảy ra hiện tượng cộng hưởng làm hư hỏng công trình

mà kiểm tra khả năng chịu đựng của công trình

c) Kiểm tra độ cứng : xác định các chuyển vị động để kiểm tra công trình theo

điều kiện cứng, bảo đảm cho công trình không có chuyển vị lớn Mặt khác, tìm các biện pháp xử lí đối với các công trình bị rung động lớn, nghiên cứu cách giảm rung động có hiệu quả nhất

Trên thực tế để đơn giản việc tính toán, trong nhiều trường hợp người ta dùng mô hình tải trọng động dưới dạng hàm thay đổi điều hòa Do đó trong giáo trình này, cũng chỉ nghiên cứu công trình chịu các tải trọng động thay đổi điều hòa là chủ yếu

i3 CáC DạNG DAO ĐộNG

Do tải trọng tác dụng có tính chất khác nhau, đồng thời cấu tạo của kết cấu cũng có nhiều hình thái khác nhau nên dao động của công trình cũng có thể có nhiều hình dạng khác nhau

Tùy theo cách quan niệm ta có thể phân loại dao động theo nhiều cách khác nhau như sau:

1. Theo dạng biểu đồ dao động:

2 Theo tính chất của nguyên nhân gây ra dao động Chia thành các loại dao động như sau:

Dao động tự do (hay dao động riêng) là dao động sinh ra bởi lực kích động đột ngột, hoặc lực bất kỳ rồ bỏ ra tức thời

quy luật nào đó, không phụ thuộc vào chuyển động và tồn tại trong suốt quá trình dao động Các lực động này có thể là lực thay đổi theo chu kỳ hoặc không theo chu kỳ, có thể là lực thay đổi đột ngột v.v

Tự dao động hay còn gọi là dao động tự kích thích là loại dao động xuất hiện bởi các lực do bản thân chuyển động gây ra và tắt đi khi ngừng chuyển động Ví dụ, xét khối lượng m gắn liền với lò xo có điểm cố định A, đặt yên trên mặt phẳng nằm ngang Khi mặt phẳng ngang chuyển động theo nhiều mũi tên với vận tốc đều (hình 4) Khối lượng m sẽ dao động theo phương ngang

Dao động ngẫu nhiên là laọi dao động xuất hiện do các nguyên nhân bên ngoài tác động có tính chất ngẫu nhiên

3 Theo sự tồn tại hay không tồn tại của lực cản

Dao động có lực cản là dao động bị mất một số năng lượng do ảnh hưởng cản của môi trường dao động, do ma sát của các liên kết, do ma sát nội

4 Theo số bậc tự do của hệ (Xem khái niệm về bậc tự do trong 5 chương này ):

Theo cách phân loại này người ta chia các hệ thành ba loại: hệ có một bậc tự do (hình 5a),

hệ có một số bậc tự do (hình 5b), hệ có vô số bậc tự do (hình 5c)

5 Theo loại biến dạng khi dao động

Dao động ngang khi dao động này gây chuyển vị thẳng góc với phương ban đầu của trục kết cấu, dao động dọc khi dao động này gây chuyển vị dọc theo trục kết cấu

O

O

O

Hình 3

m A

m

a) b) c)

6 Theo dạng của phương trình vi phân mô tả dao động

Dao động tuyến tính khi phương trình vi phân mô tả dao động là tuyến tính, dao động phi tuyến khi phương trình vi phân mô tả dao động là phi tuyến

7 Theo khả năng thay đổi của các thông số của hệ Các thông số đó là các đại lượng liên quan đến việc biểu diễn phương trình dao động của hệ, có thể là độ cứng Nếu các thông số của hệ không đổi trong quá trình chuyển động thì dao động được gọi là dao động không có thông số Nếu các thông số của hệ thay đổi theo thời gian với một quy luật nào đó, thì dao động được gọi là Dao động có thông số Bài toán ổn định của kết cấu dưới tác dụng của tải trọng động (xem chương 8) cũng thuộc loại bài toán dao động có thông số

i4 KHáI NIệM Về CáC PHƯƠNG PHáP TíNH TOáN CƠ BảN

0 ) (

0 ) (

0 ) (

2

2 )

2 2 2 2

dt

t Y d m Y

dt

t X d m X

u u m u

α

Trong đó :

X(t), Y(t) - lần lượt là chuyển vị tịnh tiến của khối lượng m theo phương của trục x và trục y

αu(t) - Chuyển vị xoay của khối lượng m quanh trục u là trục vuông góc với mặt phẳng xy

2

2 ( )

dt

t X

Trong các chương dưới đây chúng ta sẽ nghiên cứu kỹ hơn nội dung các phương pháp tính

i5 BậC Tự DO CủA Hệ ĐàN HồI

Bậc tự do của hệ đàn hồi là số thông số độc lập cần thiết để xác định vị trí của tất cả các khối lượng trên hệ đó Ta có thể xác định số bậc tự do bằng tổng số các liên kết tối thiểu cần thiết đặt thêm vào hệ tại vị trí các khối lượng để sao cho tất cả các khối lượng

đó trở thành bất động

Chúng ta hãy khảo sát số bậc tự do của một số hệ cho dưới đây để làm thí dụ Những hệ trên hình 6a, b, c có một bậc tự do Thật vậy, muốn cho các khối lượng đó bất động ta chỉ cần đặt thêm vào hệ mới một liên kết (đường đứt nét trên hình vẽ 6)

1

2y

y21

Hệ trên hình 7 và 8 có hai bậc tự do, vì chỉ cần đặt thêm vào các khối lượng hai liên kết (đường đứt nét) là đủ bảo đảm cho các khối lượng này trở thành bất động

Khung trên hình 9 có bốn khối lượng, nhưng chỉ có ba bậc tự do Hệ không gian trên hình 10 có ba bậc tự do Đối với những hệ có khối lượng phân bố, ta thấy rõ ràng là có vô cùng bậc tự do

y2

y1

2 1

3 4

Chương 1: DAO ĐộNG CủA Hệ Có MộT BậC Tự DO

i 1 PHƯƠNG TRìNH VI PHÂN TổNG QUáT CủA DAO ĐộNG

Ta hãy nghiên cứu dao động của một khối lượng tập trung M, đặt trên dầm AB Dầm này được xem là vật thể đàn hồi không có khối lượng (khối lượng phân bố của dầm xem như không đáng kể và tạm thời chưa xét tới)

Giả sử hệ chịu tác động của lực kích thích thay đổi

theo thời gian là P(t) (hình 1-1a)

Vị trí của khối lượng M khi dao động được

xác định bởi hàm số y(t) Giả thiết chuyển vị đứng

y(t) hướng xuống dưới là dương và vị trí xuất phát

của khối lượng M là vị trí cân bằng ban đầu tương

ứng với khi y = 0

Dưới tác dụng của lực kích thích P(t),

khối lượng M dao động và trên dầm chịu tác dụng

của những lực sau đây:

theo chiều của chuyển động tức là hướng xuông dưới, vì chiều của gia tốc của khối lượng M luôn luôn hướng về vị trí cân bằng

3.Lực cản R - Lực này phụ thuộc môi trường chuyển động Đa số các trường hợp trong thực tế có thể xem lực cản R tỷ lệ bậc nhất với vận tốc: R=β y.

R có chiều ngược với chiều chuyển động tức là hướng lên trên

cm

kN

do lực đơn vị tác dụng tĩnh tại M (hình 1-1c) gây ra

δ1plà chuyển vị tại điểm đặt khối lượng M do lực đơn vị tác dụng tĩnh tại

điểm đặt của lực kích thích (hình 1-1b) gây ra

Nếu coi chuyển vị của hệ là nhỏ thì tao có thể áp dụng được nguyên lý cộng tác dụng Lúc này chuyển vị y(t) của khối lượng M là tổng các chuyển vị do lực quán tính Z, do lực kích thích P(t) và lục cản R cùng tác dụng gây ra

βαδ

c)

x

P(t)m

(t)ya)

1

RZ=-Myy>0

1p

11

xy

Đây là phương trình vi phân cấp hai không có vế phải và có hệ số là hằng số

Đạo hàm bậc nhất của chuyển vị y(t) (hình1-2) theo thời gian, chính là vận tốc của

Các hằng số A và B trong (1-4) và (1-5) được xác định theo các điều kiện ban đầu: Khi t=0 ;y= y0 và v=v0 Thay các điều kiện này vào các phương trình (1-4) và (1-5)

Như ta đã biết chu kỳ dao động là thời gian cần thiết để khối lượng M thực hiện

động riêng Từ biểu thức (1-2) ta dễ dàng xác định được các đại lượng trên như sau:

1

11 11

s y

g P

g

=

δδ

ω

y(t) chuyển vị của khối lượng M do lực P=Mg tác dụng tĩnh tại chỗ

đặt tại khối lượng M gây ra (hình 1-3a,b)

Đối với hệ trên hình 1-3b, nếu kể đến hiện tượng uốn dọc, ta có:

P P EJ

l P

y

Ole

1 3

1

l y

Ole

t

) 1

( 3

3

ư

=

ππ

ω2

, 0 100 3

3 , 21 10 1 , 2 256

1 Vo

6 , 70

14 , 3 2 2

=

=

=

ωπ

Ví dụ 1-2: Xác định tần số, chu kỳ dao động và các giá trị giới hạn chuyển động của thanh thép không trọng l−ợng chịu lực theo hình 1-7 Cho biết: P= 3,50kN (tải trọng tác dụng ở đầu thanh);

10 kN/ 2

cm Tại thời gian đầu (lúc t=t0) trọng tâm của khối

tốc chuyển động v0=
y0 =1,8m/s, chuyển vị tĩnh tại đầu thanh do lực bằng đơn vị tác dụng

EJ

l

/025,02140.10.1,2.3

150

3 3

=

=

=δ

11 11

.5,10435,0.50,3

Chu kỳ dao động: T 0 , 0602s

5 , 104

14 , 3 2 2

=

=

=

ωπ

0602 , 0

1 1

=

=

=

T f

5,104

1802

,1

2 2

2 0 2

Do đó pha ban đầu của dao động: λ = ư 34 0 53 ' = ư 34 , 8 0 hoặc λ =ư0,61rad

Phương trình dao động của thanh theo công thức (1-6) hoặc (1-9):

Z ma ma ma 2 , 1 104 , 5 84 , 00

981

50 ,

Nếu xem lực quán tính là lực tác dụng tĩnh ở đầu thanh thì lực này sẽ gây ra chuyển

vị cực đại của khối lượng khi dao động là: y(m)=δ.Z ma =0,025.84=2,1cm Kết quả phù hợp với giá trị a tìm được ở trên

i3 DAO ĐộNG Tự DO Có CảN

Trong phần khảo sát sau này, ta sẽ thấy vấn đề dao động được đơn giản đi rất nhiều nếu giả thiết giảm chấn tỷ lệ với vận tốc Cho nên trong phần sau ta sẽ chỉ nghiên cứu kỹ trường hợp dao động tắt dần do sức cản nhớt gây ra, còn các trường hợp khác sẽ không đề cập tới ở đây Theo (1-1) phương trình vi phân của dao động tự do có lực cản có dạng:

0

2 . 2

= +

2 2 1

ωαα

ωαα

ư

=

S S

Vậy nghiệm của phương trình (1-17) có dạng tổng quát sau:

e C e

C e

Ta thấy nghiệm của phương trình vi phân phụ thuộc quan hệ tỷ lệ giữa α và ω Nếu α < ω (lực cản nhỏ) thì nghiệm của phương trình đặc trưng có số ảo

Nếu α > ω (lực cản lớn) thì nghiệm là số thực

Ta lần lượt khảo sát các trường hợp sau:

a)Trường hợp lực cản nhỏ (α < ω)

Các nghiệm của phương trình đặc trưng:

2 2 2

2 2 1

αωα

αωα

ư

=

i S

i S

t i t

i t

e C e C e

T

αω

1e 2 e 2 e C ch t C sh t e

+

= +

e a

0ch t v y sh t y

e

ω

αω

+

t e

+ Khối lượng bắt đầu dao động từ y0 với vận tốc v0 hướng ra ngoài vị trí cân bằng (hình 1-7a) Do lực cản lớn, khối lượng chuyển động đến M rồi quay trở lại và tiệm cận dần tới vị trí cân bằng ban đầu

cân bằng (hình 1-7b)

giảm nhanh và tiệm cận dần tới vị trí cân bằng (hình 1-7c)

c)Trường hợp α = ω

Phương trình đặc trưng có nghiệm kép S1 =S2 =ưα Vậy nghiệm của bài toán có dạng:

) (C1t C2e

0

=

v y

i4 DAO ĐộNG CƯỡNG BứC TRONG TRƯờNG HợP TổNG QUáT

Trong mục này ta sẽ nghiên cứu trưòng hợp dao động có lực cản chịu kích thích bất kỳ P(t) nào đó Theo (1-1) phương trình vi phân thiết lập cho trường hợp tổng quát có dạng:

)(

t P y

1

0 1 1

1t t v e t ωt

ω

ωω

α

+

Nếu ngoài chuyển vị do dao động riêng, hệ còn chịu ảnh hưởng của lực kích thích P(t) thì lực này sẽ làm cho chuyển vị tổng cộng có thêm một số hạng nữa

Hay có thể biểu diễn duới dạng tương tự như công thức (1-21), ta có:

t

t P

t

d t e

P t

ae y

0

1 ) ( 1

1 2

ω

δωϕ

Trong đó:

0 0

1 0 2

1

2 0 0

2

y v

y tg

y v

y a

α

ω ϕ

=Phương trình (1-24) thích hợp với truờng hợp lực cản nhỏ (α < ω) Đối với trường hợp lực cản lớn căn cứ vào các công thức (1-21); (1-23) ta có thể thiết lập được các phương trình chuyển động như sau:

+Khi α < ω (Lực cản lớn)

ư+

t

d t sh

e P t

sh e

a

y

0

2 2 )

( 2

2 1

2 2

2

ω α

δ ω θ

ω

α

(1-25) +Khi α = ω

++

t

t P

t

d t e

P B

t A e

y

0

) ( 1

2 2

y+ω =ω δ pTrong 4 ta đã thiết lập công thức tổng quát của phương trình dao động chịu lực kích thích bất kỳ Khi lực kích thích thay đổi tuần hoàn P(t)=Psinrt

Và không có lực cản; trong (1-26) thay P(t)=Psinrt và cho α =0 đồng thời chú ý là ω

A

y= cosωt+B ωt+Pδ pω∫ ω tưτ s inrτdτ

1 0

1 sin ( )

sin

d r t

d r t

d r t

0 0

0

sinsincos

sincossin

sin)(

r rt t

r

ωω

ωω

ω

ư

=Thay kết quả này vào phương trình trên và theo(1-26) ta được:

) sin (sin

1

sin

2 2 1 0

r

P t

v t co y

ωω

δω

ω

ư

+ +

=

r

P t r r

P t

v t co y

1

sin

1

sin

2 2 1 2

2 1 0

0

ω

δω

ωω

δω

Tần số trong ba số hạng đầu của công thức (1-27) đều giống tần số dao động tự do của hệ, cho nên đều là dao động tự do, nhưng hai số hạng đầu phụ thuộc vào điều kiện ban đầu của hệ Lúc chuyển vị y0 = 0 và vận tốc ban đầu v0= 0 thì hai số hạng này sẽ không tồn tại

Số hạng thứ 3 dù điều kiện ban đầu thế nào nó cũng xuất hiện cùng với dao động cưỡng bức, còn gọi la dao động tự do bán sinh Còn số hạng cuối cùng tần số lực kích thích là tần số dao động nên gọi là dao động thuần cưỡng bức

Nếu tại thời điểm t=0;y0 = 0 ;v0 = 0

1 22

1

t

r rt r

P

ωω

y (hình1-12) là chuyển vị tại khối lượng M do biên độ P của lực

1

1 2 2

*

t

r rt r

y

ωω

vế phải trong công thức (1-29) sau một thời gian dao động Sau đó là chuyển sang thời kỳ ổn định dao động theo chu kỳ và tần số hoàn toàn như chu kỳ và tần số của lực kích thích:

r y

1

1 2 2

2

*

t

r rt r

y

y

ωω

sin

1 cos

2

t t t r

t rt

t LimK

r r

ω

ωω

ω ω

Ta thấy hệ số động sẽ tăng lên vô hạn theo thời gian; đường biểu diễn của hàm này

vẽ trên hình 1-9 Qua đồ thị ta thấy ngay trong trường hợp không kể đến lực cản, khả năng tăng biên độ dao động lên vô hạn không xả ra tức thời mà đòi hỏi phải có thời gian nhất định Như vậy, đối với máy được thiết kế để làm việc trên miền cộng hưởng sẽ không gặp trở ngại gì khi cho máy tăng tốc qua miền cộng hưởng nếu thời gian vượt qua

đủ nhanh để sao cho hiện tượng rung động lớn do công hưởng chưa kịp xảy ra theo (1-30), biên độ lớn nhất của chuyển vị động xuất hiện khi

2 2

* 1

1

ω

r y

1

t

ω

sin 2 1

d

2 1

ω

Π 2

Đường biến thiên của hệ số động K d theo tỷ số

một chút cũng đủ làm cho K d biến thiên rất lớn Sở dĩ có hiện tượng đó vì ta chưa xét đến tác dụng

cộng hưởng và cộng hưởng Vấn đề này sẽ thấy rõ hơn trong phần sau Nhưng dù thế nào chăng nữa, lúc r = ω hoặc r ≈ω thì hệ số K d cũng rất lớn, nên thường phải hết sức tránh

Để tránh hiện tượng cộng hưởng ta phải thiết kế công trình để sao cho các tần số ω và r sai kém nhau tố thiểu là 25%

α

d r t

e

P t B t A e y

t t p

t( cos sin ) . . sin 1( ) sin

0

) ( 2

1 1 2 1

y

y +2α .+ω2 =ω2δ1p .sin (1-35)

nghiệm của phương trình vi phân trong trường hợp dao động tự do

2

.

2 ) (

2 2

1 2 2

2

=

ư +

=

ư

ư

C r rD

P C

r D

ωα

δωα

ω

Suy ra:

2 2 2 2 2

) 2 2 1 2

2 2 2 2 2 1 2

4 ) (

(

4 ) (

2

r r

r P

D

r r

t P C

p p

αω

ωδω

αω

αδ

y ư αt(

= cosω +Bsin1t ω )+1t Ccos +rt Dsinrt

eưα , biểu diễn dao động tự do tắt dần, đã được khảo sát ở trên Hai số hạng còn lại có cùng tần số với lực kích động, biểu diễn dao động cưỡng bức Ta có thể viết nghiệm dưới dạng tổng quát:

y eư αt(A

Đối chiếu kết quả ( 1-40) với phương trình (1-58) ta thấy số hạng đầu của

còn một phần dao động riêng nữa xuất hiện khi có P(t) thì chứa ở số hạng có dấu tích phân Nhưng trong công thức (1-40) tấ cả dao động riêng đều chứa ở trong số hạng đầu

Ta thấy phương trình dao động gồm hai thành phần, một phần dao động riêng với

eưα nên sau một thời gian

*

λω

αω

y

Đây là phương trình dao động cưỡng bức trong thời kỳ đã ổn định Hình(1-11) biểu diễn dao động trong quá trình chuyển tiếp, tức là quá trình xảy ra từ lúc bắt đầu dao động đến khi bước sang thời kỳ dao động ổn định (không còn ảnh hưởng của dao động riêng) Chuyển động toàn phần của hệ trong thời gian này là kết quả của sự phối hợp giữa hai dao động điều hoà khác nhau về biên độ, về tần số và về pha nên rất phức tạp Quá trình chuyển tiếp này là giai đoạn đầu của chuyển động, chỉ tồn tại trong một thời gian ngắn sau vài chu trình đầu

Nếu trong (1-40) và (1-41) ta cho α=0 thì sẽ được kết quả hoàn toàn giống như (1-3); (1-4) đã thiết lập trong trường hợp dao động không có lực cản

t

Dao động tự do

t Dao động cưỡng bức

Dao động toàn phần

t

Hình 1-11

ư

=

)1

(

1

1 1

1 2

2 2 2 2

2

r r

αωλλ

ω

γω

ư+

ư

)()1

(

1

1 1

1 2

2 2 2 2

T

T T

T

P P

ω

λλ

αωλλ

)()

1(

1

2

2 2 2 2

γ

ư+

ư

T

T T

T K

P P

Hệ số động có trị số lớn nhất khi sin( rt ư λ ) = 1

)()

1(

1

2

2 2 2 2 2

P P

d

T

T T

Trong các phần khảo sát trước đây về dao động

cưỡng bức, ta đã giả thiết lực kích thích là đơn điều hoà

và tỷ lệ với sinrt Trong trường hợp chung lực kích

thích có thể là một hàm phức tạp hơn của thời gian

Trên hình 1-28 cho ta một Ví dụ về lực kích thích P(t)

có chu kỳ Trong kỹ thuật thường hay gặp lực kích

thích có chu kỳ, cho nên việc nghiên cứu trường hợp

này có ý nghĩa quan trọng Ta có thể biểu diễn lực

kích thích có chu kỳ T dưới dạng chuỗi lượng giác:

i

i i

=

+ +

P(t)

t

Trong đó

T

r 2π

ta có thể xác định các hệ số của chuỗi (1-18) như sau:

dt t P T a

irtdt t

P T a

0 0

0 1

)(1

cos)

=++

1 1

2 0 1 2 2

)sincos

(2

i

i i

P

y y

mà giải trực tiếp Nghiệm toàn phần có dạng: y= y1 + y2

)sincos

ω ω

=

1 0

i

i

i irt D irt C

C y

2 2 2

1 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

1 2 2

2

4)(

2)(

4)(

.2

)(

r i r

i

ira b

r i D

r i r

i

irb a

r i C

a C

P i

i i

P i

i i

P

α ω

δ ω α ω

α ω

δ ω α ω

δ

(1-48)

Vậy nghiệm toàn phần của phương trình vi phân của dao động cưỡng bức một bậc

tự do khi lực cản nhỏ, viết dưới dạng:

=

ư

++

++

=

1 1 1

i

i i

t

irt D irt C

t B t A e C

Trong đó các hằng số tích phân A và B được xác định theo các sơ kiện

Ta có thể biểu diễn phương trình vi phân (1-47) dưới một dạng khác để viết nghiệm

=

+ +

= +

+

1 0 2

) sin(

2

i

i

i irt h

h y y

i

i i

b

a

tgδ =Lúc này, nghiệm của (1-49) có dạng:

=

ư

++

++

=

1 1

i

i i

t

irt a

t e

C C

Trong đó: 2 2

B A

i i

D

C

tgθ =Các phương trình (1-84); (1-85) gồm có 3 số hạng; số hạng đầu là hằng số chuyển vị

thứ hai biểu thị ảnh hưởng của dao động tự do có lực cản Số hạng thứ ba biểu thị ảnh hưởng của lực kích thích có chu kỳ đã được phân tích thành các lực điều hoà riêng rẽ Khi dao động

đã ổn định, ta chỉ cần xét số hạng cuối biểu thị ảnh hưởng của dao động cưỡng bức:

∑∞

=

+

=1

*sin( )

i

i

i irt a

i i

i i

P

irt H

irt h

2 2 2 2

2 2 2 2

2

*

4 )

h D

C

i i i

i i i i i i

i i

i i i

D b C a

C b D a tg tg

tg tg

tg tg

+

+

=+

θδ

θδε

1)

2 2 2 1 2 2

2 2 1 2 0 1 0

;

r i

b D

r i

a C

a C

i P i

i P i

δ ω δ

Lúc này phương trình dao động có dạng:

++

ư++

+

= cos sin 2 1 2 ( 1cos 1sin )

2 0

r t

B t A a

ω

δ ω ω ω

δ

)3()

2sin2

cos()2

1 2 2

2 2 2

1

2

++

ư++

ư

r rt

b rt a

r

P P

ω

δωω

δω

Khi có lực cản dù chỉ là rất nhỏ phần dao động riêng sẽ tắt dần theo thời gian, nên thực tế có thể bỏ qua

bậc điều hoà riêng rẽ của lực kích thích thì số hạng tương ứng của y(t) sẽ tăng lên vô cùng và xảy ra hiện tượng cộng hưởng Vậy khi lực kích thích biến đổi có chu kỳ, nhưng không theo luật điều hoà, thì sự cộng hưởng không những sảy ra khi ω = r mà cả khi ω là bội của r

Chương 2 DAO ĐộNG CủA Hệ Có MộT SÔ BậC Tự DO

i 1 PHƯƠNG TRìNH VI PHÂN TổNG QUáT CủA DAO ĐộNG

Ta hăy nghiên cứu dao động của dầm có n khối lượng tập trung Giả thiết không để ý

đến kích thước của khối lượng và bỏ qua trọng lượng bản thân Như vậy hệ có n bậc tự do

Hệ này dao động dưới tác động của các lực:

ÄkP(t) - chuyển vị của khối lượng mk do các tải trọng q(t), P(t), M(t) gây ra với giả thi ết mk = 0 (coi như bài toán tĩnh)

Thay biểu thức của các lực quán tính v ào (2-1) và sau khi biến đổi, ta có:

yk(t) - δk1[- m1y1 - R1(t) ] - δk2 [- m2y2 - R2(t) ] - ….-δkn [- mnyn - R(t)] - ÄkP(t) = 0 (2-2) Hay: yk(t) + δk1[ (m1y1(t)+R1(t)] + δk2 [m2y2 + R2(t)]+…+ δkn [mnyn(t) + Rn(t)] - ÄkP(t) = 0

i 2 DAO ĐộNG RIÊNG CủA Hệ Có MộT Số BậC Tự DO

1. Phương trình cơ bản của dao động riêng

của dao động riêng đối với hệ có n bậc tự do như sau:

y k(t) + m1δk1y1(t) + … + δknmnyn(t) - ÄkP(t) = 0 (k= 1,2,…,n) (2-4) Giả sử nghiệm tổng quát của hệ (2-4) có dạng:

Ta xét một nghiệm riêng thứ i tương ứng với các khối lượng:

Thay (2-7) vao (2-4) ta có: yki Fi(t) + [m1 δk1 y1i(t) + .+ mn δkn yni ] Fi(t) = 0

(t)F

)(Fi

i t

= -

ni kn n ki i

ki

y m y m

tự do (xem chương 1) nên có nghiệm: Fi(t) = Ai sinωit + Bicosωit

Như vậy, nghiệm riêng thứ i của phương trình vi phân (2-4) chính là một hàm tuần hoàn

Từ phương trình (2-10) lần lượt cho k = 1,2,…,n ta được n phương trình chính tắc để xác định mẫu số chuyển vị yki:

m1 δ11ωi2y1i + m2 δ12 ωi2y2i +… + mn δ1nωi2yni - y1i = 0

m1 δ21ωi2y1i + m2 δ22 ωi2y2i +… + mn δ2nωi2yni - y2i = 0

………

m1 δn1ωi2y1i + m2 δn2 ωi2y2i +… + mn δnnωi2yni - y1i = 0 hay: (m1 δ11ωi2 - 1)y1i - m2 δ12 ωi2y2i +… + mn δ1nωi2yni = 0

các tần số dao động riêng: ω1, ω2, ,ωn Xếp thứ tự các ω từ trị số nhỏ đến lớn và gọi ω1

là tần số thứ nhất hay tần số cơ bản

Phương trình (2-14) hay (2-15) gọi là phương trình tần số hay phương trình thế kỷ Phương trình này tìm được đầu tiên trong thiên văn học, dùng để xác định chu kỳ chuyển động của các hành tinh đo bằng thế kỷ Việc giải phương trình này khá phức tạp, mức độ phức tạp càng tăng khi số bậc càng lớn.Trong thực tế, thường chỉ cần tần số thấp, nên sau này ta

đối với hệ n bậc tự do ta xác định được n trị số tần số dao động riêng, ứng với mỗi tần số

một nhiệm vụ cơ bản của phần nghiên cứu dao động riêng Nhiệm vụ tiếp theo là xác định phương trình chuyển động tổng quát của các khối lượng Theo (2-7) và (2-11), phương trình

yk(t) = ∑

=

+

m i

i i i

ki A t y

1

*

) sin(

yk(t) =∑

=

ư

n i

i

i t

1

* 1 1i i

k y A sin( )

yk(t) = C i

n i ki

(m1 δ11ωi2 - 1) + m2 δ12 ωi2à2i + …+ mn δ1nωi2 àni = 0

m1 δ21ωi2 + (m2 δ22ωi2 - 1) à2i +…+ mn δ2nàni = 0

m1 δ21ωi2 + m2 δn2ωi2 à2i + + (mn δnnωi2 - 1) àni = 0

Ta thấy ứng với mỗi giá trị ωi, hệ n phương trình đại số tuyến tính (2-22) chỉ có (n-1) ẩn δki(vì đã biết àki =

b) Xác định Ci và λi

chỉ còn n trị số Ci và n trị sốλi là chưa biết Đó là các hằng phụ thuộc các điều kiện ban đầu của dao động tự do Ta có 2n điều kiện ban đầu:

Khi t=0: yk(0) = ∑

=

n i

yki Fi(t) + m1λk1 [ ( ) ( )

1

1

t F m t

F
i β
i

m t

) ( 2 ) (

t F

t F t

k

ki

y m y

m

y

δ

δ 1 1 + + 1

Cũng lý luận tương tự như trên, sau khi cho đẳng thức này bằng - ωi2, ta rút ra

2 m1δk1ωi2y1i+ +m nδ nωi2y ni - yki=0 (b)

Phương trình (a) có dạng giống như phương trình dao động của hệ một bậc tự do có

kể tới lực cản Do đó nghiệm của phương trình này khi lực cản nhỏ, có dạng:

eưα (Aisinω + Bi*t icosω ) Trong đó i*t ω = i*t ω1* ưα2

giống như trên và được xác định theo phương trình tần số (2-14) Phương trình chuyển động của khối lượng mk, khi có kể lực cản, có dạng:

=

n i

i

ki F t y

1

) ( = ∑

=

ư

n i

t

ki e y

Ví dụ 2-1 Cho dầm có hai khối lượng tập trung m1= m2 = m(hình 2-3a) Tìm các tần số dao động riêng

Hệ có hai bậc tự do, nên phương trình tần số có dạng:

)(

)(

22 2 21 1

12 2 11

1

u m

m

m u m

ư

ưδδ

δδ

7

243

4

E

l EJ

2 11

2 21 1

ωδ

2 21

1(0) (0)

àà

2 21

1(0) (0)

àωàϖ

0(

)0()

0(

2 21 1

2 2 21 1

v v

y y

ư

ưà

ωà

Cũng thực hiện biến đổi tương tự đối với các phương trình thứ hai và thứ ba ta được:

)(

)0()0(

21 22 1

2 1

22

ààω

)0()0(

2 1

22

2 1

22 1

v v

y y

ư

ưà

àω

2 21 22 1

2 1

22 2 21 22

2 1

22

) (

) 0 ( ) 0 ( )

0 ( ) 0 (

àà

à

Như vậy, ta đã tìm được các hằng số C1, C2, λ , 1 λ những hằng số này phụ thuộc 2các điều kiện ban đầu của chuyển vị

i3 CáC DạNG CHíNH CủA DAO ĐộNG RIÊNG

PHÂN TíCH TảI TRọNG Và CHUYểN Vị THEO CáC DạNG CHíNH

Dạng dao động ứng với một tần số ui nào đó được gọi là dạng chính thứ i của dao động riêng Như vậy, một hệ có n bậc tự do, cũng có dạng dao động chính Từ (2-23), ta thấy với mỗi dạng chính của dao động riêng tỉ số giữa chuyển vị của các khối lượng

) (

) (

t y

t y

j

k =

kj

ki y

y

là

đại lượng không đổi

2.Tính chất trực giao của các dạng chính

Ta sẽ chứng minh rằng các dạng chính của dao động có tính chất trực giao nghĩa là công của ngoại lực (hay nội lực) của một dạng chính này trên chuyển vị (hay biến dạng) của một dạng chính khác bằng không

chọn sơ kiện sao cho các phương trình chuyển vị có dạng

Đối với dạng chính thứ i(hình 2-6a) yki (t) = ykisinωi;

ωω

(t) i 1

ωω

Lúc này biểu thức cộng tương hỗ của các ngoại lực có dạng:

=

n i k

ki i

k y m

kj j

k y m

1

2 sin

Hay (ωi2 ưωj2) ∑

=

n k

j iy

k k k m

kj ki

k y y m

Pk(t) = ∑

=

n k

ki t P

1 ) ( (2-25)

i ki

k y H t m

+ +

n k

n kn k i

ki k n

kn k k

k

ki m y H t m y H t m y H t m y H t y

) (

) (

) ( )

(

=

n k

ki

k t y P

1 ) ( = Hi(t) ∑

=

n k

ki

k y m

1 2

ki k

n k

ki k

y m

y t P

1 2 1

) (

i k k

n k

ki k

y m

y t P

1

2 1

) (

(2-28)

Từ công thức (2-29) ta tìm được n hệ lực Pki(t) thay cho hệ lực Pk(t) (xem hình 2-8 a,b,c)

=

=

n k

k

ki t P t P

1

) ( )

ta sẽ nghiên cứu kỹ ứng dụng này Đây chính là ý nghĩa của việc tách tải trọng đã cho theo các dạng chính

Trong trường hợp tổng quát, có n lực Pi(t) không đặt đúng vị trí các khối lượng (hình 2-9),

coi rằng chuyển vị tĩnh của các khối lượng do hai hệ tải trọng đó gây ra phải bằng nhau:

1

ω ω

ω a)

+ +

n i

i kp n

kn k

i

1 1

* 2 2

L/3 L/6

2 21 2 11 1

31 3 21 2 11 1

y m y m y m

y P y P y P

+ +

+ +

Thay các trị số của chuyển vị: Pk1(t) = mky11

2 2

1

1 ) ( 2 0 1 ).

( 2

m m m

t P t

P

+ +

+ + = mkyk1

2

) (

= m.1

m

t P

2

) (

2

) (

= P(t) Và: P31 = m3y3

m

t P

2

) (

(t) 2 2

2 22 2

2 12 1

32 3 22 2 12 1

y m y

m y m

y P y P y P

+ +

+ + = mkyk2

m

t P

2

) (

m

t P

2

) (

2

) (

= 0

m

t P

2

) (

1 t P

i ki

k t y F t y

1

) ( )

i ki k

k t m y H t P

1

) ( )

1 ( )

) ( k i i n kn ni i

k

ki i

i i

i

y m y

m

y t

F

t H t F

t F

) ( ) (

) (

1 1 1

k

ki

y m y

m

y

δ

δ 1 1 + + 1

Phương trình vi phân (2-34) có dạng tương tự như phương trình vi phân trong bài toán dao động của hệ có một bậc tự do, nên ta có thể dùng được nghiệm đã khảo sát trước đây trong chương 1

Nghiệm tổng quát của (2-34) có dạng:

t

i i

i i i i

ωω

i( ) 1 ( )sin ( )

0 1

y u P t

t

ki n k k

n k

ki k i

) ( 1

) (

=

=

n i

i ki

k t y F t y

1

) ( )

++

+++

=

=

t

i ni

n i

ni n i

m

u P u

P u P t

y

0

2 2

2 2 1

2 2 1

1

)(sin

)(

)()()

àà

àà

y

y

1

=à

áp dụng công thức (2-36) cho khi hệ có 3 bậc tự do,chịu tải trọng P1(t),P2(t),vàP3(t)đặt tại vị trí 3 khối lượng m1,m2,m3 ta có

+ +

+

+ +

+

+ +

=

+ +

k k

k k

du u t m

m m

u P u

P u P

du u t m

m m

u P u

P u P du

u t m

m m

u P u

P u P

t y t y t y t

y

0

3 2

33 3

2 23 2 1

33 3 23 2 1 3

3

2 2

32 3

2 23 2 1

32 3 22 2 1 2

2 1

2 31 3

2 21 2 1

31 3 21 2 1 1

1

3 2

1

) ( sin ) ( )

( ) (

) ( sin ) ( )

( ) ( )

( sin ) ( )

( ) (

) ( ) ( ) ( )

(

ωà

à

àà

ω

à

ωà

à

àà

ω

àω

àà

àà

+ +

∆ + +

∆ +

∆

=

n i

t

i ni

n i

ni n P i

P P

i ki

m

m m

m

m

m m

m u u

t y

1

2 2 1 2

1 2 2

1

2 2

1

) ( sin

1

) ( )

( )

àà

àà

ω

Tóm lại thứ tự nghiên cứu bài toán dao động cưỡng bức của hệ có n bậc do chịu tải trọng P(t) bất kỳ như sau:

1 Quy các tải trọng về vị trí các khối lượng, để có một hệ gồm n lực P1(t),P2(t), ,P n(t).

k t y F t y

1

) ( )

F i +ωi
i = i Nghiệm của hệ 1 bậc tự do đã được nghiên cứu ở chương 1 Đây chính là ý nghĩa chủ yếu của việc phân tích tải trọng đã cho theo các dạng chính

5 Cuối cùng, ta có chuyển vị động của khối lượng m k là y k (t) theo ∆kp (t)

i 5 DAO ĐộNG CƯỡNG BứC CủA Hệ CHịU LựC P(t)=Psinrt

1 Nhiệm vụ của bài toán

Đa số trường hợp hay gặp trong kỹ thuật, người ta thường đưa tải trọng P(t) về dạng gần đúng là hàm điều hòa, hoặc phân tích theo chuỗi Fuariê rồi lấy một vài số hạng đầu

Do vậy việc nghiên cứu dao động với lực kích thích có dạng Psinrt hay Pcosrt là một bài toán cơ bản trong Động lực học công trình ở đây, ta xét trường hợp tất cả lực kích thích tác động trên công trình đều thay đổi theo cùng một chu kỳ

P(t)=Psinrt M(t)=Msinrt q(t)=qsinrt Vì kết cấu chịu lực thay đổi theo thời gian, nên nội lực và ứng suất cũng là các hàm

Giá trị của các ứng suất cực đại không những chỉ phụ thuộc biên độ của lực động,

khối lượng đặt trên đó

Như ta đã biết, đối với hệ có một bậc tự do, hệ số động K dphụ thuộc vào tỷ số các tần số

ω

r

do đó trị số lớn nhất của nội lực (biên độ) cũng phụ thuộc tỷ số này (hình 2-12)

Đối với hệ có nhiều bậc tự do, cũng tương tự, khi dao động đã hình thành (ở thời kỳ

ổn định) biên độ của nội lực cũng phụ thuộc giá trị tần số của lực kích thích

tần số dao động riêng cũng đều phát sinh hiện tượng cộng hưởng (hình 2-13)

Trong thực tế, tần số r thường nhỏ hơn các tần số dao động riêng nên thường ta

Tóm lại nhiệm vụ cơ bản của bài toán dao động cưỡng bức là:

1. Kiểm tra hiện tượng cộng hưởng (sử dụng kết quả trong phần nghiên cứu dao động riêng)

2. Vẽ biểu đồ biên độ của nội lực động và chuyển động để kiểm tra độ bền, độ cứng của công trình Trong trường hợp nội lực động lớn quá so với trạng thái tĩnh (tức là hệ số động lớn quá) Cần tìm cách thay đổi tần số dao động riêng (hoặc tần số của lực kích thích) để tránh miền cộng hưởng Muốn thực hiện điều này,

ta có thể dùng nhiều cách: thay đổi độ cứng của kết cấu, thay đổi các khối lượng trên công trình, thay đổi sơ đồ kết cấu, hoặc hạn chế tính chất tác động của tải trọng

để thay đổi tần số của lực kích thích

2 Biểu đồ nội lực động và chuyển vị động

Trong chương 1 ta đã biết dao động cưỡng bức của một hệ dưới dạng tổng quát gồm hai phần: một phần là dao động riêng, một phần là dao động với lực kích thích Nhưng do ảnh hưởng của lực cản (dù là nhỏ), nên sau một thời gian khi dao động chuyển sang giai đoạn ổn định thì phần dao động riêng không còn và hệ sẽ dao động có cùng chu kỳ với lực kích thích Đối với hệ có n bậc tự do các kết luận trên vẫn đúng, do đó dưới đây ta chỉ xét dao động ở giai đoạn ổn định

Giả sử khi dao động, hệ chịu các ngoại lực sau:

- Các lực kích thích P(t)

- Các lực quán tính Z1(t),Z2(t), ,Z3(t)tác dụng tại vị trí của các khối lượng theo các phương chuyển vị của khối lượng tương ứng áp dụng nguyên lý Đalămbe ta có thể viết biểu thức tổng quát của nội lực động tại tiết diện k do các ngoại lực gây ra:

1ω

=

3ω

=

r

S

ở thời kỳ dao động đã ổn định, tất cả các yếu tố phụ thuộc thời gian đều thay đổi cùng chu kỳ với lực kích thích nên:

rt Z t Z

rt S t S

i i

k k

sin )

(

sin )

δ -chuyển vị tại k do Z i=1 tác dụng tĩnh tại khối lượng I gây ra

Vậy vấn đề tồn tại cuối cùng là phải xác định các biên độ lực quán tínhZ1,Z2, ,Z n

3 Hệ phương trình chính tắc để xác định các lực quán tính

Theo (2-1) phương trình chuyển động của khối lượng thứ k có dạng:

) ( ) (

) (

) ( )

( )

r m

t Z t y

Z t

k kk k

δ

Nhưng

rt t

rt Z t Z

kp kp

k k

sin )

(

; sin )

r m Z

+ +

=

∆ + +

+ +

=

∆ + +

+ +

0

0

* 2

2 1 1

2 2

2

* 22 1 21

1 1

2 12 1

* 11

np n nn n

n

p n n

p n n

Z Z

Z

Z Z

Z

Z Z

Z

δδ

δ

δδ

δ

δδ

Đây là hệ phương trình chính tắc để xác định biên độ của các lực quán tính

Hệ này có dạng tương tự như hệ phương trình chính tắc để tính kết cấu siêu tĩnh theo phương pháp lực

Sau khi giải hệ (2-44), ta sẽ tìm được các biên độ của lực quán tính Z1,Z2, ,Z n Nếu Z k > 0 thì chiều của lực hướng theo chiều giả thiết ban đầu Nếu Z k < 0 thì chiều của lực ngược với chiều giả thiết Đặt các lực Z kvà các lực kích thích có giá trị bằng biên độ của chúng vào hệ, ta sẽ xác định được nội lực và chuyển vị cực đại trong trạng thái

động tại mọi tiết diện của kết cấu Đến đây ta có thể dung được các phương pháp tính đối với hệ tĩnh định hoặc hệ siêu tĩnh đã nghiên cứu trong phần 1 và 2 của giáo trình cơ học kết cấu Chú thích: Đối với những hệ đối xứng ta cũng có thể phân tích tải trọng thành đối xứng

và phản đối xứng để vận dụng cách tính theo nửa hệ hoặc cách dung chuyển vị kép đã trình bày trong mục 2

n n

n k

n k

D

δ δ

δ δ

δ δ

δ δ

δ δ δ δ

2 2

* 22 21

1 1 12

* 11

n n

n P

n P

D

δ δ

δ

δ δ

δ

δ δ

2 2

* 22 21

1 1 12

* 11

)1(

.1

2 2

2 2

2 1

2 2

2 2 22

2 1 21

2 1

2 2 12

2 1 11

2 2

m r m

r m r

m r

m

r m r

m r

m

r m m m

D

n nn n

n n

n n

n n

n n

δ δ

δ

δ δ

δ

δ δ

δ

(2-48)

Ta thấy khi r =ωi thì phần trong định thức trở thành phương trình tần số [xem(2-14)],

Vậy: Khi tần số của lực kích thích r bằng một trong các giá trị của tần số dao động

lực cản, nên khi cộng hưởng các nội lực và chuyển vị động không phải bằng vô cùng, mà

có trị số lớn nhưng hữu hạn (xem 2-22)

Ví dụ 2-3: Vẽ biểu đồ biên độ của momen động trong dầm do tác động của một môtơ (hình 2-14a), cho biết lực ly tâm do khối lượng không cân bằng của môtơ khi quay gây

ra là P=5kN, số vòng quay của môtơ là n=450vg/ph, G=10kN Bỏ qua khối lượng phân

2

203

; 5 52 02

1 81 9

* 22 1 21

1 2 12 1

* 11

=

∆++

=

∆++

P

P

Z Z

Z Z

δ δ

δ δ

Ta tính được:

kN m EJ

l

kN m EJ

l

/ 10 67 , 1 486

7

/ 10 908 , 1 243

4

4 3

21 12

4 3

22 11

δ δ

22

* 11

G m

s

n r

2

1

02 , 1

50 60

480 14 , 3 2 60 2

50 02 , 1

1 10

908 ,

m P

P

P

4 21

2

4 11

1

10.67,1.5

10.908,1.5

Thay các giá trị vừa tìm được vào phương trình chính tắc ta được:

010.67,1.5)50.02,1

110

.908,1(10

.67,1

010.908,1.510

.67,1)50.02,1

110

.908,1(

4 2

2

4 1

4

4 2

4 1

2 4

=

ư+

=+

Z Z

Kết quả:

kN P

Z

kN P

Z

65 , 25 13

, 5

88 , 25 196

, 52

c) Biểu đồ biên độ của momen động K d áp dụng (2-52), ta vẽ được biểu đồ biên độ

Hệ số động tại mỗi tiết diện được xác định theo biểu thức:

P d t

d d

M

M M

855 , 54

K

Để kiểm tra độ bền, ta cần vẽ biểu đồ momen tổng cộng, gồm biểu đồ momen động

Mtc = Md + Mt*

Biểu đồ Mt* và biểu đồ M tc vẽ trên hình 2-15 a,b

a) b)

Chú ý: Để giải quyết các bài toán thực tế, thường trong quy trình người ta đã cho sẵn

tổng cộng: M tc =M t.K d +M t* hay M tc =M P.K d +M t*

Ch−¬ng 3 DAO §éNG CñA HÖ Cã V¤ Sè BËC Tù DO

DAO §éNG NGANG CñA THANH TH¼NG

Ta xét thanh thẳng có khối lượng phân bố Hệ này là hệ có vô số bậc tự do Dao động ngang của hệ tại một thời điểm bất kỳ được biểu diễn bằng đường đàn hồi hệ đó Phương trình đường đàn hồi này là hàm số của hai biến số: tọa độ z và thời gian t:

y= f z t( ),

Từ giáo trình sức bền vật liệu, ta đã biết giữa độ võng và nội lực trong dầm có sự liên hệ

vi phân như sau: EJ 2y2 M z t( ),

,

,

M z t

p z t z

∂

=

∂

chiều của trọng hướng lên

Khi dầm dao động, tải trọng tác dụng trên dầm gồm có các lực kích thích, lực quán

lên trên là chiều dương; lực quán tính phân bố hướng theo chiều của chuyển vị, nếu xét tại thời điểm dầm có chuyển vị dương thì lực này có cường độ:

( ) ( )

2 2

r(z,t)

-m(z) yt 2

2

Hình 3-1