Khóa luận nghiên cứu tính ổn định cho một số lớp hệ trễ có biến thiên

Tính ổn định hữu hạn của một lớp hệ phi tuyến không dừng có trễ dạng tỉ lệ.. Cho đếnnay, khái niệm ổn định theo Lyapunov đã được nghiên cứu và phát triển rất sâurộng, cả lý thuyết và thự

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố.

Người cam đoan

Nguyễn Thị Dung

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS TS Lê VănHiện Trong quá trình làm luận văn Thầy đã nhiệt tình hướng dẫn chi tiết, tạomôi trường nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận văn này Tác giảxin cảm ơn và bày tỏ sự kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả cũngxin bày tỏ lòng biết ơn đến các Thầy, Cô đã nhiệt tình về giảng dạy lớp k5 Caohọc toán giải tích Tại đây tác giả nhận được nhiều sự chỉ dẫn, góp ý quý báu làmôi trường thuận lợi để Tác giả hoàn thành luận văn của mình Tác giả xin đượcbày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, Phòng đào tạo, Ban chủ nhiệm khoaKHTN, Tổ giải tích Trường ĐH HỒNG ĐỨC đã tạo mọi điều kiện tốt nhất đểtác giả hoàn thành đúng thời hạn luận văn của mình

Thanh Hóa, tháng 5 năm 2015

Nguyễn Thị Dung

Mục lục

Bảng ký hiệu iv

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Hệ phương trình vi phân hàm và bài toán ổn định Lyapunov 3

1.2 Một số bổ đề bổ trợ 5

1.2.1 Đạo hàm Dini 6

1.2.2 M-ma trận 6

Chương 2 Tính ổn định hữu hạn của lớp hệ tuyến tính có trễ hỗn hợp biến thiên 8

2.1 Phát biểu bài toán 8

2.2 Kết quả chính 11

2.3 Ví dụ minh họa 13

Chương 3 Tính ổn định hữu hạn của một lớp hệ phi tuyến không dừng có trễ dạng tỉ lệ 15

3.1 Phát biểu bài toán 15

3.2 Kết quả chính 16

3.3 Ví dụ và so sánh 22

Kết luận 28

Tài liệu tham khảo 29

Bảng ký hiệu

n Tập hợp n số nguyên dương đầu tiên {1, 2, , n}

R+ Tập tất cả các số thực không âm

Rn Không gian Euclide n−chiều với tích vô hướng

hx, yi = xTyvà chuẩn vectơ kxk∞ = maxi∈n|xi|

u, v ∈ Rn, u ≤ v ⇔ ui≤ vi, ∀i ∈ n;

u v ⇔ ui< vi, ∀i ∈ n

diag{A1, A2, , An} Ma trận chéo khối gồm các phần tử A1, A2, , An.C([a, b], Rn) Tập các hàm giá trị trong Rnliên tục trên [a, b]

kĩ thuật trong vật lí, hóa học, cơ học, điều khiển tự động v.v thường xuất hiệncác độ trễ thời gian [1] Sự xuất hiện của các độ trễ này ảnh hưởng đến dángđiệu của hệ cũng như ảnh hưởng đến tính ổn định, một trong những tính chấtphổ dụng của các hệ kĩ thuật Vì vậy bài toán nghiên cứu tính ổn định của các

hệ phương trình vi phân có trễ và ứng dụng nó trong các mô hình điều khiển đã

và đang thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả trong và ngoài nướctrong vài thập kỉ gần đây (xem [2] và các tài liệu trích dẫn trong đó) Cho đếnnay, khái niệm ổn định theo Lyapunov đã được nghiên cứu và phát triển rất sâurộng, cả lý thuyết và thực tế ứng dụng trong nhiều mô hình thực tiễn kĩ thuật.Khái niệm ổn định với thời gian hữu hạn (hay ổn định với thời gian ngắn đượcđưa ra từ những năm 50 của thế kỉ XX Nói một cách hình thức, một hệ là ổnđịnh với thời gian hữu hạn nếu cho trước một cận trên của điều kiện đầu, quỹđạo nghiệm tương ứng của hệ không vượt quá một ngưỡng cho trước trên mộtđoạn thời gian xác định trước Một cách chính xác hơn, xét lớp hệ vi phân

˙x(t) = f (t, x, x(t0) = x0, (0.1)

ở đó, x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái của hệ

Định nghĩa 0.0.1 (FTS)[3] Cho trước thời điểm t0, số dương T và hai tập χ0, χt,

hệ (0.1) gọi là ổn định hữu hạn đối với (t0, T, χ0, χt) nếu

x0∈ χ0 =⇒ x(t) ∈ χt, ∀t ∈ [t0,t0+ T ]

Thông thường, các tập bao trạng thái đầu và trạng thái cuối χ0, χt được chodưới dạng các ellipsoid E = {xTRx : x ∈ Rn}, ở đó R là một ma trận đối xứngxác định dương Định nghĩa 0.0.1 có thể phát biểu dưới dạng sau

Định nghĩa 0.0.2 [3] Cho trước t0, T > 0, ma trận đối xứng xác định dương R

và các số dương r1< r2 Hệ (0.1) gọi là ổn định hữu hạn đối với (t0, T, r1, r2, R)nếu

xT0Rx0 ≤ r1=⇒ xT(t)Rx(t) < r2, ∀t ∈ [t0,t0+ T ]

Khái niệm ổn định theo Lyapunov (LS) là một khái niệm mang tính địnhtính, xác định dáng điệu của nghiệm tại vô cùng Khác với khái niệm ổn địnhLyapunov, FTS chỉ yêu cầu một khoảng thời gian hữu hạn (có thể rất ngắn) và

là khái niệm có tính định lượng Nghĩa là, với các tập trong χ0 và tập ngoài ξt

cố định, mọi quỹ đạo nghiệm của hệ xuất phát từ ξ0 sẽ không vượt quá χt trênkhoảng thời gian hữu hạn [t0,t0+ T ] cho trước

Khái niệm ổn định hữu hạn (FTS) và khái niệm ổn định theo Lyapunov làhai khái niệm độc lập theo nghĩa một hệ là FTS nhưng có thể không ổn địnhtheo Lyapunov và ngược lại [3, 4, 5] Mặc dù khái niệm ổn định theo Lyapunov

đã được phát triển và ứng dụng thành công trong rất nhiều mô hình, gần đâykhái niệm ổn định hữu hạn đang được quan tâm nghiên cứu và phát triển rấtmạnh mẽ (xem [3, 4, 5] và các tài liệu trích dẫn tại đó)

Thông dừng có trễ biến thiên Nội dung của luận được trình bày trong bachương Chương 1 là phần kiến thức chuẩn bị, ở đó chúng tôi giới thiệu sơ lượcmột số kiến thức cơ sở có liên quan và giới thiệu một số kết quả bổ trợ choviệc trình bày nội trong chương 2 và 3 Trong chương 2 chúng tôi nghiên cứutính ổn định hữu hạn cho một lớp hệ tuyến tính có trễ biến thiên Dựa trên cáchtiếp cận bằng các phiếm hàm tựa Lyapunov–Krasovskii, chúng tôi tìm các điềukiện dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) đảm bảo tính ổn định hữuhạn của hệ Trong chương 3, chúng tôi xét tính ổn định hữu hạn của lớp hệnơ-ron không dừng có trễ dạng tỉ lệ, một loại trễ không bị chặn Nội dung củachương này được trình bày dựa trên bài báo [5] của người hướng dẫn và cộng sự

Thanh Hóa, tháng 5 năm 2015

Tác Giả

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày sơ lược một số kiến thức cơ sở vềbài toán ổn định cho hệ phương trình vi phân hàm và giới thiệu một số kết quả

bổ trợ dùng trong chứng minh các kết quả ở các chương sau

1.1 Hệ phương trình vi phân hàm và bài toán ổn

(i) Tồn tại nghiệm x(t, φ ) của (1.1) trên khoảng [t0,tφ);

(ii) Trên mọi đoạn [t0,t1] ⊂ [t0,tφ), nghiệm x(t, φ ) là duy nhất;

(iii) [t0,tφ) là khoảng tồn tại cực đại của nghiệm x(t, φ );

(iv) Nghiệm x(t, φ ) phụ thuộc liên tục vào φ , f

Trong định lí 1.1.1, nếu hàm f thỏa mãn thêm điều kiện “tăng trưởng tuyếntính”

Trong mục này, chúng tôi giả thiết hàm f (t, φ ) thỏa mãn điều kiện sao chovới mỗi t0∈ [0, +∞), φ ∈C ([−r,0],Rn), bài toán (1.1) có nghiệm duy nhất xácđịnh trên [t0, +∞) Hơn nữa, giả thiết rằng f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0, khi đó (1.1) cónghiệm x = 0 Nói riêng, hệ tuyến tính

˙x(t) = Ax(t) + Adx(t − h(t)) (1.2)với A, Ad là các ma trận hằng và giả thiết hàm trễ h(t) liên tục, luôn có duy nhấtnghiệm toàn cục với mọi điều kiện đầu φ ∈ C([−hmax, 0], Rn)

Định nghĩa 1.1.2 [7, 6] Nghiệm x = 0 của (1.1) được gọi là ổn định nếu với

mọi t0∈ R+, ε > 0, tồn tại δ = δ (t0, ε) > 0 sao cho với mọi nghiệm x(t, φ ) của(1.1), nếu kφ k < δ thì kx(t, φ )k < ε, ∀t ≥ t0

Trong định nghĩa trên, nếu tìm được số δ không phụ thuộc vào t0thì nghiệm

x= 0 của (1.1) được gọi là ổn định đều

Nghiệm x = 0 được gọi là ổn định mũ toàn cục đều nếu tồn tại số γ ≥ 1, α >

0 sao cho mọi nghiệm x(t, φ ) của (1.1) thỏa mãn đánh giá

kx(t, φ )k ≤ γkφ ke−α(t−t0 ), ∀t ≥ t0

Giả sử V : R+×C → R là hàm liên tục và x(t,φ) là một nghiệm của (1.1)

đi qua (t0, φ ) Đạo hàm của hàm V (t, φ ) dọc theo nghiệm x(t, φ ) được xác định

h

V(t + s, xt+s(t, φ )) −V (t, φ )

i

Định lý 1.1.3 (Lyapunov-Krasovskii Theorem [7]) Giả sử rằng hàm f : R ×C([−r, 0], Rn) →

Rn biến mỗi tập R ×Ω, ở đó Ω là tập bị chặn trong C([−r, 0], Rn), thành tập bị

chặn trong Rn và u, v, w: R+ → R+ là các hàm liên tục, không giảm, u(s), v(s)

dương với mọi s > 0, u(0) = v(0) = 0 Khi đó nghiệm x = 0 của (1.1) là ổn định

đều nếu tồn tại phiếm hàm liên tục V : R ×C([−r, 0], Rn) → R+ xác định dương

u(kφ (0)k) ≤ V (t, φ ) ≤ v(kφ kC)

sao cho đạo hàm theo hệ (1.1) thỏa mãn

˙

V(t, φ ) ≤ −w(kφ (0)k

Nếu w(s) > 0 với mọi s > 0 thì nghiệm x = 0 là ổn định tiệm cận đều Hơn

nữa, nếulims→∞u(s) = ∞ thì nghiệm x = 0 là ổn định tiệm cận toàn cục đều

Định lý 1.1.4 (Định lí ổn định mũ [7]) Giả sử đối với hệ (1.1) tồn tại hàm

V = V (t, xt) thỏa mãn các điều kiện

(i) ∃λ1, λ2 > 0 sao cho λ1kx(t)k2 ≤ V (t, xt) ≤ λ2kxtk2;

(ii) ˙V(t, xt) ≤ −2λ3kx(t)k2, λ3> 0.

Khi đó nghiệm x = 0 của (1.1) ổn định mũ toàn cục đều Hơn nữa, mọi nghiệm

x(t, φ ) của hệ (1.1) thỏa mãn đánh giá

Bổ đề 1.2.1 (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [5]) Cho M ∈ Rn×nlà ma trận đối

xứng xác định dương Khi đó với mọi x, y ∈Rnta có

2xTy≤ xTMx+ yTM−1y (1.3)

Chứng minh. Bổ đề được chứng minh nhờ phân tích 2xTy= xTMx+ yTM−1y−

Bổ đề 1.2.3 (Bất đẳng thức tích phân [5]) Cho số dương σ và một ma trận đối

xứng xác định dương W Khi đó với mọi hàm vectơ ω(.) khả tích trên [0, σ ] ta

Mệnh đề 1.2.4 [8] Nếu D+v(t) ≥ 0,t ∈ [0, ∞) thì v(t) là hàm đơn điệu không

giảm trên khoảng [ 0, ∞).

Mệnh đề 1.2.5 [9] Cho A = (ai j) là ma trận có các phần tử ngoài chéo chính

không dương, aii> 0, i ∈ n Các khẳng định sau là tương đương

(i) A là một M-ma trận không suy biến.

(ii) Reλk(A) > 0 với mọi giá trị riêng λk(A) của A.

(iii) Tồn tại ma trận B ≥ 0 và hằng số s > ρ(B) sao cho A = sIn− B, ở đó

ρ (B) = max{|λk(A)|} là bán kính phổ của B;

(iv) Tồn tại vectơ ξ ∈ Rn, ξ  0, sao cho Aξ  0;

(v) Tồn tại vectơ η ∈ Rn, η  0, sao cho ATη  0.

Chương 2

Tính ổn định hữu hạn của

lớp hệ tuyến tính có trễ hỗn hợp biến thiên

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tính ổn định hữu hạn của một lớp

hệ tuyến tính ô-tô-nôm có trễ biến thiên dạng phân phối Bằng việc sử dụngcác hàm tựa Lyapunov-Krasovskii, các điều kiện ổn định hữu hạn được thiết lậpthông qua bất đẳng thức ma trận tuyến tính

2.1 Phát biểu bài toán

Xét lớp hệ tuyến tính có trễ biến thiên sau đây

˙x(t) = Ax(t) + Dx(t − τ(t)) + G

Z t

t −κ(t)x(s)ds, t ≥ 0,x(t) = φ (t), t ∈ [−h, 0],

với µ là hằng số xác định tốc độ biến thiên của trễ rời rạc τ(t), τ1, τ2, κ1, κ2 làcác cận trên của trễ, h = max{τ2, κ2}.

Với bất kì T > 0, φ ∈ C([−h, 0], Rn), hệ (2.1) có nghiệm duy nhất x(t) =x(t, φ ) xác định trên đoạn [0, T ] thỏa mãn điều kiện đầu x(t) = φ (t),t ∈ [−h, 0]

Định nghĩa 2.1.1 [4] Cho trước số các số dương T, r1, r2, với r1< r2 Hệ (2.1)được gọi là ổn định hữu hạn đối với (r1, r2, T ) nếu với mọi φ ∈ C([−h, 0], Rn)

kφ k∞ ≤ r1=⇒ kx(t, φ )k∞< r2, ∀t ∈ [0, T ] (2.3)Hình 2.1 dưới dây minh họa cho khái niệm ổn định hữu hạn trong định nghĩatrên

Hình 2.1: Ổn định hữu hạn trên đoạn [0, T ]

Với chuẩn k · k∞ trên Rn, điều kiện (2.3) có nghĩa là, cho trước các hình cầu

Br1, Br2 trong Rn, bất kì quỹ đạo nào của hệ xuất phát từ Br1 sẽ luôn chứa trong

Br2 trên toàn khoảng thời gian hữu hạn [0, T ] xác định trước từ các bài toán ứngdụng thực tiễn Như đã trao đổi trong [3, 4, 5], tính ổn định, ổn định tiệm cậntheo Lyapunov không suy ra tính ổn định hữu hạn của hệ (2.1) và ngược lại,ngay cả khi (2.1) ổn định hữu hạn với mọi T > 0 cũng không suy ra tính ổnđịnh tiệm cận theo Lyapunov

Ví dụ 2.1.2 Xét các phương trình vi phân có trễ sau

˙x(t) = −1.2x(t) +t+ 2

t+ 1x(t − 1), t≥ 0, (2.4)

˙x(t) = −0.8x(t) + t

t+ 6x(t − 1), t≥ 0 (2.5)Phương trình (2.4) là ổn định tiệm cận toàn cục theo Lyapunov Tuy nhiên(2.4) không ổn định hữu hạn đối với (r1, r2, T ), ở đó r1= 1, r2= 1.25 và T = 10.Ngược lại, (2.5) là ổn định hữu hạn đối với r1= 1, r2 = 1.5 và T = 10 nhưngkhông ổn định tiệm cận Quỹ đạo nghiệm của (2.4) và (2.5) với điều kiện đầu

φ (t) = 1, t ∈ [−1, 0], được minh họa trong Hình 2.2 và Hình 2.3

Hình 2.2: Quỹ đạo nghiệm của (2.4) Hình 2.3: Quỹ đạo nghiệm của (2.5)Mục đích chính của chương này là tìm các điều kiện đủ đảm bảo tính ổnđịnh hữu hạn của hệ (2.1)

ei =

h

0n×(i−1)n In 0n×(3−i)n

i, i = 1, 2, 3,

Định lý 2.2.1 [3, 4, 5] Với các số dương cho trước T, r1, r2, r1< r2, hệ (2.1) là

ổn định hữu hạn đối với (r1, r2, T ) nếu tồn tại các số dương α, ρi, i = 1, 2, 3, 4,

và các ma trận đối xứng xác định dương P, Q, R ∈Rn×nthỏa mãn các điều kiện sau

V(xt) = V1+V2+V3, (2.7)

eα (t−s)xT(s)Rx(s)ds + αV3

≤ κ2xT(t)Rx(t) −

Z t t−κ2

xT(s)Rx(s)ds + αV3 (2.11)Theo Bổ đề 1.2.3

−κ2

Z t t−κ2

T

R

Z t t−κ(t)x(s)



Do đó, từ (2.11) ta có

˙

V3≤ ζT(t)Π2ζ (t) + αV3 (2.12)

Nhận xét 2.2.2 Với các số dương r1 < r2 cho trước, để tìm khoảng thời giancực đại cũng như độ lớn cho phép của độ trễ, ta có thể dùng thuật toán hình thứcsau đây







min α > 0, ρi > 0, i = 2, 3, 4,max ρ1> 0

"

#x(t − τ(t)) +

Ta có τ1 = 1, τ2= 1.2, µ = 0.5 và κ2 = 1 Với α được cố định trước bằng0.05, sử dụng gói LMI toolbox Matlab, chúng tôi tìm được, các điều kiện (2.6a),(2.6b) trong Định lí 2.2.1 thỏa mãn với ρ1= 0.2, ρ2= 6.56, ρ3= 0.31 và ρ4 =5.23 Các ma trận P, Q, R cho bởi

Chương 3

Tính ổn định hữu hạn của

một lớp hệ phi tuyến không dừng có trễ dạng tỉ lệ

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tính ổn định hữu hạn của một lớp

hệ phi tuyến có cấu trúc mạng nơ-ron không dừng với trễ dạng tỉ lệ Nội dungcủa chương này được trình bày dựa trên bài báo [5]

3.1 Phát biểu bài toán

Xét một lớp mạng nơ-ron không dừng với đa trễ tỉ lệ dạng sau

trị ban đầu xi(t) tại thời điểm t0= 0.

Tính ổn định hữu hạn của hệ (3.1) được định nghĩa tương tự trong Chương

2 Mục đích chính trong chương này là tìm các điều kiện ổn định hữu hạn cho

hệ (3.1) Chúng tôi xét các giả thiết sau

(A1) Các ma trận D(t) = diag{d1(t), d2(t), , dn(t)},W0(t) = (w0i j(t)),W1(t) =(w1i j(t)) thỏa mãn

x− y ≤ l

+ i2, ∀x, y ∈ R, x 6= y,

ở đó lik−, lik+, k = 1, 2, là các hằng số cho trước

Nhận xét 3.1.1 Các hằng số lik−, lik+, i ∈ n, k = 1, 2, trong giả thiết (A2) có thể

dương, âm hoặc bằng không Như trao đổi trong [?], giả thiết (A2) nhẹ hơn điều

kiện dạng Lipschitz khi nghiên cứu định tính các hệ nơ-ron Tuy nhiên, để thiếtlập các điều kiện ổn định hữu hạn đối với hệ không ô-tô-nôm (3.1), chúng tôicần một đánh giá trội từ (A2)

fi(x) − fi(y) ≤ max{li1+, −li1−}|x − y|, gi(x) − gi(y) ≤ max{li2+, −li2−}|x − y|

Với i ∈ n, dưới đây chúng tôi kí hiệu Fi= max{li1+, −li1−} and Gi= max{li2+, −li2−}

Định lý 3.2.1 [5] Với các giả thiết (A1), (A2), cho trước 0 < r1< r2và T > 0,

hệ (3.1) là ổn định hữu hạn đối với (r1, r2, T ) nếu tồn tại số dương γ và một

vectơ ξ ∈ Rn, ξ  0, thỏa mãn các điều kiện sau

(i) (M − γI)ξ ≺ 0,

(ii) C(ξ ) < r2

r1e

−γT,

ở đó C(ξ ) = ξuξl−1 kí hiệu số điều kiện của ξ

Chứng minh. Với ξ = (ξi) ∈ Rn thỏa mãn ξ  0 và (M − γI)ξ ≺ 0, ta có

ở đó D+ kí hiệu đạo hàm Dini trên bên phải

Xét các hàm vi(t), i ∈ n, được định nghĩa như sau

vi(t) = ξl−1kz0k∞ξieγt, t ≥ 0 (3.5)

Điều này, cùng với (3.2), cho

kx(t) − x∗(t)k∞≤ C(ξ )kx(0) − x∗(0)k∞eγt ≤ C(ξ )r1eγ T < r2, ∀t ∈ [0, T ].

Kết quả này chứng tỏ hệ (2.1) là ổn định hữu hạn đối với (r1, r2, T ) Định lí đượcchứng minh

Nhận xét 3.2.2 Điều kiện (i) trong Định lí 3.2.1 không đảm bảo tính ổn định

tiệm cận theo Lyapunov của hệ (3.1) Hơn nữa, ngay cả khi (i), (ii) thỏa mãn vớibất kì T > 0, r2> r1> 0, hệ (3.1) vẫn không ổn định tiệm cận (xem phản ví dụtrong mục sau)

Nhận xét 3.2.3 Nếu điều kiện (i) trong Định lí 3.2.1 thỏa mãn với γ ≤ 0 nào đó

thì điều kiện (ii) được loại bỏ Cụ thể hơn, nếu tồn tại vectơ ξ ∈ Rn, ξ  0, thỏamãnM ξ ≺ 0 thì hệ (3.1) ổn định hữu hạn đối với bất kì 0 < r1< r2, T > 0 Thậtvậy, với ξ ∈ Rn, ξ  0, sao choM ξ ≺ 0, khi đó M ˆξ ≺ 0, ở đó ˆξ = ( ˆξi) ∈ Rn,ˆ

Nhận xét 3.2.4 Vì ma trận −Mγ := γI −M là một M-ma trận [9], điều kiện(i) trong Định lí 3.2.1 có thể kiểm tra bằng nhiều dấu hiệu, chẳng hạn các điềukiện tương đương (i)-(v) trong Mệnh đề 1.2.5