Bài tập phương trình logarit có lời giải chi tiết

Câu 42: Cho hàm số . Tính tổng: . A. . B. . C. . D. . Lời giải Với mọi , ta có: Với hai số thực bất kì thỏa ta có: . Từ đó ta có: Câu 43: Cho , thỏa mãn . Giá trị của bằng A. B. C. D. Lời giải Ta có , với mọi . Dấu ‘ ’ xảy ra khi . Khi đó . Dấu ‘ ’ xảy ra khi . Từ và ta có . Suy ra . Vậy . Câu 44: Cho , thỏa mãn . Giá trị của bằng A. B. C. D.

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LOGARITCâu 1: (Giải phương trình log (4 x 1) 3.

x x

Vậy tập nghiệm của phương trình là 0;1 .

Câu 5: Nghiệm của phương trình log2x 9  là5

Điều kiện  1x Phương trình đã cho trở thành log2x2  1 3  x2 1 8  x 3

Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm duy nhất của phương trình là x  3 S 3

Câu 7: Tìm tập nghiệm S của phương trình 2  12 

 Vậy tập nghiệm phương trình S  2 5

Câu 8: Tập nghiệm của phương trình  2 

3log x  x3 1

Câu 9: Tập nghiệm của phương trình  2 

3log x  x 3 1

Điều kiện phương trình:

13

Vậy nghiệm phương trình là x 3

Câu 11: Tìm tập nghiệm S của phương trình log 23 x1 log3x 1 1

x x

Câu 14: Số nghiệm của phương trình log22 x2+8log2x+ = là:4 0

Câu 15: Tích tất cả các nghiệm của phương trình log32x- 2log3x- = là7 0

Biến đổi phương trình đã cho về phương trình sau: log22x 3log2 x  1 0

Do log x và 2 1 log x là hai nghiệm của phương trình 2 2 t2 3 1 0t  nên

log x log x  , mà 3 log2x1 log2x2 log2x x1 2

.Suy ra log2x x 1 2 3

         

2 2

2 2

2

2

2log 2 2

x

x x

2

84

x x

x

x x

Câu 22: Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình log23 x m log3x2m 70 có hai

nghiệm thực x x1, 2 thỏa mãn x x 1 2 81

Ta có x x1 2 81 log3x x1 2 log 813  log3x1log3x2  4 t1t2 4

YCBT có 2 nghiệm thực t t thỏa 1, 2 t1t2 4

m a

Câu 23: Cho phương trình  2 

2 2

x x  m  1 .

00

x x

Vậy có tất cả 1 80 2 79   giá trị m nguyên dương thỏa mãn đề bài.

Câu 24: Cho phương trình log (2 x1) log ( 2 x 2)m Tất cả các giá trị của m để phương trình trên có

nghiệm là

A

0 2

m m

m m

- Nếu m  phương trình có nghiệm 1

1

m x m

m m





 

Câu 25: Cho phương trình log 323  x  2m2 log 3x2m 2 0 ( m là tham số thực ) Tập hợp tất cả

các giá trị của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 3;9

là

A

31;

3log 1

x x

Câu 26: Cho phương trình log32  3x  m2 log 3x m  2 0 (m là tham số thực) Tập hợp tất cả

các giá trị của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn

1

;33

3

3log 1

x x

  khi và chỉ khi1

Khi đó phương trình đã cho trở thành: t2 m1t3m 6 0

32

  Vậy có 4 số nguyên m thoả ycbt

Câu 28: Cho phương trình log 422 xmlog2x 4 0

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình cóđúng một nghiệm x 1;4

x x

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyêncủa m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?

2 3

là

A m  1 B m  25 C

283

m 

43

m 

Lời giải Điều kiện: x 0

Khi đó, x x1 2 27 log3x x1 2 log 273  log3 1x log3 x2  3 t1t2  Áp dụng định 3

lý Viét với phương trình  2 ta có t1t2  m 2  m  2 3 m 1

biệt thỏa mãn

2

2 2

Do đó 13 m 2 3 Vậy số các giá trị nguyên của m thỏa mãn là 13.

Câu 33: Cho phương trình log3 mxlog3x3

với m là tham số Có tất cả bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số m   12;40 để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt?

Số giá trị nguyên của tham số m   12;40

để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là

27 giá trị

Câu 34: Cho phương trình log23 x 4log2 x m  3 0 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để

phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 x2 1?

Lời giải

+ Đặt tlog2 x phương trình trở thành: t2 4t m  3 0  1

+ Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1x2 1

 Phương trình  1 có 2 nghiệm nghiệm phân biệt thỏa mãn t1 t2 0

m 

283

m 

C m 25. D m 1.

Lời giải

Ta có log23x (m2) log3x3m1 0 Điều kiện: x 0.

Đặt t log3x phương trình đã cho trở thành t2 m2  t3m1 0 , là phương trình bậc hai

có biệt thức  m22 4 3 m1 m2 8m8

.Phương trình đã cho có hai nghiệm x x sao cho 1, 2 x x 1 2 27 khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm t t1, 2 sao cho t1t2 log3 1x log3x2 log3x x1 2 log (27) 33 

Điều này tương đương với

A

92

m 

B m 3. C Không tồn tại. D

612

m 

thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 37: Cho phương trình 2   2

x x

x x  m  1 .

00

x x

Vậy có tất cả 1 80 2 79   giá trị m nguyên dương thỏa mãn đề bài.

Câu 39: Cho phương trình  2 

Điều kiện: 7

0log

2 7

log

47

Vậy có tất cả 1 48 2 47   giá trị m nguyên dương thỏa mãn đề bài.

Câu 40: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn log9xlog12ylog 416 x3y

Giá trị của

x y

bằng

1log4

 

 

3 log

t

x y



15



Lời giải

Đặt tlog163a2b log9alog12b

912

t

a b

a b

Từ  1

và  2

ta có 8a2 6a0

34

a

Suy ra

32

b 

Vậy

1524

A 6 B 9 C

7

52

Lời giải

0

a  , b 0 nên ta có log3a2 1b 6ab1  ; 0 log6ab13a2b1  0

Ta có 9a2b2 6ab Dấu đẳng thức xảy ra khi a3b

b a

a b

Câu 45: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log3x log3x 1 2m 1 0

có ítnhất một nghiệm thực trong đoạn 1; 27 .

A m 0; 2. B m 0; 2. C m 2;4. D m 0; 4.

Lời giải

Điều kiện: x 0 Đặt t log3x1

, t   1;2    x  1;27  Khi đó phương trình đã cho trở thành: t2 t 2m 2 0 t2 t 2 2 m

Yêu cầu bài toán tương đương với phải có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1; 2

.Xét hàm số f t    t2 t 2 trên đoạn 1; 2 Ta có f t  2t 1 0, t 1;2

Bảng biến thiên:

Phương trình  *

có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1; 2  0 2 m 4 0  m 2

Câu 46: Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc 2017;2017 để phương trình

log mx 2log x1 có nghiệm duy nhất?

x m

0

1

x x

m m

x m

Để phương trình logmx 2logx1

có đúng một nghiệm thì đường thẳng y m phải cắt

đồ thị hàm số yf x 

trên trên 1;   \ 0

tại đúng một điểm

04

m m

nên m   9; 8; ; 2; 1; 4    Vậy có 10 giá trị của m thỏa mãn.

Câu 48: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình log22x2log2x m 0 có nghiệm

0;1

x  .

A m  1 B

14

m 

14

Phương trình  1 có nghiệm x 0;1 khi và chỉ khi phương trình  2 có nghiệm t   0

đường thẳng y m có điểm chung với đồ thị hàm số yf t  t2 2t

trên khoảng  ;0

.Xét hàm số yf t t2 2t

trên khoảng  ;0

; f t  2t 2

; f t     0 t 1Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra m  thì đường thẳng 1 y m cắt đồ thị hàm số yf t  t2 2t

trên khoảng  ;0 Vậy với m  thì phương trình 1 log22x2log2x m 0 có nghiệm

log x log x  3 m Điều kiện: x  Phương trình 0  log2 x2 2log2x3m

 Đặt tlog2x, với x [1;8] thì t [0;3] Phương trình trở thành: t2  2t 3 m

 Để phương trình có nghiệm x [1;8] phương trình có nghiệm t [0;3]

Xét hàm số yf t   t2 2t3 trên khoảng [0;3] ; f t  2t 2; f t    0 t 1

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta được 2  m 6

Câu 50: Cho phương trình log 323 xlog3x m 1 0 (m là tham số thực) Tập hợp tất cả các giá trị

của m để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng 0;1

A

94

m 

10

4

m

 

Câu 51: Tất cả các giá trị của tham số m để phương trình log3mx 2log3x1

có hai nghiệm phânbiệt là

Dựa vào bảng biến thiên suy ra m 4 là giá trị cần tìm.

Câu 52: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình log 422 x mlog 2 x 2m 4 0

có nghiệm thuộc đoạn 1;8 ?

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 53: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình log2mx log 2x1

vô nghiệm?

Lời giải

Xét bài toán: Tìm m để phương trình log2mxlog 2x1  1 có nghiệm.

Điều kiện x   1 0  2 và mx  0  3 Với điều kiện trên thì 1  log2mx log2x12

 12

mx x

    4

Từ bảng biến thiên suy ra để phương trình đã cho có nghiệm thì m  hoặc 0 m 4

Từ đó suy ra để phương trình đã cho vô nghiệm thì 0  m 4

Vậy m 0;1;2;3

thì phương trình đã cho vô nghiệm

Câu 54: Có bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng ( 2020;2020) để phương trình

Theo bài ra m nguyên và m   2020;2020

nên ta có m   2019; 2; 1  

Vậy có 2019 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Câu 55: Cho phương trình 2  

log x  log 4x1  log m Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m

để phương trình đã cho có nghiệm?

Lời giải

ĐK:

140

x m

x



m x

Câu 56: Cho phương trình log 9x2 log 5 3 x 1  log 3m (mlà tham số thực) Có tất cả bao nhiêu

giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm

Để phương trình có nghiệm thì m0;5, suy ra có 4 giá trị nguyên thỏa mãn

Câu 57: Biết x , 1 x là hai nghiệm của phương trình 2

2

2 7

x x

x x

Ta thấy y   e 1 0,t    nên hàm số này đồng biến trên t .

Do đó phương trình  1  x u

hay lnx2m  x x2mex  ex x2m 2

.Đặt g x ex x gex  1 0 x0

0-∞

A min

4 3 43

B min

4 3 43

C min

4 3 49

D min

4 3 49

33

Từ (*) ta có f 3 3 y f 3xy x 

với 3 3 y0,3xy x 0 nên3

x y

thỏa yêu cầu bài toán