Nghiên cứu một số thuật toán chọn K láng giếng gần trong 2D và áp dụng cho phương pháp RBF FD giải phương trình Poisson

TRẦN XUÂN TIỆP NGHIÊN CỨU MỘT SỐ THUẬT TOÁN CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN TRONG 2D VÀ ÁP DỤNG CHO PHƯƠNG PHÁP RBF-FD GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH ĐẠI HỌC THÁ

TRẦN XUÂN TIỆP

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ THUẬT TOÁN

CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN TRONG 2D

VÀ ÁP DỤNG CHO PHƯƠNG PHÁP RBF-FD

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

TRẦN XUÂN TIỆP

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ THUẬT TOÁN

CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN TRONG 2D

VÀ ÁP DỤNG CHO PHƯƠNG PHÁP RBF-FD

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON

CHUYÊN NGÀNH: KHOA HỌC MÁY TÍNH

MÃ SỐ: 60.48.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu riêng của tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và mới mẻ

Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Học viên thực hiện luận văn

Trần Xuân Tiệp

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành bản luận văn này, bên cạnh sự nỗ lực cố gắng của bản thân còn có sự hướng dẫn nhiệt tình của quý Thầy Cô, cũng như sự động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốt thời gian học tập nghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sĩ

Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến cô giáo TS Đặng Thị Oanh, người đã hết lòng giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành luận văn này Xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều mà cô đã dành cho tôi

Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến toàn thể quý Thầy Cô trong trường Đại học Công nghệ thông tin & Truyền thông cũng như quý Thầy Cô đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và cho đến khi thực hiện luận văn

Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, những người đã không ngừng động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian học tập

và thực hiện luận văn

Cuối cùng, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến các anh chị và các bạn

bè đồng nghiệp đã hỗ trợ cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn một cách hoàn chỉnh

Thái Nguyên, tháng 3 năm 2014

Học viên thực hiện

Trần Xuân Tiệp

MỘT SỐ HÀM DÙNG TRONG LUẬN VĂN

Tên hàm Viết tắt Định nghĩa Multiquadric MQ f mq( )r = 1 +r2

Inverse Multiquadric IMQ f imq( ) 1 1r = +r2

DANH MỤC HÌNH VẼ

Trang

Hình 2.6 Các điểm trên mỗi cung phần tư của hình tròn tâm z

(TT cung phần tư) 26

Hình 2.7 Chọn 2 điểm trên mỗi cung phần tư gần z nhất

(TT cung phần tư) 27

Hình 3.4 Số tâm ban đầu và sau cùng (Bài toán 2) 45

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT iii

DANH MỤC HÌNH VẼ iv

LỜI MỞ ĐẦU 1

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 3

1.1 Điều kiện vật lý dẫn đến phương trình Poisson 3

1.2 Hệ phương trình đại số tuyến tính 4

1.3 Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính 5

1.3.1 Chuẩn của véc tơ, chuẩn của ma trận 5

1.3.2 Phương pháp Gauss 6

1.4 Một số định nghĩa và khái niệm cơ bản của nội suy hàm RBF 8

1.5 Nội suy hàm RBF 10

1.5.1 Nội suy dữ liệu phân tán trong không gian R 10 d 1.5.2 Nội suy với hàm cơ sở theo bán kính 11

1.5.3 Nội suy với độ chính xác đa thức và hàm xác định dương có điều kiện 13

1.6 Phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Different - FD) 15

1.6.1 Bài toán truyền nhiệt dừng trong miền chữ nhật 15

1.6.2 Lưới sai phân 15

1.6.3 Hàm lưới 16

Chương 2 MỘT SỐ THUẬT TOÁN CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN TRONG 2D 19

2.1 Một số kiến thức cơ sở về cây tìm kiếm nhị phân 19

2.2 Thuật toán cung phần tư 23

2.2.1 Ý tưởng 23

2.2.2 Nội dung 23

2.2.3 Thuật toán 24

2.2.4 Ví dụ 25

2.2.4 Ưu, nhược điểm 27

2.3 Thuật toán Lee Liu Fan (LLF) 27

2.3.1 Ý tưởng 28

2.3.2 Nội dung 28

2.3.3 Thuật toán 28

2.3.4 Ví dụ 29

2.2.5 Ưu, nhược điểm 31

2.3 Thuật toán Oleg&Oanh – 2011 31

2.3.1 Ý tưởng 31

2.3.2 Nội dung 32

2.3.3 Thuật toán 33

2.3.4 Ví dụ 35

2.3.5 Ưu, nhược điểm 37

Chương 3 ÁP DỤNG THUẬT TOÁN CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN CHO PHƯƠNG PHÁP

RBF-FD TRONG KHÔNG GIAN 2D 38

3.1 Rời rạc hóa phương trình Poisson 38

3.2 Phương pháp RBF-FD (Radial Basis Function Finite Different) 39

3.2.1 Véc tơ trọng số dựa vào hàm nội suy theo cơ sở bán kính 39

3.2.2 Xây dựng ma trận hệ số (ma trận cứng) 41

3.2.3 Lược đồ phương pháp RBF-FD 42

3.3 Thử nghiệm số 43

3.3.1 Thử nghiệm trên miền hình chữ nhật 43

3.3.2 Thử nghiệm trên một số miền có hình học phức tạp 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN 56

LỜI MỞ ĐẦU

Nhiều hiện tượng khoa học và kỹ thuật dẫn đến các bài toán biên của phương trình vật lý toán Giải các bài toán đó đến đáp số bằng số là một yêu cầu quan trọng của thực tiễn Trong một số ít trường hợp thật đơn giản, việc đó có thể làm được nhờ vào nghiệm tường minh của bài toán dưới dạng các công thức sơ cấp, các tích phân hoặc các chuỗi hàm Còn trong đại đa số trường hợp khác, đặc biệt

là đối với các bài toán có hệ số biến thiên, các bài toán phi tuyến, các bài toán trên miền bất kỳ thì nghiệm tường minh của bài toán không có, hoặc có nhưng rất phức tạp Trong những trường hợp đó việc tính nghiệm phải dựa vào các phương pháp giải gần đúng

Trong suốt thế kỷ XX một loạt các phương pháp số đã hình thành và phát triển như các phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn v.v… đã đem lại những đóng góp to lớn trong việc ứng dụng các phương pháp toán học vào thực tiễn Các phương pháp vừa nêu nói chung đều là các phương pháp lưới Tuy nhiên, các phương pháp này còn nhiều hạn chế khi áp dụng vào lớp các bài toán thực tế có cấu trúc phức tạp

Vào khoảng những năm cuối của thế kỷ trước đã hình thành một xu hướng mới của các phương pháp số: Phương pháp không lưới Cũng như các phương pháp lưới, lược đồ giải các bài toán biên bằng phương pháp không lưới cũng cần thiết tạo

ra các tập hợp nút, mà ở đây gọi là các bộ tâm để tính toán Từ bộ tâm này ta xấp xỉ các toán tử vi phân bằng tổ hợp các giá trị của hàm tại các nút Phương pháp tìm các vectơ trọng số dựa trên các hàm cơ sở bán kính (RBF – Radial Basis Function) gọi là phương pháp nội suy dữ liệu phân tán với các hàm cơ sở bán kính RBF – FD (Radial Basis Function – Finite Different) Khi áp dụng phương pháp này, khó khăn gặp phải là chọn bộ tâm cho nội suy hàm RBF để tìm véc tơ trọng số Nhận

thức được vấn đề trên và sự định hướng của TS Đặng Thị Oanh, tôi đã mạnh dạn

chọn đề tài: “Nghiên cứu một số thuật toán chọn k-láng giềng gần trong 2D và

áp dụng cho phương pháp RBF-FD giải phương trình Poisson”

Mục đích của đề tài là tìm hiểu một số thuật toán chọn tâm phổ biến hiện nay

và cài đặt thử nghiệm để so sánh hiệu quả của mỗi thuật toán Đồng thời tìm nguyên nhân gây ra sai số của mỗi thuật toán, trên cơ sở đó phân loại lớp bộ tâm phù hợp cho mỗi thuật toán

Nội dung luận văn bao gồm 3 chương:

Chương 1: Một số kiến thức cơ sở

Chương này trình bày một số kiến thức về hình học phẳng; Điều kiện vật lý dẫn đến phương trình Poisson; Hệ phương trình đại số tuyến tính; Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính; Một số định nghĩa và khái niệm cơ bản của nội suy hàm RBF; Nội suy hàm RBF; Phương pháp sai phân hữu hạn

Chương 2: Một số thuật toán chọn K-láng giềng gần trong 2D

Chương này sẽ tập trung nghiên cứu ba thuật toán tìm K-Láng giềng gần trong 2D là: thuật toán bốn cung phần tư, thuật toán Lee Liu Fan, thuật toán Oleg&Oanh-2011, phương pháp không lưới có sự hỗ trợ của thuật toán tìm K-Láng giềng gần

Chương 3: Áp dụng thuật toán chọn K-láng giềng gần cho phương pháp RBF-FD trong không gian 2D

Chương này dành cho phần thử nghiệm nhằm so sánh hiệu quả của các thuật toán tìm K-Láng giềng gần khi áp dụng để hỗ trợ phương pháp không lưới giải phương trình Poisson

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Điều kiện vật lý dẫn đến phương trình Poisson

Xét một bản mỏng vật chất W, có đường biên là một đường cong khép kín G, đặt trong mặt phẳng Oxy

Khi đó ta có phương trình truyền nhiệt trong môi trường phẳng đồng chất

Nếu đến một lúc nào đó phân bố nhiệt trên bản mỏng vật chất đã ổn định, không thay đổi theo thời gian nữa thì ta nói hiện tượng truyền nhiệt đã dừng

Từ lúc đó nhiệt độ không thay đổi theo thời gian nên u 0

t

¶ =

¶ và ta có phương trình truyền nhiệt dừng như sau:

Người ta gọi chúng là phương trình Poisson hai chiều

Đối với phương trình Poisson hai chiều (1.7) điều kiện phụ cho tại biên Gcủa miền W

Điều kiện phụ

u x y( , )= g x y( , ), ( , )x y ÎG (1.8) Gọi là điều kiện biên loại một hay điều kiện biên Dirichlet

Bài toán tìm hàm số u u x y= ( , ) thỏa mãn phương trình (1.7) với điều kiện biên (1.8) gọi là bài toán biên loại một hay bài toán biên Dirichlet đối với phương trình Poisson (1.7)

Ý nghĩa vật lý của bài toán này là mô tả sự phân bố nhiệt đã ổn định trong mặt phẳng W khi phân bố nhiệt độ tại biên Gcủa W ổn định là g x y( , ) [14]

1.2 Hệ phương trình đại số tuyến tính

Xét một hệ phương trình gồm n phương trình tuyến tính với n ẩn số

î

(1.9)

Hệ này có thể viết dưới dạng ma trận Ax b= , trong đó

j j

A x

A

trong đó A j là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ j bởi cột b

Công thức (1.10) thường chỉ dành cho hệ với ma trận hệ số cỡ nhỏ, còn với

ma trận cỡ lớn thì chi phí cho tính toán quá lớn Do đó, người ta đã đi xây dựng các phương pháp nhanh để giải hệ phương trình đại số tuyến tính cỡ lớn là khai thác triệt để các thông tin về ma trận của hệ

1.3 Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính

1.3.1 Chuẩn của véc tơ, chuẩn của ma trận

a) Chuẩn của véc tơ

n i i

1

n i i

1) Đổi chỗ hai phương trình bất kì

2) Nhân một phương trình với một số khác không

3) Cộng vào phương trình một tổ hợp tuyến tính của một phương trình khác Như vậy phương pháp Gauss gồm hai quá trình:

Quá trình thuận: Đưa hệ về dạng tam giác trên

Quá trình ngược: Giải hệ tam giác trên từ dưới lên trên

a) Quá trình thuận: Để viết gọn ta xét hệ

î

(1.11)

Và đặt a ij(0) =a ij, (i= 1, 2, , ; n j= 1, ,n+ 1)

Bước 1: Dùng phương trình đầu tiên để khử x1trong n - 1 phương trình còn lại Giả

sử a11 ¹ 0(ta luôn có được điều này bằng cách đổi chỗ hai phương trình) Chia hai

vế của phương trình thứ nhất cho a11 ta được phương trình:

1 12 2 1n n 1,n 1

Với

(0) 1

11

, 2, , 1.

j j

+

ï í ï

Như vậy sau bước 1 ta thu được phương trình (1.12) và hệ (1.13)

Bước 2: Dùng phương trình đầu tiên trong (1.13) khử x 2 trong các phương trình còn lại tương tự như đã làm trong bước 1 Quá trình được tiếp tục như vậy Kết quả

sau bước thứ m ta thu được hệ

( ) ( ) ( )

1, 1 1 1, 1, 1 ( ) ( ) ( ) , 1 1 , , 1 , 1 1 , , 1

với

Cuối cùng, sau n bước khử ta thu được hệ phương trình với ma trận tam giác

trên sau đây:

1 12 2 1n n 1,n 1

x +b x + +b x =b +

x2+ + b x2n n=b2,n+1 (1.14)

Cho tập các tâm rời rạc Xz với z là tâm, tất cả các điểm thuộc Xz nằm

xung quanh tâm z được gọi là K-láng giềng của z

* Định nghĩa 1.2 (Tập các tâm rời rạc Xz )

Tập các tâm rời rạc Xz là tất cả các tâm, bao gồm cả các tâm nằm trong miền

và các tâm nằm trên biên [12]

* Định nghĩa 1.3 (Véc tơ trọng số(stencil))

Cho D là toán tử vi phân tuyến tính và X ={x x1 , , 2 x n} là bộ tâm phân tán đã được chọn trong không gian R d Một xấp xỉ vi phân tuyến tính đối với toán tử D

* Định nghĩa 1.4 (Giá của véc tơ trọng số ºV )

Giá của véc tơ trọng số ºV là tập hợp các tâm bao gồm V và các tâm nằm trong lân cận địa phương của nó

Trong các phương pháp dựa trên lưới thì tập này bao gồm V và các đỉnh của các tam giác mà được liên thông với V bởi một cạnh Còn đối với phương pháp

không lưới, cần một thuật toán lựa chọn các tâm này mà chúng tôi gọi là thuật toán

lựa chọn giá của véc tơ trọng số [12]

* Định nghĩa 1.5 (Hàm bán kính (Radial function))

Một hàm F :R d ®R được gọi là hàm bán kính nếu ở đó tồn tại một hàm

Một hàm liên tục F :R d ®R được gọi là xác định dương nếu với mọi bộ tâm phân biệt từng đôi một { 1 , , 2 } d

n

x x x R

z

X = Ì , n NÎ và mọi vectơ c RÎ n thì dạng toàn phương:

Biểu thức (1.18) là đẳng thức khi và chỉ khi c là véc tơ không [8]

* Định nghĩa 1.7 Hàm một biến f: 0,[ +¥ ®) R được gọi là xác định dương trên R d

nếu hàm nhiều biến tương ứng F( ) :x =f( )x 2 ,x RÎ d là xác định dương [8]

Cho B B1, , ,2 B là các hàm cơ sở của không gian tuyến tính n

1

, 1, 2, ,

n

k i k

1

( ) ( )

( ) ( )

n

B x B x A

* Định nghĩa 1.8 Cho FÌC( ) W là không gian tuyến tính hữu hạn chiều có cơ

sở là { ,B B1 2, , B }n Khi đó F là không gian Haar trên W Ìd R d nếu detA¹ 0 với mọi tập phân biệt { , , , }x x1 2 x n trong W, trong đó ma trận A đã được định nghĩa bởi (1.22) [8]

Định lý 1.2 (Mairhuber Curtis) Giả sử rằng W ÌR d , chứa một điểm trong Khi đó không tồn tại không gian Haar của các hàm liên tục trên W, trừ khi đối với không gian một chiều [8]

Định lý Maihuber Curtis cho thấy rằng nếu muốn giải được bài toán nội suy

dữ liệu phân tán nhiều biến thì cơ sở cần phụ thuộc vào các vị trí dữ liệu Để thu được các không gian xấp xỉ phụ thuộc dữ liệu, chúng ta cần xét các hàm xác định dương và các ma trận dương

1.5.2 Nội suy với hàm cơ sở theo bán kính

Cho bộ Fk,k=1, 2, ,n sao cho

2) Để bài toán nội suy có nghiệm duy nhất, ta cần phải chọn hàm F phù hợp sao cho det A¹ 0

Bảng 1.1 Một số hàm nội suy theo bán kính dùng trong luận văn

Tên hàm Viết tắt Định nghĩa Multiquadric MQ f mq( )r = 1 +r2

Inverse Multiquadric IMQ f imq( ) 1 1r = +r2

Nếu Fk( )x là hàm xác định dương thì theo điều kiện nội suy ta có

Ac y= (1.25) Trong đó

Theo định nghĩa hàm xác định dương thì detA¹0 [8]

1.5.3 Nội suy với độ chính xác đa thức và hàm xác định dương có điều kiện

Cho bộ Fk,k= 1, 2, ,n sao cho

x x x ÎR n NÎ , mọi véc tơ c RÎ n và mọi

đa thức p giá trị thực bậc nhỏ hơn l, thỏa mãn

2) Ma trận A với các phần tử A j k, = F (x j -x k) tương ứng với hàm chẵn, liên tục và xác định dương có điều kiện bậc l, có thể được sáng tỏ như là hàm xác định dương trên không gian véc tơ c sao cho

( ) 0

n

j j j

c p x

=

=

trong đó p là đa thức bậc nhỏ hơn l

Thật vậy, với cách này, ma trận A là xác định dương trên không gian véc tơ trực giao c đối với đa thức bậc nhỏ hơn hằng l - 1

1.6 Phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Different - FD)

1.6.1 Bài toán truyền nhiệt dừng trong miền chữ nhật

Cho các số a, b, c, d với a < b, c < d Xét trong mặt phẳng toạ độ vuông góc

với Oxy một miền chữ nhật Ω có cạnh song song với các trục toạ dộ Ox và Oy

được gọi là các nút biên và tập tất cả các nút này kí hiệu là Ghk Tập W = W È Ghk hk hk

gọi là một lưới sai phân trên W

Hình 1.1 Lưới sai phân

hk u u O h k

Chương 2 MỘT SỐ THUẬT TOÁN CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN TRONG 2D

2.1 Một số kiến thức cơ sở về cây tìm kiếm nhị phân

Trong chương này ta trình bày một số thuật toán tìm kiếm "k-láng giềng gần" Bao gồm có 3 thuật toán, về cơ bản các thuật toán tìm kiếm trên đều tính độ sai khác giữa một phần tử truy vấn (tâm tìm kiếm) mà ta nhập vào và một tập hợp các phần tử các láng giềng tìm được chính là các phần tử có độ sai khác thỏa mãn điều kiện nào đó Các thuật toán có thể có cách tính giống nhau và tùy vào mỗi bài toán

cụ thể ta sẽ có độ đo và cách tính thích hợp

Đây là thuật toán cơ bản nhất tìm kiếm k láng giềng gần nhất từ 1 tập hợp các phần tử Các Thuật toán sau đây sử dụng 2 cách tính khoảng cách để đo sự sai khác giữa phần tử truy vấn và phần tử của tập hợp

Có rất nhiều cách tính khoảng cách giữa 2 phần tử nhưng trong phạm vi các thuật toán này ta chỉ xét 2 cách tính khoảng cách

Cho 2 điểm nếu p=(p p1, , ,2 p n) và q=(q q1, , ,2 q n)

Khoảng cách tuyệt đối tính theo công thức sau:

1

1 n n

1 ( )x n (x i x)

n

s = å

-* Cây tìm kiếm nhị phân

Trước khi đi vào thuật toán ta sẽ sơ qua đôi chút về Cây tìm kiếm nhị phân

(BST - Binary Search Tree)

Cây tìm kiếm ứng với n khóa k=(k k1 , , , 2 k n) là cây nhị phân mà mỗi nút đều

được gán một khóa sao cho với mỗi nút k:

Mọi khóa trên cây con trái đều nhỏ hơn khóa trên nút k

Mọi khóa trên cây con phải đều lớn hơn khóa trên nút k

Cây tìm kiếm nhị phân là một cấu trúc dữ liệu cơ bản được sử dụng để xây dựng các cấu trúc dữ liệu trừu tượng hơn như các tập hợp, đa tập hợp, các dãy kết hợp Nếu một cây tìm kiếm nhị phân có chứa các giá trị giống nhau thì nó biểu diễn một đa tập hợp Cây loại này sử dụng các bất đẳng thức không nghiêm ngặt Mọi nút trong cây con trái có khóa nhỏ hơn khóa của nút cha, mọi nút trên cây con phải

có nút lớn hơn hoặc bằng khóa của nút cha

Nếu một cây tìm kiếm nhị phân không chứa các giá trị giống nhau thì nó biểu diễn một tập hợp đơn trị như trong lý thuyết tập hợp Cây loại này sử dụng các bất đẳng thức nghiêm ngặt Mọi nút trong cây con trái có khóa nhỏ hơn khóa của nút cha, mọi nút trên cây con phải có nút lớn hơn khóa của nút cha

Việc chọn đưa các giá trị bằng nhau vào cây con phải (hay trái) là tùy theo mỗi người Một số người cũng đưa các giá trị bằng nhau vào cả hai phía, nhưng khi

đó việc tìm kiếm trở nên phức tạp hơn

Hình 2.1: Cây tìm kiếm nhị phân

35

15

54 42

23

19

9 4

7

Việc tìm một khóa trên cây tìm kiếm nhị phân có thể thực hiện nhờ đệ quy Chúng ta bắt đầu từ gốc Nếu khóa cần tìm bằng khóa của gốc thì khóa đó trên cây, nếu khóa cần tìm nhỏ hơn khóa ở gốc, ta phải tìm nó trên cây con trái, nếu khóa cần tìm lớn hơn khóa ở gốc, ta phải tìm nó trên cây con phải Nếu cây con (trái hoặc phải) là rỗng thì khóa cần tìm không có trên cây

Giả mã:

Search_binary_tree(node, key);

if node is Null then

return; None % key rỗng

else % key is equal to node key

return node.value; % found key

Thời gian tìm kiếm trung bình là O(log n)

Cây tìm kiếm KD -TREE: KD- tree là viết tắt của K - Dimensional Tree

KD - Tree là một cấu trúc dữ liệu phân hoạch không gian, dùng để tổ chức các điểm trong không gian k-chiều

Mỗi node sẽ tạo ra một mặt phẳng phân chia mà sẽ chia không gian ra thành 2 không gian con Những điểm bên trái sẽ đại diện cho cây con trái của node và những điểm bên phải sẽ đại diện cho cây con phải của node Thực chất KD-tree là một cây nhị phân, mà ở mỗi mức nó sẽ phân hoạch dữ liệu theo một chiều nào đó trong số các k chiều

Ví dụ: Nếu trục được chọn để phân hoạch là “X” thì tất cả những điểm có giá trị x nhỏ hơn sẽ nằm bên cây con trái, và những điểm có giá trị x lớn hơn sẽ nằm bên cây con phải

Với k = 2, phân hoạch theo x ày àx ày …

Minh họa việc tạo dựng kd-tree

Cho tập {(2,3), (5,4), (9,6), (4,7), (8,1), (7,2)}

Hình 2.2: Phân hoạch Kdtree

2.2 Thuật toán cung phần tư

2.2.1 Ý tưởng

Chọn m điểm từ tập các tâm rời rạc X, lấy z làm gốc tọa độ ta chia thành bốn cung phần tư của hình tròn tâm z bán kính là khoảng cách xa nhất từ m điểm vừa chọn tới z , trên mỗi cung phần tư của hình tròn tâm z chọn 2 điểm gần z nhất ta

sẽ nhận được bộ tâm hỗ trợ [11]

2.2.2 Nội dung

Bước 1: Đầu tiên chọn m điểm từ tập các tâm rời rạc X

Bước 2: Xác định các điểm nằm trên mỗi cung phần tư của hình tròn tâm z