Đề Cương Ôn Tập Học Kì 1 Môn Toán Lớp 12.Pdf

Câu 6: Cho hàm số f x  cĩ bảng biến thiên Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng AA. Câu 10: Cho hàm số yf x cĩ bảng biến thiên Mệnh đề nào sau đây đúng.A.. Hàm số đã cho đồng biến trên k

TRƯỜNG THPT GIA VIỄN

-

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HỌC KÌ I MƠN TỐN LỚP 12 NĂM HỌC 2023-2024

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Tĩm tắt lý thuyết cơ bản:

 Định nghĩa : Giả sử Klà một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng Hàm số f xác định trên

Kđược gọi là:

 Đồng biến trên Knếu với mọi x ,x1 2 K , x 1 x2  f x   1  f x2

 Nghịch biến trên Knếu với  x ,x1 2 K, x1 x2 f x   1  f x2

Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số fcĩ đạo hàm trên khoảng I

 Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng Ithì f ' x  0 với mọi x I 

 Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng Ithì f ' x  0 với mọi x I 

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

 Định lý :

Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , f là hàm số liên tục trên Ivà cĩ đạo hàm tại mọi điểm trong của I( tức là điểm thuộc I nhưng khơng phải đầu mút của I) Khi đĩ :

 Nếu f ' x  0 với mọi x I  thì hàm số f đồng biến trên khoảng I

 Nếu f ' x  0 với mọi x I  thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I

 Ta cĩ thể mở rộng định lí trên như sau: Giả sử hàm số f cĩ đạo hàm trên khoảng I

 Nếu f '(x) 0  với   x I ( hoặc f '(x) 0  với   x I) và f '(x) 0  tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I

 Nếu f ' x  0 với mọi x I  thì hàm số f khơng đổi trên khoảng I

 Nếu y= f(x) là hàm đa thức (khơng kể hàm số hằng) hoặc f(x) = P(x)

Q(x)(trong đĩ P(x) là đa thức bậc hai , Q(x) là đa thức bậc nhất và P(x) khơng chia hết cho Q(x) thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên K    x K,f '(x) 0 (f '(x) 0)  

đồng biến (nghịch biến ) trên K    x K,f '(x) 0(f '(x) 0)  

DẠNG 1: Nhận dạng sự biến thiên thơng qua bảng biến thiên

◈-Phương pháp:

 Giả sử hàm số y f x( ) cĩ đạo hàm trên khoảng K

 Nếu f x( ) 0, x K thì hàm số đồng biến trên khoảng K

 Nếu f x( ) 0, x K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K

 Nếu f x( ) 0, x K thì hàm số khơng đổi trên khoảng K

_Bài tập rèn luyện:

Câu 1: Cho hàm số y f x  xác định trên ¡ \ 2  và cĩ bảng biến thiên như hình vẽ

Hãy chọn mệnh đề đúng

A f x nghịch biến trên từng khoảng   ; 2 và 2;

B f x đồng biến trên từng khoảng   ; 2 và 2;

C f x nghịch biến trên   ¡

 

Header Page of 61

Câu 2: Chohàm số y f x  có bảng biến thiên như sau

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A  2;  B ; 2 C 2;3 D 3;

Câu 3: Cho hàm số y f x  xác định trên ¡ và có bảng biến thiên như hình vẽ Kết luận nào sau đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;0 ;   1; 

B Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ; 1 ; 1;   

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 1 

D Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;0 ;   1;  và nghịch biến trên khoảng 0; 1 

Câu 4: Cho hàm số y f x  có tập xác định là ¡ \ 1 và có bảng xét dấu của f x

Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số y f x  đồng biến trên khoảng  1;2 B Hàm số y f x  đồng biến trên¡

C Hàm số y f x  đồng biến trên khoảng 3;2

D Hàm số y f x  đồng biến trên khoảng ;2

Câu 5: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau

Hàm số y f x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A  2;  B  ; 2 C 1;0 D 2; 2

Câu 6: Cho hàm số f x  có bảng biến thiên

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

A ;1 B 1; 2 C 3;  D  1;3

Header Page of 61

Câu 7: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như hình bên dưới Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Câu 8: Cho hàm số y f x( )có bảng biến thiên

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng ;3 B Hàm số nghịch biến trên khoảng 3;3

C Hàm số đồng biến trên khoảng   3;  D Hàm số nghịch biến trên khoảng  1; 2

Câu 9: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 B Hàm số đồng biến trên khoảng ;1

C Hàm số đồng biến trên khoảng   1;  D Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 3

Câu 10: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên

Mệnh đề nào sau đây đúng

A Hàm số nghịch biến trên 2;1 B Hàm số đồng biến trên 1;3

C Hàm số nghịch biến trên 1; 2 D Hàm số đồng biến trên ; 2

Dạng 2:Nhận dạng sự biến thiên thông

Câu 1: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ bên

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A  0;1 B  ; 1

C 1;1 D 1; 0

Header Page of 61

Câu 2: Cho hàm số 3 2  

, , ,

yax bx cxd a b c d¡

có đồ thị như sau Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A  2; 1 B 1; 2

C 2;1 D 1;1

x y

-3

-1

2 1 -2 -1

1

O

Câu 3: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?

A  ; 1 và 1; B 1;1

Câu 4: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ

Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng  1; 

B Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;0 

C Hàm số đồng biến trên khoảng 1;

D Hàm số nghịch biến trên khoảng  1; 

cx d với a b c d, , , là các số thực Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Hàm số đồng biến trên các khoảng ;1 và 1;

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và 1;

 Dựa vào BBT nhìn dấu của y’>0 hay y’< 0 kết luận nhanh khoảng ĐB, NB

- Casio: INEQ, d/dx, table

Câu 4 Cho hàm số y x3 3 x Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 1 và nghịch biến trên khoảng 1;

B Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; )

C Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 1 và đồng biến trên khoảng 1;

Câu 5 Cho hàm số yx42x25 Kết luận nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 1

B Hàm số nghịch biến với mọi x

C Hàm số đồng biến với mọi x

D Hàm số đồng biến trên khoảng 1;0 và 1; 

Câu 6 Các khoảng đồng biến của hàm số yx33x là

A 0; B  0; 2 C ¡ D ;1 và 2;

2

x y

x





 Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

B Hàm số đã cho nghịch biến trên ¡

C Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; 2  2;

D Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó

Câu 8 Cho hàm số y x3 3x25 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 B Hàm số nghịch biến trên khoảng  0; 2

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; D Hàm số đồng biến trên khoảng  0; 2

Câu 9 Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số 1 3 2 2 3 1





 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ;1

B Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ;1 và khoảng 1;

C Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0;

D Hàm số đã cho nghịch biến trên tập ¡ \ 1 

④Nhận dạng sự biến thiên khi đề cho hàm số y=f’(x) 

◈ -Phương pháp:

 Lập BBT

 Dựa vào BBT nhìn dấu của y’>0 hay y’< 0 kết luận nhanh khoảng ĐB, NB

- Casio: INEQ, d/dx, table

_Bài tập rèn luyện

Câu 1: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm f x'( )x33x Chọn khẳng định đúng?

A Hàm số đồng biến trên ;1 B Hàm số đồng biến trên 1;

C Hàm số đồng biến trên 1;1 D Hàm số đồng biến trên  3;

Câu 2: Cho hàm số y f x  có đạo hàm   2

1

f x x  Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên ;1 B Hàm số nghịch biến trên   ; 

C Hàm số nghịch biến trên 1;1 D Hàm số đồng biến trên   ; 

Câu 3: Cho hàm số y f x  có đạo hàm    2

2 ,

y f x  x  x Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Hàm số đồng biến trên khoảng ; 2 B Hàm số đồng biến trên khoảng 2;

C Hàm số đồng biến trên khoảng  ;  D Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2

Header Page of 61

Câu 4: Cho hàm số f x có đạo hàm trên ¡ là 2

1

f x x x Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

A Hàm số f x đồng biến trên khoảng    0; 2

B Hàm số f x không đổi trên khoảng    1; 2

C Hàm số f x đồng biến trên khoảng  1;3

D Hàm số f x đồng biến trên khoảng    0;3

Câu 7: Cho hàm số y f x  có đạo hàm     2  

f x  x x x Mệnh đề nào dưới

đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên các khoảng  3; 1 và 2;  

B Hàm số nghịch biến trên khoảng 3; 2

C Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 3 và 2;  

D Hàm số đồng biến trên khoảng 3; 2

Câu 8: Cho hàm số y f x  liên tục trên ¡ và có đạo hàm      2018 2019

f x  x x x Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số đạt cực đại tại điểm x1 và đạt cực tiểu tại các điểm x 2

B Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  1; 2 và 2; 

C Hàm số có ba điểm cực trị

D Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; 2

Câu 9: Hàm số y f x  có đạo hàm y x x2( 5) Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên 5; B Hàm số nghịch biến trên (0;)

C Hàm số nghịch biến trên ¡ D Hàm số nghịch biến trên ;0 và5;

Câu 10: Cho hàm số y f x  xác định trên tập ¡ và có   2

f x x  x Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  1; 4

B Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 3;

C Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ;3

D Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  1; 4

Từ bảng xét dấu trên ta thấy hàm số g x đồng biến trên khoảng    1; 2

⑤Tìm khoảng ĐB, NB khi đề cho đồ thị hàm số y=f’(x)

Phương pháp: Quan sát đồ thị

.Đồ thị hàm số y= f’(x) nằm phía trên trục ox trong khoảng (a;b) Suy ra hàm

số y= f (x) đồng biến trên (a;b)

. Đồ thị hàm số y= f ’(x) nằm phía dưới trục ox trong khoảng (a;b) Suy ra hàm

số y= f(x) nghịch biến trên (a;b)

.Nếu cho đồ thị hàm số y= f’(x) mà hỏi sự biến thiên của hàm số hợp y= f(u) thì sử dụng đạo hàm của hàm số hợp và lập bảng xét dấu hàm số y= f’(u)

Header Page of 61

_Bài tập tự luyện:

Câu 1: Cho hàm số y f x  xác định trên ¡ có đồ thị của

hàm sốy f x như hình vẽ Hỏi hàm số y f x  đồng biến

trên khoảng nào dưới đây?

A 2;  B  1; 2

C  0;1 D  0;1 và 2; 

Câu 2: Cho hàm số y f x  Hàm số y f x có đồ thị như

hình bên Hàm số y f x  đồng biến trên khoảng

A Hàm số f x nghịch biến trên khoảng   1;1

B Hàm số f x đồng biến trên khoảng    1; 2

C Hàm số f x đồng biến trên khoảng   2;1

D Hàm số f x nghịch biến trên khoảng    0; 2

Câu 4: Hàm số f x( )có đạo hàm trên ¡ là hàm số f x'( ) Biết

đồ thị hàm số f x'( ) được cho như hình vẽ Hàm số f x( )

nghịch biến trên khoảng

Khẳng định nào sau đây sai?

A Hàm f x nghịch biến trên khoảng    ; 2 

B Hàm f x đồng biến trên khoảng   1;

C Trên 1;1 thì hàm số f x luôn tăng  

D Hàm f x giảm trên đoạn có độ dài bằng   2

x

y

2 1

O

Header Page of 61

II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Tĩm tắt lý thuyết cơ bản:

Nếu hàm số f x đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm x thì 0 x được gọi là điểm cực đại (điểm 0

cực tiểu) của hàm số; f x được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, ký hiệu  0

là f CD f CT , cịn điểm M x 0;f x 0  được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị

hàm số

 Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

 Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y f x  cĩ đạo hàm trên khoảng  a b ;

và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x thì 0 f ' x0 0

 Chú ý: Nếu f ' x0 0 và f '' x0 0 thì chưa thể khẳng định được x là điểm cực đại 0

hay điểm cực tiểu hay cực trị của hàm số

Phân dạng tốn cơ bản:

điểm cực đại của hàm số f x  

 Nếu f ' x0 0 trên khoảng x0h x; 0và

khoảng (a,b) D và (a;b) chứa x0

 Nếu f’(x) khơng ổi dấu trên tập xác

◈-Phương pháp: Quan sát BBT nhìn sự đổi dấu của y’

 Khi qua x 0 f x đổi dấu từ       thì đây là cực đại

 Khi qua x 0 f x đổi dấu từ       thì đây là cực tiểu

_Bài tập rèn luyện:

Câu 1 Cho hàm số f x có bảng biến thiên như hình vẽ

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

Câu 2 Cho hàm số f x xác định trên   ¡ và có bảng xét dấu f x như hình bên Khẳng

định nào sau đây sai?

A Hàm số đạt cực tiểu tại x2 B Hàm số đạt cực đại tại x 3

C x1 là điểm cực trị của hàm số D Hàm số có hai điểm cực trị

Câu 3 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đạt cực đại tại điểm

D Hàm số đạt cực đại tại x0, x1và đạt cực tiểu tại x2

Câu 5 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Hàm số có giá trị cực đại bằng 3 B Hàm số có giá trị cực đại bằng 0

C Hàm số có 2 điểm cực tiểu D Hàm số có ba điểm cực trị

Câu 6 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau  Header Page of 61

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số đã cho có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu

B Hàm số đã cho không có cực trị

C Hàm số đã cho có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu

D Hàm số đã cho có một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại

Câu 7 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là

A Hàm số không có cực trị B Hàm số đạt cực đại tại x0

C Hàm số đạt cực đại tại x5 D Hàm số đạt cực tiểu tại x1

Câu 10 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây là sai?

A Hàm số có giá trị cực đại bằng 0 B Hàm số có giá trị cực đại bằng 3

C Hàm số có ba điểm cực trị D Hàm số có hai điểm cực tiểu

②Đề cho đồ thị của hàm số y=f(x) có hình vẽ sẵn

◈ -Phương pháp: Quan sát dáng của đồ thị

 Nếu đồ thị “đi lên” rồi “đi xuống” thì đây là cực đại

 Nếu đồ thị “đi xuống” rồi “đi lên” thì đây là cực tiểu

Câu 2: Cho hàm số y f x  liên tục trên ¡ và có đồ thị

như hình bên Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A 4 B 5 C 2. D 3

Câu 3: Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị

như hình vẽ bên dưới Hỏi hàm số đó có bao nhiêu điểm

Câu 5: Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên

đoạn 2; 2 và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên

Hàm số f x  đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?

Câu 8: Cho hàm số bậc ba y f x  có đồ thị như hình

vẽ bên Điểm cực đại của hàm số đã cho bằng

Câu 9: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ bên

dưới Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu trên khoảng

 a b; ?

Header Page of 61

Câu 10: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đồ thị

như hình vẽ Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A Nhận điểm x3 làm điểm cực tiểu B Nhận điểm x0 làm điểm cực tiểu

C Nhận điểm x0 làm điểm cực đại D Nhận điểm x3 làm điểm cực đại

Câu 9: Số điểm cực đại của đồ thị hàm số 4 2

A một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu

B một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại

C một điểm cực đại duy nhất

D một điểm cực tiểu duy nhất

◈ -Phương pháp:

_Lập BBT

_Dựa vào BBT quan sát sự đổi dấu cảu y’ và kết luận cực trị

- Casio: INEQ, d/dx, table

- Có thể sử dụng nhanh dấu của y’ hoặc các điều kiện nhanh về hệ số để kết luận nhanh

④Đề cho đồ thị hàm số y=f’(x)

◈ -Phương pháp:

 Xác định số giao điểm mà đồ thị f’(x) cắt trục ox

. Kết luận số cực trị của hàm số f (x) bằng số giao điểm với trục ox Chú ý nếu đồ thị tiếp

xúc với trục ox thì điểm ấy không phải là điểm cực trị

_Bài tập rèn luyện

Câu 1 Cho hàm số y f x  Hàm số y f x có đồ thị

như hình vẽ: Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Đồ thị hàm số y f x  có hai điểm cực đại

B Đồ thị hàm số y f x  có ba điểm cực trị

C Đồ thị hàm số y f x  có hai điểm cực trị

D Đồ thị hàm số y f x  có một điểm cực trị

Câu 2 Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên ¡ và đồ thị

hàm số y f x trên ¡ như hình vẽ Mệnh đề nào đúng?

A Hàm số y f x  có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu

B Hàm số y f x  có 2 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu

C Hàm số y f x  có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu

D Hàm số y f x  có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu

Câu 3 Cho hàm số y f x  có đồ thị đạo hàm y f x

như hình bên Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 4 Cho hàm số y f x  xác định và liên tục trên ¡ và

có đồ thị của đạo hàm y f x như hình bên dưới Chọn

phát biểu đúng về hàm số y f x 

A Hàm số nghịch biến trên khoảng 3;0

B f   4 f  2 C f  0  f  3

D Hàm số y f x  có hai điểm cực trị

Câu 5 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên ¡ , đồ

thị của hàm số y f x là đường cong ở hình bên

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 6 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên ¡ , đồ

thị của hàm số y f x là đường cong ở hình bên Mệnh đề

nào sau đây đúng?

Câu 8 Cho hàm số y f x , có đạo hàm là f x liên tục

trên ¡ và hàm số f x có đồ thị như hình dưới đây

Hỏi hàm số y f x  có bao nhiêu cực trị ?

Câu 9 Cho hàm số y f x  xác định trên ¡ và có đồ thị

hàm số y f x là đường cong ở hình bên Hỏi hàm số

 

y f x có bao nhiêu điểm cực trị?

A 6 B 5 C 4 D 3

⑤Định tham số để hàm số f đạt cực trị tại điểm x 0

◈ -Phương pháp: Đối với hàm số đa thức bậc 3

-Quy tắc chung

 Bước 1 Điều kiện cần để hàm số đạt

cực trị tại x0 là y'(x ) 00  , từ điều kiện này ta

tìm được giá trị của tham số

 Bước 2 Kiểm lại bằng cách dùng một

trong hai quy tắc tìm cực trị ,để xét xem giá

trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu

cầu của bài toán hay không?

-Sử dụng định lý 3

 Hàm số đạt cực đại tại  

 

0 0

0

00

0

0 0

Câu 4: Với giá trị nào của tham số m thì hàm số 1 3 2  2 

III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Tĩm tắt lý thuyết cơ bản:

 Định nghĩa: Cho hàm số y f x  xác định trên tập D.

 Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x  trên D nếu:

( ) ,, ( )

Phân dạng tốn cơ bản:

①Đề cho đồ thị của hàm số y=f (x) 

◈-Phương pháp:

 Quan sát giá trị điểm cao nhất và giá trị điểm thấp nhất của đồ thị hàm số trên [a;b]

 Chọn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cần tìm trên [a;b]

_Bài tập rèn luyện:

Câu 1: Cho hàm số y f x  xác định, liên tục trên 5

1,2

Câu 2: Cho hàm số y  f x  liên tục trên  1;  và cĩ đồ thị

như hình vẽ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x  trên đoạn

1; 4

Câu 3: Cho hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn 1;3 và cĩ đồ

thị như hình vẽ Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của hàm số y f x( ) trên đoạn 1;3

Ta cĩ giá trị của M2m là

Câu 4: Cho hàm số y f x( ) cĩ đồ thị như hình bên

Giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn 1; 2 bằng?

Header Page of 61

②: Đề cho Bảng biến thiên của hàm số y=f(x)

◈ -Phương pháp: Quan sát dáng của BBT

 Quan sát giá trị điểm cao nhất và giá trị điểm thấp nhất của đồ thị hàm số trên [a;b]

 Chọn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cần tìm trên [a;b]

Câu 2: Xét hàm số y f x( )với x  1;5có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng

A Hàm số đã cho không tồn taị GTLN trên đoạn1;5

B Hàm số đã cho đạt GTNN tại x 1và x2 trên đoạn1;5

C Hàm số đã cho đạt GTNN tại x 1và đạt GTLN tại x5trên đoạn 1;5

D Hàm số đã cho đạt GTNN tại x0trên đoạn1;5

Câu 3: Cho hàm số y f x liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn ( ) 1;3 như hình vẽ bên

Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 4: Cho hàm số y f x  xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau

Khẳng định nào sau đây là sai?

Câu 5: Cho hàm số y f x  liên tục trên đoạn 3; 2và có bảng biến thiên như sau

Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x  trên

đoạn 1; 2 Tính Mm

Câu 6: Cho hàm số y f x( ) xác định trên  3; 5

  và có bảng biến thiên như hình vẽ:

y y'

x

+

1 -1

min y 2





 

Câu 7: Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như sau

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1;1 bằng:

Câu 8: Cho hàm số y f x   xác định trên đoạn  3; 5và có bảng biến thiên như hình vẽ

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 10: Cho hàm sốy f x  xác định trên đoạn 3; 5

  và có bảng biến thiên như hình

vẽ sau:

Header Page of 61

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

3; 5

 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2 số lớn nhất trong các giá trị đó chinh là GTLN của f

trên đoạn [a b ; ]; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của f trên đoạn [a b: ]

◈ Đặc biệt:

 Nếu f x đồng biến trên đoạn  ; a b thì  max ( ) ( ) ; min ( ) ( )

] [ ]

[

a f x f b

f x f

b b





 Nếu f x nghịch biến trên đoạn  ; a b thì  max ( ) ( ) ; min ( ) ( )

] [ ]

[

b f x f a

f x f

b b





 trên đoạn  0; 2 Header Page of 61

x trên đoạn 8;12 là:

132

Câu 10: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 1

5

x y x

 Lập bảng biến thiên của hàm số y f x  trên khoảng  a b cho trước ;

Từ bảng biến thiên, tùy theo sự thay đổi giá trị của hàm số suy ra kết quả cần tìm

 Casio: Dùng table lập bảng với Star… ; end…; step … phù hợp Tìm GTNN và GTLN

_Bài tập rèn luyện:

Câu 1: Trên khoảng (0;  ) thì hàm số 3

3 1

y  x x

A Có giá trị nhỏ nhất là Min y–1 B Có giá trị lớn nhất là Max y3

C Có giá trị nhỏ nhất là Min y3 D Có giá trị lớn nhất là Max y–1

Câu 2: Giá trị lớn nhất của hàm số 4 3

yx  x  Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng 25;11

IV ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ

Tĩm tắt lý thuyết cơ bản:

Định nghĩa:Cho hàm số y f x   xác định trên một khoảng vơ hạn ( là khoảng dạng (a;   ) ,( ; b)

hoặc (   ; ) Đường thẳng y y  0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

x lim y y , lim y x y

Định nghĩa:Đường thẳng x x  0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x    nếu

ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

Tiệm cận ngang đối với hàm phân thức:   P(x)

f x Q(x)



 Nếu bậc của P(x) bé hơn bậc của Q(x) thì đồ thị của hàm số cĩ tiệm cận ngang là trục hồnh độ

 Nếu bậc của P(x) bằng bậc của Q(x) thì đồ thị hàm cĩ tiệm cận ngang là đường thẳng : y A

B



trong đĩ A, B lần lượt là hệ số của số hạng cĩ số mũ lớn nhất của P(x) và Q(x) Nếu bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q(x) thì đồ thị của hàm số khơng cĩ tiệm cận ngang

Phân dạng tốn cơ bản:

①Tìm tiệm cận bằng bảng biến thiên hoặc đồ thị.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 5 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như hình bên

Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x  là

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho là

Câu 9 Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như sau:

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho bằng:

g x



 Nếu bậc tử bé hơn bậc mẫu có TCN lày0

Nếu bậc của tử  bậc của mẫu thì đồ thị có TCN

Nếu bậc của tử  bậc của mẫu hoặc có tập xác định là 1 khoảng hữu hạn a b hoặc ; 

 a b thì không có TCN ;

_Tìm tiệm cận đứng của hàm phân thức ( )

( )

f x y

g x



 Hàm phân thức mà mẫu có nghiệm xx0 nhưng không là nghiệm của tử thì đồ thị

có tiệm cận đứng xx0( với đk hàm số xác định trên khoảng K\{x };0 x0K)

_Bài tập rèn luyện:

Câu 1 Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2

3

x y





33

x y x





3 13

x y x





 Header Page of 61

Câu 3 Đồ thị hàm số 1 3

2

x y

A  2;1 B 2; 2 C  2; 2 D 2;1

Câu 5 Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 1

x y x

x y

x x có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Câu 9 Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 2

2

x y x

bx có tiệm cận đứng là x 2 và tiệm cận ngang là

V KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

    0: Hàm số luơn tăng hoặc luơn giảm trên

③ Đạo hàm cấp 2:y'' 6ax 2b   , y'' 0 x b

 Chú ý điểm cực trị: ac<0: cĩ 2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục tung oy

 Điểm uốn: bên phải trục oy: ab<0; bên trái trục oy: ab>0

 Các giao điểm đặc biệt với trục ox,oy

Câu 2: Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị

của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A,

Câu 4: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm

số nào dưới đây?

Câu 5: Đường cong trong hình vẽ bên là của một trong

bốn hàm số dưới đây Đó là hàm số nào?

A y  x3 3x22 B yx33x22

C yx42x32 D 2

1

x y x

Câu 6: Đường cong ở hình bên dưới là đồ thị của một

trong bốn hàm số dưới đây Hàm số đó là hàm số nào?

A yx42x21 B y  x3 3x 1

C y x3 3x21 D y  x3 3x1

Câu 7: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của

hàm số nào sau đây?

A y  x3 3x1 B yx4 x2 1

C y   x2 x 1 D y  x3 3x 1

Câu 8: Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong

bốn hàm số ở dưới đây Hàm số đó là hàm số nào?

A yx33x23.B yx42x21 C

3 1

y  x x  D.y  x4 2x21

Câu 9: Đường cong ở hình bên dưới là đồ thị của một

trong bốn hàm số dưới đây Hàm số đó là hàm số nào?

A yx42x21 B yx33x1

C yx33x21 D y  x3 3x1

x y

OHeader Page of 61

Câu 10: Đường cong như hình vẽ là đồ thị của hàm số

Biện luận số nghiệm của phương trình f x g m được

quy về tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y f x C

và đường thẳng d :y g m

 Có 2 cách biện luận số nghiệm của phương trình:

 Biện luận số nghiệm của phương trình f x g m bằng đồ thị ( khi bài toán cho

sẵn đồ thị): ta dựa vào sự tịnh tiến của đường thẳng d :y g m theo hướng lên hoặc xuống trên trục tung

 Biện luận số nghiệm của phương trình f x g m bằng bảng biến thiên ( bài toán

cho sẵn bảng biến thiên hoặc tự xây dựng)

B Phương trình có đúng hai nghiệm

C Phương trình không có nghiệm

D Phương trình có đúng ba nghiệm

Câu 2: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như hình vẽ

Số nghiệm của phương trình f x  3 0 là:

Câu 3: Cho hàm sốy f x  có bảng biến thiên như hình vẽ

Hỏi tập nghiệm của phương trình f x  2 0 có bao nhiêu phần tử?

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng ym cắt đồ thị hàm số y  x3 6x2

Header Page of 61

Câu 7: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ dưới

đây Phương trình 2f x  5 0 có bao nhiêu

nghiệm âm?

Câu 8: Cho hàm số y f x  xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau

x y

Câu 9: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ

Số nghiệm của phương trình 2f x  3 0 là

Câu 10: Cho hàm số y f x( ) có đồ thị như hình vẽ

Phương trình 2 ( ) 5f x  0 có bao nhiêu nghiệm âm?

A 0 B 1.

C 2 D 3

Header Page of 61

③: Sự tương giao của 2 đồ thị (liên quan đến tọa độ giao điểm)

◈ -Phương pháp:

Cho 2 hàm số y f x y , g x  có đồ thị lần lượt là (C) và (C’)

 Lập phương trình hoành độ giao điểm của và : f x g x , (1)

 Giải phương trình (1) tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm

 Số nghiệm của (1) bằng số giao điểm của hai đồ thị

y x x  có đồ thị  C Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A  C không cắt trục hoành B  C cắt trục hoành tại một điểm

C  C cắt trục hoành tại ba điểm D  C cắt trục hoành tại hai điểm

Câu 6: Số giao điểm của đồ thị hàm số yx3 x 4 và đường thẳng y4 là

y x x  x có đồ thị  C Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A  C không cắt trục hoành B  C cắt trục hoành tại 3 điểm

C  C cắt trục hoành tại 1 điểm D  C cắt trục hoành tại 2 điểm

Câu 9: Tìm tọa độ giao điểm I của đồ thị hàm số y4x33x với đường thẳng y  x 2

④: Xác định hệ số a, b, c, d từ đồ thị hàm số bậc 3.

◈ -Phương pháp: Chú ý các đặc điểm nhận dạng sau:

①.Hệ số a: Xác định dáng đi lên hay đi xuống của đồ thị

 Quan sát dáng đồ thị, chú ý các hệ số a >0; a<0

②.Tích số ab: Xác định vị trí điểm uốn

 Điểm uốn: bên phải trục oy: ab<0; bên trái trục oy: ab>0

③.Tích số ac: Xác định vị trí hai điểm cực trị

 ac<0: có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục tung oy

 ac>0: đồ thị hàm số không có cực trị

 c=0: đồ thị có 1 cực trị nằm trên trục tung

④.Hệ số d: Xác định giao điểm với trục tung

 d>0: giao điểm của đồ thị với trục tung nằm trên gốc tọa độ O

 d<0: giao điểm của đồ thị với trục tung nằm dưới gốc tọa độ O

 d=0: giao điểm của đồ thị với trục tung trùng với gốc tọa độ O

_Bài tập rèn luyện:

yax bx  cx d có đồ thị như hình vẽ mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 3: Cho hàm số ya x3bx2 cx d có đồ thị như

hình bên Khẳng định nào sau đây đúng ?

HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

I LUỸ THỪA

Tĩm tắt lý thuyết cơ bản:

➊ Lũy thừa số mũ nguyên dương:

 Với mỗi số nguyên dương n, lũy thừa bậc n của số a (cịn gọi là lũy thừa của a với số mũ

n) là số a n được xác định bởi:



thua so

n n

a a a a với n 1,

 a1 a.

 a được gọi là cơ số, n được gọi là số mũ của lũy thừa a n.

➋ Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm:

 Với a 0, n 0 hoặc n là một số nguyên âm, lũy thừa bậc n của a là số a n xác định bởi :

 a0 1, 1

.

n n

a

a

☞Chú ý: 00 và 0 n khơng cĩ nghĩa

❸ Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

 Cho số thực a dương và số hữu tỉ r m,

n trong đĩ m m , n .

 Luỹ thừa của a với số mũ r là số a r xác định bởi

m n

❹ Luỹ thừa với số mũ vơ tỉ

 Ta gọi giới hạn của dãy số a rn là luỹ thừa cùa a với số mũ , kí hiệu là a .

❺ Tính chất của lũy thừa với số mũ thực

 Cho a b, là những số thực dương; , là những số thực tuỳ ý Khi đĩ, ta cĩ:

 Nếu a 1 thì a a khi và chi khi .

 Nếu a 1 thì a a khi và chỉ khi .

Phân dạng tốn cơ bản:

①: Tính giá trị biểu thức

- Phương pháp: Cơng thức mũ, lũy thừa cơ bản

 Sử dụng hệ thống cơng thức về mũ và lũy thừa

a

  C a m n a ma n D

m

m n a a

n

 

Header Page of 61

Câu 2: Cho a là một số dương, biểu thức a3 a viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là?

A

5 6

7 6

4 3

6 7

a b b

a a

a b b

a a viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là

A

5 6

7 6

11 6

6 5

_Sử dụng công thức về tính chất của lũy thừa

_Casio: Xét hiệu với chức năng Calc đặc biết hóa

1 3

1 3

_Sử dụng công thức, tính chất của mũ, lũy thừa

_Casio: Xét hiệu với chức năng Calc

F a a a a a a là

A

1 4

3 8

1 2

3 4

1 4

13 24

1 2

3 12 6

a b P

Px C P x D

2 9

a a dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ

A

1 3

5 3

7 6

7 3

a

Câu 10: Rút gọn biểu thức

1 6

3

Px x, với x0

A

2 9

1 9

➊ Lũy thừa số mũ nguyên dương:

 Với mỗi số nguyên dương n, lũy thừa bậc n của số a (còn gọi là lũy thừa của a với số mũ

n) là số a n được xác định bởi:



thua so

n n

a a a a với n 1,

 a1 a.

 a được gọi là cơ số, n được gọi là số mũ của lũy thừa a n.

➋ Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm:

 Với a 0, n 0 hoặc n là một số nguyên âm, lũy thừa bậc n của a là số a n xác định bởi :

 a0 1, 1

.

n n

❸ Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

 Cho số thực a dương và số hữu tỉ r m,

n trong đó m m , n .

 Luỹ thừa của a với số mũ r là số a r xác định bởi

m n

❹ Luỹ thừa với số mũ vô tỉ

 Ta gọi giới hạn của dãy số a rn là luỹ thừa cùa a với số mũ , kí hiệu là a .

Phân dạng toán cơ bản:

①: Tính giá trị biểu thức

- Phương pháp: Công thức mũ, lũy thừa cơ bản

 Sử dụng hệ thống công thức về mũ và lũy thừa

n

 

Câu 12: Cho a là một số dương, biểu thức

2 3

a a viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là?

4 3

6 7

a b b

a a

a . C a a x y a xy D a x a y a x y

Câu 18: Cho a0, b0và x , ylà các số thực bất kỳ Đẳng thức nào sau đúng?



❺ Tính chất của lũy thừa với số mũ thực

 Cho a b, là những số thực dương; , là những số thực tuỳ ý Khi đó, ta có:

 Nếu a 1 thì a a khi và chi khi .

 Nếu a 1 thì a a khi và chỉ khi .

◈-Ghi nhớ

➂➁➂

Header Page of 61

A  x x x

a b a b B a x x

a b b

a a viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là

A

5 6

7 6

11 6

6 5

_Sử dụng công thức, tính chất của mũ, lũy thừa

_Casio: Xét hiệu với chức năng Calc

F  a a a a a a là

A

1 4

3 8

1 2

3 4

1 4

13 24

1 2

3 12 6

a b P

a a A

a a

 với a0ta được kết quả

m n

3

Px x với x0

A

1 8

Px C P x D

2 9

a a dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ

A

1 3

5 3

7 6

7 3

a

Câu 24: Rút gọn biểu thức

1 6

3

Px x, với x0

A

2 9

1 9

Px

Câu 25: Cho biểu thức 4 5

P x , với x0 Mệnh đề nào sau đây đúng

A

5 4

4 5

 Tập xác định của hàm số lũy thừa y x tuỳ thuộc vào giá trị cùa Cụ thể:

 Với nguyên dương, tập xác định là ;

 Với nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là \ 0 ;

 Với không nguyên, tập xác định là 0;

➋ Đạo hàm của hàm số lũy thừa

 Người ta chứng minh được hàm số luỹ thừa y x có đạo hàm với mọi x 0

Ta có: x .x 1.

 Đồ thị của hàm số lũy thừa y x luôn đi qua điểm 1;1

 Trên hình là đồ thị của hàm số lũy thừa trên khoảng 0; ứng với các giá trị khác nhau của

0 0

 Chiều biến thiên Hàm số luôn đồng biến Hàm số luôn nghịch biến

Tiệm cận đứng là Oy.

 Đồ thị Đồ thị luôn đi qua điểm 1;1

Phân dạng toán cơ bản:

-Phương pháp:

Xét hàm số y   f x( )  

 Khi  nguyên dương: hàm số xác định khi và chỉ khi ( ) xác định

 Khi  nguyên âm: hàm số xác định khi và chỉ khi f x ( ) 0 

 Khi  không nguyên: hàm số xác định khi và chỉ khi f x ( ) 0 

 Casio: table NHẬP HÀM  START: a END: b  STEP khéo tý

 Lưu ý: Chỉ dùng MTCT để loại trừ là chính, và không dùng MTCT để chọn trực tiếp đáp án Đối

với TXĐ hàm số lũy thừa an toàn nhất vẫn là giải theo công thức