Skkn một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường thpt chu văn an

BÁO CÁO Kết quả thực hiện sáng kiến kinh nghiệm: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO HỌC SINH GIỎI LỚP 11 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN.. Tên sáng kiến: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO HỌC

An Giang, ngày 20 tháng 2 năm 2019

BÁO CÁO

Kết quả thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:

MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO HỌC SINH GIỎI

LỚP 11 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN

I SƠ LƯỢC LÝ LỊCH CỦA TÁC GIẢ:

Họ và tên: Lê Quốc Sang

Ngày tháng năm sinh: 09/08/1982

Nơi thường trú: Thị trấn Phú Mỹ, Phú Tân, An Giang

Đơn vị công tác: Trường trung học phổ thông Chu Văn An

Chức vụ hiện nay: Tổ trưởng tổ Toán, Bí thư Chi bộ KHTN 2

Lĩnh vực công tác: chuyên môn Toán

II SƠ LƯỢC ĐẶC ĐIỂM TÌNH HÌNH ĐƠN VỊ:

1 Đặc điểm tình hình:

Trường THPT Chu Văn An được thành lập từ năm 1975, tiền thân là trường cấp III Phú Tân, trải qua hơn 4 thập kỷ đội ngũ cán bộ, giáo viên, viên chức ngày càng lớn mạnh Nhìn chung, bộ máy tổ chức của trường THPT Chu Văn An ổn định, các tổ chuyên môn đoàn kết, gương mẫu làm tốt nhiệm vụ được giao Trường học nhiều năm liền được đánh giá “hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ”

Thành tích đạt được năm học 2017-2018 như sau:

 Chất lượng văn hóa:

 Học sinh thi máy tính bỏ túi cấp tỉnh: 07 cấp tỉnh

 Chất lượng hoạt động các cuộc thi:

 Tham gia nhiều cuộc thi của Sở, Huyện tổ chức rất tích cực, đạt hiệu quả

 Tổ chức các Câu lạc bộ:Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh, … rất thành công, học sinh được giáo viên hướng dẫn tận tình, tham gia nhiều bài viết, nhiều tiết

mục sáng tạo, phát hiện học sinh có nhiều tiềm năng triển vọng

2 Tên sáng kiến: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO HỌC SINH GIỎI LỚP 11 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN

3 Lĩnh vực sáng kiến: Toán học

III MỤC ĐÍCH YÊU CẦU CỦA SÁNG KIẾN:

1 Thực trạng và sự cần thiết phải áp dụng giải pháp, sáng kiến:

Dãy số, hàm số là một vấn đề cơ bản và nền tảng của giải tích, là một lĩnh vực rất khó và rất rộng, sử dụng nhiều kiến thức khác nhau của toán học Có rất nhiều bài toán về dãy số như tìm số hạng tổng quát của dãy, chứng minh các tính chất của dãy, tính tổng các số hạng của dãy, tìm giới hạn của dãy,….trong đó bài toán tìm giới hạn dãy thường xuất hiện nhiều nhất trong các kì thi học sinh giỏi, các kỳ thi Olympic

Những năm gần đây, các bài toán về dãy số rất ít xuất hiện trong các đề thi trung học phổ thông quốc gia nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung này Tài liệu tham khảo về dãy số cũng rất ít, hoặc có thì nội dung đề cập quá cao so với trình độ của học sinh phổ thông không chuyên hiện nay Do đó những học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm về dãy số hoặc những học sinh có ý định ôn thi học sinh giỏi rất khó tìm cho mình một tài liệu tham khảo phù hợp

Học sinh khối 11 trung học phổ thông không chuyên, đặc biệt là học sinh trường THPT Chu Văn An không có điều kiện để học hỏi, trao đổi kinh nghiệm thông qua các

kỳ thi Olympic 30/4, các kỷ yếu, do các trường chuyên tổ chức Thực tế hiện nay, các

em chủ yếu học tập các bài toán dãy số trong sách giáo khoa và trong sách bài tập, do đó khi gặp các bài toán dãy số trong các kỳ thi học sinh giỏi, các em thường lúng túng, không tìm được lời giải

Bài viết này không phải tất cả các vấn đề về giới hạn của dãy số được đề cập mà bài viết chỉ đề cập đến một số bài toán tìm giới hạn của dãy gặp nhiều trong các kì thi Bài viết này không phải là một giáo trình, tài liệu về dãy số mà đúng hơn đó là sự cóp nhặt, những ghi nhận của bản thân trong quá trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, đôi khi nó mang tính chủ quan

Rất mong quý thầy, cô, các bạn đọc giả xem đây như là một tài liệu mở và tiếp tục triển khai, ghi nhận và góp ý cho những cái chưa hay, chưa chính xác

Phần nội dung chính của giải pháp, sáng kiến là xoay quanh một số bài toán tìm:

 Giới hạn dãy số bằng cách xác định số hạng tổng quát của dãy số đó

 Giới hạn của dãy số dạng: u n1  f u n

 Giới hạn của tổng thường gặp:  

1

lim

n

i i

H x





 Giới hạn của các dãy số sinh bởi nghiệm của phương trình

2 Nội dung sáng kiến:

2.1 Cơ sở lý luận của vấn đề:

2.1.1 Các định nghĩa:

1) Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số  u được gọi là dãy số tăng nếu n u n u n1,   n *

Dãy số  u được gọi là dãy số giảm nếu n u n u n1,   n *

2) Dãy số bị chặn

Dãy số  u được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho n u n M,   n *

Dãy số  u được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số n m sao cho u n m n,   *Dãy số  u được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới n

3) Cấp số cộng

Dãy số  u được gọi là cấp số cộng nếu n u n1 u n  , d    , trong đó d là n *

số không đổi, gọi là công sai của cấp số cộng

Nếu dãy số  u là cấp số cộng thì n u n u1 n 1 ,d n  2Nếu dãy số  u là cấp số cộng thì tổng n

Dãy số  u đươc gọi là cấp số nhân nếu n u n1u q n ,    , trong đó q là số n *

không đổi, gọi là công bội của cấp số nhân

Nếu dãy số  u là cấp số nhân thì n u n u q1 n1,  n 2Nếu dãy số  u là cấp số nhân với n q 1,q  thì tổng 0

3) Định lý 3 Cho dãy  u xác định bởi công thức truy hồi n u n1 f u( )n , trong đó ( )

f x là hàm số liên tục Khi đó, nếu  u n  thì a a là nghiệm của phương trình ( )

f x  x

4) Định lý 4 Cho dãy số  u với n u1 là một số thực cho trước và a u n1 f u( )n Khi đó

a) Nếu ( )f x là hàm số đồng biến và x1 x2 thì  u là dãy số tăng n

b) Nếu ( )f x là hàm số đồng biến và x1x2 thì  u là dãy số giảm n

5) Định lí 5 Cho dãy số (u với n) u1  là một số thực cho trước và a u n1 f u( )n Khi đó

a) Nếu ( )f x là hàm số nghịch biến và x1x2 thì  u 2n là dãy số tăng và u2n1

7) Tiêu chuẩn hội tụ (Tiêu chuẩn Weierstrass)

a) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ

b) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ

c) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ

8) Định lý LAGRANGE Nếu ( )f x là hàm số liên tục trên đoạn ;a b

  , có đạo hàm trong khoảng  a b thì tồn tại ; c a b; sao cho

( ) ( )'( ) f b f a

2.2.1 Giới hạn dãy số bằng cách xác định số hạng tổng quát của dãy số đó

Trong dạng này, chủ yếu là áp dụng các công thức về định nghĩa cấp số cộng, cấp

số nhân, công thức về tổng n số hạng đầu của cấp số cộng, cấp số nhân và đặt dãy số phụ

Bài toán 1: Cho dãy số  u xác định bởi:  u1 2

Tính giới hạn

1

lim n n

u L

n

u u

Bài toán 3 Cho dãy số  u xác định bởi: n 1

u u

2

n n

Tính giới hạn lim

3

n n

Khi đó: u n2 2u n1 3u n12u nv n1  3.v n ( )v n là một cấp số nhân có công bội q  và số hạng đầu 3 v1u22u1  1

Suy ra v n v q1 n1  3n1,  n 1Mặt khác, cũng từ đẳng thức (1), ta có: u n2 3u n1 2u n13u n

Đặt w n u n13 ,u n   n 1Khi đó: u n2 3u n1 2u n13u nw n1 2.w n (w n) là một cấp số nhân có công bội q  và số hạng đầu 2 w1 u23u1   1

u L

Đặt n u n 1 u n v

2.2.2 Giới hạn của dãy số dạng u n1  f u n

Bài toán 6 Cho dãy số thực (u xác định bởi n)

1

1 2 1

1

1

n n

20191,

Dễ dàng chứng minh bằng qui nạp ta được 1

3

n

x  , với mọi n  1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra dãy có giới hạn

Gọi a là giới hạn của dãy thì 1

11

a a

x

Xét hiệu sau đây và kết hợp với định lý Lagrange ta suy ra:

đến k , tương tự dãy  a 2n cũng hội tụ đến l

Do k và l là nghiệm dương duy nhất của phương trình g x  hay x

5 12

Bài toán 11 Cho dãy số  x xác định bởi n 1 3 2

Từ bảng biến thiên suy ra x  và n 0 x1 x0; do f tăng nên  x là dãy giảm n

Giả sử limx n  khi đó b 0;1;4

4

Từ bảng biến thiên suy ra 4

;3

n

x  



  và x1x0 và do f tăng nên  x là dãy n

tăng Nếu tồn tại giới hạn của dãy là b khi đó 4

H x





Bài toán 12 Cho dãy số  x thoả mãn n 1 2

1

n n

Giả sử limx n  suy ra a a  và 0

02

Vậy  y có giới hạn hữu hạn và lim n y  n 6

2.2.4 Giới hạn của các dãy sinh bởi phương trình

Bài toán 14 Xét phương trình

trong đó n là số nguyên dương

1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n , phương trình trên có duy nhất nghiệm trong 1; và ký hiệu nghiệm đó là  x n

Khảo sát tính đơn điệu của f x trên n( ) 1; 

Dễ thấy rằng ( )f x liên tục trên 1; 

n x

n x

 với mỗi số nguyên dương n (5)

Từ (5) và theo nguyên lý kẹp ta suy ra được lim n 4

trong đó n là số nguyên dương

1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong  0;1 và ký hiệu nghiệm đó là x n

2) Chứng minh rằng tồn tại giới hạn hữu hạn lim n

nên f x nghịch biến trên n( )  0;1 (2) Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên  0;1

Do f x liên tục trên n( )  0;1 và 0

1

lim ( )lim ( )

n x n x

Khảo sát tính đơn điệu và bị chặn của  x n

Với mỗi số nguyên dương n ta có:

  và f n1( )x nghịch biến trên 0;x nên suy ra n

phương trình f n1( )x  có duy nhất nghiệm trên 0 0;x , gọi nghiệm duy nhất này là n

1

n

x  Do 0;x n   0;1 nên 0x n1 x n Dãy  x là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn hữu hạn n

n n

tồn tại x 0  1;2 sao cho f x  (3) n( )0 0

Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương n , phương trình trên có duy nhất nghiệm trong  1;2

2)Ký hiệu nghiệm đó là x Chứng minh rằng lim n n 1

2) Chứng minh dãy có giới hạn và tìm giới hạn đó lim n

n x

Bài toán 18 Xét phương trình x n x n1    với x 1 0 n là số nguyên dương

và n  2 1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n  , phương trình trên có một 2nghiệm dương duy nhất và ký hiệu nghiệm đó là x n

Khảo sát tính đơn điệu của f x n( )x n x n1    trên x 1 0; 

Dễ thấy rằng ( )f x liên tục trên  0; 

Do f x n'( ) nx n1n1x n2  1  với mọi 0 x 0; và    n 2 nên f x là hàm số đồng biến trên n( )  0;  (2) Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên  0; 

Do f x liên tục trên n( )  0;  và (0) 1 0

n n

Vì x  nên từ (4) suy ra ( n 0 x ) là dãy giảm, mặt khác lại bị chặn dưới bởi 0, nên n

tồn tại giới hạn hữu hạn lim n

n x

  nên kết hợp với (4), (5) suy ra 1 1

IV HIỆU QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:

Bản thân đã mang đề tài giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi Toán khối 11 của trường THPT Chu Văn An các năm qua Sau quá trình học tập các em đã làm quen với các bài toán dãy số từ đơn giản đến nâng cao, cách giải cũng rất tự nhiên theo chiều hướng dễ tiếp cận Chất lượng của đội tuyển học sinh giỏi Toán của trường được nâng lên rõ rệt Kết quả thi học sinh giỏi các năm qua như sau:

 Năm học 2013 – 2014:

Học sinh giỏi cấp tỉnh: 2 giải ba Vào vòng 2: 2 học sinh

 Năm học 2014 – 2015:

Học sinh giỏi cấp tỉnh: 1 giải nhất, 1 giải 3 Vào vòng 2: 2 học sinh

Học sinh giỏi cấp quốc gia: 1 học sinh

Giáo viên ở các trường trung học phổ thông không chuyên trong và ngoài tỉnh đều

có thể áp dụng sáng kiến để giảng dạy cho học sinh giỏi khối 11, đặc biệt là áp dụng để giaing3 dạy cho đội tuyển học sinh giỏi toán của trường mình

Học sinh khối lớp 11 có cái nhìn bao quát về cách giải các bài toán về dãy số thuộc chương trình trung học phổ thông không chuyên, từ đó giúp các em tự tin hơn khi đứng trước các bài toán về dãy số

VI KẾT LUẬN:

Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh giỏi lớp 11, chủ yếu là hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung như đã trình bày Tôi thấy các em học sinh đã tự tin hơn khi đứng trước bài toán về dãy số và các phép biến đổi trong dãy số sẽ góp phần đáng kể nâng cao khả năng tư duy, đó là một yêu cầu rất cần thiết đối với người học Toán nói riêng và học môn tự nhiên nói chung

Tôi rất vui vì nhiều năm gần đây, học sinh giỏi toán khối 11 trường THPT Chu Văn An đã tập làm quen cách tiếp cận bài toán dãy số một cách tự nhiên, các em đã không còn ngán ngại khi gặp các câu dãy số trong các đề thi học sinh giỏi Điều đó góp phần làm cho chất lượng học sinh giỏi Toán của trường ngày càng được nâng cao trong những năm vừa qua

Với thời gian ngắn nên việc thực hiện đề tài khó tránh khỏi những thiếu sót Một lần nữa, tôi rất mong sự góp ý chân tình của quý thầy, cô và các bạn đồng nghiệp Xin

chân thành cám ơn!

Xác nhận của đơn vị áp dụng sáng kiến Người viết sáng kiến