Luận văn một số ứng dụng của phép chéo hóa ma trận

Chúng cũng làcông cụ để đưa ma trận về dạng đơn giản hơn nếu được, đó là dạng chéo.Khi cho ma trận của một tự đồng cấu đối với một cơ sở nào đó, ta muốn tìmmột cơ sở mới mà đối với nó ma

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

——————————————–

BÙI ANH HIẾU

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP CHÉO HÓA MA TRẬN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THANH HÓA, 2021

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

——————– * ———————

BÙI ANH HIẾU

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP CHÉO HÓA MA TRẬN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 8.46.01.04

Người hướng dẫn khoa học:

TS Phạm Thị Cúc

THANH HÓA, 2021

Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số

2183/QĐ-ĐHHĐ ngày 15 tháng 11 năm 2021 của Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức.

Học hàm, học vị, họ tên Cơ quan công tác Chức danh trong

Hội đồngPGS TS Nguyễn Tiến Quang Trường ĐHSP Hà Nội Chủ tịch HĐ

TS Lê Xuân Dũng Trường ĐH Hồng Đức UV, Phản biện 2

TS Hoàng Đình Hải Trường ĐH Hồng Đức Ủy viên

TS Nguyễn Văn Lương Trường ĐH Hồng Đức UV, Thư ký

Xác nhận của người hướng dẫn

Học viên đã chỉnh sửa theo ý kiến của Hội đồng

Ngày 05 tháng 12 năm 2021(ký, ghi rõ họ tên)

TS Phạm Thị Cúc

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, được hoàn thành dưới

sự hướng dẫn khoa học của TS Phạm Thị Cúc Các kết quả trình bày trong luậnvăn là trung thực, nội dung của luận văn không trùng lặp với các khóa luận,luận văn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố

Người cam đoan

Bùi Anh Hiếu

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại họcHồng Đức dưới sự hướng dẫn của TS Phạm Thị Cúc Tôi xin chân thành bày tỏlòng biết ơn sâu sắc và lòng yêu quý tới Cô

Tôi xin được cảm ơn tới tất cả quý thầy cô trong Khoa Khoa học Tự nhiên,đặc biệt là các thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Đại số và lý thuyết

số K12 - Trường Đại học Hồng Đức Mặc dù lớp chỉ 5 học viên nhưng đã chotôi những trải nghiệm, không những trong tự học, tập dượt nghiên cứu khoa học

mà còn là những phương pháp luận, thế giới quan khoa học và niềm lạc quan,bản lĩnh nghiên cứu trong quá trình học tập và rèn luyện Tôi xin gửi lời cảm ơntới phòng QLĐT Sau đại học, Trường Đại học Hồng Đức, đã giúp đỡ tôi hoànthiện luận văn này

Mặc dù đã cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi những hạn chế và thiếusót Chúng tôi rất mong nhận được ý kiến góp ý của các nhà khoa học, các thầygiáo, cô giáo, các anh chị và đồng nghiệp để luận văn được hoàn chỉnh hơn.Trân trọng cảm ơn!

Thanh Hóa, tháng 12 năm 2021

Bùi Anh Hiếu

Mục lục

1.1 Ma trận và các phép toán trên ma trận 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Các phép toán trên ma trận 4

1.1.3 Ma trận nghịch đảo 4

1.1.4 Hạng của ma trận 6

1.2 Vectơ riêng, giá trị riêng 6

1.2.1 Ánh xạ tuyến tính 6

1.2.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính 7

1.2.3 Ma trận đồng dạng 8

1.2.4 Vectơ riêng, giá trị riêng 9

1.3 Chéo hóa ma trận 12

1.3.1 Ma trận chéo hóa được 12

1.3.2 Điều kiện cần và đủ để ma trận chéo hóa được 12

1.3.3 Thực hành chéo hóa một ma trận 13

1.4 Chéo hóa trực giao 15

1.4.1 Không gian Euclide 15

1.4.2 Cơ sở trực chuẩn 16

1.4.3 Ma trận trực giao 16

1.4.4 Phép biến đổi trực giao 18

2.1 Tìm dãy truy hồi tuyến tính 192.1.1 Tính lũy thừa của ma trận vuông 192.1.2 Tìm các dãy truy hồi tuyến tính đồng thời cấp 1 với hệ

số không đổi 232.1.3 Tìm dãy truy hồi tuyến tính cấp p với hệ số không đổi 282.2 Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với hệ số là hằng số 322.2.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với hệ số là

hằng số 322.2.2 Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với hệ số

hằng số 332.3 Phân loại đường và mặt bậc hai 392.3.1 Phân loại đường bậc hai trong mặt phẳng 392.3.2 Phân loại mặt bậc hai trong không gian ba chiều 42

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Ma trận không chỉ được ứng dụng rộng rãi trong toán học mà còn trong nhiềulĩnh vực khoa học khác như vật lý, kinh tế, Trong Đại số tuyến tính, ma trận

và ánh xạ tuyến tính có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, ma trận là công cụ đểnghiên cứu ánh xạ tuyến tính, và ngược lại Các giá trị riêng và vectơ riêng củamột ánh xạ tuyến tính có thể được xác định thông qua ma trận Chúng cũng làcông cụ để đưa ma trận về dạng đơn giản hơn (nếu được), đó là dạng chéo.Khi cho ma trận của một tự đồng cấu đối với một cơ sở nào đó, ta muốn tìmmột cơ sở mới mà đối với nó ma trận đã cho có dạng đơn giản nhất - dạng chéo,

và ta nói ma trận đã cho chéo hóa được Nếu một ma trận là chéo hóa được thìviệc nghiên cứu các tính chất (bảo toàn qua quan hệ đồng dạng) của ma trậnnày dẫn đến nghiên cứu các tính chất đó trên ma trận chéo, và như vậy vấn đềtrở nên đơn giản hơn rất nhiều

Việc đưa một ma trận về dạng chéo gọi là chéo hóa ma trận Chéo hóa matrận có nhiều ứng dụng quan trọng, chẳng hạn: tính lũy thừa của ma trận vuông,xác định một lớp dãy truy hồi tuyến tính, giải một lớp hệ phương trình vi phântuyến tính, phân loại các đường và mặt bậc hai,

Vì vậy, để tìm hiểu sâu hơn về phép chéo hóa ma trận cũng như một số ứngdụng của nó, chúng tôi lựa chọn đề tài “Một số ứng dụng của phép chéo hóa matrận.”

3 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết: đọc, nghiên cứu, phân tích

và tổng hợp các tài liệu có liên quan đến đề tài; sử dụng các kỹ thuật tính toán,chứng minh đặc thù của Đại số tuyến tính để giải các bài toán có trong đề tài

dụ minh họa.

5 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận vănđược chia thành hai chương:

Chương 1: Chéo hóa ma trận

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số vấn đề về ma trận, ma trận củaánh xạ tuyến tính, vectơ riêng, giá trị riêng, chéo hóa ma trận, điều kiện cần và

đủ để ma trận chéo hóa được, không gian Euclide, cơ sở trực chuẩn, phép biếnđổi trực giao, ma trận trực giao,

Chương 2: Ứng dụng của phép chéo hóa ma trận

Chương này trình bày một số ứng dụng của phép chéo hóa ma trận: Tính lũythừa của ma trận vuông, tìm các dãy truy hồi tuyến tính đồng thời cấp 1 với hệ

số không đổi, tìm dãy truy hồi tuyến tính cấp p với hệ số không đổi, giải hệphương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng số, phân loại các đườngbậc hai trong mặt phẳng và mặt bậc hai trong không gian ba chiều

Chương 1

CHÉO HÓA MA TRẬN

Chương này trình bày một số vấn đề cơ sở chuẩn bị cho nội dung của Chương

2 Đó là: ma trận và các phép toán trên ma trận, vectơ riêng và giá trị riêng, vấn

đề về chéo hóa ma trận và chéo hóa trực giao Nội dung của chương này chủyếu tham khảo các tài liệu [1], [4] và [5]

1.1 Ma trận và các phép toán trên ma trận

1.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1 Cho hai số nguyên dương m,n ta gọi ma trận m hàng (dòng)

ncột với các hệ số trên trường K (K là trường số ) là một bảng gồm m × n phần

tử ai j của K, với 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n được ký hiệu bởi

Ma trận vuông cấp n mà tất cả các phần tử ngoài đường chính bằng 0 gọi là

ma trận đường chéo Đặc biệt ma trận đường chéo gọi là ma trận đơn vị nếu

ai j = 1, i = 1, 2, , n, ký hiệu In hoặc đơn giản là I nếu không cần nhắc đến cấpcủa nó.

Ma trận A = (ai j)n được gọi là ma trận đối xứng (phản đối xứng) nếu At =A(At = −A) hay ai j = aji(ai j = −aji) với mọi i, j = 1, 2, , n

Hai ma trận A = (ai j)m×nvà B = (bi j)m×nđược gọi là bằng nhau nếu ai j= bi jvới mọi i = 1, 2, , m, j = 1, 2, , n

ai jbjk, với i = 1, m, k = 1, p Nếu A là ma trận vuông cấp n thì ta có tích của n ma trận A kí hiệu làA.A A = An

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận: Các phép biến đổi sau đây đối với

ma trận được gọi là các phép biến đổi sơ cấp:

i) Đổi chỗ hai dòng hoặc hai cột của ma trận

ii) Nhân tất cả các phần tử của một dòng hoặc một cột với một số khác không.iii) Cộng vào các phần tử của một dòng (hoặc cột) các phần tử tương ứng củamột dòng (cột) sau khi đã nhân với cùng một số nào đó

1.1.3 Ma trận nghịch đảo

Định nghĩa 1.1.2 Một ma trận vuông A cấp n trên trường số K được gọi là khả

nghịch (hay có ma trận nghịch đảo) nếu tồn tại một ma trận vuông B cấp n sao

cho AB = BA = In Khi đó, ta cũng nói B là ma trận nghịch đảo của A và kí

hiệu B = A−1

Từ định nghĩa dễ dàng suy ra (A−1)−1 = A, (AB)−1= B−1A−1

Nếu ma trận vuông A cấp n khả nghịch thì ma trận A−1 là duy nhất Hơn nữa,

ma trận vuông A cấp n là khả nghịch khi và chỉ khi det(A) ̸= 0

Có nhiều phương pháp để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A Dưới đây,chúng tôi trình bày phương pháp dùng phép biến đổi sơ cấp

Giả sử ma trận A vuông cấp n là ma trận khả nghịch, ta tìm ma trận A−1bằngphương pháp biến đổi sơ cấp Gauss như sau:

Viết thêm vào ma trận A ma trận In để được ma trận có dạng (A|In) Dùngcác phép biến đổi sơ cấp trên ma trận để biến đổi ma trận (A|In) về dạng (In|B).Khi đó ma trận B thu được chính là ma trận A−1 cần tìm

Ngoài ra, người ta có thể tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp sử dụngphần bù đại số (xem [4]).

1.1.4 Hạng của ma trận

Định nghĩa 1.1.4 Cho A là ma trận cấp m × n Ta gọi

(i) Định thức con cấp k của A là định thức được suy từ A bằng cách bỏ đi

m− k hàng và n − k cột

(ii) Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của A,

ký hiệu r(A) hoặc rank(A), và quy ước coi hạng của ma trận không là bằng 0.Trong thực hành, để tìm hạng của ma trận ta có thể dựa vào kết quả sau:i) Hạng của ma trận không thay đổi qua các phép biến đổi sơ cấp

ii) Hạng của ma trận bậc thang bằng số dòng khác 0 của nó

1.2 Vectơ riêng, giá trị riêng

1.2.1 Ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa 1.2.1 Cho X và Y là hai không gian vectơ trên trường K, một ánh

xạ f : X → Y thỏa mãn các điều kiện sau đây được gọi là ánh xạ tuyến tính:

(i) f (u + v) = f (u) + f (v), ∀u, v ∈ X ;

(ii) f (αu) = α f (u), ∀u ∈ X , ∀α ∈ K

Nếu X = Y thì f được gọi là phép biến đổi tuyến tính của X

Từ định nghĩa dễ dàng suy ra rằng ánh xạ f : X → Y là tuyến tính khi và chỉkhi f (αu + β v) = α f (u) + β f (v), ∀u, v ∈ X ; ∀α, β ∈ K

Định lý 1.2.2 (Sự xác định ánh xạ tuyến tính) Giả sử B = {e1, e2, , en} là

một cơ sở của không gian vectơ X và {v1, v2, , vn} là một hệ vectơ tùy tý của

không gian vectơ Y (chúng có thể không nhất thiết khác nhau) Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f : X → Y sao cho f (ei) = vi, ∀i = 1, , n

Ký hiệu HomK(X ,Y ) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính từ không gianvectơ X vào không gian vectơ Y Khi đó HomK(X ,Y ) cùng với hai không phéptoán

Định nghĩa 1.2.3 Cho f : X → Y là một ánh xạ tuyến tính giữa các không gian

hữu hạn chiều trên trường K Giả sử dimX = n, dimY = m, B = {u1, u2, , un}

và C = {v1, v2, , vm} lần lượt là các cơ sở tương ứng của X và Y Biểu diễn cácảnh f (ui) qua cơ sở C ta thu được:

được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cặp cơ sở (B,C).

Trong trường hợp X = Y và cơ sở B trùng với cơ sở C thì ta nói ma trận Af là

ma trận của phép biến đổi tuyến tính f đối với cơ sở đã cho

Ví dụ 1.2.4 Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f : P2[x] → P1[x] xác định bởi

f(ax2+ bx + c) = (a + b)x + (b + c) đối với cặp cơ sở (E, F) với E = (1; x; x2)

và F = (1 + x; 2x)

Giải

Giả sử f (ax2+ bx + c) = (a + b)x + (b + c) = α(1 + x) + β (2x)







1.2.3 Ma trận đồng dạng

Trước khi nêu khái niệm hai ma trận đồng dạng, ta xét mối liên hệ giữa các

ma trận của cùng một ánh xạ tuyến tính đối với các cơ sở khác nhau

Cho không gian X cùng với hai cơ sở B = {u1, u2, , un} và B′= {u′1, u′2, , u′n},không gian Y cùng với hai cơ sở C = {v1, v2, , vn} và C′ = {v′1, v′2, , v′n}.Giả sử ánh xạ tuyến tính f : X → Y có ma trận đối với các cơ sở (B) và (C) là

A= (ai j)m×n, ma trận đối với cơ sở (B′) và (C′) là B = (bi j)m×n Ta tìm mốiliên hệ giữa A và B

Gọi P, T theo thứ tự là các ma trận chuyển từ cơ sở (B) sang cơ sở B′ và từ

cơ sở (C) sang cơ sở (C′): P = (ci j)n, T = (ti j)n

Gọi X , X′ theo thứ tự là các ma trận cột của tọa độ vectơ u ∈ Xn đối với các

1.2.4 Vectơ riêng, giá trị riêng

Định nghĩa 1.2.5 Cho V là một K-không gian vectơ, V′ là không gian vectơcon của V và f là phép biến đổi tuyến tính trong V

i) Ta nói V′ là không gian con bất biến đối với phép biến đổi tuyến tính f nếu

f(α) ∈ V′, ∀α ∈ V′ (hay f (V′) ⊂ V )

ii) vectơ α khác vectơ không được gọi là một vectơ riêng của f nếu tồn tại một số k ∈ K sao cho f (α) = kα Khi đó số k được gọi là giá trị riêng của

f ứng với vectơ riêng α

iii) Nếu A là ma trận của tự đồng cấu f thì giá trị riêng của f cũng được gọi làgiá trị riêng của ma trận A

V đều là vectơ riêng ứng với giá trị riêng k

iii) Tập hợp tất cả các vectơ riêng ứng với giá trị riêng k của tự đồng cấu f làmột không gian con bất biến của V và được gọi là không gian riêng ứng vớigiá trị riêng k

Định nghĩa 1.2.6 Giả sử A = [ai j] là ma trận của phép biến đổi tuyến tính fcủa không gian n chiều đối với cơ sở α1, , αn Khi đó ma trận

được gọi là ma trận đặc trưng của ma trận A Và định thức |A − kI| là đa thức bậc n đối với ẩn k, được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A Một nghiệm của đa thức đặc trưng được gọi là nghiệm đặc trưng của ma trận A.

Đa thức đặc trưng của A không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở mà chỉ phụthuộc vào phép biến đổi tuyến tính f

Định lý 1.2.7 Số thực k là giá trị riêng của phép biến đổi tuyến tính f khi và

chỉ khi k là nghiệm đặc trưng của f

Cách tìm vectơ riêng và giá trị riêng của f :

a) Dùng định nghĩa

b) Dựa vào định lý trên:

• Lập ma trận đặc trưng [A − KI]

• Tìm nghiệm đặc trưng thực: |A − kI| = 0

• Tìm nghiệm (x1, x2, , xn) khác không của hệ

Ta có đa thức đặc trưng là

3 1 − k −1