Skkn ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán

Dựa vào tínhđơn điệu của hàm số thì ta có thể biết được hình dáng đồ thị, các khoảng đồng biến ,nghịch biến và các tính chất của đồ thị hàm số.. Trong những năm gần đây thì tính đơnđiệu

tốt nghiệp THPT Quốc gia Đặc biệt trong những năm gần đây, tính đơn điệu của hàm

số có những nội dung hay, khó và có thể giải quyết các bài toán giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình Với lượng kiến thức khá rộng và cần sự tư duy nhiều hơn từ học sinh nên tính đơn điệu của hàm số là một trong những phần kiến thức quan trọng của học sinh THPT Quốc gia.

Tính đơn điệu của hàm số lớp 12 là một cách nhìn bao quát và sâu rộng của hàm số

so với cách nghiên cứu hàm số đồng biến, nghịch biến của lớp 10, 11 Dựa vào tính đơn điệu của hàm số thì ta có thể biết được hình dáng đồ thị, các khoảng đồng biến , nghịch biến và các tính chất của đồ thị hàm số Trong những năm gần đây thì tính đơn điệu của hàm số trong chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát tính biến thiên và vẽ đồ thị hàm số là phần học sinh đặc biệt quan tâm để đạt kết quả tốt kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia

Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy các phương trình không mẫu mực, phương trình bậc cao, phương trình chứa căn thức là những bài toán khó đối với học sinh phổ thông Khi giải các bài toán này nếu áp dụng các phép biến đổi thông thường học sinh gặp nhiều khó khăn trong quá trình giải toán Vì thế mà học sinh không làm được bài ,hoặc rất dài dòng trong các lời giải, mất nhiều thời gian có thể dẫn đến kết quả sai hoặc bế tắc trong quá trình hoàn thành lời giải bài toán Khi đó việc “Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số “ là một công cụ rất hay, rất nhanh gọn để giải quyết bài toán nói trên, đặc biệt là bài toán tìm m để hàm đồng biến, nghịch biến trên một tập K, tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)] khi biết đồ thị hàm số f’(x) Đặc biệt việc ứng dụng tính đơn điệu để giải các bài toán tìm m để hàm đồng biến, nghịch biến trên một tập K,tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)] khi biết đồ thị hàm số f’(x) giúp cho các bài toán đó trở nên một cách nhẹ nhàng,dễ áp dụng và bài toán được giải nhanh chóng.

Vì vậy, tôi xin mạo muội viết lại đề tài “ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA

HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN”, nhằm hỗ trợ cho học sinh có thêm một

tài liệu bổ sung, giúp các em học tốt hơn trong giải bài toán nâng cao, nhẹ nhàng hơn trong quá trình học toán cũng như ôn thi trong các kì thi THPT quốc gia, để phần nào giúp các em học sinh có cái nhìn hệ thống, phát triển tư duy, trí tuệ và cách học tích cực hơn đối với dạng toán này.

Thêm một tài liệu để các giáo viên giảng dạy cho các em trong các kỳ thi, trong quá

ngại bài toán khó, một phần vì giáo viên khi dạy cũng chưa chú trọng khai thác hướng dẫn cho học sinh.

Nhằm giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp, kỹ năng để giải quyết các bài toán tính đơn điệu hàm số một cách hiệu quả và kết quả tốt thì sau nhiều năm giảng dạy dạng toán này, với kiến thức đã tích lũy và học hỏi được, tôi mạnh dạn nêu ra đề tài

“ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN’’ để giúp học sinh

và giáo viên tham khảo để đạt kết quả cao hơn trong học tập và trong giảng dạy.

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán tính đơn điệu của hàm số và các bài toán ứng dụng tính đơn điệu của hàm số vào bài toán tìm m để hàm đồng biến, nghịch biến trên một tập K, tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)] khi biết đồ thị hàm số f’(x) trong chương trình Toán THPT mà trọng tâm là trong kì thi Đại học, Cao đẳng, THPT Quốc gia

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Phân tích, tổng hợp, thu thập tài liệu và các thông tin.

- Phân tích, rút kinh nghiệm qua bài toán tính đơn điệu hàm số qua các đề thi Đại học, Cao đẳng, THPT Quốc gia

PHẦN II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

2.1.1 Kiến thức cơ bản

hoặc một đoạn.

+ Hàm số đồng biến (tăng) trên nếu với mọi

+ Hàm số nghịch biến (giảm) trên nếu với mọi

khoảng + Nếu hàm số đồng biến trên khoảng thì + Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng thì

khoảng K.

+ Nếu thì hàm số đồng biến trên khoảng

+ Nếu thì hàm số nghịch biến trên khoảng

+ Nếu thì hàm số không đổi trên tập

● Chú ý : + Nếu là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết

“ Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó” Chẳng hạn: Nếu hàm số

liên tục trên đoạn và có đạo hàm trên khoảng thì hàm số đồng biến trên đoạn

điểm của tập K thì hàm số đồng biến trên K (hoặc nghịch biến trên K).

2.1.2 KỸ NĂNG 2.1.2.1 Lập bảng xét dấu của một biểu thức P(x)

Bước 1: Tìm nghiệm của biểu thức P(x) hoặc giá trị của x làm cho biểu thức P(x)

không xác định

Bước 3: Sử dụng máy tính tìm dấu của P(x) trên từng khoảng của bảng xét dấu.

2.1.2.2 Xét tính đơn diệu của hàm y=f(x) trên tập xác định

Bước 1: Tim tập xác định D.

Bước 2: Tính đạo hàm Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình hoặc những giá trị của x để cho

Trong quá trình giảng dạy và công tác ở trường tôi nhận thấy đa phần các em học sinh có ý thức học tập tốt, ngoan ngoãn.

2.2.2 Khó khăn

Trường THPT Hoằng Hóa 4 đóng trên địa bàn vùng nông thôn khó khăn về kinh

tế, chất lượng đầu vào còn thấp ,đặc biệt là môn toán Việc học tập và phấn đấu của các em học sinh chưa thực sự được quan tâm từ các bậc học dưới THPT vì vậy kiến thức cơ sở về môn Toán của các em hầu hết tập trung ở mức độ trung bình.

▪ Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài các em thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp chứ chưa ý thức tìm tòi, sáng tạo cũng như tạo được niềm vui, sự hưng phấn khi giải toán.

▪ Kết quả khảo sát ở một số lớp: 12A7, 12A10 trong phần giải bài tập toán về phần

sử dụng tính đơn điệu để giải một số bài toán cũng như qua tìm hiểu ở các giáo viên dạy bộ môn Toán, chỉ có khoảng 50% - 60% học sinh hứng thú với bài toán này.

2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề.

phương và hệ bất phương trình, các em giải quyết các bài toán bằng các phương pháp

đã biết ở lớp 10, lớp 11 rất khó khăn, nhiều em không làm được hoặc không đi đến kết luận cuối cùng Khi đó dưới sự hướng dẫn của giáo viên ,dùng đạo hàm hay phương pháp hàm số để giải các bài toán trên thì việc giải bài toán trở nên nhẹ nhàng hơn Trong lớp các em cũng hăng say hơn trong việc học tập môn toán

Trong phần này chúng tôi sẽ đề cập đến các bài toán về ứng dụng sự biến thiên của hàm số để giải quyết một số bài toán

2.3.1 Tìm khoảng đơn điệu của hàm số thông qua bảng biến thiên, đồ thị

① Định lí (thừa nhận): Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng

② Hình dáng đồ thị

Nếu hàm số đồng biến trên thì từ trái sang phải đồ thị đi lên.

Nếu hàm số nghịch biến trên thì từ trái sang phải đồ thị đi xuống.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Lời giải Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng

đã cho nghịch biến trên khoảng nào?

Xét đáp án D, trên khoảng đồ thị có hướng đi lên là hàm số đồng biến

Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số.

đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

Bước 3 Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên Bước 4 Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dưa vào

bảng biến thiên.

Câu 1 (Đề Tham Khảo - 2017) Cho hàm số Mệnh đề nào dưới đây

đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng

B Hàm số nghịch biến trên khoảng

C Hàm số nghịch biến trên khoảng

D Hàm số đồng biến trên khoảng

Lời giải

Tập xác định:

Chọn D Câu 2 (Đề Tham Khảo - 2017) Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng

A Hàm số nghịch biến trên khoảng

B Hàm số nghịch biến trên khoảng

D Hàm số đồng biến trên khoảng

Lời giải

Ta có Bảng biến thiên:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng

Chọn B

A Hàm số nghịch biến trên khoảng

B Hàm số đồng biến trên khoảng

C Hàm số nghịch biến trên khoảng

D Hàm số đồng biến trên khoảng

Lời giải

TXĐ:

Ta có

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng , ; hàm số nghịch biến trên các khoảng , Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng

A Hàm số đồng biến trên khoảng

B Hàm số đồng biến trên khoảng

C Hàm số nghịch biến trên khoảng

D Hàm số nghịch biến trên khoảng

Lời giải

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng

Chọn A

2.3.3 Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó.

Câu 1 (Đề Tham Khảo Lần 2 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số sao

số Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng

Lời giải Chọn D

Ta có:

+) TXĐ:

Hàm số nghịch biến trên khi

có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Câu 3 (Đề Tham Khảo - 2017) Hỏi có bao nhiêu số nguyên để hàm số

nghịch biến trên khoảng

Lời giải Chọn C

TH1: Ta có: là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên Do đó nhận

TH2: Ta có: là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên Do đó loại

TH3: Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng

, dấu “=” chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên

,

.

Vậy có giá trị nguyên cần tìm

Câu 4 (SGD&ĐT Bắc Giang - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để

hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

Do đó có giá trị nguyên của tham số thỏa mãn.

Câu 5 (SỞ GD&ĐT Yên Bái - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để

hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

2.3.4 Bài toán tìm m để hàm đồng biến, nghịch biến trên một tập K

Có bao nhiêu giá trị nguyên của để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ?

Lời giải Chọn D

Ta có Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi

Do Vậy có hai giá trị nguyên của thỏa mãn đề bài.

Câu 2 (Mã 103-2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số

nghịch biến trên khoảng ?

Lời giải Chọn C

Ta có .

Để hàm số nghịch biến trên khoảng khi và chỉ khi:

Vì nguyên nên

Câu 3 (Mã 101 – 2020 -Lần 2) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số để hàm

Lời giải Chọn B

Ta có.

.

Ta xét hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy: thì hàm số đồng biến trên khoảng

Câu 4 (Đề Tham Khảo 2019) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số để hàm

Lời giải

Câu 5 (Đề Minh Họa 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho hàm

số đồng biến trên khoảng

Lời giải Chọn A

Ta có

Để hàm số đồng biến trên khoảng thì

Câu 6 (Đề Tham Khảo 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số để hàm

Chọn B

Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi

Xét hàm số

Ta có

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta có , suy ra các giá trị nguyên âm của tham số là

Câu 7 (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của

Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng

Lời giải Đáp án: C

Ta có

Ta có có một nghiệm đơn là , do đó nếu không nhận

là nghiệm thì đổi dấu qua Do đó để đồng biến trên

R thì hay nhận làm nghiệm (bậc lẻ).

Suy ra

Vậy tổng các giá trị của m là

Câu 8 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để

hàm số nghịch biến trên khoảng

2.3.5 Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)] khi biết đồ thị hàm số f’(x)

như hình bên Hàm số đồng biến trên khoảng

A B C D

Lời giải Chọn B

Cách 1:

Ta thấy với nên nghịch biến trên và

biến biến trên khoảng và

(Trong đó: là các nghiệm bội chẵn của PT:

) + Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng

2.3.6 Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)] + v(x) khi biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số f’(x)

đạo hàm như sau:

đây

Lời giải.

Nhận thấy , Bảng xét dấu:

.

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Lời giải Chọn D

Xét hàm số Hàm số đồng biến tương đương

Đặt

Vẽ parabol và đồ thị hàm số trên cùng một hệ trục

Dựa vào đồ thị ta thấy

.

2.3.7 Bài toán hàm ẩn, hàm hợp liên quan đến tham số và một số bài toán khác

hàm liên tục trên Biết hàm số có đồ thị như hình vẽ Gọi là tập hợp các giá trị nguyên để hàm số nghịch biến trên khoảng Hỏi có bao nhiêu phần tử?

Lời giải

cũng liên tục trên Căn cứ vào đồ thị hàm số ta thấy

Hàm số nghịch biến trên khoảng

.

Mà là số nguyên thuộc đoạn nên ta có Vậy có 5 phần tử.

Câu 2 (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Cho hàm số

có đạo hàm trên và bảnng xét dấu đạo hàm như hình vẽ sau:

Có bao nhiêu số nguyên để hàm số nghịch biến trên

Lời giải Chọn C

Yêu cầu bài toán trở thành tìm để hàm số nghịch biến trên khoảng

.

Dựa vào bảng biến thiên ta được

PHẦN III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.

3.1 Kết luận.

Đất nước ta đang trên bước đường xây dựng, phát triển và giáo dục đã được Đảng,

Nhà nước coi giáo dục là quốc sách hàng đầu thì việc đổi mới phương pháp giảng dạy được Bộ Giáo dục luôn coi là một nhiệm vụ cấp thiết cần phải thực hiện một cách có hiệu quả Muốn làm tốt công việc đó thì người thầy phải phấn đấu tự học, tự rèn nhằm nâng cao nhận thức, nghiệp vụ chuyên môn, từ đó tìm ra cho mình phương pháp giảng dạy đạt hiệu quả cao nhất, tạo được sự hứng thú và niềm tin ở học trò nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Một trong những cách để tạo sự chuyển biến tích cực trong công tác giảng dạy đó là giáo viên viết các chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm phục vụ cho việc dạy và học Từ những nhận thức đó, tôi đã chọn một số đề tài thiết thực phục vụ cho công tác giảng dạy để viết thành sáng kiến kinh nghiệm nhằm nâng cao năng lực về chuyên môn, góp phần chia sẻ cùng các đồng nghiệp, các em học sinh những ý tưởng phục vụ cho việc dạy và học được tốt hơn

Sáng kiến kinh nghiệm này chỉ là một phần rất nhỏ nó là kinh nghiệm bản thân tiếp thu và tích lũy được qua quá trình dạy và học Vì vậy sự phát hiện những ưu nhược điểm chưa được đầy đủ và sâu sắc Mong rằng qua báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này các đồng nghiệp cho tôi thêm những ý kiến và phản hồi những ưu, nhược điểm của cách dạy nội dung này

3.2 Những kiến nghị và đề xuất

● Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần xây dựng bài giảng thành hệ thống những bài tập có phương pháp và quy trình giải toán Đề tài này có thể được nghiên cứu ở mức độ cao hơn đó là sử dụng tính đơn diệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình và chứng minh bất đẳng thức.

● Khuyến khích học sinh xây dựng bài tập toán liên quan đến những dạng bài tập toán trong sách giáo khoa đồng thời phát triển và nhân rộng những bài toán có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời viết thành những bộ sách tham khảo cho học sinh và giáo viên

Cuối cùng tôi mong rằng nội dung này sẽ được các đồng nghiệp nghiên cứu và

áp dụng vào thực tiễn dạy học để rút ra những điều bổ ích.

Bài viết chắc chắn còn nhiều thiếu sót rất mong được sự đóng góp ý kiến, phê

Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh hóa ngày 30 tháng 5 năm 2022

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung

của người khác.

Người viết

Ngô Thị Hoài

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1) Sách giáo khoa Giải Tích lớp 12-NXBGD.

2) Sách giáo khoa và sách Ứng dụng đạo hàm khảo sát tính biến thiên và vẽ đồ thị

hàm số - Lê Hồng Đức - NXB GD.

3) Các đề thi đại học – trang weside math.vn

4) Các đề thi thử quốc gia của các trường THPT- weside box math.vn

5) Đề thi học sinh giỏi các tỉnh Vinh, Nghệ An, Nam Định,Bắc Giang…