Giáo trình hình học vi phân (dành cho hệ đào tạo từ xa)

Lời nói đầuHình học vi phân là một ngành của hình học trong đó các đối tượng hình học được nghiên cứu bằng phương pháp của giải tích toán học mà trước hết đó là phép tính vi phân.. Các đ

Đại Học Huế Trung tâm đào tạo từ xa

ts Trần đạo dõng - ts Trần vui - ts lê anh vũ

Giáo trình

Hình học vi phân

Sách dùng cho hệ đào tạo từ xa

Huế - 2008

Lời nói đầu

Hình học vi phân là một ngành của hình học trong đó các đối tượng hình học được nghiên cứu bằng phương pháp của giải tích toán học mà trước hết đó là phép tính vi phân

Các đối tượng quan trọng nhất của hình học vi phân là các đường, các mặt trong không gian Euclide thông thường và các họ (liên tục) của chúng

Nếu hình học sơ cấp và hình học giải tích nói riêng, hình học tuyến tính (tổng quát nhiều chiều của hình học sơ cấp) nói chung cũng nghiên cứu các đường, các mặt một cách tách biệt hoặc đôi khi cũng khảo sát một vài họ đặc biệt nào đó của đường và mặt thì bao quát hơn hẳn là hình học vi phân ưu tiên khảo sát tất cả các đường, các mặt bất kì miễn là có thể mô tả chúng bằng các phương trình giải tích Đặc trưng cơ bản của hình học vi phân là nghiên cứu các tính chất của các đối tượng hình học (các đường, các mặt và các họ của chúng) Các tính chất này được gọi là các tính chất vi phân

Phần đầu trong hình học vi phân người ta nghiên cứu các tính chất

vi phân của các đối tượng hình học mà các tính chất này không thay đổi (bất biến) qua các phép biến hình Phần này của hình học vi phân gọi là hình học cổ điển

Các hướng nghiên cứu mới của hình học vi phân bao gồm :

1) Lí thuyết nghiên cứu các tính chất vi phân của các đối tượng hình học trong không gian Euclide bất biến đối với các phép affine, xạ ảnh hay các biến đổi khác

2) Lí thuyết nghiên cứu các tính chất vi phân của các đối tượng hình học trong không gian phi Euclide

Loại bỏ các tính chất riêng biệt của các đối tượng hình học được nghiên cứu trong hình học vi phân, tổng quát hoá các tính chất chung

nhất của chúng, người ta đi đến khái niệm đa tạp vi phân chứa các khái niệm về các đường, các mặt, họ các đường, các mặt trong không gian

phi Euclide cũng như chính các không gian ấy như là các trường hợp đặc biệt Như vậy, các đa tạp vi phân chính là các đối tượng tổng quát của hình học vi phân

Giáo trình này được viết trên cơ sở tóm lược những bài giảng về hình học vi phân mà các tác giả đã giảng trong nhiều năm tại Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Huế, có cân nhắc đến tính vừa sức đối với các

đối tượng mới-các học viên đào tạo từ xa

Về bố cục và nội dung, giáo trình gồm 3 chương :

Chương 1 : Phép tính vi phân trong n

Chương 2 : Lí thuyết đường trong mặt phẳng và không gian

Chương 3 : Lí thuyết mặt trong không gian

Ngoài ra còn có một hệ thống bài tập sau mỗi chương và phần hướng dẫn giải bài tập

Chương 1 trình bày các kiến thức cơ sở, Chương 2 và Chương 3 dành cho việc giới thiệu những nội dung cơ bản nhất của lí thuyết các đường và mặt trong mặt phẳng và không gian

Do khuôn khổ hạn chế của giáo trình, đồng thời cũng để phù hợp với

đối tượng, chúng tôi đã không đưa vào phần nhập môn về lí thuyết các

đa tạp vi phân cũng như các kiến thức cơ sở khác có liên quan

Vì là lần đầu tiên biên soạn cho hệ đào tạo mới nên chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót Các tác giả rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của đồng nghiệp gần xa cũng như của bạn đọc với mục

đích chung là góp phần cùng Trung tâm Đào tạo từ xa của Đại học Huế

có mộthệ thống giáo trình hoàn thiện hơn

Các tác giả chân thành cảm ơn PTS Lê Văn Thuyết đã đọc và cho những góp ý giúp hoàn thiện giáo trình này

Huế, tháng 12 năm 1997 Các tác giả

Hướng dẫn đọc giáo trình

(dành cho học viên)

Để có thể đọc tốt giáo trình này, học viên cần phải nắm vững những kiến thức cơ bản về Đại số tuyến tính, về các bộ môn Hình học cao cấp và Hình học giải tích (Affine, Euclide) và phép tính vi tích phân một chiều

Về phương pháp nghiên cứu giáo trình, học viên cần lưu ý một số điểm sau :

1 Đọc thật cẩn thận lí thuyết, đặc biệt là các khái niệm, nhận xét, các tính chất, định lí Các nhận xét sau mỗi khái niệm hay định lí thường là những bổ sung, giải thích nhằm giúp việc hiểu và vận dụng các khái niệm, định lí được sâu sắc hơn

2 Cố gắng độc lập giải các bài tập trước khi xem hướng dẫn Hoặc

ít ra cũng nên tự giải lại cẩn thận bài tập sau khi đã xem hướng dẫn Các tác giả mong và chúc các bạn thành công

(x1, , xn).(y1, , yn) =

1

n

i i i

x y





thì n với tích vô hướng này lập thành một không gian vector Euclide

n - chiều, kí hiệu làn

 Khi đó x = (x1, , xn)  n



Ta thấy cơ sở chính tắc e1, , en) của n chính là cơ sở trực chuẩn của không gian vector Euclide n

 Không gian affine n với tích vô hướng chính tắc gọi là không gian Euclide n - chiều  Lấy O  n  thì O ; en 1, , en là một mục tiêu trực chuẩn của  , gọi là mục tiêu chính tắc n

Ta định nghĩa d(x, y) = x  y , x, y   gọi là khoảng cách giữa n,hai điểm x, y trong  n

1.2 Tập con mở, đóng và sự hội tụ trong n

Ta gọi B(x0, ) = x  n

0

x  x <  là hình cầu mở n - chiều tâm x0, bán kính 

1.2.1 Định nghĩa U  n gọi là tập mở nếu x0  U, tồn tại  =  (x0) >

0 sao cho B(x0, )  U

Hệ các tập mở của n lập thành một tôpô gọi là tôpô thông thường trên n

Tập V  n gọi là đóng nếu U = n \V mở trong n

Tập S  n gọi là lân cận của x  n nếu tồn tại  > 0 sao cho B(x, ) 

S

1.2.2 Hội tụ

Dãy xk  n gọi là hội tụ về x0  n nếu dãy số x  x0  0 trong

 Kí hiệu xk  x0 Điểm x  n gọi là hội tụ đến x0  n cho trước nếu dãy số x  x0  0 trong  Kí hiệu x  x0

Đ2 Hàm vector Đạo hàm của hàm vector

gọi là phép chiếu chính tắc thứ j

Khi đó f j = j f : U   là hàm trên U, gọi là hàm thành phần (thứ j) của f Hơn nữa ta có

f(x) = (f 1(x), , f m(x)), x  U

Ta gọi f là hàm vector với m hàm thành phần f 1, , f m Kí hiệu f = (f 1, , f

m)

2.2 Hàm vector liên tục

2.2.1 Định nghĩa Hàm vector f : U  n  m gọi là liên tục tại x0  U nếu

 > 0,  > 0 : x  U, x  x0 <   f x  f x 0 

Ta nói f liên tục trên U nếu f liên tục tại mọi x  U

2.2.2 Nhận xét

(1) Nếu U  n và f : U   thì định nghĩa trên trùng với định nghĩa

về hàm liên tục thông thường

(2) f = (f 1, , f m) liên tục trên U  f i liên tục trên U, i = 1, m (3) Cho f : U  n  m và g : V  m  p liên tục

Khi đó gf : U  p liên tục

2.3.1 Định nghĩa Cho U mở trong n Hàm vector

Ta gọi f khả vi trên U nếu f khả vi tại mọi x0  U Nếu f khả vi tại x0, ta

định nghĩa hạng của f tại x0, kí hiệu

Ngoài ra x  0, t  , tx  0  t  0 Do đó  và  tuyến tính nên x  n ta có

Ta cũng nói (một cách nôm na) nếu f khả vi tại x0 thì khi x đủ gần x0, có thể xấp xỉ f bởi một ánh xạ tuyến tính  (mà được gọi là đạo hàm của f tại

x)

(4) Khi m = n = 1, hàm

f : I = (a, b)  

là khả vi (theo định nghĩa trên) tại x0  I khi và chỉ khi f có đạo hàm f x ( )0(ánh xạ tuyến tính  chính là ánh xạ   cho bởi phép nhân với f x( ))0(5) Hàm f : A  m (A là tập con không nhất thiết mở trong n) gọi

là khả vi trên A nếu tồn tại một U mở trong n, A  U và một hàm

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Df(x0) đối với cặp cơ sở chính tắc của

n và m gọi là ma trận Jacobi của f tại x0, kí hiệu f (x0)

Như vậy, f (x0) là ma trận thực cấp m  n (m dòng n cột) Ngoài ra

h = (h1, , hn)  n ta có

Df(x0)(h) = f (x0)[h],

với [h] là ma trận cột của vector h

Khi m = n, có thể xét định thức det f (x0), kí hiệu Jf(x0) gọi là định thức hàm Jacobi của f tại x0 hay Jacobien của f tại x0

gọi là đạo hàm riêng hỗn hợp cấp 2 của f tại x0

Tương tự, ta có thể định nghĩa đạo hàm riêng hỗn hợp cấp k tuỳ ý tại

Trường hợp f có đạo hàm riêng mọi cấp, ta viết f  C  Khi đó thứ tự lấy đạo hàm trong Di1 ikf x là không quan trọng  0

2.4.4 Định nghĩa

Hàm f : U  m, U mở trong n, gọi là khả vi lớp C r, r  1, trên U nếu các hàm thành phần f 1, , f m của f khả vi lớp C r, tức là với mọi k  r, tồn tại các đạo hàm riêng

1 1 n

k i k

Hàm f liên tục được gọi là khả vi lớp C0

Quy ước Từ nay trở đi nếu không nhấn mạnh, ta chỉ xét những hàm

Dj f(a) = (f h)(a j) = f (a)h (a j) = f (a).

Do (f h)(a j) có Dj f(a) là phần tử duy nhất chứng tỏ Dj f(a) tồn tại và

là phần tử thứ j của ma trận f (a) cấp 1  n

Trường hợp m tuỳ ý, định lí suy ra từ tính chất 2.3.4 ; theo đó mỗi hàm thành phần f i là khả vi và dòng thứ i của ma trận f (a) là (f i)(a) 2.5.2 Định lí (Tiêu chuẩn khả vi)

Cho f = (f 1, f 2, , f m) : n  m và a  n Nếu tất cả các đạo hàm riêng Dj f(x) tồn tại trên một tập mở chứa a và liên tục tại a thì f khả vi tại

Do Di f(x) là đạo hàm của hàm g(x) = (x, a 2, , a n) nên áp dụng định

Suy ra :

do Di f liên tục tại a

Trường hợp m tuỳ ý, áp dụng tính chất 2.3.4 ta suy ra được tính khả vi của f tại a

2.5.3 Định lí (Quy tắc lấy đạo hàm của hàm số hợp)

Cho U mở trong n và f : U  m khả vi lớp C r tại a  U Theo

định nghĩa ở 2.3.1 hạng của f tại a, kí hiệu ranka(f), chính là hạng của ma trận Jacobi của f tại a, tức là ranka(f) đn rankf (a)

Từ định nghĩa ta suy ra ranka(f)  min(n, m)

Nếu ranka(f) = min(n, m) ta gọi a là điểm chính quy của f và gọi a là

điểm kì dị trong trường hợp ranka(f) < min(n, m)

2.6.2 Vi phôi

Cho U, V mở trong n và f : U  V là song ánh Nếu f và f ฀ 1 đều khả vi lớp C k thì f gọi là vi phôi lớp C k Vi phôi lớp C  gọi là vi phôi trơn

Cho U mở trong n và f : U  n, x0  U Ta nói f vi phôi trơn

địa phương tại x0 nếu tồn tại một lân cận U0  x0 sao cho

sao cho f(x, y(x)) = 0 ?

Để trả lời câu hỏi này, trước hết ta hãy xét một trường hợp đặc biệt nhưng lí thú

Xét họ phương trình tuyến tính thuần nhất trên 

f(x, g(x)) = 0,

với mọi x = (x 1, , x n)  n

Trở lại trường hợp tổng quát, vì hàm f trong phương trình (1) được giả thiết là khả vi liên tục (lớp C1), tức là ở địa phương có thể xấp xỉ f bởi một ánh xạ tuyến tính (đạo hàm của nó) nên ta hi vọng có thể dùng được kết quả ở trường hợp đặc biệt về hệ phương trình tuyến tính (2) Cần lưu ý rằng ở đây, chỉ có lời giải địa phương (chứ không phải toàn cục như trường hợp ánh xạ tuyến tính) Ngoài ra, thay cho ma trận

Từ đó ta có định lí dưới đây gọi là định lí hàm ẩn Đây là một trong những

định lí trung tâm của giải tích nhiều chiều Ta sẽ thừa nhận định lí này 2.7.2 Định lí (định lí hàm ẩn)

Cho U, V tương ứng là các tập mở trong n, m và f : U  V  n là một hàm khả vi liên tục trên U  V Giả sử f(x0, y0) = 0 tại một điểm (x0, y0)  U  V

và

det(Dn + j f i(x0, y0))m  n  0

Khi đó tồn tại các lân cận V(x0), W(y0) tương ứng của x0 và y0 trong U,

V và tồn tại duy nhất một hàm

Cho U mở trong n và f : U  n là một hàm khả vi liên tục Giả sử x0 

U là điểm chính quy của f Khi đó tồn tại lân cận U(x0) của x0 trong U sao cho

2.8 Định hướng trong n

Hai cơ sở () và ( ) của n gọi là cùng hướng nếu ma trận chuyển

S = (sij) từ () sang () có det S > 0 Dễ dàng kiểm tra đây là một quan hệ tương đương trên tập hợp các cơ sở của n và chỉ có hai lớp tương đương

Ta nói mỗi lớp xác định một hướng trong n, hai cơ sở thuộc cùng một lớp cùng hướng với nhau Lớp của cơ sở chính tắc xác định trên n gọi là hướng dương (hay hướng chính tắc), hướng còn lại là hướng âm (hay đối chính tắc)

Phép biến đổi tuyến tính  : n  n gọi là bảo toàn hướng (t ư

đổi hướng) nếu det > 0 (t ư det < 0) Phép affine của n gọi là bảo toàn hướng nếu phép biến đổi tuyến tính nền của f là bảo toàn hướng Phép đẳng cự của n bảo toàn hướng (t ư đổi hướng) gọi là phép dời hình thuận (t ư phép dời nghịch)

Đ3 Trường vector và trường mục tiêu

3.1 Trường vector

3.1.1 Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc

Với mỗi x0 n, tập n0

x = (x0, x)x  n = x0  n là một không gian vector Euclide với 2 phép toán

p U T pU gọi là phân thớ tiếp xúc của U (trên U) Khi đó

 : TU  U,

0

x

x  x0

gọi là phép chiếu phân thớ TU lên đáy U

Bây giờ cho U mở trong n và f : U  m là ánh xạ khả vi

f là ánh xạ tuyến tính (do Df(x0) là ánh xạ tuyến tính) Khi

đó ta xây dựng được ánh xạ cảm sinh trên các phân thớ tiếp xúc sau :

n i i i

     

0

0 0

Xx

 1

n i

a) Chứng minh với x  2 cố định cho trước, hàm số

h :  , h(t) = f(t.x)

khả vi trên 

b) Chứng minh f không khả vi tại (0, 0) trừ khi hàm g = 0

1.7 Cho hàm f : 2   khả vi liên tục Chứng minh rằng f không thể là đơn ánh

Chương 2

lí thuyết đường trong mặt phẳng và không gian

Đ1 đường trong n

Trước hết ta thống nhất các quy ước sau

n = (2, )  vừa xét là không gian vector Euclide n chiều, vừa là không gian Euclide n - chiều

là điểm đầu, điểm cuối của c

Đường t.s.h lớp C gọi là đường t.s.h trơn (nhẵn) Từ nay trở đi ta chỉ xét các đường t.s.h lớp C, gọi đơn giản là đường t.s.h

1.1.2 Nhận xét

(1) Đường t.s.h lớp C còn gọi là đường t.s.h liên tục Ta quy ước gọi 0

đường t.s.h khả vi là đường t.s.h lớp C k  nào đó mà không cần chỉ k( 1)

rõ

(2) Nếu I  ( , )a b thì c khả vi ta hiểu là tồn tại I ( , )a b  và ánh xạ :

c I   n khả vi sao cho I   và I c I  c

(3) Nếu xem t là thời gian, c(t) là vị trí của chất chuyển động trong n

thì rõ ràng vết của c chính là quỹ đạo của chuyển động

(4) Không gian tiếp xúc  của  tại t It  có cơ sở chính tắc là

1t ( ,1)t Đôi khi ta cũng kí hiệu 1t bởi 1 hoặc d/dt

(5) Cho :c I  n đường t.s.h lớp C1, ta có :

c = (x1, ,x n) với các thành phần xi :I  khả vi, i1,n

Khi đó Dc(t) :   là ánh xạ tuyến tính với ma trận đối với cặp n

cơ sở chính tắc của  và  là ( )n c t , với ( )c t xác định bởi

1( )( )

(1) Giả sử f I :  khả vi liên tục và c: I  , c(t) = (t,f(t)) là 2

đường t.s.h khả vi trong 2 Khi đó vết c(I) của c là đồ thị của f trong 2 Với t0 I , đường thẳng tiếp tuyến  của đồ thị tại c(t0) = (t0, f(t0)) có phương trình

t c t c to là đường thẳng tiếp xúc với đồ thị tại c(t) Đó là lí do trong trường hợp tổng quát ta gọi c*( ) là t

đường thẳng tiếp xúc của c tại c(t)

(2) Nếu coi vết của c (như trong (1)) là quỹ đạo của chất điểm chuyển

động trong 2 thì ta đã biết f t( )0 là vận tốc tức thời của chất điểm tại t0 Như vậy, trong các vector thuộc đường thẳng tiếp xúc  của vết c(I) tại c(t0),

ta chỉ gọi duy nhất c (t0) =

1.3.1 Định nghĩa Trường vector X dọc đường t.s.h :c I  n ta hiểu là ánh xạ

:

( )

n

c t n

gọi là trường vector tiếp xúc của c : I  n

Nếu c thuộc lớp C k  thì k( 2) c  khả vi

1.4 Đường trong n

1.4.1 Phép đổi tham số

Cho ,I I hai khoảng trên  , : I   là ánh xạ Ta gọi I  là phép

đổi tham số nếu  vi phôi I lên I và ( ) 0,t    (tức là t I  đơn điệu tăng)

Cho :c I  n, :c I   n làcác đường t.s.h lớp Ck Ta nói c cnếu tồn tại phép biến đổi tham số  : I I sao cho c  c Rõ ràng  

là quan hệ tương đương

1.4.2 Nhận xét

(1) Nếu c  thì c(I) = ( )c c I (nghĩa là c và c có cùng vết)

(2) c  , c chính quy c   chính quy c

(3) c  , c đường đóng c   đường đóng Khi đó các điểm đầu, cuối ccủa c và c trùng nhau

1.4.3 Định nghĩa đường trong n

Lớp tương đương của các đường t.s.h lớp Ck trong n gọilà đường lớp

Ck trong n Vết của đường là vết của một đường t.s.h bất kì thuộc nó

Đường chứa đường t.s.h :c I  n kí hiệu là [c]

Đường lớp C gọi là đường trơn (nhẵn)

Đường [c] gọi là chính quy nếu một (do đó tất cả ) đường t.s.h thuộc

nó chính quy Đường gọi là đóng nếu một (do đó tất cả ) đường t.s.h thuộc nó là đóng Khi đó điểm đầu, điểm cuối của tất cả các đường t.s.h thuộc đường cũng gọi là điểm đầu, điểm cuối của đường

1.4.4 Chú ý

(1) Vì mỗi đường t.s.h :c I  n xác định duy nhất đường [c] nên

đôi khi ta cũng gọi c là đường trong n nếu không cần nhấn mạnh tới phép t.s.h

(2) Với mỗi đường trong n, cứ mỗi đường t.s.h :c I  n thuộc

đường đó đôi khi còn gọi là một phép t.s.h của đường đã cho

(3) Có thể đồng nhất đường với vết của nó trong một hướng nghiên cứu đường nhờ phép t.s.h để sử dụng công cụ giải tích

1.5 Tham số hoá tự nhiên Độ dài của đường t.s.h

1.5.1 Tham số hoá tự nhiên

Đường t.s.h khả vi c I : n gọi là đường t.s.h tự nhiên nếu

  1,

c t   t I

(còn gọi là đường t.s.h với vận tốc đều đơn vị)

1.5.2 Độ dài của đường t.s.h

Cho :c I  n là đường t.s.h khả vi Độ dài L(c) của c được định nghĩa bởi

 ( )

1.6 Độ dài của đường

1.6.1 Định nghĩa Độ dài của đường là độ dài của một đường t.s.h bất kì thuộc đường đó

1.6.2 Định lí (Về t.s.h tự nhiên đường chính quy)

(1) Giả sử c : I  n là đường t.s.h chính quy Khi đó tồn tại phép

đổi tham số : I Isao cho c c là đường t.s.h tự nhiên (tức là ,

 c  c c là t.s.h tự nhiên) 

(2) Mọi đường chính quy trong n đều có thể được t.s.h bởi tham số hoá tự nhiên

t   t  c t dt   L c

Ta cã  lµ vi ph«i I lªn I  ( )I [0, ]L (NÕu ,a b th× I[0, ]

t c t( ) ( cos , sin )r t r t

Ta có [c] là đường đóng khả vi lớp Cvới điểm đầu, điểm cuối trùng nhau, (0)c  c(2 ) ( ,0)r

Do ( ) ( sin , cos ), ( )c t  r t r t c t  r 0 nên [c] chính quy Khi đó [c]

(i) Nếu : I I là phép biến đổi tham số và c  c  c thì

1 ( ), ,t n ( )t là trường mục tiêu Frénet dọc c Như vậy,

1( ), , ( )t n t không phụ thuộc phép t.s.h c nên ta có thể định nghĩa cho [c]

(ii) Có những đường không nhận một trường mục tiêu Frénet nào Chẳng hạn :

không nhận bất kì trường mục tiêu Frénet nào

Như vậy, một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là với những đường nào thì tồn tại trường mục tiêu Frénet Định lí dưới đây (ta công nhận không chứng minh) sẽ cho câu trả lời cho câu hỏi trên

1.7.2 Định lí (Về sự tồn tại duy nhất trường mục tiêu Frénet chính tắc)

Cho c : I  n là đường (n - 1) - chính quy, nghĩa là hệ Vector

c t1( ), ,c( n  1)( )t  độc lập tuyến tính, t Khi đó tồn tại duy nhất một Itrường mục tiêu Frénet t 1( ), , ( )t n t dọc c thoả mãn các tính chất sau :

Cho :c I  n khả vi lớp Cn sao cho c t1( ), ,c( n1)( )t độc lập tuyến tính, t Khi đó, theo trên tồn tại duy nhất một trường mục tiêu I

c k I  là các độ cong của [c], 1 i n  Khi đó ta có :

Đ2 Đường Phẳng trong 2

Mục này dành cho việc nghiên cứu các đường phẳng, tức là các

đường :c I 2 Ta chỉ xét các đường chính quy (đường khả vi và ( ) 0,

c t  tI) Giả thiết chính quy này tương đương với giả thiết của

Định lí 1.7.2 về sự tồn tại duy nhất trường mục tiêu Frénet chính tắc 2.1 Phép dựng trường mục tiêu Frénet chính tắc

Cho :c I 2 là đường phẳng t.s.h chính quy

0( ) 0

0  d   ( ), ( )t  t     ( ),t  ( )t     ( ), ( ) t  t 

Nªn

1( ), 2( ) 1( ), 2( ) ( ) ( ).

   t t  t      t  t    c t k t Vậy

2( ) ( ) ( ) ( ),1

 t   c t k t  t t I 

2.4 Đường với t.s.h tự nhiên

Giả sử :c I 2 là đường t.s.h tự nhiên Khi đó ta có

Giả sử [c] là đường phẳng với t.s.h tự nhiên :c I  2 Các khẳng định sau đây tương đương :