Công thức chương 2 qttc

Trang 1 Chương 2: Lãi suất và giá trị tiền tệ theo thời gianI.LÃI ĐƠNI = PV x n x rFVn = PV x 1+ nrPV: Vốn gốc ban đầu.FVn: Số tiền nhận được sau n kì khoản.I: Tiền lãi hay lợi tức nhận

Chương 2: Lãi suất và giá trị tiền tệ theo thời gian

I.LÃI ĐƠN

I = PV x n x r

FVn = PV x (1+ nr)

PV: Vốn gốc ban đầu

FVn: Số tiền nhận được sau n kì khoản

I: Tiền lãi hay lợi tức nhận được

r: Lãi suất

n: số kì khoản

Lưu ý: n và r phải có sự tương thích, VD n tính theo ngày thì lãi suất cũng phải tính theo ngày

CHUYỂN ĐỔI LÃI SUẤT DANH NGHĨA

Lãi suất ngày = LS tháng30 = LS quý90 =LS năm360

CÁCH TÍNH SỐ NGÀY CHỊU LÃI CỦA MỘT NGHIỆP VỤ TÍN DỤNG NGẮN HẠN

Tháng đầu (a) = Ngày cuối tháng – Ngày phát sinh + 1

Các tháng giữa (b) = Tính theo lịch

Tháng cuối (c) = Ngày đáo hạn – 1 (*)

 Tổng số ngày tính lãi (n) = (a) + (b) = (c)

Chú thích (*): Ngày đáo hạn (còn gọi là đến hạn) không tính lãi gọi là ngày ngân hàng

CÔNG THỨC HỆ QUẢ

Thời gian đầu tư cần thiết

n = FV n−PV

r x PV = r x PV I

Lãi suất mong muốn

r = FV n−PV

n x PV = n x PV I

LÃI SUẤT BÌNH QUÂN ĐỐI VỚI MỘT KHOẢN VAY TRONG NHIỀU ĐỊNH KÌ THAY ĐỔI LÃI SUẤT

´

r =¿ r1n1+r2n2+…+r n n n

n1+n2+…+n n

II.LÃI KÉP

FVn = PV(1+r )n

CÁC CÔNG THỨC HỆ QUẢ

Khoản vốn ban đầu cần đầu tư: PV = FVn(1+r )−n

Thời gian đầu tư cần thiết: n = ln

FV n PV ln(1+r )

Suất chiết khấu mong muốn: r = n

√FV n

PV −1

CHUYỂN ĐỔI LÃI SUẤT THỰC TƯƠNG ĐƯƠNG THEO THỜI ĐOẠN NGẮN VÀ DÀI

Nếu gọi

r1: Lãi suất thực trong thời đoạn ngắn (tháng, quý, 6 tháng)

r2: Lại suất thực trong thời đoạn dài (năm)

n: số thời đoạn ngắn có trong thời đoạn dài

Với ý nghĩa nếu sử dụng r1 hoặc r2 thì đều cho giá trị đáo hạn sau một thời hạn là như nhau

Phương trình FV = PV (1+r1)n = PV (1+r2)1

 (1+r1)n=(1+ r2)1

 r2=(1+r1)n−1 hay r1=√n 1+r2−1

LÃI SUẤT BÌNH QUÂN

´

r =∑C i r i

C i x 100%

´

r: Lại suất chiết khấu bình quân của khoản vay (hay dự án)

C i: Lượng tiền của nguồn vốn thứ i

r i: Lãi suất của nguồn vốn thứ i

GHÉP LÃI ĐỊNH KÌ m LẦN MỘT NĂM TRONG n NĂM ĐẦU TƯ (LÃI GỘP VỐN) Nếu tính lãi định kì hàng năm thì giá trị nhận được sau n năm là

FV = PV (1+r )n

Nếu ghép lãi với những định kì nhỏ hơn (chẳng hạn theo quý tháng sáu tháng, ngày, tuần,

…)

FV = PV(1+r

m)

m x n

r: Lãi suất tính theo năm

r

m: Lãi suất danh nghĩa tính theo định kì nhỏ hơn

LÃI SUẤT HIỆU DỤNG (THỰC) CỦA MỘT KHOẢN VAY

rhd = (1+r

m)

m

−¿1

LÃI SUẤT TRUNG BÌNH TRONG LÃI KÉP

Công thức tính giá trị trung bình

r =n

√(1+r1)n1(1+r2)2…(1+r k)n k−1

n1, n2, …, nk: thời gian đầu tư ở giai đoạn 1, 2, …, k

n = n1 + n2 + n3

r1, r2, …, rk: lãi suất ở giai đoạn 1, 2, …, k

Công thức tính giá trị đáo hạn đạt được

r =n

√(1+r1)n1(1+r2)2…(1+r k)n k−1

LÃI SUẤT THỰC BAO GỒM CHI PHÍ TRONG LÃI KÉP (LÃI SUẤT HIỆU NĂNG)

r t=√n FV n

PV −f−1

f: chi phí vay vốn, lệ phí vay, chi phí phát hành, …

n: thời gian vay

III.GIÁ TRỊ TIỀN TỆ THEO THỜI GIAN

NHẮC LẠI KIẾN THỨC VỀ CẤP SỐ NHÂN

Số hạng tổng quát un

u n=u1x q n−1

Tổng hữu hạn của một cấp số nhân n số hạng

S n=u11−q

n

1−q

Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

S n= u1

1−q

GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI CỦA CHUỖI TIỀN TỆ ĐỒNG ĐỀU (KÝ HIỆU FVAn ) Đối với dòng tiền cuối kì

FVA n=CF x(1+r)

n

−1

r

Đối với dòng tiền đầu kì

FVA n=CF x(1+r)

n

−1

r x (1+r )

HIỆN GIÁ CỦA CHUỖI TIỀN TỆ ĐỒNG ĐỀU (KÝ HIỆU PVAn)

Đối với dòng tiền cuối kì

PVA n=CF x 1−(1+r )

−n

r

Đối với dòng tiền đầu kì

PVA n=CF x 1−(1+r )

−n

r x (1+r )

HIỆN GIÁ CỦA CHUỖI TIỀN TỆ ĐỒNG ĐỀU MÃI MÃI (VĨNH CỮU)

PVA ∞=CF

r

GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI CỦA CHUỔI TIỀN TỆ KHÔNG ĐỒNG ĐỀU

FV =CF1(1+r )1+CF2(1+r )2+…+CF n (1+r ) n=∑

i=1

n

CF i(1+r )i HIỆN GIÁ CỦA CHUỖI TIỀN TỆ KHÔNG ĐỒNG ĐỀU

PV = CF1

1+ r+

CF2

(1+ r)2+…+

CF n

(1+r ) n=∑

i=1

(1+ r )i=∑

i=1

n

CF i(1+r )−i

Bài tập SV làm thêm chương 2 (1) Bài 1: Một người cho vay 250 triệu đồng, lãi suất 10%/năm trong thời gian từ 1/5 đến

15/9 Tính khoản lãi mà người đó thu được

Tóm tắt

PV = 250 000 000 đồng

r = 10%/năm

n = 137 ngày

I = ? đồng

Giải

I = PV x n x r = 250 000 000 x 137 x 10 %360 = 9 514 000 đồng.

Bài 2: Một người gửi vào ngân hàng 550 triệu đồng từ ngày 20/4 đến ngày 31/8 thì thu

được một khoản lợi tức là 14 630 000 đồng Xác định lãi suất tiền gửi

Tóm tắt

I = 14 630 000 đồng

PV = 550 000 000 đồng

n = 133

r = ? %

I = PV x n x r (=) 14 630 000 = 550 000 000 x 133 x r

 r = 7.2%/ năm

Bài 3: Ngày 1/6 công ty ABC vay của ngân hàng 400 triệu đồng với lãi suất là 10%/năm.

Khi đáo hạn công ty phải trả 408 triệu Biết ngân hàng áp dụng p/p tính lãi đơn, hãy xác định ngày đáo hạn của khoản vay trên

Tóm tắt

PV = 400 000 000 đồng

FV = 408 000 000 đồng

r = 10%/ năm

n = ? Từ đó xác định ngày đáo hạn

Giải

n = FV n−PV

r x PV =

408 000 000−400 000 000

10 %

360 x 400 000 000

= 72 ngày

Vậy ngày 12/8 là ngày đáo hạn (1 tháng quy định bằng 30 ngày)

Bài 4: Công ty XYZ vay ngân hàng một số tiền từ ngày 20/4 đến ngày 15/7 với lãi suất

9%/năm Khi đáo hạn, công ty phải trả cả vốn lẫn lãi là 265 590 000 đồng Tính số tiền công ty đã vay?

Tóm tắt

n = 86 ngày

r = 9%/năm

FV = 265 590 000 đồng

PV = ? đồng

Giải

FV = PV (1 + nr)

(=) 265 590 000 = PV (1+ 86 x 9 %360)

 PV = 260 000 000 đồng

Bài 5: Một công ty vay ngân hàng 405 triệu đồng từ ngày 1/8 đến ngày 12/10 Tính lợi

tức mà công ty phải trả cho ngân hàng với lãi suất 9.36%/năm, 0.8%/tháng

Tóm tắt

PV = 405 000 000 đồng

n = 72 ngày = 2.4 tháng = 0.2 năm

I = ? (r= 9.36%/năm, r= 0.8%/tháng)

Giải

I = PV x n x r TH1: r = 9.36%/năm (=) I = 405 000 000 x 0.2 x 9.36% = 7 581 000 đồng

TH2: r = 0.8%/tháng (=) I = 405 000 000 x 2.4 x 0.8% = 7 776 000 đồng

Bài 6: Ngân hàng cho vay một số tiền 300 triệu đồng Tính lãi đơn với các mức lãi suất

thay đổi như sau:

+ 10%/năm từ 1/2 đến 6/4

+ 11%/năm từ ngày 7/4 đến 20/6

+ 10.5%/năm từ ngày 21/6 đến 28/7

+ 9%/ năm từ ngày 29/7 đến ngày 15/9 Yêu cầu:

a Xác định lãi suất trung bình của khoản vốn cho vay trên?

b Tính tổng lợi tức mà ngân hàng thu được?

Giải

´

r = r1n1+r2n2+…+r n n n

n1+n2+…+n n

=

10 % x 65

360+11 % x

75

360+10.5 % x

38

360+9 % x

48 360 65+75+38+48

360

= 10.2% /năm

I = I1 + I2 + I3 + I4

I1 = PV x n x r = 300 000 000 x 36065 x 10% = 5 416 666 đồng

I2 = PV x n x r = 300 000 000 x 36075 x 11% = 6 875 000 đồng

I3 = PV x n x r = 300 000 000 x 36038 x 10.5% = 3 325 000 đồng

I4 = PV x n x r = 300 000 000 x 36048 x 9% = 3 600 000 đồng

 I = 19 216 000 đồng

Bài 7: Tính tổng lợi tức thu được từ các khoản vay như sau:

Vốn vay (triệu đồng) Thơi hạn vay Yêu cầu

Với lãi suất vay: 9%/năm 0.8%/tháng

Với lãi suất 9%/năm:

I1 = PV1 x n1 x r = 250 x 36080 x 9% = 5

I2 = PV2 x n2 x r = 300 x 36064 x 9% = 4.8

I3 = PV3 x n3 x r = 450 x 36065 x 9% = 7.3125

I4 = PV4 x n4 x r = 500 x 36072 x 9% = 9

 I = 26.1125

Với lãi suất 0.8%/tháng:

I1 = PV1 x n1 x r = 250 x 8030 x 0.8% = 5.33333

I2 = PV2 x n2 x r = 300 x 6430 x 0.8% = 5.12

I3 = PV3 x n3 x r = 450 x 6530 x 0.8% = 7.8

I4 = PV4 x n4 x r = 500 x 7230 x 0.8% = 9.6

I = 27.8533333

Bài 8: Tính tổng lợi tức thu được từ các khoản vay cho sau:

Vốn vay (triệu đổng) Lãi suất Thời hạn

I1 = PV1 x n1 x r1 = 100 x 138 x 0.84 %30 = 3.864

I2 = PV2 x n2 x r2 = 150 x 68 x 9.72 %360 = 2.754

I3 = PV3 x n3 x r3 = 180 x 75 x 0.9 %30 = 4.05

I = 10.668

Bài 9: Ngân hàng cho vay một khoản tiền với các mức lãi suất thay đổi như sau: + 1%/tháng trong 68 ngày

+ 1.1%/tháng trong 112 ngày

+ 1.2%/tháng trong 45 ngày.

Khi đáo hạn ngân hàng thu được một khoản lợi tức là 24.525 triệu đồng Hãy xác định

số tiền mà ngân hàng đã cho vay?

I= I1 + I2 + I3

I = PV x n1 x r1 + PV x n2 x r2 + PV x n3 x r3

I = PV ( n1r1+ n2r2 + n3r3)

24.525 = PV (6830x 1 % + 11230 x 1.1 % + 4530x 1.2 %)

PV = 300 triệu đồng

Bài 10: Một người đi vay một số tiền 240 triệu đồng trong 5 tháng với lãi suất 10%/

năm, lệ phí vay 1 triệu đồng Nếu lợi tức được trả ngay khi vay, hãy xác định lãi suất thực mà người đó phải chịu?

Tóm tắt

PV = 240 triệu

n = 5 tháng

r = 10%/năm = 0.84 %/tháng

f = 1 triệu đồng

Giải

FV = PV (1+r)n = 240 (1+ 0.84 %)5 = 250.25

r t=√n FV n

PV −f −1

¿√5 FV n

240−1−1

= 11%

Bài 11: Một người vay ngân hàng 120 triệu đồng trong 8 tháng, lãi suất

8.4%/ năm Chi phí vay bằng 0.5% vốn gốc Hãy xác định lãi suất thực trong hai trường hợp.

a) Lợi tức được trả khi đáo hạn?

b) Lợi tức được trả ngay khi nhận vốn?

Tóm tắt

PV = 120 triệu

n = 8 tháng

r = 8.4 %/năm = 0.7%/ 1 tháng

f = 0.6 triệu

a) r t=√n FV n

PV −f−1

r t=√n PV x (1+r) n

PV −f −1

¿√8 120 x (1+0.7 %)8

120−0.6 −1 = 9.2%/năm b) Tổng lợi tức và chi phí vay

(120 x 0.7% x 8) + 0.6 = 7.32

Vốn thực tế sử dụng: 120 – 7.32 = 112.68

Lãi suất thực 7.32/112,68 x 12/8 = 9.74%/năm

Bài 12: Một người đi vay ngân hàng từ ngày 15/4 đến ngày 16/8 với lãi suất 0.8%/tháng Nếu lợi tức phải trả ngay khi nhận vốn, hãy tính lãi suất thực mà người đó phải gánh chịu?

Tóm tắt

n = 123 ngày

r = 0.8%/tháng = 0.027%/tháng

Giải

Trắc nghiệm

Câu 33: Một người vay ngân hàng 400 triệu đồng, lãi suất 9%/năm, kì ghép lãi 6 tháng,

vốn và lãi được trả 1 lần khi đáo hạn Lệ phí vay là 0.5% vốn gốc Hãy xác định lãi suất thực mà người đi vay phải gánh chịu với thời hạn vay là 3 năm?

Tóm tắt

PV = 400 triệu đồng

r= 9%/năm = 4.5%/ 6 thang

n = 6 kì

f = 2

Giải

FV = PV x (1+r)n

r t=√n FV n

PV −f−1

r t=¿9.18%

Câu 31: Một người đầu tư một khoản vốn 500 triệu đồng, tính lãi kép với các mức lãi suất biến đổi như sau:

-8%/năm trong thời thời gian 3 năm đầu tiên

-8.5%/ năm trong thời gian 3 năm tiếp theo

- 9%/năm trong thời gian 4 năm cuối cùng

Giải

r =√n(1+r1)n1(1+r2)2…(1+r k)n k−1 =8.5%

Câu 38: Một công ty đầu tư 700 triệu đồng, lãi suất 12%/năm (lãi nhập vốn hàng năm) Giá trị đạt được ở cuối đợt đầu tư là 1350 triệu đồng Xác định thời gian đầu tư?

Tóm tắt

PV = 700 triệu đồng

r = 12%/năm

FV = 1350 triệu đồng

n= ? năm

n = ln

FV n

PV

ln(1+r) = 5.795351235

BÀI TẬP SINH VIÊN LÀM THÊM (3)

Bài 1: Một người gửi vào ngân hàng cuối mỗi quý 20 triệu đồng, lãi suất 8%/năm với mong muốn được một số vốn trong tương lai là 300 triệu đồng.

a) Xác định số kì gửi tiền (Quy ước tròn xuống)?

b) Tính số tiền phải gửi ở kì cuối cùng?

Tóm tắt

CF= 20 triệu đồng

FV = 300 triệu đồng

r = 8%/năm = 2%/Quý

a) FVA n=CF x(1+ r)

n

−1

r

¿>n=13 kì

b¿Tổng số tiền đã có tại kì thứ 12

FVA n=CF x(1+r)

n

−1

r x (1+r)

= 20 x (1+2 %)2 %12−1 x (1+2%)

= 273.6066305 triệu đồng

Số tiền phải gửi ở kì cuối cùng

300 – 273.6066305 = 26.3934

Bài 2: Một chuỗi tiền tệ đều phát sinh đầu kì có hiện giá 600 triệu đồng, lãi suất 8%/kì, giá trị mỗi kì khoản là 60 triệu đồng.

a¿PVA¿n=CF x 1−(1+r )

−n

r x (1+r )

 n = 18 kì

b)