TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỎ ĐỊA CHẤT KHOA KINH TẾ VÀ QUẢN TRỊ KINH DOANH MÔN KINH TẾ LƯỢNG Giảng viên Nguyễn Thị Hồng Loan Thành viên Đầu Thị Mai Phương 2024011581 Tống Thị Phương Thảo 2024011612 Vũ Thị Thanh H[.]
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỎ - ĐỊA CHẤT KHOA KINH TẾ VÀ QUẢN TRỊ KINH DOANH
MÔN: KINH TẾ LƯỢNG
Giảng viên: Nguyễn Thị Hồng Loan Thành viên : Đầu Thị Mai Phương 2024011581
Tống Thị Phương Thảo 2024011612
Vũ Thị Thanh Huế 2024012029 Nguyễn Tấn Dũng 2024012044
Đỗ Thị Kim Oanh 2024011578
Nhóm: 09
Hà Nội
Trang 2Số liệu thống kê nhằm nghiên cứu mối quan hệ giữa vốn đầu tư vào 1 tỉnh (tỷ đồng) và tốc độ tăng GDP của tỉnh (%) và thuế đánh vào hoạt động đầu tư (%) được cho trong bảng 9.
Bảng 9 Số liệu về vốn đầu tư, tốc độ tăng GDP và thuế.
STT Vốn đầu tư (tỷ đồng) Tốc độ tăng GDP (%) Thuế (%)
Trang 3Bài làm
Sau khi xử lý số liệu từ bảng 9 ta có:
∑X 2i = 120,8 ∑ X 2i 2 = 758,86 ∑X 2i Y i = 1052,84
∑X 3i = 337 ∑ X 3i 2 = 5973 ∑X 3i Y i = 2534,7
∑Y i = 163,1 ∑ Y i 2 = 1487,67 ∑X 2i X 3i = 1943,8
I.Khái quát lý thuyết cơ bản của chương 3
Để giải quyết được các bài toán liên quan đến mô hình hồi quy bội chúng ta cần xây dựng được hàm hồi quy.
Mô hình hồi quy k biến được trình bày dưới dạng đại số như sau:
PRF: E(Y/Xi) = β 1 + β 2 X 2 i + β 3 X 3 i + +β k X ki
PRM: Y i = β 1 + β 2 X 2i + β 3 X 3 i + . + β k X ki + U i
SRF: Y ^ i = ^ β 1 + ^ β 2 X 2i + ^ β 3 X 3 i + + ^β k X ki
SRM: Y i = ^ β 1 + ^ β 2 X 2i + ^ β 3 X 3 i + + ^β k X ki + e i
Giả sử có n quan sát, mô hình hồi quy tổng thể được trình bày dưới dạng ma trận như sau:
Y 1 = β 1 + β 2 X 2i + β 3 X 3 i + …+ β k X ki + U 1
Y 2 = β 1 + β 2 X 2i + β 3 X 3 i + …+β k X ki + U 2
… … …
Y n = β 1 + β 2 X 2 n + β 3 X 3 n + …+ β k X ki + U n
- Các ma trận Y, β, X và U được viết như sau:
Y = [ Y 1
Y 2
Y n ] β = [ β 1
β 2
β n ] U = [ U 1
U 2
U n ] X= [ 1 X 21 X 31 X k 1
1
⋯
X 22
⋯
X 32
⋯
X k 2
⋯
→ Hàm hồi quy tổng thể được viết dưới dạng ma trận ( PRF ¿ : E ( Y / X i ) = X∗β
Mô hình hồi quy tổng thể ( PRM ):Y =X∗β+ U
Trang 4- Với các ma trận ^β và e có dạng:
^β= [ ^β 1
^β 2
^β n ] e = [ e 1
e 2
e n ]
→ Hàm hồi quy mẫu ( SRF ¿ : ^ Y =X∗^β
Mô hình hồi quy mẫu ( SRM ):Y =X∗^β+e
Công thức tính ma trận ^β= ( X T X ) −1 ∗ ( X T Y ) (shift4 → MatA x −1
Với ma trận: X T X= [ n ∑ X 2 i ∑ X 3 i
∑ X 2 i ∑ X 2 i 2 ∑ X 2i X 3 i
∑ X 3 i ∑ X 2i X 3 i ∑ X 3 i 2 ] X T Y = [ ∑Y i
∑ X 2i Y i
∑ X 3i Y i ]
II 5 dạng câu hỏi cơ bản.
Dạng 1 :Xây dựng hàm hồi quy mẫu
Ma trận với mô hình hồi quy 3 biến:
∑ X 2 i ∑ X 2 i 2 ∑ X 2i X 3 i
∑ X 3 i ∑ X 2i X 3 i ∑ X 3 i 2 ] X T Y = [ ∑Y i
∑ X 2i Y i
∑ X 3i Y i ]
Tính ma trận ^β= ( X T X ) −1 ∗ ( X T Y ) (shift4 → MatA x −1 ∗ ¿ shift4 → MatB)
^
Y = ^ β 1 + ^ β 2 X 2 i + ^ β 3 X 3 i
VD1 Ước lượng của hàm hồi quy mẫu dạng tuyến tính nêu ý nghĩa của các ước lượng nhận được?
X T X = ( n ∑ X 2 i ∑ X 3 i
∑ X 2 i ∑ X 2 i 2 ∑ X 2i X 3 i
∑ X 3 i ∑ X 2 i X 3 i ∑ X 3i 2 ) = ( 120,8 758,86 1943,8 20 120,8 337
X T Y = ( ∑ ∑ X Y 2 i Y
∑ X 3 i Y ) = ( 1052,84 163,1
Trang 5^β = (X T X) -1 * (X T Y) = ( − 1,809 0,045
^
Yi = -0,045 + 1,809X 2i – 0,162X 3i
Ý nghĩa :
- ^ β 1 = -0,045: khi không xét đến ảnh hưởng của tốc độ tăng GDP và thuế đánh vào đầu tư thì vốn đầu tư vào một tỉnh là 0 tỷ đồng
- ^ β 2 = 1,809: cho biết mối quan hệ giữa vốn đầu tư và tốc độ tăng GDP là mối quan
hệ tỉ lệ thuận Khi tốc độ tăng GDP tăng lên 1% thì vốn đầu tư vào tỉnh tăng 1,809
tỷ đồng
- ^ β 3 = - 0,162: cho biết mối quan hệ giữa vốn đầu tư và thuế đánh vào đầu tư là mối quan hệ tỉ lệ nghịch Khi thuế đánh vào đầu tư tăng lên 1% thì vốn đầu tư vào tỉnh giảm 0,162 tỷ đồng
Dạng 2: Đánh giá về hàm hồi quy mẫu và chất lượng của các hệ số hồi quy
R 2 = ESS
RSS TSS
Trong đó: { ESS= ^β T X T Y −n∗ ( Y ´ ) 2
TSS=∑Y i 2
− n∗ ( Y ´ ) 2
RSS=TSS−ESS
Ma trận hiê ̣p phương sai : Cov ( β ^ ) = σ 2 .(X ¿¿ T X) −1 ¿
Vì σ 2 chưa biết nên sử dụng ước lượng không chệch của σ 2 là σ ^ 2
→ Cov ( ^β ) = ^ σ 2 .( X ¿¿ T X ) −1
¿
^
σ 2 = RSS n−k
Trang 6Cov ( β ^ ) = [ Var ( ^β 1 ) Cov( ^β 1 ^β 2 ) … Cov (^β 1 ^β k )
Cov (^β 1 ^β 2 ) Var ( ^β 2 ) … Cov (^β 2 ^β k )
… Cov( ^β 1 ^β k )
… … Cov( ^β k ^β 2 ) …
… Var ( ^β k ) ]
VD2.Đánh giá mức độ phù hợp của hàm hồi quy và chất lượng của hệ số hồi quy ước lượng?
TSS = ∑ Yi 2 – n ( Y ´ ) 2 = 1487,67 – 20 * 8,155 2 = 157,5895
ESS = ^β T X T Y – n ( Y ´ ) 2 = 1487,149 – 20 * 8,155 2 = 157,068
⇒ RSS=TSS−ESS=157,5895−157,068=0,521
R 2 =1− RSS
->Hàm hồi quy có mức độ phù hợp tương đối cao.
^
σ 2 = n−3 RSS = 20−3 0,521 = 0,031 Cov( ^β ) = σ ^ 2 ( X T X ) -1
Cov( ^β ) = | − 5,67 0,5 0,044 −0,5 −0,157 0,014
+ Var( ^β 1 ) = 5,67 Var( ^β 2 ) = 0,044 Var( ^β 3 ) = 0,004 + Se( ^β 1 ) = √ Var (^β 1) = 2,381 Se( ^β 2 ) = √ Var (^β 2) = 0,21 Se( ^β 3 ) = √ Var (^β 3) = 0,063
Để xác định khoảng tin cậy của hệ số hồi quy, chọn thống kê :
Trang 7t = ^β j − β j
Se ( β ^ j ) ~ t (n−k )
Với mức ý nghĩa α cho trước, luôn tìm được cặp α 1 , α 2 ( α 1 + α 2 = α ) sao cho:
P [ − t α
2
( n−k) ≤ ^β j − β j
Se ( ^β j ) ≤ t α 1
( n−k)
] =1−α
Khoảng tin cậy đối xứng
α 1 = α 2 = α
2
^
β j − t α
2
n−k Se ( ^ β j ) ≤ β j ≤ ^ β j + t α
2
n−k Se( ^ β j )
Khoảng tin cậy bên phải
n−k Se( ^ β j )
Khoảng tin cậy bên trái
α 1 = α ; α 2 =0 β j ≤ ^ β j + t α n−k Se (^ β J )
(Trong đó: t α n−k
, t α
2
n−k
tra trong bảng Student)
VD3 Khi tốc độ tăng GDP tăng lên 1% thì vốn đầu tư vào tỉnh tăng lên tối đa bao nhiêu tỷ đồng ?
Với mức ý nghĩa α =5
Ta có KTC trái của β 2 :
β 2 ≤ ^ β 2 + t ∝ n−k
∗ Se ¿
β 2 ≤ 1,809+1,74∗0,21
β 2 ≤ 2,174
Trang 8Vậy với độ tin cậy 95%, khi tốc độ tăng GDP tăng lên 1% thì vốn đầu tư vào tỉnh tăng lên tối đa 2,174 tỷ đồng.
Kiểm định giả thuyết về các hệ số hồi quy ( β j )
Tiêu chuẩn kiểm định: t = ^β j − β j
Se ( β ^ j ) ~ t (n−k )
Giả thuyết H O là đúng nếu: t 0 = ^β j − β j ∗ ¿
Se ( β ^ j ) ¿ ~ t (n−k )
Hai phía β j = β j * β j ≠ β j * | t o | > t α
2
(n−k )
Phía phải β j ≤ β j * β j ¿ β j * t 0 > t α (n−k )
Phía trái β j ≥ β j * β j ¿ β j * t 0 < - t α (n−k )
VD4 Hãy kết luận về ý kiến cho rằng, khi thuế đánh vào hoạt động đầu tư tăng 1% thì vốn đầu tư bình quân vào tỉnh sẽ giảm 10 tỷ đồng.
{ H 0 : β 3 =−10
H 1 : β 3 ≠−10
Ta có: t = β ^ 3 − β
Se ( ^β 3 ) = −0,162−(−10) 0,063 = 156,159
t n−3 0.025 = t 17 0.025 =2,110
| t | = 156,159 > t n−3 0.025 = 2,110
=> Thuộc miền bác bỏ Vậy với độ tin cậy 95%, ta có đủ cơ sở để bác bỏ H 0 , hay khi thuế đánh vào hoạt động đầu tư tăng 1% thì vốn đầu tư bình quân vào tỉnh sẽ không giảm 10 tỷ đồng.
Trang 9Dạng 5: Dự báo giá trị trung bình và giá trị cá biệt của biến phụ thuộc Y với giá trị X cho trước
Giả sử cho X ¿ X 0 , dự báo về E(Y/X 0 ) = X 0 ∗ β
Để dự báo, ta xác định ước lượng không chệch của E ( Y / X 0 )là:
^
Y 0 = ^β T X 0 hoặc Y ^ 0 = ¿ X T 0 β ^
+ Tính :Var( Y ^ 0 ) = σ 2
∗ X 0 T
( X T X ) −1 X 0 Dùng σ ^ 2 thay cho σ 2 , ta được:
Var( Y ^ 0 ) = σ ^ 2
∗ X 0 T
( X T X ) −1 X 0 → Se( Y ^ 0 ) = √ Var ( Y ^ 0 )
Với mức ý nghĩa α cho trước, khoảng tin cậy của E(Y/X 0 ) được xác định như sau:
Y ^ 0 − t α
2
n−3
∗ Se ( Y ^ o ) ≤ E (Y / X 0 ) ≤ ^ Y 0 + t α
2
n−3
∗ Se( ^ Y 0 )
VD5 Khi tốc độ tăng GDP là 5% và thuế đánh vào hoạt động đầu tư là 19% thì vốn đầu tư bình quân vào tỉnh có thể có giá trị tối thiểu là bao nhiêu?
X 2i = 5 , X 3i = 19 => ma trận X 0 = ( 1 5
19 )
ta cần dự báo về E(Y/X 0 )
ta có Y ^ 0 = ^β T X 0 = -0,045 + 1,809*5 – 0,162*19 = 5,922 Var( Y ^ o) = σ ^ 2 X 0 T (X T X) -1 X 0
= 0,031 *( 1 5 19 ) * ( 120,8 758,86 1943,8 20 120,8 337
19 ) = 0,008
Se( Y ^ o) = √ 0,008 = 0,089 Với mức ý nghĩa α cho trước, ta có khoảng tin cậy phải của E(Y/X 0 ) như sau :
