Chương 2 lãi suất

Thuật ngữ này thường có tên gọi là lãi suất, suất2 Trang 13 chiết khấu, chi phí sử dụng vốn, tỷ suất lợi nhuận đầu tư,… mà ta sẽ lần lượt tiếp cận ở nhữngchương sau, hay ở những môn học

Chương 2 Lãi suất và giá trị tiền tệ theo thời gian

Mục tiêu chính

G2 Hiểu và vận dụng kiến thức toán tài chính để định giá tiền tệ; Hiểu được bản chất tiền tệ

có giá trị theo thời gian do hiệu ứngg lạm phát của nền kinh tế và do yêu cầu sinh lợi của hoạtđộng đầu tư vào SXKD và như vậy cần phải định giá cho phù hợp với hoạt động kinh tế

Mục tiêu cụ thể

O2.1 Hiểu và vận dụng kiến thức lãi đơn và lãi kép vào các nghiệp vụ tín dụng và đầu tư O2.2 Hiểu nhân tố ảnh hưởng đến giá trị tiền tệ theo thời gian.

O2.3 Vận dụng phương pháp định giá khoản tiền tệ đơn.

O2.4 Hiểu chuỗi tiền và vận dụng phương pháp thẩm định chuỗi tiền.

O2.5 Hiểu các phương thức vay vốn và vận dụng làm lịch trả nợ.

Nội dung chương 2

Ví dụ: Ông A vay ngân hàng 100 triệu đồng, tiền lãi phải trả mỗi tháng là 10 triệu đồng.

Như vậy lãi suất theo tháng là

10

100 10%

100 

- Nếu ông A vay 1 tháng thì số tiền phải trả khi đáo hạn là: 100×1,1 = 110 trđ

- Nếu ông A vay 4 tháng thì số tiền phải trả khi đáo hạn là: 100×1,4 = 140 trđ

Như vậy, căn cứ vào số vốn gốc ban đầu là 100 trđ để tính số tiền lãi phải trả và nếu số

kỳ khoản vay càng lớn thì số tiền lãi phải trả càng nhiều

2.1.1.2 Chuyển đổi lãi suất danh nghĩa

Theo quy ước sau đây:

Lãi suất ngày = Lãi suất tháng =

Lãi suấtquý = Lãi suất năm

2.1.1.3 Cách tính số ngày chịu lãi của một nghiệp vụ tín dụng ngắn hạn

- Tháng đầu (a) = (Ngày cuối tháng - Ngày phát sinh) + 1

- Các tháng giữa (b) = Tính theo lịch

- Tháng cuối (c) = Ngày đáo hạn – 1 (*)

 Tổng số ngày tính lãi (n) = (a) + (b) + (c)

(*): Ngày đáo hạn (còn gọi là đến hạn) không tính lãi gọi là ngày ngân hàng

Ví dụ 1: Ông Ba gửi tiết kiệm 50 triệu đồng vào ngân hàng VCB từ ngày 12/01/2008

đến ngày 15/09/2008 với lãi suất 1,2%/tháng Hỏi số tiền ông nhận lại khi đáo hạn?

- Số ngày tính lãi: n = (3-12 +1) + (29+31+30+31+30+31+31) + (15-1) = 247 ngày

- Số tiền nhận lại khi đáo hạn: 247

Ví dụ 2: Ngân hàng cho vay một số tiền 300 triệu đồng Tính lãi đơn với các mức lãi

suất thay đổi như sau:

a Xác định lãi suất trung bình của khoản vốn cho vay trên?

b Tính tổng lợi tức mà ngân hàng thu được?

Giải

a) Lãi suất trung bình của khoản vốn vay:

Số ngày theo các thời đoạn n = (28 + 31 + 6) + (24 + 31 + 20) + (10 + 28) + (3 + 31 +14) = 65 + 75 + 38 + 48 = 226 ngày

b) Tổng lợi tức ngân hàng thu được

0, 012

I 300 226 19, 21 trđ

360

Ví dụ 3: Một người gửi ngân hàng 50 triệu đồng, lãi suất 7,2 %/năm từ ngày 15/1 đến

16/7 Xác định lợi tức người đó đạt được?

- n = 182 ngày chịu lãi (Người học tự tính số ngày)

Ví dụ 4: Một người gửi ngân hàng 20 triệu đồng trong thời gian 42 tháng với lãi suất

9%/năm Hãy xác định giá trị đạt được?

Ví dụ 5: Vốn gốc 30 triệu đồng với lãi suất 20%/năm Vậy phải đầu tư trong bao lâu để đạt

được giá trị 31,5 triệu đồng?

Thời gian đầu tư

Ví dụ 6: Ông C gửi ngân hàng 60 triệu đồng trong 3 năm 4 tháng thì đạt được kết quả

cuối cùng là 75,21 triệu đồng Xác định lãi suất tiền gửi theo tháng và theo năm?

Ví dụ 7: Với lãi suất đầu tư 16%/năm nhà đầu tư D phải bỏ ra số vốn đầu tư ban đầu là

bao nhiêu để thu được số tiền lãi là 240 triệu đồng trong thời gian 3 năm 9 tháng?

Giải

- Thời hạn đầu tư năm n = 3 năm 9 tháng = 15/4 năm

- Số tiền đầu tư ban đầu

Ví dụ 8: Công ty L vay của ngân hàng N 400 triệu đồng với lãi suất là 10%/năm Khi

đáo hạn công ty phải trả 408 triệu đồng Biết ngân hàng áp dụng phương pháp tính lãi đơn

b) Xác định ngày phát sinh nghiệp vụ

Thử vào phương trình: 72 = (15 – 1) + 31 + “?” = 45 + “27”= 45 + (31 – 5 + 1)

Vậy ngày phát sinh là: 5/7

2.1.1.6 Lãi suất thực theo lãi đơn

Khi đi vay một khoản vốn, ngoài lợi tức, người đi vay thông thường còn phải trả mộtkhoản lệ phí vay nhất định nên lãi suất mà người đi vay gánh chịu có thể sẽ cao hơn lãi suất

mà người cho vay công bố Như vậy, lãi suất thực là mức chi phí thực tế mà người đi vay phải

trả để sử dụng một khoản vốn vay nào đó trong một thời hạn nhất định

Ví dụ 9: Ngân hàng cho vay ngắn hạn 1 khoản tiền 200 triệu đồng với các điều kiện

sau: Lãi suất 9,6%/năm; phí hồ sơ 200.000 đồng; các khoản chi phí khác 0,2% vốn gốc Xácđịnh lãi suất thực của khoản vay trên trong điều kiện sau:

a Thời gian vay là 1 năm?

b Thời gian vay là 4 tháng?

Nếu trong hợp đồng vay quy định người vay phải trả trước lãi vay thì lãi suất thực tế

sẽ thay đổi như thế nào?

Giải + Nếu lợi tức phải trả vào cuối mỗi kỳ

a Thời gian vay một năm

=> Lãi suất thực: 19,8 / 199,4 = 9,93%/năm

b Thời gian vay 4 tháng

- Lợi tức phải trả: 200 x 0,096 x 4/12 = 6,4 trđ

- Tổng lợi tức và lệ phí phải trả: 7 trđ

=> Vốn thực tế sử dụng: 199,4 trđ

=> Lãi suất thực: (7/199,4) x (12/4) = 10,53 %/năm

Kết luận: Thời gian vay càng ngắn, lãi suất thực càng tăng theo gánh nặng của các

khoản chi phí cố định

+ Lợi tức phải trả ngay khi nhận vốn (trả trước)

a Thời gian vay 1 năm

- Vốn thực tế sử dụng: 200 - 19,8 = 180,2 trđ

- Lãi suất thực: 19,8 / 180,2 = 10,99%/năm

b Thời gian vay 4 tháng

- Vốn thực tế sử dụng: 200 - 7 = 193 trđ

- Lãi suất thực: (7 / 193) x (12 /4) = 10,88%/năm

Kết luận: Lãi vay phải trả ngay khi nhận vốn thì thời gian vay càng dài lãi suất thực sẽ

càng tăng vì lúc đó khoản lợi tức phải trả trước lớn làm cho vốn thực tế sử dụng bị giảm đi

- r: Lãi suất.

- n: Số thời đoạn

Ví dụ 10: Một người gửi tiết kiệm 10 triệu đồng, lãi suất mỗi tháng là 1,5% và lãi nhập

gốc hàng tháng Sau 10 tháng người đó nhận lại cả vốn lẫn lãi là:

FV10 = 10 x (1 + 0,015) x 10 = 11,605408 (triệu đồng)

2.1.2.2 Các công thức hệ quả

- Khoản vốn ban đầu cần đầu tư PV = FVn (1+ r)-n

- Thời gian đầu tư cần thiết

lnln(1 )

n

FV PV n

PV

Ví dụ 11: Công ty Damocuma mua một lô đất với giá 50 tỷ VND và dự kiến giá đất

hàng năm tăng 8% Hỏi:

a Giá lô đất đó sau 4 năm, sau 6 năm?

b Sau bao lâu thì giá đất tăng gấp ba?

c Giả sử 8 năm sau giá đất tăng gấp đôi Hỏi suất tăng trưởng của giá đất?

n 

= 14,2749 năm = 14 năm 3 tháng 9 ngày

c Suất tăng trưởng của giá đất

r : Lãi suất thực trong thời đoạn dài (năm)

n: Số thời đoạn ngắn có trong thời đoạn dài

Với ý nghĩa nếu sử dụng r1 hoặc r2 thì đều cho giá trị đáo hạn sau một thời hạn là nhưnhau Chứng minh như sau:

Ví dụ 14: Thông tin cho biết bình quân hai tháng đầu năm 2011 chỉ số giá tiêu dùng

chung CPI của Việt Nam tăng 1,2%/ tháng Giả sử Chính phủ kềm chế được tốc độ tăng giánày thì cuối năm 2011 tỷ lệ lạm phát của nền kinh tế Việt Nam là bao nhiêu?

=> Tỷ lệ lạm phát:I (1 1, 2%)  121 15,39% / năm

2.1.2.4 Lãi suất bình quân

Lãi suất bình quân của nhiều khoản vốn vay trên cùng một thời hạn (còn gọi là Chi phí

sử dụng vốn bình quân hay suất chiết khấu bình quân)

Công thức:

i i i

- r: Lãi suất chiết khấu bình quân của khoản vay (hay dự án)

- Ci: Lượng tiền của nguồn vốn thứ i

- ri: Lãi suất của nguồn vốn thứ i

Ví dụ 15: Công ty Laribo sử dụng 3 nguồn vốn tài trợ để thực hiện dự án của mình như

sau: Nguồn vốn I là 500 triệu đồng lãi suất 12%/năm; nguồn vốn II là 300 triệu đồng lãi suất14%/năm, nguồn vốn III là 200 triệu đồng lãi suất 15%/năm Tính lãi suất trung bình của dự

án này?

Giải

r = (500 x 0,12 + 300 x 0,14 + 200 x 0,15 )/ (500 + 300 + 200) = 0,132 = 13,2 %/năm

2.1.2.5 Ghép lãi định kỳ m lần một năm trong n năm đầu tư (lãi gộp vốn)

Nếu tính lãi định kỳ hàng năm thì giá trị nhận được sau n năm là:

FV = PV (1 + r)n.Nhưng nếu ghép lãi với những định kỳ nhỏ hơn (chẳng hạn theo quý tháng sáu tháng,ngày, tuần,…) thì công thức tính giá trị đáo hạn sẽ là:

FV = PV (1 + r/m)mxn

Trong đó:

- r là lãi suất tính theo năm

- r/m là lãi suất danh nghĩa tính theo định kỳ nhỏ hơn.

Ví dụ 16: Một khoản tín dụng 200 triệu đồng, lãi suất 14%/năm được cấp trong thời hạn

5 năm Hãy tính giá trị đáo hạn trong các trường hợp ghép lãi sau đây?

- Theo tháng: FV = 200 (1 + 0,14/12)12x5 = 401,1220 triệu VND

- Theo quý: FV = 200 (1 + 0,14/4)4x5 = 397,9578 triệu VND

- Theo 6 tháng: FV = 200 (1 + 0,14/2)2x5 = 393,4303 triệu VND

- Theo năm : FV = 200 (1 + 0,14/1)1x5 = 385,0829 triệu VND

2.1.2.6 Lãi suất hiệu dụng (thực) của một khoản vay

Thông thường ngân hàng công bố mức lãi suất và mức công bố này gọi là lãi suất danhnghĩa Tuy nhiên, lãi suất hiệu dụng (thực) được tính trên cơ sở lãi suất danh nghĩa và phụthuộc vào cách ghép lãi theo thời đọan ngắn hơn

Công thức tính lãi suất hiệu dụng:

r hd = (1 +r/m) m – 1

Ví dụ 17: Ngân hàng thương mại công bố lãi suất huy động vốn năm 2014 được ấn định

từ NHNN là 14%/năm Bạn hãy tính lãi suất thực (hiệu dụng) của các khoản tiết kiệm định kỳtheo?

- Theo tháng: rhd = (1 + 0,14/12)12 – 1 = 14,93%/năm

- Theo qúy: rhd = (1 + 0,14/4)4 – 1 = 14,75%/năm

- Theo 6 tháng: rhd = (1 + 0,14/2)2 - 1 = 14,49%/năm

- Theo ngày: rhd = (1 + 0,14/365)365 – 1 = 15,02%/năm

2.1.2.7 Lãi suất trung bình trong lãi kép

b) Giá trị đáo hạn đạt được: PV = PV(1+ r ) (1+ r ) (1+ r ) = PV(1+ r) n 1 n1 2 n2 k nk n

Ví dụ: Một người đầu tư một khoản vốn 500 triệu đồng, tính lại kép với các mức lãi

suất biến đổi như sau:

- 8%/năm trong thời gian 3 năm đầu tiên

- 8,5%/năm trong thời gian 3 năm tiếp theo

- 9%/năm trong thời gian 4 năm cuối cùng

Hãy xác định

a Lãi suất bình quân của khoản vốn đầu tư trên?

b Giá trị đạt được vào cuối năm thứ 10?

FV

PV - f Trong đó:

- f: Chi phí vay vốn, lệ phí vay, chi phí phát hành,

- n: Thời gian vay.

Ví dụ 18: Một người vay ngân hàng 400 triệu đồng, lãi suất 9%/năm, kỳ ghép lãi 6

tháng, vốn và lãi được trả một lần khi đáo hạn, lệ phí vay là 0,5% vốn gốc Hãy xác định lãisuất thực mà người đi vay phải gánh chịu với:

a Thời gian vay là 3 năm?

b Thời gian vay là 1 năm?

Số tiền người đi vay phải trả khi đáo hạn: 436,81 trđ

Lãi suất thực: r t = √400−2436,81- 1 = √1,0975 - 1 = 0,0476 = 4,76%/6 tháng hay 9,52%/năm

Nhận xét: Thời gian vay càng ngắn, lãi suất thực càng cao do gánh nặng của khoản lệ phí vay

cố định

Khuyến nghị: Sinh viên nên sử dụng máy tính tài chính để tính lãi suất hay các yêu cầu

khác theo cách giải phương trình, hay tính giá trị biểu thức trên máy!

GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH TÀI CHÍNH

Nhìn chung trong môn học có hai loại toán:

1 Tính giá trị biểu thức đại số:

Sinh viên thay giá trị cụ thể của đại lượng vào biểu thức (công thức) rồi bấm “=“ đượckết quả phải tìm

2 Giải phương trình đại số:

Dựa vào dữ kiện bài toán viết ra phương trình trên nháp để dựa vào đó giải phươngtrình

Giải phương trình trên máy theo trình tự 3 bước:

- Bước 1: Nhập vế trái phương trình (ẩn số trên máy là chữ X – bấm alpha trưc)

- Bước 2: Bấm alpha  CalC  Nhập vế phải

- Bước 3: Bấm Shift  CalC  Kết quả (Lưu ý chờ máy xử lý khoảng 5 – 10 giây) 2.2 GIÁ TRỊ TIỀN TỆ THEO THỜI GIAN

Nhắc lại kiến thức về cấp số nhân

Khái niệm:Cấp số nhân là một dãy số (u n ) trong đó số hạng đứng sau luôn bằng số hạng đứng trước nhân cho một số không đổi (gọi là công bội) và ký hiệu là q.

=> (1 – q)Sn = u1 – qun = u1 – u1qn = u1 (1 – qn).

=> 1

1 1

2.2.1 Nhân tố ảnh hưởng đến giá trị tiền tệ theo thời gian (Factors Affecting Value Of

Money By Time)

1 Nhân tố (khách quan) - sức mua của đồng tiền

Trong nền kinh tế tiền tệ, đặc biệt là sử dụng tiền mặt phổ biến (như Việt Nam) làmgiảm giá trị sức mua của đồng tiền do hiệu ứng lạm phát Một đồng ngày hôm nay mua đượchàng hóa A nhưng một năm sau thì không, vì chẳng hạn lúc đó hàng hóa A có giá cả là 1,1đồng

2 Nhân tố (chủ quan) - kỳ vọng sinh lợi của nhà đầu tư

Quan điểm kinh tế cho rằng đồng tiền cần phải vận động không thể nằm yên thì nó mớisinh lợi (lớn lên) bù trừ được lạm phát và có thể dôi ra phần lợi ích ròng Điều này có nghĩa là

tiền cần phải được đem đi đầu tư vào nền kinh tế Người ta thường nói: “tiền đẻ ra tiền là vậy!”

Nhận xét:

Hai nhân tố trên tựu trung lại, gọi là chi phí cơ hội của một sự lựa chọn và đánh đổi

trong đầu tư thể hiện bản chất của tiền tệ Thuật ngữ này thường có tên gọi là lãi suất, suất

(2)

(3)

chiết khấu, chi phí sử dụng vốn, tỷ suất lợi nhuận đầu tư,… mà ta sẽ lần lượt tiếp cận ở nhữngchương sau, hay ở những môn học tài chính khác.

Tiền tệ có giá trị thay đổi theo thời gian vừa có tính khách quan kinh tế vừa có tính chủquan của đầu tư không thể nào triệt tiêu nó được

Ví dụ: Ông A gửi ngân hàng với lãi suất 7%/năm 100 đ, một năm sau thành 107 đ Ông

B mua cổ phiếu bằng 100 đ được chia cổ tức 10%/năm, sau một năm thành 110 đ chẳng hạn

Bạn hãy nêu nhận xét của mình về tình huống ví dụ nêu trên?

2.2.2 Định giá khoản tiền tệ đơn

TÌNH HUỐNG ĐỊNH GIÁ MỘT KỲ (SITUATION OF ONE - TIME VALUATION)

Ông Lusoba đang cố gắng bán một mảnh đất của mình Hôm qua, ông được hỏi mua với

giá $10.000 cho mảnh đất này Ông đã định chấp nhận mức giá đó thì một người khác đề nghị trả ông $11.424 Tuy nhiên, người thứ hai đề nghị sẽ thanh toán sau một năm Lusoba hài

lòng vì cả hai người mua đều trung thực và có khả năng thanh toán Ông không sợ bị lừa vớibất cứ đề nghị nào ông chọn Vấn đề đặt ra là Lusoba nên chọn đề nghị nào?

Cô Chuadai là cố vấn tài chính của ông, khuyến nghị ông thẩm định theo hai cách sauđây

(Giả định lãi suất tiền gửi phi rủi ro vào ngân hàng là 12%/năm)

Cách 1: Tính giá trị tương lai một khoản đầu tư (FV = Future value)

Nếu ông chấp nhận bán cho người thứ 1 và số tiền $10.000 rồi gửi vào ngân hàng saumột năm thì nhận lại được:

FV 1 = 10.000 x 1,12 1 = 11.200 USD

Nhận xét: $11.200 < $11.424 => Nên bán cho người thứ hai.

Cách 2: Hiện giá một khoản đầu tư (PV = Present value)

Nếu ông chấp nhận bán cho người thứ hai thì số tiền $11.424 tương đương với số tiền ởhiện tại là:

PV = 11.424 x 1,12 -1 = 10.200 USD

Nhận xét: $10.200 > $10.000 => Nên bán cho người thứ hai.

=> Cả hai cách thẩm định đều đưa đến cùng một quyết định như nhau.

Câu hỏi: Sinh viên tính xem chi phí cơ hội khi ông LUSOBA chọn bán cho người thứ

hai là bao nhiêu?

(ĐS: r = 14,24% > 12% là lãi suất phi rủi ro) KẾT LUẬN QUAN TRỌNG (CONCLUSION IMPORTANT)

Bằng việc thẩm định theo 2 cách đều cho kết quả là bán cho người thứ hai có lợi hơn.Thuật ngữ lãi suất còn có tên gọi là tỷ suất sinh lợi hay lãi suất chiết khấu (Discount rate) Ví

dụ trên tuy đơn giản nhưng nó chứa đựng ý nghĩa quan trọng về đầu tư sinh lợi trong lĩnh vựckinh tế (sự lựa chọn từ chi phí cơ hội của đầu tư)

Khi ta so sánh hai món tiền phải đưa chúng về cùng một thời điểm gốc thời gian (hoặc

là cùng ở hiện tại hoặc là cùng ở tương lai) mới thấy được giá trị thực của nó vì giá trị tiền tệ

phụ thuộc vào thời gian với cùng một suất chiết khấu cho trước.

Thông lệ kinh tế, người ta hay chuẩn so sánh bằng phương pháp hiện giá của dòng

tiền hay chuỗi tiền mà tiếp theo ta sẽ đề cập sau đây

2.2.3 Giá trị tương lai và hiện tại của một khoản tiền tệ đơn

Công thức:

FV n = PV (1+r) n

PV = FV n (1+r )-n

Trong đó:

- PV: Giá trị hiện tại

- FV n : Giá trị tương lai

- r: Suất chiết khấu

- n: Số thời đoạn

NHẬN XÉT Ý NGHĨA CỦA 2 CÔNG THỨC TRÊN

Biểu thị mối tương quan giữa hiện tại và tương lai của giá trị tiền tệ thông qua hai yếu tố

CHÚ THÍCH VỀ DÒNG TIỀN TRONG THỰC TẾ ÁP DỤNG

Dòng tiền vào (hoặc ra) đầu kỳ hay cuối kỳ cần phân biệt như sau:

 Thông thường dòng tiền vào (hoặc ra) đầu kỳ đối với các khoản tiền gửi ngân hàng,đóng bảo hiểm nhân thọ,

 Dòng tiền hạch toán cuối kỳ thường đối với các khoản chi hay thu nhập của các tổchức kinh tế, hoặc dự kiến của các dự án đầu tư

 Trả góp mua hàng hóa có thể ở đầu kỳ hay cuối kỳ tùy theo hợp đồng ký kết giữa haibên tham gia

10 KHUYẾN CÁO QUAN TRỌNG KHI VẬN DỤNG GIẢI TOÁN

1 Khi các dòng tiền vào (hay ra) là bằng nhau thì ta gọi là chuỗi tiền tệ đồng đều.

2 Thời điểm 0 trên sơ đồ mẫu được chọn là gốc hiện tại dùng để hiện giá chuỗi tiền

hội tụ về đó

3 Thời điểm n trên sơ đồ mẫu được chọn là gốc tương lai dùng để tính giá trị tương lai

của chuỗi tiền hội tụ về đó

4 Sự chọn lựa gốc thời gian là tương đối và nó phụ thuộc vào tình huống của bài toán

và đây là điều sinh viên cần lưu ý để tránh sai sót khi thực hành bài tập

5 Đối với chuỗi tiền đều cuối kỳ, gốc tương lai được chọn tại thời điểm n và dòng tiền vào hay ra của chuỗi tiền bắt đầu ở dòng tiền ở thời điểm thứ 1 (CF 1 ), điểm hội tụ tại thời điểm là thời điểm n ngay chỗ dòng tiền CF n cuối cùng (vào hay ra) của chuỗi tiền

6 Đối với chuỗi tiền đều đầu kỳ, gốc tương lai được chọn tại thời điểm n và dòng tiền vào hay ra bắt đầu ở dòng tiền ở thời điểm thứ 0 (CF 0 ), tức là điểm hội tụ tương lai tại thời điểm n nhưng lúc đó dòng tiền vào hay ra của chuỗi tiền lại kết thúc tại thời điểm (n-1).

7 Đối với dòng tiền cuối kỳ, gốc hiện tại được chọn tại thời điểm 0 và dòng tiền vào (ra) bắt đầu ở dòng tiền ở thời điểm thứ 1 (CF 1 ) nhưng lưu ý điểm hội tụ lại tại thời điểm 0 cánh dòng tiền đầu tiên (CF 1 ) ở bên trái nó một thời đoạn.

8 Đối với dòng tiền đầu kỳ, gốc hiện tại được chọn tại thời điểm 0 và dòng tiền vào (ra) bắt đầu ở dòng tiền ở thời điểm thứ 0 (CF 0 ) điểm hội tụ chính tại thời điểm 0.

9 Số thời điểm vào hay ra (n) là số dòng tiền tương ứng dòng tiền của chuỗi tiền vào

hay ra

Sau chương này, khi ta hiện giá thì chuỗi tiền luôn được xem xét trên quan điểm chuỗi

tiền cuối kỳ, bạn đọc lưu ý nhé!

2.2.4.1 Giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ đồng đều (Ký hiệu FVA n )

Công thức (*):

 Đối với dòng tiền cuối kỳ :

n n

(1+ r) -1FVA = CFx

r

 Đối với dòng tiền đầu kỳ:

n n

(1+ r) -1

r

Ví dụ 19: Hàng tháng ông A gửi tiết kiệm một khoản tiền tiết kiệm là 5 triệu đồng trong

thời gian 60 tháng Giả sử lãi suất tiết kiệm là 1,2%/tháng Hỏi:

a Kết thúc thời gian gửi tiền ông A có được bao nhiêu tiền?

b Sau 60 tháng ông A có được bao nhiêu tiền?

c Sau 65 tháng ông A nhận lại số tiền là bao nhiêu?

1- (1+ r)PVA = CF×

r

 Đối với dòng tiền đầu kỳ:

-n n

1- (1+ r)

Chú thích (*): Người đọc có thể sử dụng kiến thức tổng hữu hạn của cấp số nhân đã

nhắc lại để chứng minh các công thức trên!

Ví dụ 20: Một chiếc xe bán trả góp với điều kiện trả chậm như sau: Trả 12 lần mỗi lần 5

triệu đồng trong vòng 12 tháng (12 lần góp) với lãi suất 14,4%/năm, lần trả đầu tiên sau ngàynhận xe 1 tháng Tính giá bán trả ngay của chiếc xe trên?

Giải

Người đọc nên mô tả dòng tiền trên đường thời gian và tự giả i Dòng tiền dạng cuối

kỳ, nhớ chuyển đổi lãi suất cho tương ứng, sử dụng công thức:

-n n

1- (1+ r)PVA = CF×

r Đáp số: 55,57 trđ

Ví dụ 21: Một chiếc xe bán trả góp với điều kiện trả chậm như sau: Trả góp 12 lần mỗi

lần 5 triệu đồng trong vòng 12 tháng (12 lần góp) với lãi suất 14,4%/năm, lần trả góp đầu tiênngay khi nhận xe Tính giá bán trả ngay của chiếc xe trên?

Giải

Người đọc mô tả dòng tiền trên đường thời gian và tự giải Dòng tiền dạng đầu kỳ, nhớchuyển đổi lãi suất cho tương ứng, sử dụng công thức:

-n n

1- (1+ r)

r   Đáp số: 56,24 trđ

Ví dụ 22 (tổng hợp): Tính giá trị hiện tại và giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ sau đây

với lãi suất 10%/năm?

a Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ

Cách 1: Phương pháp đưa hỗn hợp chuỗi về hiện tại

PV = 100 x 1,10 + 100 x 1,1−1 + 120 x 1−1,1−3

0,1 x 1,1−1 + 150 x 1−1,1−2

0,1 x 1,1−4 + 180 x1−1,1−2

0,1 x 1,1−6 + 150 x 1,1−9

= 879,9658 trđ.

Cách 2: Phương pháp hiện giá từng khoản tiền tệ đơn (an toàn nhất!)

PV = 100 x 1,10 + 100 x 1,1-1 + 120 x 1,1-2 + 120 x 1,1-3 + 120 x 1,1-4 + 150 x 1,1-5 + 150 x1,1-6 + 180 x 1,1-7 + 180 x 1,1-8 + 150 x 1,1-9

0,1 x 1,1−6 + 50 x 1,1−9

= 879,9658 trđ.

b Giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ

Cách 1: Phương pháp đưa hỗn hợp chuỗi về tương lai

Cách 2: Phương pháp đưa từng khoản tiền tệ đơn về tương lai (an toàn nhất)

FV = 100 x 1,19 + 100 x 1,18 + 120 x 1,17 + 120 x 1,16 + 120 x 1,15 + 150 x 1,14 + 150 x1,13 + 180 x 1,12 + 180 x 1,11 + 150 x 1,10

0,1 x 1,13+ 80 x 1,12−1

0,1 x 1,11 + 50 x1,10 = 2074,9132 trđ

2.2.4.3 Hiện giá của chuỗi tiền tệ đồng đều mãi mãi (Vĩnh cữu)

Công thức tính:

CFPVA =

Ví dụ 23: Một dự án đầu tư có chi phí ban đầu C = 100.000 USD, hàng năm có dòng

thu nhập đều là CF = 10.000 USD, vòng đời của dự án n = 30 năm Ứng với các mức chiếtkhấu r = 8%/năm, 10%/năm, 12%/năm ở mức nào thì nên đầu tư vào dự án?

Giải

Ta thấy: C = 100.000 > PVA30 = 83.333,3333: Dự án bị lỗ không nên đầu tư.

Ví dụ 24: Trái phiếu Chính phủ không có thời hạn, lãi suất 8%/năm trả lãi hàng năm và

có mệnh giá là 10 triệu đồng Bạn sẽ định giá trái phiếu là bao nhiêu nếu bạn có yêu cầu lợisuất đầu tư KD = 10%/năm?

Lưu ý: Nếu nhà đầu tư yêu cầu lợi suất đầu tư: KD = r = Lãi suất trái phiếu thì nhà đầu

tư sẽ mua trái phiếu bằng đúng mệnh giá của trái phiếu

2.2.4.4 Giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ không đồng đều

(1 )

n

i i

CF i(1+r )−i

Giải Hướng dẫn:

Viết phương trình nội suy lãi suất, sau đó sử dụng giải bằng máy tính tài chính, nhưsau:

Bài 2: Một công ty muốn có một số vốn tích lũy là 1 triệu USD Khả năng tài chính của

công ty có thể tích lũy 100 ngàn USD và nếu gửi số tích lũy hàng năm vào ngân hàng (gửivào đầu mỗi năm) với lãi suất 4%/năm thì sau bao nhiêu lần gửi công ty trên sẽ đạt được sốvốn như mong muốn (chọn số nguyên lớn hơn kế tiếp)?

Giải Hướng dẫn:

Sử dụng công thức dưới đây và sau đó giải phương trình bằng máy tính tài chính, nhưsau;

Đáp số: 9 kỳ gửi tiền trong đó số tiền gửi ở đầu kỳ thứ 9 là: 3.259 USD

Bài 3: Một chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ gồm 8 kỳ khoản Kỳ khoản đầu tiên 150 triệu

đồng và kỳ khoản sau tăng hơn kỳ khoản trước đó 50 triệu đồng, lãi suất 8%/kỳ Xác định giátrị tương lai và hiện giá của chuỗi tiền tệ trên?

Giải Hướng dẫn:

Sử dụng công thức chuỗi tiền dạng cấp số cộng phát sinh cuối kỳ

(1 ) 1

n n

k r nk FVA a x

Bài 4: Một chuỗi tiền tệ có 12 kỳ khoản, phát sinh cuối kỳ, kỳ khoản đầu tiên là 100 trđ

và cứ kỳ sau tăng hơn kỳ trước 10%, lãi suất 7,5%/kỳ Xác định giá trị tương lai và hiện giácủa chuỗi tiền tệ?

Giải Hướng dẫn:

Sử dụng công thức chuỗi tiền dạng cấp số nhân phát sinh cuối kỳ

Bài 5: Công ty A mua trả chậm 1 hệ thống thiết bị với tổng số tiền thanh toán là 200

ngàn USD theo phương thức như sau: ngay khi nhận hàng trả 20%, số còn lại trả đều trong 5năm Nếu phải trả sau khi nhận thiết bị 2 năm thì số tiền phải trả là 195,405 ngàn USD Xácđịnh lãi suất trả chậm?

Giải Hướng dẫn:

Viết phương trình nội suy lãi suất sau đó sử dụng máy tính tài chính để giải, như sau: 40+ 32 x [1- (1+X)-5] / X = 195,405 x (1+X)-2

=> r = X = 9%/năm

Bài 6: Công ty A mua trả chậm 1 hệ thống thiết bị với tổng số tiền thanh toán là 200

ngàn USD theo phương thức như sau: ngay khi nhận hàng trả 20%, số còn lại trả đều trong 5năm Nếu phải trả một lần vào thời điểm 2 năm sau khi nhận thiết bị thì số tiền phải thanhtoán là bao nhiêu, biết lãi suất trả chậm là 9%/năm? (Bài toán thuận của bài 5 ở trên)

A x 1,09-2 = 40 + 32 x (1 - 1,09-5) / 0,09

=> A = 195,405 ngàn USD

Bài 7: Ông A gửi ngân hàng cuối mỗi quý một số tiền bằng nhau liên tiếp trong 3 năm,

lãi suất 8%/năm thì rút được cả vốn lẫn lãi 1.609,45 triệu đồng Xác định số tiền ông A gửimỗi kỳ?

Giải

r = 8%/năm = 2%/quý – ADCT

12

(1 ) 10,02 1.609, 45

1201,02 1

n n

rFVA CF

r x

Bài 8: Hãy xác định lãi suất của một chuỗi tiền tệ gồm 10 kỳ khoản phát sinh cuối kỳ,

giá trị của mỗi kỳ khoản là 16 triệu đồng, giá trị tương lai (giá trị cuối) là 200 triệu đồng

Giải Hướng dẫn:

Viết phương trình nội suy và giải bằng máy tính tài chính, như sau:

Bài 9: Công ty C cần một số vốn là 500 ngàn USD Cuối mỗi năm, công ty gửi vào ngân

hàng 50 ngàn USD với lãi suất 5%/năm Sau bao nhiêu kỳ gửi tiền (số nguyên tròn lên) thìcông ty C đạt được số tiền nói trên?

r





ln1, 5

8, 3104 ln1, 05

n  

=> n = 9 kỳ gửi tiền (SỐ NGUYÊN TRÒN LÊN)

Biện luận:

- Số tiền đã tích lũy sau 8 kỳ gửi vào ngân hàng là: 477,4554 ngàn USD

- Số tiền gửi vào ngân hàng lần thứ 9 là: 500 - 477,4554 =22,5446 ngàn USD

Bài 10: Xác định giá trị tương lai của một chuỗi tiền tệ gồm 10 kỳ khoản phát sinh cuối

kỳ, giá trị của mỗi kỳ khoản là 16 triệu đồng, biết lãi suất là 4.9%/kỳ? (Bài toán thuận của bài

8 trên đây)

Giải

FVA10 = 16 x (1,04910 - 1) / 0,049 = 200 trđ

Bài 11: Hãy xác định giá trị kỳ khoản phát sinh cuối kỳ của một chuỗi tiền tệ đều có 12

kỳ khoản, lãi suất là 1%/kỳ và hiện giá của chuỗi tiền tệ là 281,376937 triệu đồng?

rPVA CF

r x

Bài 12: Xác định lãi suất của một chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ gồm 8 kỳ khoản, giá trị

mỗi kỳ khoản là 50 triệu đồng có hiện giá là 300 triệu đồng?

Giải Hướng dẫn:

Viết phương trình nội suy lãi suất sau đó dùng máy tính tài chính để giải, như sau:

Bài 13: Một chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ gồm 8 kỳ khoản có hiện giá là 300 triệu

đồng, lãi suất 6,9%/kỳ Xác định giá trị mỗi kỳ khoản? (Đây là bài toán thuận của bài 12 ởtrên)

Bài 14: Xác định số kỳ khoản của một chuỗi tiền tệ đều phát sinh cuối kỳ có hiện giá

500 triệu đồng, giá trị mỗi kỳ khoản 50 triệu đồng, lãi suất 8%/kỳ?

Giải Hướng dẫn:

Giải phương trình mũ bằng máy tính tài chính, như sau: