skkn mới nhất skkn phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua bài tập sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng tìm giá trị lớn nhất nhỏ

Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinhnhững phương pháp giải quyết các bài toán sao cho nhanh gọn, dễ hiểu là rấtcần thiết.Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hà

dụng kiến thức vào thực tiễn Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh những phương pháp giải quyết các bài toán sao cho nhanh gọn, dễ hiểu là rất cần thiết.

Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là dạng toán phổ biến và quan trọng trong chương trình phổ thông và là một chuyên đề hay gặp trong các đề thi chọn học sinh giỏi ở phổ thông Có nhiều phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất như sử dụng phương pháp hàm số, bất đẳng thức Côsi hay Bunhiacopsky Đứng trước bài toán này học sinh phổ thông thường lúng lúng về phương pháp giải, vì việc vận dụng nhìn chung phụ thuộc rất nhiều vào đặc thù bài toán Việc dùng công cụ hình học tọa độ vào giải quyết các bài toán đại số là một cách nhìn khá mới mẻ với học sinh THPT Vì vậy để nâng cao tính tư duy sáng tạo cho học sinh tôi đã mạnh dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua bài tập sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Với đề tài này hy vọng góp phần nâng cao chất lượng học tập, phát triển

tư duy sáng tạo cho học sinh trong quá trình giải bài tập toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng phương pháp hình học tọa độ, giúp các em

đỡ lúng túng và tự tin khi đứng trước những bài toán này Đặc biệt cho học sinh lớp 12 có thêm kiến thức chuẩn bị ôn thi THPT quốc gia Hy vọng đề tài sẽ là tài liệu cho học sinh và giáo viên ôn tập trong các kì thi chọn học sinh giỏi ở lớp 10, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục.

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Nội dung chính của đề tài là nhìn bài toán đại số theo quan điểm hình học.

Từ đó xây dựng hệ thống bài tập theo mức độ khó tăng dần nhằm cung cấp cho học sinh cách ứng dụng phương pháp hình học tọa độ vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức trong giải toán, qua đó phát huy tính tư duy sáng tạo cho học sinh.

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, một số tài liệu liên quan khác…

- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT Tĩnh Gia 4.

- Thực nghiệm sư phạm: tổ chức một số tiết dạy thực nghiệm, cho kiểm tra thử với lớp đối chứng.

a) Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số [1] :

Cho hàm số y=f(x) xác định trên tập D

 Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y= f(x) trên D nếu

 Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f(x) trên D nếu

b) Một số tính chất của vectơ

1 a b     a   b  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a  và b  cùng hướng

2 a b   a b   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a  và b  cùng phương

c) Các khái niệm và tính chất trong hệ trục tọa độ Oxy

1.Tọa độ của điểm M x y  ,   OM    xi y j  

+   1 1 2 2

cos ;

2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Thực tế bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là một vấn đề khó khăn với nhiều học sinh Đặc biệt là với những biểu thức nhiều tham

số Với một số bài toán nếu tinh ý lựa chọn hệ trục hoặc vectơ phù hợp ta sẽ tọa

độ hóa bài toán, làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều Tuy nhiên trên thực tế, học sinh còn những hạn chế và thường gặp những khó khăn sau:

+ Kiến thức hình học còn yếu, vì thế nhiều học sinh có tâm lí ngại học phần này.

+ Khả năng phân tích, tổng hợp kiến thức chưa tốt.

+ Kĩ năng biến đổi, phân loại các dạng toán và tìm mối liên hệ giữa các dạng toán chưa tốt.

Khảo sát chất lượng học sinh lớp 12 trường THPT Tĩnh Gia 4 cho thấy chỉ có một số học sinh làm tốt, còn lại một bộ phận học sinh làm nhưng không đúng hoặc làm lung tung…và thường bị mất điểm ở những bài tập này.

Từ những vấn đề trên tôi áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy và bước đầu thu được kết quả tốt trong năm qua.

2.3 Giải pháp giải quyết vấn đề

Như đã nói ở trên, đối với các dạng bài tập này chỉ cần chọn hệ trục tọa

độ, hoặc các vectơ phù hợp bà toán sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều Sau đây là một số bài tập minh họa cho phương pháp này Hi vọng thông qua các bài tập này các em có thể áp dụng để giải những bài tập tương tự.

A 22

7 1

4cos cos x y  sin x y   4sin sin x y  sin x y   2

Vậy Min A = 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

sin 2cos cos

a b



  bằng cách chọn một đáp án đúng trong các đáp án sau:

Hãy chọn một đáp án đúng?

Suy ra x y z      và:

Áp dụng BĐT: x    y    x y   x    y   z Suy ra:

a   b a  b   a   b a  b   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi , x y   cùng phương, cùng chiều hay trong hai vectơ

ấy có ít nhất một vectơ là vectơ không.

6 0

3 3

b y

a b

a b a b

2 2

x y  

Chọn đáp án D

Bài 8: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn x 2  y 2  x 1  y 2  y 1  x 2

Tìm Max của A  3 x  4 y Hãy chọn một đáp án đúng?

Đặt a     3;4 ; b    x y ;  =

Từ bất đăng thức a b    a b   ta có: 3 x  4 y  5 x 2  y 2 (2)

Từ (1) và (2) ta có: 3 x  4 y   5 3 x  4 y  5 Dấu “=” xảy ra khi và chi khi x 2  y 2  và , 1 a b   cùng phương.

1

5 4

x y

xác định với mọi x Tìm giá trị lớn nhất của F(x) trên R Hãy chọn đáp án đúng ? [3]

Gọi I là giao điểmcủa ON và M M 0 1  y= OM + MN

+) y đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi O, M, N thẳng hàng Hay M trùng với I Vậy Min y = ON = 3 2  4 2 =5

Gọi A là điểm đối xứng của A qua d Gọi H là hình chiếu của A trên d. '

Ta có phương trình đường thẳng ( )  đi qua A và vuông góc với (d) là 2x + y -11=0.

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ : 2 11 0 4   4,3

Ta có MA MB MA MB A B      

Do B(5,7), A   5,1 nên A B    6 MA MB   Suy ra Min P = 6 6 Dấu bằng xảy ra  M  M 0 Ta tìm tọa độ điểm M 0

Ta có phương trình A B  : x=5 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình : 0

0

5

5, 7

2

x x

a b

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=4a+3b Hãy chọn đáp án đúng?

A Max A=14; Min A=3 B Max A=36; Min A=13

C Max A=40; Min A=10 D Max A=35; Min A=9

Nối OO 1 cắt đường tròn tại M 1 , M 2 Vì M 1 , M 2 là các điểm trên đường tròn (C) gần và xa O nhất nên hiển nhiên ta có: OM 1  OM OM  2

Do OO 1 =5 nên ta có OM 1 = OO 1 - O 1 M 1 = 5-3 = 2

OM 2 = OO 1 + O 1 M 2 = 5+3 = 8 Như vậy 2  OM  hay 8

a b

+ Max A = 40  M  M 2 , tương tự ta tìm được 32 24 ;

a b

a  b   a b c   d   c d  Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức    2  2

A  a c   b d  Hãy chọn đáp án đúng?

Nối O với O 1 O 2 ( hiển nhiên O,O 1 ,O 2 thẳng hàng ) cắt (C 1 ) tại M 1 , M 2 và cắt (C 2 ) tại N 1 , N 2

Dựa vào đồ thị ta thấy M 1 N 2 và M 2 N 1 là các khoảng cách xa nhất và gần nhất giữa hai điểm trên hai đường tròn Như vậy với mọi cặp điểm M,N trên hai đường tròn ta có: M N 2 1  MN M N  1 2 Do OO 1  2; O O 2  6 2 nên ta có:

M N  ON  OM   O N   O M       Tương tự M N 2 1  5 2 7  Khi đó ta có:

Dấu “=” bên trái xảy ra 1

biết Hãy chọn đáp án đúng trong các đáp án sau:

Hướng dẫn:

Ta có Gọi P 0 là một giá trị của biểu thức P Khi đó nếu a,b là hai số thỏa mãn điều kiện bài toán thì điểm M(a,b) nằm trên đường tròn tâm O 1 (2,4) , bán kính và nằm trong tứ giác ABCD với A(1;0); B(0;2); C(0;3); D(9,0).

trở thành tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của Dựa vào đồ thị dễ thấy Mà phương trình CD: x+3y-9

=0

Suy ra khi và chỉ khi (H là hình chiếu vuông góc của O 1 trên CD ) Dễ dàng tìm được điểm

tức

chỉ khi

Chọn đáp án A Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức:

Trong đó x,y là các số thực thỏa mãn 2x – y = 2 (Trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 1998)

Đáp án :

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Với p, q là hai số thực cho trước và

(Trích bài 157 sách “ Các dạng toán về bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong đại số, hàm số, hình học )

Bài 3: Cho a,b,c >0 và ab+bc+ac=abc Tìm giá trị nhỏ nhất của

Đáp án: Min P = khi và chỉ kh a = b = c = 3

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

2.4.1 Đối với hoạt động giáo dục

+ Thực nghiệm sư phạm là quá trình rất quan trọng nhằm làm sáng tỏ những vấn đề lí luận của đề tài ở trường THPT Tĩnh Gia 4, đồng thời kết quả thu được của thực nghiệm là cơ sở khoa học để xác định tính đúng đắn của đề tài + Kết quả của việc thực nghiệm sư phạm sẽ cho biết được sự phù hợp của

đề tài với xu hướng đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hiện nay Sau một năm học 2017-2018 cho việc áp dụng cho đối tượng học sinh ở

4 lớp 12 của trường THPT Tĩnh Gia 4, trong đó có hai lớp thực nghiệm và hai lớp đối chứng Kết quả thực nghiệm được tiến hành một cách khách quan trên các lớp thực nghiệm và đối chứng Kết quả thu được như sau:

Tổng hợp điểm kiểm tra của các lớp đối chứng

Tổng hợp điểm kiểm tra của các lớp thực nghiệm

SL % SL % SL % SL %

2.4.2 Đối với bản thân:

- Giáo viên phải phân tích sâu, kỹ về kiến thức chuyên môn và các kiến

thức liên quan đến bài dạy Từ đó mà bồi dưỡng cho mình kiến thức chuyên môn vững vàng.

- Thông qua đề tài sáng kiến kinh nghiệm,những cách giải quyết vấn đề khác nhau của học sinh làm cho giáo viên có nhiều kinh nghiệm hơn trong dự đoán và

xử lí tình huống.

2.4.3 Đối với đồng nghiệp, tổ nhóm chuyên môn

Đây là phương pháp không quá khó, giáo viên nào cũng có thể thực hiện được

Và đặc biệt là áp dụng được với tất cả các đối tượng học sinh Nên tôi đã đem phổ biến trong tổ, các anh em trong tổ cũng có nhiều góp ý quý báu và tôi đã mạnh dạn áp dụng vào lớp mình phụ trách và bước đầu đã mang lại thành công

3 Kết luận và kiến nghị 3.1 Kết luận

Thông qua quá trình làm sáng kiến tôi đã rút ra cho mình những bài học kinh nghiệm như sau:

1.Đối với các bài toán đòi hỏi sự tư duy như các dạng toán ở trên thì đôi lúc học sinh phân tích bài giải không đúng với yêu cầu của giáo viên, khi đó giáo viên phải tôn trọng và phân tích theo hướng giải của các em sau đó chỉ rõ các ưu khuyết điểm của hướng giải mà các em đã đưa ra.

2 Theo phương pháp trên giúp học sinh tiếp thu bài học một cách tích cực và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo khoa học Kết quả thu được góp phần không nhỏ, đáp ứng nhu cầu đổi mới phương pháp mà ngành giáo dục

đề ra.

3 Trong quá trình làm sáng kiến tôi thấy phương pháp tọa độ ngoài ứng dụng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất còn nhiều ứng dụng khác nữa như: chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình …Vì vậy tôi khuyến khích các em học sinh tìm hiểu thêm về các ứng dụng khác của phương pháp này.

4 Thực tế giảng dạy cho thấy học sinh rất hào hứng tiếp thu và vận dụng

ý tưởng của đề tài, học sinh không còn sợ mà trở nên thích thú, ham tìm hiểu

về những bài toán tương tự Tuy nhiên không phải bất kì bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nào cũng có thể dùng phương pháp tọa độ Ngoài phương pháp tọa độ nêu trên còn rất nhiều kĩ thuật và phương pháp khác để giải dạng toán này Tuy nhiên phương pháp này cho thấy việc sử dụng phương pháp tọa

độ trong hình học vào giải quyết vào các bài toán đại số là rất mạnh mẽ, làm

cho nhiều bài toán trở nên gọn gàng, sáng sủa hơn rất nhiều.

3.2 Đề xuất và kiến nghị:

Việc nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn toán học là nhiệm vụ, trách nhiệm cũng là lương tâm của các thầy, cô giáo Với tinh thần đó tôi mong muốn góp phần nhỏ trí tuệ của mình trong giảng dạy với các đồng nghiệp Tuy nhiên do năng lực và thời gian có hạn, tôi rất mong được sự đóng góp, bổ sung của các đồng nghiệp và hội đồng khoa học các cấp để sáng kiến kinh nghiệm của tôi được hoàn chỉnh hơn,đồng thời giúp đỡ tôi tiến bộ và thành công trong giảng dạy Mong tất cả các thầy, cô giáo có nhiều SKKN hay góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy nói chung và bộ môn Toán nói riêng.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG

Thanh hóa, ngày 24 tháng 5 năm 2018

Tôi xin cam đoan đây là SKSN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.

Người thực hiện

Lê Thị Phượng