Bài giảng Điều khiển nâng cao

những bài tốn khơng có điều kiện ràng buộc cho p, hay P=Rn được gọi là bài tốn khơng bị ràng buộc Trang 31 Xét bài toán tối ưu argminQp có Qp=p14+p22+4p1 Trang 50 Cũng như vậy nếu n

ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TĨNH

Khi đã nói tới bài toán tối ưu có nhiều nghiệm ta cũng phải bàn tới bài toán tối ưu không có nghiệm, xét một ví dụ dưới đây:

là điều phi lý Bằng ví dụ này đã chỉ ra bài toán điều khiển tối ưu vô

nghiệm tức là không có phương án điều khiển p*€ P làm cho Q(p) có giá trị nhỏ nhất Trường hợp này gặp ở bài toán P là tập hở nhưng đạo hàm của Q(p) trong P lại khác không (chẳng hạn nằm trên biên của P

Nói cách khác không bắt buộc phải có tập tham số điều khiển thích hợp P những bài toán không có điều kiện ràng buộc cho

p, hay P=Rn được gọi là bài toán không bị ràng buộc

(unconstrained)

Xét bài toán tối ưu argminQ(p) có Q(p)=p14+p22+4p1

p€P

Có thể một số bài toán tuyến tính chưa có dạng chuẩn (1.27) Song ta luôn chuyển chúng về được dạng (1.27) Chẳng hạn như hay:

Cũng như vậy nếu như chưa có điều kiện P thì ta sẽ biến với và để lại có dạng (1.27)

Ta có thể áp dụng phương pháp đơn hình của Danzig cho bài toán tối ưu phi tuyến tính Nó gồm các bước:

Giả sử Rank(A)=r Chọn r véc tơ cột độc lập tuyến tính của A Không mất tính tổng quát nếu cho rằng đó là r cột đầu tiên Biểu diễn các biến pr+1 pr+2 pn qua các biến p1, p2 pr sau đó thay vào Q và P được: Q(p)=d1p1+d2p2+…+drpr

Nếu biểu diễn dưới dạng bảng sẽ có:

… … …

2) Đổi chỗ một hàng và một cột cho nhau để cuối cùng gồm toàn số không âm, không đổi hàng Q và cột T Ví

dụ muốn đổi chỗ cột k và hàng l của:

Cho bài toán (1.27) với:

Cuối cùng ta có kết luận sau về nghiệm tối ưu:

p1=p5=p6=0; p2=8; p3=p4=4 và Qmin=-36

Chú ý:Bài toán ở ví dụ 1.11 chính là dạng chuẩn của bài toán tối ưu tuyến tính cho trong ví dụ 1.10 Từ nghiệm của bài toán dạng chuẩn của nó ở ví dụ 1.11 ta cũng sẽ có được nghiệm của bài toán trong ví dụ 1.10 bằng cách bỏ đi tất cả những

biến phụ đã thêm vào Cụ thể nghiệm của bài toán tối ưu ở vị trí 1.10 sẽ là: p1=0; p2=8; p3 =4 và p4 =4

Để áp dụng được phương pháp giải bài toán tối ưu tuyến tính chẳng hạn phương pháp đơn hình thì trước hết phải xấp xỉ bài toán phi tuyến thành tuyến tính Tuyến tính hóa bài toán phi tuyến p*=argmin Q(p) được thực hiện qua 2 công đoạn:

-Tuyến tính hóa điều kiện ràng buộc P

-Tuyến tính hóa hàm mục tiêu

H.1.13 là ví dụ minh họa Ở đây bài toán tối ưu phi tuyến ban đầu được tuyến tính hóa từng đoạn

thành 3 bài toán tối ưu tuyến tính con là K=1,2,3 trong đó pK- phải là các miền đủ nhỏ thuộc p sao cho trong đó hàm phi tuyến Q(p) có thể xấp xỉ được bằng các hàm tuyến tính

Và pk-là một điểm tùy ý thuộc Pk Các miền pk không được phép giao nhau đôi một và phải phủ kín P, ngoài ra chúng càng nhỏ thì việc xấp xỉ Q(p) từng đoạn theo (1.28) sẽ

càng chính xác

Thông thường người ta tuyến tính hóa ràng buộc P thành các điều kiện ràng buộc tuyến tính Pk dưới dạng :(H.1.13b) Tức là chia nhỏ miền P thành các miền Pk bằng các tấm

lưới có cạnh song song với trục tọa độ

b)

Sau khi đã tuyến tính hóa bài toán tối ưu

Ban đầu thành m bài toán tối ưu tuyến tính con

thì việc giải bài toán tối ưu

-Điểm S2 được chọn sao cho nó chia khoảng nghiệm [S1, S2]

theo nguyên tắc tỷ lệ của đoạn ngắn trên đoạn dài bằng tỷ lệ

đoạn dài trên toàn khoảng Nói cách khác điểm s2 phải thỏa mãn (H.1.17) Điểm s3 lấy đói xứng với s2 qua của khoảng nghiệm

[s0, s1]

Khi đó s3 cũng chia khoảng nghiệm theo đúng nguyên tắc của đoạn ngắn trên đoạn dài bằng tỷ lệ đoạn dài trên toàn khoảng tức là cũng có:((s1-s3)/(s3-s0)=s3-s0)/(s1-s0)

-Trong bước đầu tiên có s0=0, S1=1 nên S2/(1-S2)=1-S2 hay Điều đặc biệt của phương pháp nhát cắt vàng là 2 điểm s1, s2 luôn đối xứng qua [s0, s1] Do đó từ những bước sau không phải tính lại điểm s2, s3 chỉ cần lấy điểm đối xứng qua tâm của khoảng [s0,s1] với một trong 2 điểm s2, s3 là sẽ có điểm còn lại

Thì phương pháp sẽ cho ra nghiệm chính xác sau đúng n bước tính(H.1.19b

Định lý c1.10:Gọi P* là nghiệm của bài toán (1.36) và p*λ

là nghiệm của (1.38)

b) Luôn tồn tại số dương λ lớn để p*λ €P, tức là có:

Vì pλ*=argminH(p,λ) là bài toán không ràng buộc nên nghiệm Của nó sẽ tìm được theo nhưng vì khi Nên chỉ có thể là nghiệm của

Từ đây suy ra nhờ định lý 1.10:

Nhằm sử dụng được công thức xác định điểm cực trị cho việc tìm khoảng cách bước tìm tối ưu (1.34) tức là phải tìm được nghiệm p* của bài toán tối ưu bị ràng buộc

Không nằm trên biên của P, kỹ thuật hàm chặn đặt ra mục tiêu

là chuyển hàm mục tiêu Q(p) thành hàm H(p,λ) có gia trị

càng lớn khi p tiến tới gần biên của P nhưng vẫn thuộc P

(H.1.22), nếu làm được như vậy rõ ràng điểm cực tiểu của Bài toán luôn nằm phía trong P ta có thể thấy để có hàm H(p,λ) xác định trên P với gaasi trị khi càng lớn khi p tiến tới gần biên của P thì tập p phải chứa ít nhất 1 điêm Như vậy kỹ thuật hàm chặn chỉ thích hợp cho bài toán tối ưu (1.1) bị ràng buộc có P mô tả bằng:

Tức là với chúng hàm: sẽ có giá tgrij

càng lớn khi p càng tiến tới gần birn P Giữa nghiệm (nằm bên trong P) của bài toán tối ưu và nghiệp

có thêr nằm trên biên của P) của bài toán tối ưu bị ràng

buộc (1.1) có quan hệ sau:

Một trong những bộ điều khiển được ử dụng rộng rãi trong

thực tế là bộ PID vời hàm truyền đạt:

Kp-h.sô k.đại, TD-thời gian vi

phân ,Ti thời gia tích phân

Ngoài ra từ công thức:

[ví dụ (1.16) –bài tập]

Nhận dạng mô hình đối tượng tiền định

Trong điều khiển ta rất hay gặp bài toán xây dựng mô hình toán học mô tả đối tượng trên cơ sở quan sát(đo) các tín hiệu vào ra của nó

Bài toán có tên gọi là nhận dạng đối tượng điều khiển Nó được Zadeh định nghia như sau:

Định nghĩa 1.13 Nhận dạng (indentification) là phương

pháp xác định mô hình toán học cụ thể của lớp mô hình

thích hợp đã cho trên cơ sở quan sát các tín hiệu vào ra của đối tượng sao cho sai lệch giữa mô hình tìm được với đối tượng là nhỏ nhất

Định nghĩa cho thấy bài toán có dạng của bài toán tói ưu

Công việc được bắt đầu với thông tin mang tính gợi ý tuy còn có khá sơ dăng về đối tượng các thông tin đó là thông tin A-priori, nó cho biết đối tượng là tuyến tính hay phi

tuyến Liên tụ hay rời rạc

Song do mô hình (1.40) còn cần phải xác định nên đẳng thức trên không còn đúng Giữa 2 vế của nó có một sai lệch Sai lệch này có tên gọi là sai lệch dự báo tuyến tính tại thời điểm t=kT giữa mô hình và đối tượng(H.1.25)

Đòng thời chọn véc tơ:

b)Nếu ma trận không suy biến thì được tính:

Trị điểm cự sk1, sk2….skn chọn trước Nói cách khác từng phần tử

rRpq của Rk là những hàm số của sk1, sk2….skn

Tức là cần phải xác định các phần tử của nó

Từ (1.54) và (1.55) có được

Dó đã có hàm f1(δ,ω) mô tả các đường cong trơn thuộc biên

δD nên thực chất để xác định được và tức là một giá trị phức vì :

Pi

Nhưng vì:

Nên

Nhân cả 2 vế phương trình trên với

Và để ý rằng :

Được:

Chú ý: Theo phương pháp gradient để tìm nghiệm tối ưu , sau mỗi bước tìm nghiệm hàm mục tiêu Q(p ) phải có giá trị nhỏ hơn ở bước trước Bởi vậy sau mỗi bước tìm nghiệm nếu điều kiện trên không được thỏa mãn thì có thể dừng thuật toán mà khẳng định rằng bài toán không có nghiệm.

NHẬN DẠNG TRỰC TUYẾN MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC

Nhận dạng trực tuyến(online) mô hình không tham số

Xét bài toán nhận dạng như sau: giả sử đã biết thông tin ban đầu về đối tượng ngẫu nhiên rằng đối tượng là SISO, tuyến tính, ổn định hợp thức chặt (tất cả nghiệm nằm trong vòng tròn có bán kính là 1 trên mặt phẳng phức) và bị nhiễu n(t) tác động ở đầu ra, vậy nó được mô tả đầy đủ bằng hàm trọng lượng g(t)

Bài toán đặt ra ở đây là trên cơ sở các kết quả đo tín hiệu vào u(t) và ra y(t) ta phải xác dịnh hàm trọng lượng g(t) sao cho sai lệch đầu ra của đối tượng y(t) với đầu ra của mô hình

hợp thức chặt (có ): (3.12) là nhỏ nhất

Giả sử việc thực hiện đo lường các tín hiệu u(t) và ra y(t ) bằng cách trích mẫu với thời gian trích mẫu là T, khi đó kết quả đo lường trong khoảng thời gian 0≤nT sẽ là các giá trị của u(t), y(t) tại t=kT, k=0,1…N-1, nói cách khác ta thu được giá trị với: uk=u(kT), yk=y(kT) , k=0,1,….N-1

Giá trị tín hiệu đầu ra của mô hình tại thời điểm t=kT cũng được suy ra từ cách tương tự:

trong đó gk=g(kT)

Nhiệm vụ nhận dạng bây giờ là phải xác dịnh các giá trị gn,

n=0,1…N-1 của hàm trọng lượng g(t) sao cho tổng bình

phương của sai lệch: có giá trị nhỏ nhất nói cách khác là phải làm cho:

) (

~

n

n k n

k k

e

min

2 1

e Q

Đây là hàm nhiều biến theo gn , n=0,1… Hàm có dạng toàn phương với giá trị không âm và bằng không khi và chỉ khi

chính xác, tức là tín hiệu ra của đối tượng chính bằng tín hiệu

ra của mô hình, vì vậy để Q có giá trị nhỏ nhất thì cần và đủ

là với mọi giá trị của m=0,1… Điều này dẫn đến:

Thay k-m bằng q trong tổng thứ nhất bằng p trong tổng thứ

2 nhận được:

Đối tượng

Mô hình {gk} H.3.2 Bài toán nhận dạng trục tuyến mô hình không

tham số

u(t)

uk

y(t) n(t)

n k n k n k

n k k

m k N

n

n k n

k g u u u y g u u y

bị ảnh hưởng bởi nhiều đầu ra n(t) của nhiễu nếu nhiễu đó có kỳ vọng bằng

0 và không tương quan với tín hiệu vào u(t) vì

m q

N g y

* )

0 ((

) (

N

n

mr u

( )

( )

Từ đây ta đi đến thuật toán xác định ảnh Fourier G(jnΩ) của dãy hàm trọng lượng gn n=0,1 từ các giá trị tín hiệu uk, yk, k=0,1 đo được gồm các bước sau:

1.tính giá trị ru(mT), ruy(mT), m=_N+1….-1,0,1…N-1 của các hàm tương quan bằng công thức Bias sau:

2 Chọn một chỉ số LagM=N/10 rồi gán ru(mt)=ruy(mt)=0 khi

|m|>M để làm giảm sai số rò rỉ

3.Tính (có thể dùng thuật toán FFT để tăng tốc độ tính toán)

Trong đó và gọi là chu kỳ trích mẫu tương ứng trong miền phức

4 Tính n=0,1…2M

Nhận dạng trực tuyến tham số mô hình đối tượng không

có thành phần vi phân

Xét bài toán nhận dạng tham số mô hình đối tượng SISO

tuyến tính có tín hiệu vào u(t) ra y(t) ngẫu nhiên được mô tả bởi hàm truyền đạt

(3.15)

Trong đó Su(s), Suy(s) là các hàm mật độ phỏ của tín hiệu vào u(t) ra y(t) và b1….bm, a0, a1…am là những tham số cần xác định Sử dụng ngay thuật toán giải bài toán tương tự với các tín hiệu vào ra đã trình bày ở mục 1.62 nhưng thay chỗ cho U(jkΩ), Y(jkΩ) là các giá trị mật độ phổ Su(nΩ),

Suy(nΩ) ta sẽ đi đến các bước nhận dạng tham số mô hình (3.15) của đối tượng ngẫu nhiên như sau:

1.Xác định

Từ:

Bằng thuật toán nhận dạng phổ vừa trình bày trong đó:

2)Lập các vec tơ P, fk, h và ma trận F như sau

Trong đó cần thay các vec tơ P, fk, h và ma trận F như sau: Khi đó bộ tham số tối ưu p* cho mô hình (3.16) sẽ là

nghiệm của :2Ap*-b=0

Với A=FHF và bT=2Re(hHF)

Và H ở vị trí lũy thừa là ký hiệu của phép tính chuyển vị lấy liên hợp

3.3 Điều khiển tối ưu ngẫu nhiên động

3.2.1 Bộ lọc Wiener

Mục đích của bộ lọc

Một trong những vấn đề thường gặp trong bài toán điều khiển là khử nhiễu Có nhiều bộ khử nhiễu như bộ lọc tần số thấp, bộ lọc tần số cao, bộ lọc Wiener, bộ lọc Kalman Bộ lọc Wiener là một khâu tuyến tính, ổn định Nguyên lý làm việc của nó được mô tả trên h.3.3 Tín hiệu vào của bộ lọc là u(t) bị lẫn nhiều n(t), tức là: u(t)=u0(t)+n(t)

trong đó u0(t) là tín hiệu thực không bị lẫn nhiễu Đầu ra của bộ lọc là y(t) Nhiệm vụ dặt ra cho bộ lọc G(s) là loại bỏ thành phần nhiễu n(t) có lẫn trong u(t) thỏa mãn:

y(t)=u0(t)

Do tín hiệu nhiễu n(t) không có cùng nguồn phát như u0(t) nên ở đây ta có thể xem chúng là không tương quan với nhau Nếu có thêm giả thiết n(t) có giá trị trung bình (kỳ vọng) bằng 0 thì khi đó

sẽ có:

Nhiệm vụ của bộ lọc là tạo ra tín hiệu y(t) ở đầu ra giống như tín hiệu không bị lẫn nhiễu u0(t) ở đầu vào Đánh giá cho sự sai khác giữa y(t) và u0(t) là hàm sai lệch:

nếu ta chỉ lập hàm đo chất lượng của bộ lọc theo:

Thì rõ ràng không những phụ thuộc vào g(t) cần phải xác định

mà còn phụ thuộc cả vào tín hiệu nhiễu n(t) có lẫn trong u(t) tức là Vì vậy không thể hi vọng rằng thông qua việc xác định lại có thể nhận được một hàm g(t) bất biến với nhiễu

n(t) Để có thể tránh được sự xuất hiện n(t) trong hàm đo chất

lượng bộ lọc người ta đã không sử dụng (3.17) mà thay vào đó là

kỳ vọng của nó:

Và như vậy bộ lọc Wiener trở thành một bài toán tối ưu ngẫu

nhiên

Do n(t) không tương quan với u0(t) nên Q được lập theo (3.18)

cũng sẽ không phụ thuộc vào n(t), tức là:

Q=Q(g)

Và ta đi đến dạng chuẩn của bài toán tối ưu tìm hàm trọng lượng

g(t) mô tả bài toán thiết kế bộ lọc Wiener như sau:

Q

Q 

trong đó P-là tập hàm trọng lượng của các khâu tuyến tính

Hãy thiết kế bộ lọc Wiener biết rằng tín hiệu hữu ich u0(t) và nhiễu n(t) có:

1

3 ) ( ) (

2 0

0

1

2 )

3 1

3 )

s s

s

S u 

2 0

1

2 )

(

s s

s A s

s

1

3 ,

1 3

3

73 , 0 1

73 0 ) 3 )(

1 (

2 )

s s A

S s

G uu

3

73 , 0 ,

1

73 0

B

3

73 , 0 )

B s G

3.3.2 Bộ quan sát trạng thái Kalman( lọc Kalman)

Trong những phương pháp phản hồi trạng thái người ta

thường giả thiết vector tín hiệu trạng thái x đo được(nhờ cảm biến) để phản hồi ngược về cho bộ điều khiển

Điều này trong thực tế thường không thực hiện được chỉ là

vì có khá nhiều biến trạng thái không thể đo trực tiếp mà chỉ có thể xác định được một cách gián tiếp thông qua những tín hiệu đo được khác

Chẳng hạn như ở động cơ xoay chiều ba pha thì biến trạng thái từ thông động cơ không đo trực tiếp , nó chỉ có thể xác định được thông qua những tín hiệu đo được trực tiếp khác là giá trị dòng điện stato và giá trị tốc độ quay động cơ Cũng như vậy ở hệ cơ khí động năng của một vật đang chuyển

động chỉ có thể xác định được thông qua vận tốc và khối

lượng vật đó

Trong hệ thống điều khiển, véc tơ tín hiệu vào u(t) va y(t) bao giờ cũng là những tín hiệu đo được trực tiếp

Giả sử nhờ các cảm biến ta đo dược giá trị u(t) và y(t) trong

khoảng thời gian hữu hạn t0≤t<T Khi đó một cơ cấu có nhiệm vụ xác định giá trị trạng thái x(t0) của hệ thống tại thời điểm t từ

những giá trị u(t), y(t) đã đo dược trong khoảng thời gian hữu hạn

t0≤t<T sẽ được gọi là bộ quan sát trạng thái

Nói cách khác, bộ quan sát trạng thái là một cơ cấu có nhiệm vụ thực hiện phép biến đổi

x(t0)=q[u(t),y(t)] (3.22) với t0≤t<T trong đó T là hữu hạn Tất nhiên không phải ở mọi hệ thống ta đều có thể quan sát được tín hiệu trạng thái mà chỉ với những hệ quan sát được

(observable) tức là hệ mà ở đó tồn tại toán tử q(.,.) và một hằng số

T hữu hạn thỏa mãn (3.22) Nếu hằng số hữu hạn T còn được

chọn tùy ý, miễn là T>t0 thì gọi hệ là quan sát được hoàn toàn Xét một hệ thống có mô hình trạng thái

Trong đó nx(t) là véc tơ các tín hiệu nhiễu tác động vào

hệ thống và ny(t) là véc tơ các tín hiệu nhiễu tác động ở đầu ra

Nhiệm vụ đặt ra ở đây là phải xây dựng được bộ quan sát trạng thái để với nó có được thỏa mãn =x(t0) trên cơ sở đo các tín hiệu vào ra u(t) , y(t) trong khoảng thời gian t0≤t<T (H.3.4) Vì cấu trúc bộ quan sát trạng thái không được phụ thuộc vào

nhiễu nx(t) , ny(t) nên mô hình

trạng thái của nó phải có dạng:

Mặt khác nếu có thì cũng phải có suy ra:

Và bài toán đặt ra ở đây là phải xác định thỏa mãn:

Thiết kế bộ quan sát trạng thái cho đối tượng tuyến tính

Cho đối tượng tuyến tính bị tác động bởi nhiễu hệ thống

nx(t) và nhiễu đầu ra ny(t), mô tả bởi mô hình trạng thái:

Trong đó A € Rnxn, B € Rnxm và C € RSxn là các ma trận hằng

x € Rn là véc tơ biến trạng thái, u € Rm,là véc tơ tín hiệu vào (điều khiển), y € RS là véc tơ tín ghiệu ra , nx € Rn là véc tơ nhiễu tác động vào hệ thống và ny € RN Là véc tơ tín hiệu

nhiễu ở đầu ra của hệ thống