luận văn thạc sĩ kĩ thuật tổng hợp giải phương trình hệ phương trình hỗn hợp

Trang 2 PHẠM HỒNG CẨM KĨ THUẬT TỔNG HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HỖN HỢP Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG

THÁI NGUYÊN - 2017

1.1 Kĩ thuật biến đổi tương đương 4 1.1.1 Kĩ thuật biến đổi tương đương 5 1.1.2 Kĩ thuật nhân với biểu thức liên hợp 7

1.2.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình dạng tổng và tích các ẩn 10 1.2.2 Một số phương trình và hệ phương trình giải được nhờ đặt ẩn phụ 11 1.3 Phương pháp điều kiện cần và đủ 15

phải “bóc từng lớp” để đưa về phương trình và hệ phương trình đơn giản Tuy nhiên, cũng có nhiều phương trình, hệ phương trình hỗn hợp đòi hỏi sử dụng

kĩ thuật giải tổng hợp, nói chung không thể dùng một kĩ thuật, mà phải sử dụng tổng hợp một vài hoặc đồng thời nhiều kĩ thuật để giải được những

phương trình, hệ phương trình loại này

Đã có một số sách (xem, thí dụ, [1], [2], [5]–[9], [11]) và một số luận văn cao học (xem, thí dụ, [3], [4]) viết về phương pháp giải phương trình và

hệ phương trình, tuy nhiên, theo quan sát của chúng tôi, vẫn cần đi sâu phân

tích cụ thể và chi tiết hơn các phương pháp và các kĩ thuật tổng hợp giải

phương trình, hệ phương trình hỗn hợp

Trong các đề thi Trung học Phổ thông Quốc gia những năm gần đây

(trước 2017), hai câu khó (câu 9 và câu 10) thường là các bài toán về hoặc liên quan tới phương trình và hệ phương trình hỗn hợp Để giải các bài toán

này, cần sử dụng thành thạo và nhuần nhuyễn các kĩ thuật tổng hợp Phương trình và hệ phương trình hỗn hợp cũng hay gặp trong các kì thi học sinh giỏi (Olympic 30–4, vô địch Quốc gia, Quốc tế)

Với những lí do trên, tác giả đã lựa chọn đề tài Kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp làm đề tài luận văn cao học của mình

2 Lịch sử nghiên cứu

Chủ đề phương trình, hệ phương trình có vị trí và vai trò quan trọng trong chương trình môn Toán ở trường Trung học phổ thông Kiến thức và kĩ năng của chủ đề này có mặt xuyên suốt từ cuối Trung học Cơ sở, tới đầu cấp

phương trình hỗn hợp

3 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận văn hệ thống hóa và trình bày một số kĩ thuật giải phương trình,

hệ phương trình hỗn hợp thường gặp trong các kì thi Olympic, thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc tế Tất cả các bài toán, ví dụ minh họa và bài toán tương tự trong luận văn đều được chọn lựa từ các đề thi vào đại học hoặc các bài thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc tế trong và ngoài nước, chủ yếu là các

đề thi trong các năm gần đây, dựa trên nhiều tài liệu trong và ngoài nước, thí

dụ, [10], [12] Bên cạnh việc hệ thống hóa các đề thi, luận văn còn cố gắng phân tích, tổng hợp các phương pháp thông qua các ví dụ cụ thể

4 Mục tiêu của luận văn

Luận văn có mục tiêu trình bày các phương pháp và kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp Các phương pháp và kĩ thuật tổng hợp giải phương trình, hệ phương trình hỗn hợp hoàn toàn có thể áp dụng cho các bài toán chứng minh bất đẳng thức, giải bất phương trình, hệ bất phương trình, và các bài toán cực trị Hi vọng luận văn sẽ góp phần làm sáng

tỏ thêm các kĩ thuật và phương pháp giải phương trình, hệ phương trình và được áp dụng vào thực tế học tập và giảng dạy

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phân tích lí thuyết, phân dạng các loại bài tập

- Đưa ra các ví dụ minh họa phù hợp với từng nội dung

- Tổng hợp tài liệu từ sách giáo khoa, sách tham khảo, các sách liên quan đến đề tài

6 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn gồm 2 Chương

Chương 1: Phân loại một số phương pháp và kĩ thuật giải phương trình

và hệ phương trình hỗn hợp

Chương 2: Một số kĩ thuật tổng hợp giải phương trình và hệ phương

trình hỗn hợp

Chương 1 PHÂN LOẠI PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT TỔNG HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH HỖN HỢP

Để giải một phương trình, một hệ phương trình hỗn hợp loại khó, thường cần phải đồng thời kết hợp sử dụng một vài kĩ thuật Tuy vậy, trong

mỗi bài toán thường có một kĩ thuật chủ đạo Nhằm dễ dàng phân tích lời giải, các phương trình và hệ phương trình trong luận văn này được phân loại theo phương pháp giải Các phương pháp và kĩ thuật giải được phân loại như

dưới đây

1.1 Kĩ thuật biến đổi tương đương

Nói chung, quá trình giải phương trình, hệ phương trình là một quá trình biến đổi tương đương từ phương trình, hệ phương trình phức tạp về phương trình, hệ phương trình đơn giản nhờ một số tính chất của các hàm vô

Kĩ thuật biến đổi tương đương là một kĩ thuật cơ bản, tuy nhiên, đối với

phương trình, hệ phương trình hỗn hợp, kĩ thuật này không phải lúc nào cũng

áp dụng được một cách hợp lí, mà phải kết hợp thêm với các kĩ thuật khác

Các ví dụ cụ thể (các bài toán thi Olympic và các bài thi vào đại học), dưới đây và trong Chương 2 sẽ trình bày và phân tích sâu hơn nhận xét này

1.1.1 Kĩ thuật biến đổi tương đương

Bài 1 (Thi học sinh giỏi Việt Nam VMO 2002, Bảng A) Giải phương trình

Đáp số: Phương trình có duy nhất một nghiệm x = 3.

Bài 2 (Thi Olympic Trung Quốc CMO, 1998) Giải phương trình

không thỏa mãn điều kiện (*))

Đáp số: Phương trình có duy nhất một nghiệm 1 5

2

x = +

Nhận xét: Trong hai bài toán trên, ta đã sử dụng phương pháp biến đổi

tương đương với kĩ thuật cơ bản là bình phương hai vế không âm của phương trình

Bài 3 (Thi học sinh giỏi Kiên Giang 2014–2015) Giải phương trình

x + − = x x + + − x − x −

Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là − ≤ ≤ 2 x 5 * ( )

Với điều kiện trên thì

10 3 − x − x = x + 2 5 − x Đây là mấu chốt để giải quyết bài toán

Việc biến đổi tương đương và giải các phương trình vô tỉ cơ bản x + − = 2 2 0 và x + − 2 5 − x là không khó, ngay cả với học sinh trung bình

1.1.2 Kĩ thuật nhân với biểu thức liên hợp

Sử dụng biểu thức liên hợp dạng a b − = ( a + b )( a − b ) , để biến đổi tương đương phương trình đã cho về dạng đơn giản hơn

Kĩ thuật này được sử dụng phổ biến trong các bài thi vào đại học và thi học sinh giỏi những năm gần đây

Bài 4 (Thi học sinh giỏi Hà Tĩnh, năm học 2010–2011, lớp 12) Giải

x x

⇔ − ( x 6 (3 ) x − + 5 x + = 3) 4( x − 6) ( ) 2

Trường hợp 1: x = 6 thỏa mãn điều kiện (*) nên nó là nghiệm của (1)

Cũng có thể thay x = 6 vào phương trình (1) để tin chắc x = 6 là nghiệm của (1)

Trường hợp 2: x ≠ 6 Chia hai vế của phương trình (2) cho x − 6 ta được (2) ⇔ 3 x − + 5 x + = 3 4 ⇔ 9 ( x − + + + 5 ) ( x 3 ) 6 x − 5 x + = 3 16

17 61 0 17 3 5

2

x x

Nhận xét: Cũng có thể giải đơn giản hơn như sau:

2

2

2 2

2

2 2

2

1

2 3

1 3 9 – – 2 4 2 –

Bài 6 (Thi HSG khu vực Duyên hải và đồng bằng Bắc bộ 2014- 2015,

xy y x y

x y x

x y x

x x

Một trong những kĩ thuật giải phương trình hỗn hợp (phức tạp, gồm

nhiều hàm) là phương pháp (kĩ thuật) đặt ẩn phụ, để đưa phương trình đã cho

về dạng đơn giản (phương trình đa thức bậc nhất, bậc hai, phương trình lượng giác cơ bản, ) Nhiều khi đặt ẩn phụ chuyển phương trình đã cho thành một

hệ phương trình gồm hai ẩn (ẩn ban đầu và ẩn phụ), nhưng hệ này dễ giải hơn phương trình ban đầu

1.2.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình dạng tổng và tích các ẩn

Một trong những kĩ thuật đặt ẩn phụ là đặt ẩn phụ để đưa phương trình

đã cho về hệ phương trình dạng tổng và tích các ẩn Áp dụng định lí Viét hoặc tính nhẩm để tìm hai nghiệm của hệ phương trình trung gian Suy ra nghiệm của phương trình ban đầu Tuy nhiên, trong các bài tập khó, đặt ẩn phụ để đưa phương trình dạng tổng và tích các ẩn chỉ là một khâu trong quá trình giải Dưới đây là một số ví dụ minh họa

Bài 7 (Thi HSG khu vực Duyên hải và đồng bằng Bắc Bộ năm

2013-2014, lớp 10)

Giải phương trình (6 x − 3) 7 3x − + (15 6 ) 3 − x x − = 2 2

2 − 9 x + 27 x − 14 11 +

Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là: 2 7

3 ≤ ≤ x 3 Với điều kiện trên, đặt X = 7 3 , Y − x = 3 x − 2 với X,Y ≥ 0, ta có

X Y

X Y

Thay vào X = 7 − 3 x ta được x = 1 hoặc x = 2.

Thử lại, ta thấy nghiệm này thỏa mãn

Đáp số: Phương trình có hai nghiệm x = 1 ; x = 2

Bài 8 (Thi học sinh giỏi Long An, bảng B, năm học 2012–2013, lớp 12)

Giải hệ phương trình với x y , ∈ :

Nhận xét: Hai bài toán( bài 7 và bài 8) đã sử dụng kĩ thuật đặt ẩn phụ

để đưa phương trình ( hệ phương trình) về dạng đơn giản hơn để giải

1.2.2 Một số phương trình và hệ phương trình giải được nhờ đặt ẩn phụ

Bài 9 (Thi học sinh giỏi Long An 2012– 2013, bảng A, lớp 12)

Giải phương trình sau trên tập số thực: x + = 1 ( 2 x + 1 ) x + + 1 2

Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là x ≥ − 1 * ( )

Từ phương trình đã cho ta suy ra x > − 1.

Từ phương trình đầu, kết hợp với phương trình thứ hai của hệ trên, ta có

Bài 10 (Thi học sinh giỏi Long An 2012–2013, bảng B, lớp 12)

Giải phương trình sau trên tập số thực: 4 2 2 ( )

Với t = 2 1 ( )

x x tm x

Đáp số: Nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.

Bài 11 (Olympic Chinh phục đỉnh núi Vorobiev, Nga, tháng 1-2013)

Tìm số nghiệm của phương trình

3sin 2 1 sin 2sin 1 2sin 1

3sin 2 3sin 2

1 2sin 1 2sin 1

3 , 0,

x x

Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là x > 0

1

x t

= + có miền xác định là ( 0,1 ] nên t ∈ −∞ ( , 0 ] Bài toán trở thành: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (2) có nghiệm trong khoảng t ∈ −∞ ( , 0 , ] tức là có ít nhất một nghiệm không dương Điều này tương đương với: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (2) có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện t 1 ≤ ≤ 0 t 2 , hoặc t 1 ≤ ≤ t 2 0.

1 0 2

af m m S

m

m m m

Bài 13 (Thi học sinh giỏi Hà Tĩnh 2012– 2013, lớp 12) Giải hệ phương trình

1.3 Phương pháp điều kiện cần và đủ

Phương pháp điều kiện cần và đủ đặc biệt hữu hiệu trong các bài toán biện luận phương trình và hệ phương trình Điều kiện cần lọc ra các giá trị của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán Điều kiện đủ kiểm tra và lọc ra các tham

số thật sự thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 14 (Olympic Học viện mật mã, thông tin liên lạc, Viện Hàn lâm

Giải: Điều kiện cần: Vì phương trình đã cho không thay đổi khi thay x

bằng − x nên để phương trình có đúng ba nghiệm thì nó phải có nghiệm x = 0

m = phương trình đã cho chỉ có một nghiệm

Kết luận: Để phương trình đã cho có đúng ba nghiệm thì 1

Điều kiện đủ: Với m = 1 hoặc m = 4 thì hệ (I) trở thành

Vậy hệ (I) có ba nghiệm ( 3, 1 ; − ) ( ) 4,0 ; ( ) 2,0

Kết luận: Hệ (I) có duy nhất nghiệm ( ) 3,1 khi m = 1 hoặc m = 4.

Bài 16 (Khoa Toán, ĐH Tổng hợp Moscow, 1966)

Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hệ phương trình

có ít nhất một nghiệm với mọi giá trị của b ( a b x , , , y là các số thực)

Giải Điều kiện cần: Vì hệ có ít nhất một nghiệm với mọi giá trị của b

nên nó phải có ít nhất một nghiệm với b = 0 Với b = 0 ta có hệ

Điều kiện đủ: Với a = 0 hệ (I) trở thành

y

x b bxy x y

Bài 17 (Khoa Toán, Đại học Tổng hợp Moscow, 1966)

Tìm tất cả các giá trị của các tham số a và b để hệ phương trình

1

(1) 1

(2)

y

y

x x

Suy ra x y − = 1 0 hay y = 0, x > 0 bất kì hoặc x = 1, y bất kì

Nếu y = 0, x > 0 thì phương trình (2) có duy nhất nghiệm x = b với mọi b > 0.

Nếu x = 1 thì phương trình (2) có dạng 1 + y 2 = b Nếu b > 1 thì phương trình này có hai nghiệm y = ± b − 1

Nếu b = 1 thì phương trình có duy nhất nghiệm y = 0

Nếu b < 1 thì phương trình không có nghiệm

Vậy với a = 0, b > 1 hệ (I) có ba nghiệm x = b y , = 0; 2

x = y = ± y − Với a = 0,0 < ≤ b 1 hệ (I) có một nghiệm x = 1, y = 0

Kết luận: Hệ có duy nhất nghiệm x = 1, y = 0 khi a = 0,0 < ≤ b 1.

1.4 Phương pháp hàm số

1.4.1 Kĩ thuật sử dụng tính đồng biến ngặt của hàm số

1.4.1.1 Sử dụng tính đồng biến của các hàm cơ bản

Sử dụng tính đồng biến của các hàm bậc hai trên từng khoảng

Có thể sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm bậc hai trên từng

khoảng để giải phương trình mà không sử dụng công cụ đạo hàm

Bài 18 (Thi học sinh giỏi Ninh Bình 2012–2013, lớp 12) Giải phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2

Sử dụng tính đồng biến nghịch biến của hàm căn thức

Có thể sử dụng tính đồng biến của hàm căn thức y = x trên [ 0, +∞ ) để

giải phương trình mà không sử dụng công cụ đạo hàm

Bài 19 (Thi học sinh giỏi Hà Tĩnh, 2009) Cho các số thực a b c , , thỏa mãn điều kiện a > > > b c 0 Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm

− − là liên tục và đồng biến chặt trên

[ a , +∞ ) vì là tổng của hai hàm đồng biến chặt

Nhận xét: Có thể tính đạo hàm để suy ra f x ( ) là hàm số đồng biến:

Tuy nhiên tính đạo hàm

Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm lũy thừa

Có thể sử dụng tính đồng biến ngặt của hàm lũy thừa y = a x , khi a > 1

và nghịch biến ngặt khi 0 < < a 1 để giải phương trình mà không sử dụng công cụ đạo hàm

Bài 20 (Olympic Chinh phục đỉnh núi Vorobiev, CHLB Nga, 2015,

Suy ra x 2 − 2 x − = + 2 5 15 ⇔ x 2 − 2 x − − 7 15 = 0

Đáp số: x x 1 2 = − − 7 15.

1.4.1.2 Kĩ thuật chủ đạo 2: Sử dụng đạo hàm bậc nhất

Kĩ thuật 1: Đưa phương trình về dạng f t ( ) 1 = f t ( ) 2 S ử dụng đạo hàm bậc nhất f t ′ > ( ) 0 để chứng minh f t ( ) đồng biến chặt trên khoảng ( ) a b , Suy

ra t 1 = t 2 Giải tiếp phương trình đã cho

Bài 21 (Thi học sinh giỏi Nghệ An 2012–2013, bảng A, lớp 12) Giải

+ + −

Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là x ≥ − 1, x ≠ 13.

Với điều kiện trên thì phương trình đã cho tương đương với

( x + 2 ) ( x + − = 1 2 ) 3 2 x + − ⇔ 1 3

x + x + + x + = x + + x + Xét hàm số 3

( )

f t = + t t Ta có 2

( ) 3 1 0

f t ′ = t + > với mọi t ∈ Suy ra hàm số f t ( ) liên tục và đồng biến trên Ta có:

Bài 22 (Thi học sinh giỏi Thành phố Hồ Chí Minh 2011–2012, lớp 12)

Giải: Điều kiện để hệ phương trình đã cho có nghĩa là x ≥ − 2 * ( )

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với

2 2 ( 4 4 ) 3 ( 4 4 ) ( 4 4 ) ( 2 2 3 )

4 + + x 2 x − − − 1 2 x 2 x − − = ⇔ 1 0 2 x − − 1 4 + + x − 2 x = 0 ⇔ 2 4 x − 4 − = 1 0 hoặc 2 2 3

Mặt khác ta có f ( ) 2 = 0 , do đó phương trình ( ) 1 có nghiệm duy nhất 2

x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 1; 2.

x x

Giải: Hệ phương trình đã cho có nghĩa với mọi x y , ∈ Ta có:

Đáp số: Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( ) ( ) x y ; = 0;1

Bài 27 (Thi học sinh giỏi Vĩnh Phúc 2012–2013, lớp 12) Giải hệ

phương trình

( ) 3

2 y y 2(1 x ) 1 x 1 x 3

⇔ + = − − + − Hàm số ( ) 3

2

f t = t + t có 2

( ) 6 1 0,

f t ′ = t + > t ∈ nên là hàm đồng biến chặt trên

Vì (3) ⇔ f y ( ) = f ( 1 − x ) nên y = 1 − x là nghiệm duy nhất của

phương trình (3)

Thay vào (2) ta được

3 2 − x + 1 − = + x 4 x + 4 ⇔ 3 2 − x + 1 − − x x + = 4 4 ( ) 4 Hàm số g x ( ) = 3 2 − x + 1 − − x x + 4 có

Vì g ( ) − = 3 4 nên x = − 3 là nghiệm duy nhất của phương trình (4)

g x = − x + − − x x + nghịch biến mà không cần tính đạo hàm

Bài 28(Thi học sinh giỏi Hải Dương 2012 – 2013, lớp 12) Giải hệ

phương trình

( ) ( ) ( )

3

3 3 0

f ′ x = x − ≥ ∀ ≥ x 1 nên f x ( ) đồng biến chặt trên [ 1; +∞ ) Phương trình (3) có dạng f x ( ) = f ( y − 1) nên (3)

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với ( ) 2 ( ) ( )

4 x + 1 2 x − − + 5 2 1 5 2 y − = y 0 1 Phương trình (1) có dạng f ( ) 2 x = f ( 5 2 − y ) với f t ( ) = ( ) t 2 + 1 t Ta có

2

t

f t ′ = + t > ∀ ≥ t

nên là hàm đồng biến chặt trên [ 0; +∞ ) Vậy (1) ⇔ f ( 2 x − y ) = f x ( + y ) ⇔ = x 2 y

Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) ( ) x y ; = 2;1

Bài 31 (Thi học sinh giỏi Quảng Nam 2014 –2015) Giải hệ phương trình

Giải: Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là y ≥ 0

Do y = 0 không là nghiệm hệ nên y > 0

Vì f ( ) 1 = ⇔ = 0 y 1 nên tập nghiệm hệ phương trình là 1 ;1

Vế trái là hàm số nghịch biến còn vế phải là hàm số đồng biến nên t = 1

là nghiệm duy nhất của (3) Từ đó suy ra 2 1 1 ,

1.4.1.3 Kĩ thuật chủ đạo 3: Sử dụng đạo hàm bậc hai

Nhiều khi đạo hàm bậc nhất không đủ để chứng minh f t ′ ≥ ( ) 0 Sử dụng đạo hàm bậc hai để chứng minh f t ′ ≥ ( ) 0, do đó f t ( ) đồng biến trên khoảng ( ) a b , Suy ra t 1 = t 2 Giải tiếp phương trình đã cho

Bài 33 (VMO 2008) Tìm số nghiệm của hệ 2 3 ( )

29 (1)

I log log 1 (2)

Giải: Điều kiện để hệ phương trình trên có nghĩa là x y , > 0.

Từ (2) ta suy ra nếu x > 1, tức là log 3 x > 0 thì log 2 y > 0, tức là y > 1.

Tương tự, nếu 0 < < x 1 thì 0 < < y 1 Kết hợp với (1) ta có x y , > 1.

Đặt X = log 3 x Y , = log 2 y Do x y , > 1 nên X Y , > 0 và x = 3 X và y = 2 Y

f t f t

→ = +∞ = Vì f ( ) 1 < 0 nên f t ( ) 0 < 0, ta có bảng biến thiên

t 0 t 0 +∞

( )

f t ′ − 0 + ( )

f t +∞ +∞

f t ( ) 0

Do tính liên tục của f t ( ) nên (5) có hai nghiệm dương

Đáp số: Hệ đã cho có hai nghiệm

Bài 34 (Thi học sinh giỏi lớp 12, Quảng Ngãi, năm học 2011–2012)

Đáp số: Hệ phương trình có hai nghiệm ( ) ( ) ( ) x y ; = { 0;0 ; 1;1 }

1.4.2.Phương pháp giá trị lớn nhất nhỏ nhất và đánh giá

Kĩ thuật chủ đạo Đưa phương trình về dạng f x ( ) = g y ( ), có thể ,

x = y hoặc x ≠ y Sử dụng các bất đẳng thức để đánh giá, sử dụng đạo hàm bậc nhất (và bậc hai nếu cần) để tìm giá trị lớn nhất của f x ( ), và nhỏ nhất của ( ),

g y tức là chứng minh f x ( ) ≤ ≤ A g y ( ). Suy ra phương trình f x ( ) = g y ( )

tương đương với hệ ( ) ;

Giải hệ này suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho

Bài 35 (Chọn đội tuyển Chuyên Đại học Vinh thi học sinh giỏi Quốc

gia 2013–2014) Giải hệ phương trình

Không mất tính tổng quát, giả sử x = max { x y z , , } Khi đó

( ) ( )

x ≥ z ⇒ f x ≥ f z tức là 3 x + 3 y ≥ 3 z + 3 x ⇔ ≥ y z Suy ra

f y ( ) ≥ f z ( ) ⇔ 3 y + 3 z ≥ 3 z + 3 x ⇔ ≥ y x ⇒ f y ( ) ≥ f x ( ) ⇔ 3 y + 3 z ≥ 3 x + 3 y ⇔ ≥ z x

Từ đó kết hợp với x = max x y z { , , } suy ra x = = y z Hệ trở thành

t

∀ >

Suy ra f t ( ) đồng biến chặt, g u ( ) nghịch biến chặt trên 1 ;

( ) ( ) 0

h t = f t − g t = có nghiệm duy nhất t 0 = 1 Suy ra ph ương trình (1) có nghiệm duy nhất x 0 = 1

Đáp số: Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = = = y z 1.

Bài 37 (Thi học sinh giỏi Nghệ An năm học 2010–2011, lớp 12) Giải

phương trình

2

x − + x + + − = x x +

Giải Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là − ≤ ≤ 1 x 2.

Với điều kiện trên thì phương trình đã cho tương đương với

2

1 2 1 2 (1)

x − − x x + − − = − − x

nên phương trình f x ( ) = m có đúng hai nghiệm

Dễ thấy x 1 = 0, x 2 = 1 là hai nghi ệm của phương trình (1)

Đáp số: Phương trình đã cho có hai nghiệm là x 1 = 0, x 2 = 1.

Bài 1.3 (Thi học sinh giỏi các trường chuyên khu vực Duyên Hải và

− −