Slides Giải tích 1 Chương 2 Đại học Bách Khoa Hà Nội

Lý thuyết giải tích 1 đại học bách khoa hà nội Chương 2 : Giải tích tích phân hàm một biến slides dùng cho chương trình chuẩn Ngay khi vào năm nhất thì combo Giải tích I + Đại số là hai môn toán đầu tiên trong chặng đường toán học đầy chông gai trong 45 năm tại Bách Khoa mà hầu hết các sinh viên đều phải trải quaqua. Đây là lỗi ám ảnh của bao thế hệ sinh viên Bách Khoa, đấy là lời đồn trên Facebook thế thôi chứ mình thấy các bạn A, A+ đầy ra. Về cơ bản thì mình thấy là giải tích I là giống so với toán cấp III, tuy nhiên mọi thứ đều được nâng cao lên rất nhiều. Ví dụ, cấp III chúng ta chỉ được giới thiệu công thức rồi áp dụng làm bài tập thì giải tích I sẽ giải thích, chứng minh cho ta thấy là tại sao lại có những công thức này. Hay là một bài toán cấp III về tích phân chỉ đến dạng này, nhưng giải tích I sẽ đề cập tới những dạng khác nữa, nâng cao hơn nữa rất nhiều. Thế nên, các bạn muốn được điểm cao ( hay là qua môn đi nữa) thì vẫn phải học, làm bài tập chứ không thể sử dụng kiến thức của cấp III để giải quyết mọi vấn đề được.

Trang 1

Chương 2 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘINgày 1 tháng 8 năm 2023

Trang 2

Nội dung

1 Tích phân bất định

2 Tích phân xác định

3 Tích phân suy rộng

Tích phân suy rộng với cận vô hạn

Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn

Tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ

Các tiêu chuẩn hội tụ

Trang 4

d) Z af (x)dx = a

Z

f (x)dx, (a là hằng số khác 0)e) Z [f (x) + g(x)] dx =

Z

f (x)dx +

Zg(x)dxHai tính chất cuối cùng là tính chất tuyến tính của tích phân bất định, ta có thể viết chung

Z[αf (x) + βg(x)] dx = α

Z

f (x)dx + β

Zg(x)dx,trong đó α, β là các hằng số không đồng thời bằng 0

Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) CHƯƠNG 2 4/67 Ngày 1 tháng 8 năm 2023 4 / 67

Trang 5

Một số công thức tích phân thông dụng

a) Z xαdx = x

α+1

α + 1+ C, (α 6= −1),b)

x

ln a+ C, (0 < a 6= 1),h)

Z

exdx = ex+ C,

1 + x2 = arctan x + C,j)

√

1 − x2 = arcsin x + C

Trang 6

Nếu hàm số g(t) có nguyên hàm là hàm số G(t) thì

I = G [ψ(x)] + C

Trang 8

Z

x(1 − x2)2023dx

Zx(1 − x2)2023dx =1

Trang 9

Các phương pháp tính tích phân bất định

Xét tích phân I =Z f (x)dx Để tính tích phân này, ta tìm cách chuyển sang tính tích phân khác của một hàm

số khác bằng một phép đổi biến x = ϕ(t) sao cho biểu thức dưới dấu tích phân đối với biến t có thể tìm đượcnguyên hàm một cách đơn giản hơn

Phương pháp đổi biến x = ϕ(t)

Z

f (x)dx =

Z

f [ϕ(t)] ϕ′(t)dtNếu hàm số g(t) = f [ϕ(t)] ϕ′(t) có nguyên hàm là hàm G(t), và t = h(x) là hàm số ngược của hàm số

x = ϕ(t) thì

I =Zg(t)dt = G(t) + C = G [h(x)] + C

Trang 11

Phương pháp tích phân từng phần

Công thức

Zudv = uv −

Zvdu

Khi nào tích phân từng phần?

Trang 13

Tích phân hàm phân thức hữu tỉ

Q(x) là một phân thức hữu tỷ thựcsự

Trang 14

Phân tích một phân thức hữu tỷ thực sự P (x)

Q(x) thành tổng (hiệu) của các phân thức hữu tỷ thực sự có mẫu số

là đa thức bậc nhất hoặc bậc hai vô nghiệm

a) Phân tích đa thức ở mẫu số Q(x)

Q(x) = (x − α1)a1

(x − αm)am

(x2+ p1x + q1)b1 (x2+ pnx + qn)bn

.b) Nếu trong phân tích của Q(x) xuất hiện (x − α)a, thì trong phân tích của phân thức P (x)

Q(x) xuất hiện cáchạng tử dạng Ai

(x − α)i, 1 ≤ i ≤ a

c) Nếu trong phân tích của Q(x) xuất hiện (x2+ px + q)b, thì trong phân tích của phân thức P (x)

Q(x) xuấthiện các hạng tử dạng Bjx + Cj

(x2+ px + q)j, 1 ≤ j ≤ b

Trang 15

Việc dùng phương pháp hệ số bất định dẫn chúng ta tới việc tính bốn loại tích phân hữu tỷ cơ bản sau:

Z(M x + N )dx(x2+ px + q)m

Trang 16

Tích phân hàm lượng giác

Phương pháp chung

Xét tích phânZ R(sin x, cos x)dx, trong đó hàm dưới dấu tích phân là một biểu thức hữu tỷ đối với

sin x, cos x Ta có thể sử dụng phép đổi biến tổng quát t = tanx

2 , khi đósin x = 2t

1 + t2, cos x = 1 − t2

1 + t2, tan x = 2t

1 − t2, dx = 2dt

1 + t2

tích phân đang xét được đưa về tích phân của phân thức hữu tỉ của biến t

Trang 17

Ví dụ 1.4

1 + sin x + cos x.Lời giải: Đặt t = tan x

2 Khi đósin x = 2t

Trang 18

Tích phânZ R(sin x, cos x)dx có dạng đặc biệt

a) Đặt t = cos x nếu R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x)

b) Đặt t = sin x nếu R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x)

c) Đặt t = tan x nếu R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x)

dx

Trang 19

Tích phân dạngZ sinmx cosnxdx

a) Nếu m là số nguyên dương lẻ, ta đặt t = cos x

b) Nếu n là số nguyên dương lẻ, ta đặt t = sin x

c) Nếu m, n là các số nguyên dương chẵn, ta sử dụng công thức hạ bậc:

sin2x = (1 − cos 2x)/2, cos2x = (1 + cos 2x)/2

Ví dụ 1.6

a) Z sin2x cos2xdx

b) Z sin2x cos4xdx

c) Z sin3x cos4xdxd) Z sin4x cos3xdx

Trang 21

64 −sin 4x64 −sin 6x192 + C.

Trang 22

Z(1 − t2)t4(−dt) =

Z(t6− t4)dt =t

Trang 23

t4(1 − t2)dt =

Z(t4− t6)dt =t

Trang 24

Tích phân các biểu thức vô tỷ

Xét tích phân có dạngZ R(x,√

α2± x2)dx,

ZR(x,√

x2− α2)dx

Đổi biến số lượng giác

a) Đặt x = α tan t đối với tích phânZ R(x,√

α2+ x2)dx

b) Đặt x = α sin t đối với tích phân

ZR(x,√

Trang 25

Tích phân các biểu thức vô tỷ

a2− x2 = arcsinx

a+ Cc) Z √a2− x2dx =1

Trang 26

Nội dung

Trang 27

b) Giới hạn không phụ thuộc vào cách chọn điểm x∗

i

Trang 29

Z b

a

|f(x)|dx.c) Nếu m ≤ f(x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b] thì m(b − a) ≤Z b

a

f (x)dx ≤ M(b − a)

Trang 30

a) f(x) liên tục trên [a, b] và f(x)g(x) khả tích trên [a, b].

b) g(x) không đổi dấu trên [a, b]

Khi đó tồn tại c ∈ [a, b] sao cho:

Trang 31

Hai Định lý cơ bản của tích phân

a) Nếu f khả tích trên [a, b] thì F (x) liên tục trên [a, b]

b) Nếu f liên tục tại x0∈ [a, b] thì F (x) có đạo hàm tại x0 và F′(x0) = f (x0)

Trang 33

Lời giải: Đặt x = 2 cos t với t ∈ [π/3, π/2] Khi x = 0 thì t = π/2 Khi x = 1 thì t = π/3 Ta có

dx = −2 sin tdt và√4 − x2= 2 sin t Nên

2 .

Trang 34

Sử dụng các phép truy hồi, quy nạp.

Trang 35

Ví dụ 2.2

Tính

π 2

Z

0

sin x cos2xdx =

π 2

Z

0

− cos2xd cos x = −cos

3x3

π 2

0

2.

Trang 37

0

√sin x

√sin x +√cos xdx,

π 2

Z

0

2017√sin x

2017√sin x + 2017√cos xdx,

Trang 38

π 2

Z

− π 2

2xcos 2x

2002x+ 2xdx,

π 2

Z

− π 2

x2| sin x |

1 + 2x dx

Trang 39

Nội dung

Trang 40

Giả sử f(x) là hàm số xác định trên khoảng [a, +∞), khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a, A]

Trang 41

Tương tự ta định nghĩa tích phân của một hàm số f(x) trên các khoảng (−∞, a] và (−∞, +∞) bởi các côngthức sau

Trang 42

Giả sử f(x) là hàm số

i) xác định trên khoảng [a, b),

ii) khả tích trên mọi đoạn [a, t], (t < b bất kỳ),

b) Nếu giới hạn ở vế phải tồn tại, ta nói tích phân suy rộng hội tụ

c) Ngược lại, ta nói tích phân phân kỳ

Trang 43

Tương tự ta định nghĩa tích phân suy rộng của hàm số f(x) không bị chặn trên khoảng (a, b] và (a, b) lần lượtnhận x = a và x = b làm điểm bất thường

Trang 44

Trang 45

Trang 46

Trang 47

Định lý 3.4 (Tiêu chuẩn so sánh 2)

Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a, A] và lim

x→+∞

f (x)g(x) = k1) TH1: 0 < k < +∞, các tích phân

Trang 48

g(x)dx hoặc cùng hội tụ, hoặc cùng phân kỳ

Trang 49

Z

a

dx(x − a)α

(hội tụ nếu α < 1phân kì nếu α ≥ 1

0

1 − cos xsinkx dx,j)

4x− ex,

+∞

Trang 50

Nội dung

Trang 52

Tính diện tích hình phẳng

Trường hợp biên của hình phẳng cho dưới dạng đường cong dạng tham số

Nếu S giới hạn bởi

Trang 54

Tính diện tích hình phẳng

Trường hợp biên của hình phẳng cho trong hệ toạ độ cực (tính diện tích của miền có dạng hình quạt)

Nếu S giới hạn bởi

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường hình tim r = 1 + cos ϕ

Trang 55

Tính độ dài đường cong phẳng

Trường hợp đường cong cho bởi phương trình y = f(x)

Tính độ dài đường cong y = lnex+ 1

ex− 1 khi x biến thiên từ 1 đến 2

Trang 56

Trường hợp đường cong cho bởi phương trình tham số:

Trang 57

x′2(t) + y′2(t) = a2.cos

2tsin2t⇒s = a

π 2

Z

π 3

scos2tsin2tdt = a ln

√3

2 .

Trang 58

Trường hợp đường cong cho bởi phương trình trong toạ độ cực:

Trang 59

Tính thể tích vật thể

Trường hợp vật thể được giới hạn bởi một mặt cong và hai mặt phẳng x = a, x = b Giả thiết ta biết rằng diệntích S của thiết diện của vật thể khi cắt bởi mặt phẳn x = x0 là S(x0), và S(x) là hàm số xác định, khả tíchtrên [a, b] Khi đó

Tính thể tích của vật thể là phần chung của hai hình trụ x2+ y2= a2và y2+ z2= a2(a > 0)

Lời giải: Diện tích của vật thể là

Trang 63

Ví dụ 4.8

Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay hình giới hạn bởi các đường y = 2x − x2và y = 0 quanh trục Oymột vòng

Trang 65

Ví dụ 4.9

Tính diện tích mặt tròn xoay tạo nên khi quay các đường sau y = tan x, 0 < x ≤ π4, quanh trục Ox

Tiêu đề	Chương 2 Phép Tính Tích Phân Hàm Một Biến Số
Trường học	Đại học Bách Khoa Hà Nội
Chuyên ngành	Toán Ứng Dụng và Tin Học
Thể loại	tài liệu
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	67
Dung lượng	635,19 KB