Báo cáo các phương pháp định giá quyền chọn và áp dụng trên thị trường chứng khoán việt nam

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI BÁO CÁO T ỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG TÊN ĐỀ TÀI: Các phương pháp định giá quyền chọn và áp dụng trên thị trường ch

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI

BÁO CÁO T ỔNG KẾT

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

TÊN ĐỀ TÀI: Các phương pháp định giá quyền chọn và áp dụng trên thị trường chứng

khoán Việt Nam

Mã s ố đề tài: CS20 - 06

Ch ủ nhiệm đề tài: ThS Lê Văn Tuấn

Thành viên tham gia: TS Nguyễn Thu Thủy

ThS Ngô Duy Đô

Hà N ội, Tháng 5/2021

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI

BÁO CÁO T ỔNG KẾT

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

TÊN ĐỀ TÀI: Các phương pháp định giá quyền chọn và áp dụng trên thị trường chứng

khoán Việt Nam

Mã s ố đề tài: CS20 - 06

Ch ủ nhiệm đề tài: ThS Lê Văn Tuấn

Thành viên tham gia: TS Nguyễn Thu Thủy

ThS Ngô Duy Đô

Hà N ội, Tháng 5/2021

THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN C ỨU ĐỀ TÀI

1 ThS Lê Văn Tuấn

2 TS Nguyễn Thu Thủy

3 ThS Ngô Duy Đô

M ỤC LỤC

Danh m ục thuật ngữ……….……….……… 4

Thông tin k ết quả nghiên cứu……… 5

L ời nói đầu 7

Chương mở đầu: Tổng quan nghiên cứu đề tài 8

Chương 1: Tóm lược một số vấn đề lý luận về chủ đề nghiên cứu 1.1 Các lo ại quyền chọn trên thế giới………10

1 2 Các phương pháp định giá quyền chọn……… 12

1.3 T ổng quan tình hình khách thể nghiên cứu ở Việt Nam và thế giới 28

Chương 2: Phương pháp nghiên cứu và Kết quả nghiên cứu 2 1 S ố liệu 31

2 2 Ứng dụng trên TTCK Việt Nam 32

Chương 3: Kết luận và kiến nghị 44

Tài li ệu tham khảo 45

Ph ụ lục A Gi ới thiệu phần mềm R……….………46

DANH M ỤC THUẬT NGỮ

Giá thực hiện Exercise price/ strike price

Mô hình cây nhị thức Binomial Tree Model

Quyền chọn kiểu Âu European Option

Quyền chọn kiểu Mỹ American Option

Quyền chọn rào chắn Barrier Option

Thời điểm đáo hạn Exercise time/ expiry time

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI

THÔNG TIN K ẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

ĐỀ TÀI NCKH CẤP TRƯỜNG

1 Thông tin chung:

- Tên đề tài: Các phương pháp định giá quyền chọn và áp dụng trên thị trường chứng khoán Việt Nam

- Mã số: CS20 - 06

- Chủ nhiệm: Lê Văn Tuấn

- Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Thương Mại

- Thời gian thực hiện: Từ ngày 01 tháng 8 năm 2020 đến hết tháng 3 năm 2021

2 M ục tiêu:

Nghiên cứu các phương pháp định giá quyền chọn và áp dụng trên thị trường chứng khoán Việt Nam

3 Tính m ới và sáng tạo:

Áp dụng trên TTCK Việt Nam

4 K ết quả nghiên cứu:

Tài liệu hướng dẫn về các phương pháp định giá quyền chọn cho sinh viên khoa Tài chính – Ngân hàng, trường Đại học Thương mại

Đưa ra khuyến nghị về việc lựa chọn phương pháp định giá quyền chọn cho các chuyên

gia phân tích tài chính, nhà đầu tư

5 Công b ố sản phẩm khoa học từ kết quả nghiên cứu của đề tài:

Ứng dụng mô hình cây nhị phân định giá quyền chọn cho thị trường chứng khoán Việt Nam (Tạp chí Công thương, tháng 4/2021)

6 Hi ệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dụng:

Phương thức chuyển giao:

- Đề tài là tài liệu tham khảo

- Tác giả có thể trình bày cụ thể các kỹ thuật liên quan đối với các đối tượng có nhu cầu Địa chỉ ứng dụng:

- Sinh viên và giảng viên khoa Tài chính – Ngân hàng, trường Đại học Thương mại

- Các chuyên gia phân tích tài chính, nhà đấu tư

Ngày 15 tháng 5 năm 2021

Ch ủ nhiệm đề tài

(ký, h ọ và tên)

L ỜI NÓI ĐẦU

Tại trường Đại học Thương mại, lý thuyết về quyền chọn được giảng dạy cho sinh viên ngành tài chính từ nhiều năm nay Tuy nhiên, các phương pháp và công cụ để định giá quyền chọn vẫn chưa được giảng dạy Sinh viên và giảng viên rất cần những nghiên cứu đầy đủ về định giá quyền chọn để có thể vận dụng trong học tập, thực hành - để tiếp cận khái niệm quyền chọn không chỉ trên lý thuyết mà còn trong ứng dụng thực tiễn

Với mong muốn cung cấp hệ thống hoá cở sở lý thuyết và thực hành ứng dụng về định giá quyền chọn, chúng tôi đã đăng kí Đề tài NCKH cấp cơ sở: Các phương pháp định giá

quy ền chọn và áp dụng trên thị trường chứng khoán Việt Nam

Trong quá trình làm đề tài, các tác giả đã nhận được sự hỗ trợ, động viên từ Bộ môn Toán, Phòng QLKH – Trường Đại học Thương mại, các tác giả xin được bày tỏ sự biết

ơn tới những ủng hộ này

Cuối cùng, các tác giả rất mong nhận được những kiến phản biện từ các đồng nghiệp, các bạn sinh viên-học viên, và các chuyên gia làm việc trong lĩnh vực kinh tế

Xin trân thành cảm ơn!

Tháng 5/2021 Các tác gi ả

Chương mở đầu

T ỔNG QUAN NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI

1.1 Tính c ấp thiết nghiên cứu của đề tài

Tại Việt Nam, cho đến thời điểm hiện tại, thị trường chứng khoán vẫn chưa cho phép giao dịch sản phẩm phái sinh quyền chọn, mặc dù đã hội tụ nhiều yếu tố hỗ trợ, gồm có:

- Thị trường chứng khoán Việt Nam đã ra phát triển gần 20 năm (từ ngày 28/7/2000)

- Nghị định 42/2015/NĐ-CP “Về chứng khoán phái sinh và thị trường chứng khoán phái sinh” đã ra đời được 5 năm

- Hợp đồng tương lai chỉ số VN30 - sản phẩm đầu tiên của thị trường chứng khoán phái sinh - được giao dịch được gần 2 năm (từ ngày 10/8/2018)

Vì vậy, đây là thời điểm chín muồi để thực hiện giao dịch quyền chọn trên thị trường

chứng khoán Việt Nam Nhiệm vụ ngay trước mắt là cần những nghiên cứu, đánh giá về việc áp dụng quyền chọn; lý thuyết, công cụ về định giá quyền chọn để các nhà phân tích, nhà đầu tư có thể tiếp cận với công cụ tài chính có nhiều ứng dụng này

Tại trường Đại học Thương mại, lý thuyết về quyền chọn được giảng dạy cho sinh viên ngành tài chính từ nhiều năm nay Tuy nhiên, các công cụ để định giá quyền chọn vẫn chưa được giảng dạy Sinh viên và giảng viên rất cần những nghiên cứu đầy đủ về định giá quyền chọn để có thể vận dụng trong học tập, thực hành - để tiếp cận khái niệm quyền chọn không chỉ trên lý thuyết mà còn trong ứng dụng thực tiễn

Trên đây là những lý do để nhóm tác giả đăng ký thực hiện đề tài: Các phương pháp định giá quyền chọn và áp dụng trên thị trường chứng khoán Việt Nam

1.2 Xác l ập và tuyên bố vấn đề trong đề tài

Nghiên cứu các phương pháp định giá quyền chọn và áp dụng trên thị trường chứng khoán Việt Nam

1.3 Các m ục tiêu nghiên cứu

- Mục tiêu chung: Nghiên cứu các phương pháp định giá quyền chọn và áp dụng trên thị

trường chứng khoán Việt Nam

- Mục tiêu cụ thể:

+ Các phương pháp định giá quyền chọn kiểu Âu

+ Các phương pháp định giá quyền chọn kiểu Mỹ

+ Nghiên cứu áp dụng trên TTCK Việt Nam

+ Tài liệu hướng dẫn về các phương pháp định giá quyền chọn cho sinh viên khoa Tài chính – Ngân hàng, trường Đại học Thương mại

+ Đưa ra khuyến nghị về việc lựa chọn phương pháp định giá quyền chọn cho các chuyên gia phân tích tài chính, nhà đầu tư

1.4 Ph ạm vi nghiên cứu

- Giới hạn trong hai loại quyền chọn kiểu Âu và kiểu Mỹ

- Giới hạn trong ba phương pháp: dùng mô hình Black-Scholes, dùng mô hình Rubinstein và mô phỏng Monte Carlo

Cox-Ross Giới hạn nghiên cứu ứng dụng trên phần mềm R

- Giới hạn áp dụng trên TTCK Việt Nam; dữ liệu là 3 tháng gần nhất

1.5 Ý nghĩa của nghiên cứu

- Đối với lĩnh vực giáo dục và đào tạo: Là tài liệu tham khảo hữu ích cho giảng viên, sinh viên và các đối tượng quan tâm

- Đối với lĩnh vực khoa học và công nghệ có liên quan: Đưa ra các phương pháp định giá quyền chọn

- Đối với phát triển kinh tế-xã hội: Là tài liệu tham khảo cho chuyên gia phân tích tài chính, nhà đấu tư

- Đối với tổ chức chủ trì và các cơ sở ứng dụng kết quả nghiên cứu: Là tài liệu tham khảo hữu ích cho giảng viên, sinh viên và các đối tượng quan tâm

1.6 T ổng quan tình hình khách thể nghiên cứu ở Việt Nam và thế giới

Nghiên cứu trên thế giới

Định giá quyền chọn là một mảng kinh điển trong tài chính định lượng trên thế giới Ba phương pháp cơ bản để định giá quyền chọn là: dùng mô hình Black-Scholes (1973), dùng mô hình Cox-Ross-Rubinstein (còn gọi là mô hình cây nhị phân – 1979) và mô phỏng Monte Carlo (1977,1996,2001) Mô hình Black-Scholes chỉ áp dụng cho quyền chọn kiểu Âu, hai phương pháp còn lại áp dụng cho nhiều loại quyền chọn Cơ sở lý thuyết của các phương pháp này có thể xem trong (Capinski, 2003)

Các hướng phát triển của định giá quyền chọn được trình bày chi tiết trong (Gong, 2011),

cụ thể là:

- Sử dụng mô hình Heston với giả thiết tài sản gốc tuân theo mô hình Black-Scholes nhưng độ biến động là ngẫu nhiên

- Ứng dụng mô hình GARCH để mô hình hóa độ biến động

- Sử dụng tính chất động lượng của phân phối log-chuẩn cắt cụt

- Sử dụng quá trình ngẫu nhiên diffusion với bước nhảy

Ở hướng thực hành trên phần mềm R, (Daróczi, 2013) trình bày các phương pháp Scholes và Cox-Ross-Rubinstein để định giá quyền chọn; phương pháp mô phỏng Monte Carlo có thể xem trong (Iacus, 2011)

Black-Nghiên cứu ở Việt Nam

Tại Việt Nam, khái niệm quyền chọn được giảng dạy cho sinh viên ngành tài chính tại hầu hết các trường đại học khối ngành kinh tế Lý thuyết về định giá quyền chọn cũng được giảng dạy cho sinh viên học về tài chính định lượng tại nhiều trường Nhiều giáo trình trình bày về định giá các loại quyền chọn theo các phương pháp khác nhau, chẳng

để mô hình hóa độ biến động Trong (Tuyen, 2013), các tác giả đã sử dụng một mở rộng của mô hình Black-Scholes, đó là giả thiết tài sản gốc tuân theo chuỗi Markov, để áp dụng định giá quyền chọn cho chỉ số VN-Index; các tác giả cũng đã chứng tỏ rằng mô hình Markov là phù hợp với dữ liệu của TTCK Việt Nam

Hướng sử dụng mô hình Cox-Ross-Rubinstein (mô hình cây nhị phân) có thể xem trong (Trung, 2011), tuy nhiên, trong bài viết này các tác giả chỉ trình bày cơ sở lý thuyết của

mô hình

Chúng tôi chưa tìm thấy công trình nghiên cứu về định giá quyền chọn của Việt Nam sử dụng phương pháp mô phỏng Monte Carlo

1.7 K ết cấu báo cáo nghiên cứu

Chương mở đầu: Tổng quan nghiên cứu đề tài

Chương 1: Tóm lược một số vấn đề lý luận về chủ đề nghiên cứu

Chương 2: Phương pháp nghiên cứu và Kết quả nghiên cứu

Chương 3: Kết luận và kiến nghị

Phụ lục A Giới thiệu phần mềm R

Chương 1

TÓM LƯỢC MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÍ LUẬN VỀ CHỦ ĐỀ NGHIÊN CỨU

1.1 Các lo ại quyền chọn trên thế giới

Quy ền chọn (Option) 1

Quyền chọn là một hợp đồng giữa hai bên – người mua và người bán – trong đó cho người mua quyền nhưng không phải là nghĩa vụ, để mua hoặc bán một tài sản nào đó vào một ngày trong tương lai với giá được thỏa thuận ngày hôm nay Người mua quyền chọn

trả cho người bán một số tiền gọi là giá hay phí quyền chọn Người mua quyền chọn được quyền, nhưng không có nghĩa vụ tham gia vào các giao dịch đó, trong khi người bán phải gánh chịu nghĩa vụ tương ứng để thực hiện giao dịch Vì vậy, sự thiệt hại của người mua quyền chọn được giới hạn tại mức phí quyền chọn, trong khi sự mất mát của người bán quyền chọn là không giới hạn Giá của một quyền chọn xuất phát từ sự khác biệt giữa giá tham chiếu và giá trị của tài sản cơ sở cộng với phí quyền chọn dựa trên thời gian còn lại cho đến hết thời hạn của quyền chọn

Có hai loại quyền chọn: quyền chọn mua (Call option) và quyền chọn bán (Put option) Một quyền chọn mua cho phép người mua quyền chọn (hay còn gọi là người nắm giữ quyền chọn) được quyền mua tài sản cơ sở (tài sản cơ sở có thể là cổ phiếu, trái phiếu, tiền tệ hay hàng hóa) ở một mức giá cụ thể, trong khi một quyền chọn bán cho phép người mua quyền chọn được quyền bán tài sản cơ sở ở một mức giá cụ thể Việc thực hiện hợp đồng vào thời điểm nào còn tùy thuộc vào kiểu quyền chọn

Trong một hợp đồng quyền chọn, người mua và người bán quyền chọn ở các vị thế quyền chọn (option position) khác nhau và tùy thuộc vào lựa chọn chiến lược quyền chọn

là mua hay bán tài sản cơ sở Có bốn vị thế quyền chọn như sau:

(i) Người mua quyền chọn mua ở vị thế trường thế quyền chọn mua (Long

Call option) được mua một tài sản cơ sở ở một giá xác định trong vòng một quãng thời gian xác định Những người ở vị thế mua quyền chọn mua hy vọng cổ phiếu sẽ tăng đáng kể trước khi quyền chọn đáo hạn; (ii) Người mua quyền chọn bán ở vị thế trường thế quyền chọn bán (Long

Put option) cho phép người nắm giữ quyền được bán một tài sản ở một giá xác định trong một khoảng thời gian xác định Người mua quyền chọn bán hy vọng giá cổ phiếu sẽ sụt giảm trước khi quyền chọn đáo hạn;

(iii) Người bán quyền chọn mua ở vị thế đoản thế quyền chọn mua (Short

Call option), là người được nhận phí quyền chọn và phải có nghĩa vụ đáp ứng khi người mua quyền chọn quyết định thực hiện hợp đồng Người ở vị thế bán quyền chọn mua kỳ vọng tài sản cơ sở sẽ giảm giá

và người mua quyền chọn không có cơ hội thực hiện quyền chọn; và (iv) Người bán quyền chọn bán ở vị thế đoản thế quyền chọn bán (Short Put

option) là người được nhận phí quyền chọn và phải có nghĩa vụ đáp ứng

1 Quy ền chọn là một loại chứng khoán phái sinh phổ biến trên thế giới; tuy nhiên, hiện tại ở VN, trên TTCK vẫn

khi người mua quyền chọn quyết định thực hiện hợp đồng Người ở vị thế bán quyền chọn bán kỳ vọng tài sản cơ sở sẽ tăng giá và người mua quyền chọn không có cơ hội thực hiện quyền chọn

Hợp đồng quyền chọn có thông số kỹ thuật sau đây:

- các loại (mua hoặc bán),

- khối lượng và loại của các tài sản cơ sở,

- hiện giá/giá thực hiện (tức là giá mà tại đó các giao dịch cơ sở sẽ xảy ra khi thực hiện quyền chọn),

- ngày hết hạn (ngày cuối cùng các quyền chọn có thể được thực hiện),

- các điều khoản thanh toán

1.1.1 Quyền chọn kiểu Âu (European Option)

Quyền chọn mua kiểu Âu (European Call) là một hợp đồng cho phép nhà đầu tư mua một đơn vị của một hàng hóa hay tài sản S nào đó (gọi là tài sản gốc-underlying asset) với một giá K đã được cố định (gọi là giá thực hiện-exercise price hay strike price) tại một thời điểm T trong tương lai cũng đã được cố định, gọi là (thời điểm đáo hạn-exercise time hay expiry time)

Nếu thay chữ mua bằng chữ bán trong định nghĩa này, thì ta được một quyền chọn bán kiểu Âu (European Put)

1.1.2 Quy ền chọn kiểu Mỹ (American Option)

Quyền chọn mua kiểu Mỹ (American Call) là một hợp đồng cho phép nhà đầu tư mua một đơn vị của một tài sản S với một giá thực hiện X đã được cố định tại mọi thời điểm cho đến một thời điểm đáo hạn T trong tương lai cũng đã được cố định

Quyền chọn bán kiểu Mỹ (American Put) cũng được định nghĩa tương tự, nhưng thay chữ mua bằng chữ bán

Sự khác nhau giữa quyền chọn kiểu Âu và quyền chọn kiểu Mỹ là quyền chọn kiểu Mỹ cho quyền mua (nếu là Call) hoặc bán (nếu là Put) vào thời điểm T hoặc mọi thời điểm trước đó, trong khi quyền chọn kiểu Âu chỉ cho quyền mua/bán tại đúng thời điểm T Vì

sự khác nhau này, việc đánh giá giá trị của quyền chọn kiểu Mỹ nói chung sẽ phức tạp hơn so với quyền chọn kiểu Âu, tuy rằng trong nhiều trường hợp thì giá của quyền chọn kiểu Mỹ và kiểu Âu sẽ gần như nhau, thậm chí đúng bằng nhau

1.1.3 Quyền chọn kiểu Á (Asian Option)

Quyền chọn châu Á là một loại quyền chọn mà giá được tính là giá trung bình của tài sản trong một khoản thời gian, ngược lại với những loại quyền chọn khác (kiểu Mỹ và châu Âu) khi mà giá được tính là giá vào thời điểm đáo hạn Loại quyền chọn này giúp người mua có thể mua (hoặc bán) tài sản với giá trung bình thay vì giá thị trường

Có nhiều cách hiểu khái niệm giá trung bình và cần được làm rõ trong hợp đồng quyền chọn Thường thì thì giá trung bình chính là giá trung bình cộng hoặc trung bình nhân của tài sản trong một khoản thời gian xác định được ghi rõ trong hợp đồng

1.1.4 Quyền chọn rào chắn (Barrier Option)

Quyền chọn rào chắn là loại quyền chọn mà giá trị khi đáo hạn của chúng phụ thuộc vào việc giá của tài sản cơ sở có chạm đến một mức nhất định, còn gọi là mức chặn, trong một khoảng thời gian xác định hay không

Nói cách khác, quyền chọn này về cơ bản giống như các quyền chọn tiêu chuẩn, nhưng chỉ đem lại kết quả một khi nó được "kích hoạt" hay là giá tài sản cơ sở chạm đến mức chặn Mức giá chặn có thể là một giá trị cao hơn giá hiện hành của tài sản cơ sở (rào chắn chiều lên) hoặc thấp hơn giá hiện hành của tài sản cơ sở (rào chắn chiều xuống)

1.2 Các phương pháp định giá quyền chọn

1.2.1 Công thức Black-Scholes 2

Nói đến quyền chọn thì không thể không đề cập đến mô hình Black-Scholes Cho đến nay, mô hình nổi tiếng cũng như phổ biến nhất trong thế giới tài chính là mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes Nhà kinh tế học Steve Ross trong cuốn từ điển kinh tế Palgrave đã viết “lý thuyết định giá quyền chọn là lý thuyết thành công nhất không chỉ trong ngành tài chính, mà còn trong tất cả các ngành kinh tế” Năm 1973, Black & Scholes đã công bố công thức định giá quyền chọn trong nghiên cứu “Định giá quyền chọn và nợ phải trả công ty” mà ngày nay được gọi là mô hình Black-Scholes

Ký hiệu giá quyền chọn tại thời điểm t (0 ≤ t ≤ T) là: C(t, S) và P(t, S)

Giá của quyền chọn mua kiểu Âu là:

C(t, S) = S.(d1) – K.e-r(T-t)

.(d2)trong đó

𝑑1=ln (

𝑆

𝐾) + (𝑟 +𝜎22) (𝑇 − 𝑡)𝜎√𝑇 − 𝑡 ; 𝑑2 = 𝑑1− 𝜎√𝑇 − 𝑡 Giá của quyền chọn bán kiểu Âu là:

P(t, S) = K.e-r(T-t).(-d2) – S.(-d1)Trong các công thức trên:

 là phân phối tích lũy của phân phối chuẩn N(0, 1)

𝜎 là độ biến động (volatility) hiệu chỉnh theo năm của giá của tài sản gốc3 (được giả định

là không đổi theo thời gian)

r là xác suất phi rủi ro (Risk-Free Rate)4

2 Mô hình Black- Scholes, ra đời năm 1973, là một cột mốc quan trọng trong định giá quyền chọn (giải Nobel 1997) tuy nhiên trước thời điểm 1973, đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về vấn đề này, khởi đầu là của Louis Bachelier (1900)

3 Trong th ực hành, 𝜎 = √252𝜎𝑆𝐷 , với 𝜎𝑆𝐷là độ lệch chuẩn của loga-lợi suất của S (theo ngày)

4 Lãi su ất phi rủi ro là lãi suất (hiệu chỉnh theo năm) của một tài sản không có rủi ro (giá trị không có thật, mang tính lý thuy ết) Trong thực hành người ta thường lấy r là lãi suất của trái phiếu chính phủ không trả lãi suất (zero-

1.2.2 Mô hình cây nhị thức

Mô hình định giá quyền chọn cây nhị thức, còn gọi là mô hình Cox-Ross-Rubinstein (viết tắt là CRR), được : Cox, John C., Stephen A Ross, and Mark Rubinstein công bố năm 1979 trong bài báo “Option Pricing: A Simplified Approach” Đối với các quyền chọn kiểu Âu cho các cổ phiếu không trả cổ tức, thì mô hình này là một sự xấp xỉ rời rạc của mô hình Black-Scholes, và khi các bước thời gian trong mô hình CRR tiến tới 0, thì kết quả cho bởi mô hình CRR tiến tới kết quả cho bởi mô hình Black-Scholes Vì mô hình CRR là một mô hình rời rạc, với thuật toán tính dễ đưa vào máy tính, nên nó cũng

có thể được coi như là một phương pháp tính gần đúng giá quyền chọn cho theo công thức của Black-Scholes Ứng dụng của mô hình CRR không chỉ dừng lại ở chỗ làm phương pháp tính cho công thức Black-Scholes, mà nó còn sử dụng được để tính toán với những loại quyền chọn mà mô hình Black-Scholes không áp dụng được, trong đó có quyền chọn kiểu Mỹ và quyền chọn kiểu Bermuda

Giả sử một quyền chọn trên cổ phiếu S có lợi nhuận cho bởi công thức: D(T) = f(S(T)), với f là hàm cho trước Với quyền chọn mua kiểu Âu: f(S) = (S – X)+; quyền chọn bán kiểu Âu: f(S) = (X – S)+

a) Trường hợp quyền chọn kiểu Âu

Cây 1 bước:

Giả sử giá cổ phiếu ở thời điểm 1 là S(1) nhận hai giá trị

{𝑆𝑆𝑢𝑑 = 𝑆(0)(1 + 𝑢)= 𝑆(0)(1 + 𝑑)với xác suất p và 1 – p

Tồn tại x(1) và y(1) sao cho

rate? A Search for the Basic Building Block

𝑆𝑢𝑢 = 𝑆(0)(1 + 𝑢)2, 𝑆𝑢𝑑 = 𝑆(0)(1 + 𝑢)(1 + 𝑑), 𝑆𝑑𝑑 = 𝑆(0)(1 + 𝑑)2

và S(1) có hai giá trị

𝑆𝑢 = 𝑆(0)(1 + 𝑢), 𝑆𝑑 = 𝑆(0)(1 + 𝑑)

Hình 1 Sơ đồ cây nhị phân 2 bước

Lăp lại các tính toán của cây 1 bước cho hai cây được khoanh trong hình trên, suy ra D(1) có hai giá trị

1

1 + 𝑟[𝑝∗𝑓(𝑆𝑢𝑢) + (1 − 𝑝∗)𝑓(𝑆𝑢𝑑)],1 + 𝑟1 [𝑝∗𝑓(𝑆𝑑𝑢) + (1 − 𝑝∗)𝑓(𝑆𝑑𝑑)] Suy ra

𝐷(1) =1 + 𝑟1 [𝑝∗𝑓(𝑆(1)(1 + 𝑢)) + (1 − 𝑝∗)𝑓(𝑆(1)(1 + 𝑑))] ≔ 𝑔(𝑆(1)) với

D(0) = E*((1 + r)-2f(S(2)))

𝑝∗𝑘(1 − 𝑝∗)𝑁−𝑘𝑓(𝑆(0)(1 + 𝑢)𝑘(1 + 𝑑)𝑁−𝑘)

Vậy

D(0) = E*((1 + r)-Nf(S(N)))

Công th ức Cox–Ross–Rubinstein

Vì lợi nhuận của quyền chọn mua với giá thực hiện X thỏa mãn f(x) = 0 với 𝑥 ≤ 𝑋 nên

tổng trên chỉ bắt đầu từ m sao cho 𝑆(0)(1 + 𝑢)𝑚(1 + 𝑑)𝑁−𝑚 > 𝑋

𝑝∗𝑘(1 − 𝑝∗)𝑁−𝑘(𝑆(0)(1 + 𝑢)𝑘(1 + 𝑑)𝑁−𝑘− 𝑋)

Hay

CE(0) = x(1)S(0) + y(1) với

𝑥(1) =(1 + 𝑟)1 𝑁 ∑ (𝑁

𝑘)

𝑁 𝑘=𝑚

𝑝∗𝑘(1 − 𝑝∗)𝑁−𝑘

Ta có

𝑥(1) = ∑ (𝑁𝑘)

𝑁 𝑘=𝑚

(𝑝∗1 + 𝑢1 + 𝑟)𝑘((1 − 𝑝∗)1 + 𝑑1 + 𝑟)

𝑁−𝑘

= ∑ (𝑁𝑘)

𝑁 𝑘=𝑚

Φ(𝑚, 𝑁, 𝑝) = ∑ (𝑁𝑘)

𝑚 𝑘=0

(𝑝)𝑘(1 − 𝑝)𝑁−𝑘

Ví dụ 1 (Mô hình cây nhị phân 1 bước) Xét vấn đề định giá một quyền chọn mua kiểu

Âu để mua một chứng khoán với giá 21 (ngàn) trong 3 tháng Giá chứng khoán hiện tại

là 20 (ngàn) Ta giả định đơn giản rằng tại thời điểm cuối của thời kỳ 3 tháng, giá chứng khoán là một trong hai giá trị: 22 (ngàn) hoặc 18 (ngàn) Điều đó có nghĩa là quyền chọn

sẽ có một trong hai giá trị tại cuối thời kỳ 3 tháng Nếu giá chứng khoán tăng lên 22 (ngàn) thì giá trị quyền chọn sẽ là 1 (ngàn); nếu giá chứng khoán hạ xuống 18 (ngàn) thì giá trị quyền chọn sẽ là 0

Việc sử dụng sự thay đổi giá chứng khoán là căn cứ tốt nhất để định giá quyền chọn trong hoàn cảnh này Yêu cầu duy nhất của giả định là không tồn tại các cơ hội cơ lợi Ta đưa ra một danh mục đầu tư bao gồm chứng khoán và quyền chọn mà không chắc chắn

về giá trị của danh mục đầu tư tại cuối thời kỳ 3 tháng Sau đó, ta cho rằng, vì danh mục đầu tư không có rủi ro nên lợi nhuận kiếm được phải bằng lãi suất phi rủi ro Điều này cho phép ta tính được chi phí của việc tạo ra danh mục đầu tư và sau đó tính được giá của quyền chọn Vì có 2 đối tượng chứng khoán (chứng khoán và quyền chọn) và chỉ có 2 kết quả có thể xảy ra, nên luôn tạo ra được danh mục đầu tư không rủi ro

Xét một danh mục đầu tư bao gồm một vị thế mua ∆ cổ phiếu của chứng khoán và vị thế bán một quyền chọn mua Ta tính giá trị của ∆ sao cho danh mục đầu tư không có rủi ro Nếu giá chứng khoán tăng từ 20 (ngàn) lên 22 (ngàn), thì giá trị cổ phiếu là 22∆ và giá trị của quyền chọn là 1, vì thế tổng giá trị của danh mục đầu tư là 22∆-1 Nếu giá chứng khoán giảm từ 20 (ngàn) xuống 18 (ngàn) thì giá trị cổ phiếu là 18∆ và giá trị quyền chọn

là 0, vì thế tổng giá trị danh mục đầu tư là 18∆ Danh mục đầu tư không có rủi ro nếu giá

trị ∆ được lựa chọn sao cho giá trị cuối cùng của danh mục đầu tư tương tự nhau trong cả hai trường hợp Nghĩa là 22∆-1=18∆ hay ∆=0,25

Do đó danh mục đầu tư phi rủi ro là: vị thế mua 0,25 cổ phiếu, vị thế bán 1 quyền chọn Nếu giá chứng khoán tăng lên 22 (ngàn) thì giá trị của danh mục đầu tư là: 22×0,23-1=4,5 Nếu giá chứng khoán giảm xuống còn 18 (ngàn) thì giá trị của danh mục đầu tư là 18×0,25=4,5 Bất kể giá chứng khoán có tăng lên hay giảm xuống, thì giá trị của danh mục đầu tư luôn luôn là 4,5 vào cuối thời kỳ tồn tại của quyền chọn

Nếu không có các cơ hội cơ lợi thì danh mục đầu tư phi rủi ro phải chịu lãi suất phi rủi

ro Giả sử rằng lãi suất phi rủi ro là 12%/năm Vì vậy, giá trị danh mục đầu tư của ngày hôm nay phải bằng giá trị hiện tại của 4,5, hay: 4,5e-0,12×3/12 = 4,367

Giá trị của chứng khoán ngày hôm nay là 20 (ngàn) Giả sử giá quyền chọn được ký hiệu

là f Giá trị danh mục đầu tư ngày hôm nay là: 20×0,25-f = 5-f, suy ra 5-f =4,367 hay f=0,633

Điều đó cho thấy rằng trong điều kiện không có cơ lợi, giá trị hiện tại của quyền chọn là 0,633

Tổng quát

Ta sẽ trình bày cách giải tổng quát hóa của ví dụ trên bằng cách xem xét một loại chứng khoán có giá là S0 và một quyền chọn trên chứng khoán đó có giá hiện hành là f Giả sử quyền chọn kéo dài trong khoảng thời gian T và trong suốt thời kỳ tồn tại của quyền chọn thì giá chứng khoán có thể dịch chuyển tăng từ S0 lên một mức giá mới là S0u hoặc giảm

từ S0 xuống mức giá mới là S0d, trong đó u > 1 và d < 1 Tỷ lệ tăng của giá chứng khoán khi có biến động tăng là u – 1, tỷ lệ giảm của giá chứng khoán khi có biến động giảm là 1 – d Nếu giá chứng khoán dịch chuyển tăng lên S0u thì ta giả sử lợi nhuận của quyền chọn là fu Nếu giá chứng khoán dịch chuyển giảm xuống S0d thì ta giả sử lợi nhuận của quyền chọn là fd

Ta giả sử có một danh mục đầu tư gồm một vị thế mua ∆ cổ phiếu và một vị thế bán một quyền chọn Ta sẽ tính giá trị ∆ sao cho danh mục đầu tư không có rủi ro

Nếu giá chứng khoán tăng thì giá trị danh mục khi kết thúc thời kỳ tồn tại của quyền chọn là: S0u∆ - fu

Nếu giá chứng khoán giảm thì giá trị của danh mục khi kết thúc thời kỳ tồn tại của quyền chọn là: S0d∆ - fd

Hai giá trị này bằng nhau khi S0u∆ - fu = S0d∆ - fd hay ∆= 𝑓𝑢 −𝑓𝑑

𝑆 0 𝑢−𝑆 0 𝑑 (1) Trong trường hợp này, danh mục đầu tư sẽ không có rủi ro và sẽ đạt được lãi suất phi rủi

ro Phương trình (1) cho thấy ∆ là tỷ lệ giữa thay đổi giá của quyền chọn trên thay đổi giá chủa chứng khoán khi ta di chuyển giữa các nút

Ký hiệu lãi suất phi rủi ro là r, thì giá trị hiện tại của danh mục đầu tư là: (S0u∆ - fu)e-rT

Chi phí để thành lập danh mục đầu tư là: S0∆ - f

Do đó S0∆ - f = (S0u∆ - fu)e-rT hay f = S0∆ - (S0u∆ - fu)e-rT

Thay ∆ từ phương trình (1) và đơn giản hóa, ta được: f = e-rT(pfu + (1-u)fd) (2)

Trong đó 𝑝 =𝑒𝑢−𝑑𝑟𝑇−𝑑 (3)

Phương trình (2) và (3) cho phép định giá một quyền chọn bằng cách sử dụng mô hình cây nhị phân 1 bước

Quay lại trường hợp các giá trị cụ thể của ví dụ 1, ta có u = 1,1; d = 0,9; r = 0,12; T = 0,25; fu = 1; fd = 0

Từ phương trình (3) ta có 𝑝 =𝑒0,12×3/121,1−0,9−0,9= 0,6523

Từ phương trình (2) ta có f = e-0.12×0,25(0,6523×1 + 0,3477×0) = 0,633

Ví d ụ 2 (Mô hình nhị phân 2 bước) Giả sử giá chứng khoán là 20 (ngàn) và cứ trong

mỗi bước có thể tăng lên 10% hoặc giảm xuống 10%; mỗi bước dài 3 tháng và lãi suất phi rủi ro là 12%/năm Ta sẽ định giá quyền chọn với giá thực hiện là 21 (ngàn)

Mục tiêu của phân tích là để tính giá quyền chọn tại nút đầu tiên của cây Điều này có thể

thực hiện bằng các tính toán tương tự như Ví dụ 1 Ta tính được các giá trị của cây, mỗi nút có cả giá chứng khoán và giá quyền chọn (số trên là giá chứng khoán, số dưới là giá quyền chọn)

Giá quyền chọn ở các nút cuối cùng của cây có thể được tính một cách dễ dàng, chúng là các phần thưởng thu được từ quyền chọn Ở nút D, giá chứng khoán là 24,2 và giá quyền chọn là 24,2-21=3,2; tại nút E và F, quyền chọn thuộc vùng lỗ nên giá trị của nó là 0

Tại nút C, giá của quyền chọn là 0, vì nút C dẫn đến nút E hoặc F và tại cả hai nút này giá của quyền chọn đền bằng 0 Để tính giá quyền chọn tại nút B, ta xem nhánh cấy tại nút B như là cây 1 bước

b) Trường hợp quyền chọn kiểu Mỹ

Với quyền chọn kiểu Mỹ, quyền chọn có thể thực hiện tại bấy kỳ thời điểm n thỏa mãn

0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑁, với lợi nhuận f(S(n)) (chỉ thực hiện được một lần) Giá quyền chọn kiểu Mỹ tại thời điểm n ký hiệu là DA(n)

Trước hết, ta phân tích giá quyền chọn kiểu Mỹ sau 2 bước thời gian Nếu nó chưa được thực hiện, ta có DA(2) = f(S(2)), với ba giá trị phụ thuộc vào S(2) Tại thời điểm 1, người nắm giữ quyền chọn có hai lựa chọn: thực hiện ngay lập tức với lợi nhuận f(S(1)); hoặc đợi đến thời điểm 2, khi giá quyền chọn sẽ là f(S(2)) Ở trường hợp sau, ta có thể xem f(S(2)) là quyền chọn kiểu Âu 1-bước được định giá ở thời điểm 1, giá trị của nó tại thời điểm 1 là

𝑓1(𝑥) = 𝑚𝑎𝑥 {𝑓(𝑥),1 + 𝑟1 [𝑝∗𝑓(𝑥(1 + 𝑢)) + (1 − 𝑝∗)𝑓(𝑥(1 + 𝑑))]}

Tương tự, giá của quyền chọn kiểu Mỹ tại thời điểm 0 là

𝐷𝐴(0) = 𝑚𝑎𝑥 {𝑓(𝑆(0)),1 + 𝑟1 [𝑝∗𝑓1(𝑆(0)(1 + 𝑢)) + (1 − 𝑝∗)𝑓1(𝑆(0)(1 + 𝑑))]} Tổng quát, giá của quyền chọn kiểu Mỹ với hàm lợi nhuận f, thực hiện ở thời điểm N, được xác định qua công thức truy hồi

1.2.3 Phương pháp mô phỏng Monte Carlo

Cho X là biến ngẫu nhiên, giả sử ta cần tính E(g(X)), với g là hàm đã biết Ta giả lập n số ngẫu nhiên x1, …, xn từ phân phối của X Khi đó

𝐸(𝑔(𝑋)) ≈ 1𝑛∑ 𝑔(𝑥𝑛𝑖=1 𝑖) = 𝑔̅𝑛 Công thức trên có từ luật số lớn, và đúng khi 𝐸|𝑔(𝑋)| < ∞ Hơn nữa, theo định lý giới

Ký hiệu lợi nhuận của quyền chọn là X = f(ST)

Ký hiệu giá của quyền chọn tại thời điểm t là C(t, St) = Pt, giá quyền chọn phụ thuộc vào hàm lợi nhuận f và tài sản cơ sở S Tại thời điểm T, PT = C(T, ST) = f(ST) = X

Từ phương trình Black – Scholes ta có công thức của giá quyền chọn là

𝐶(𝑡, 𝑥) = 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡)𝐸𝑓(𝑍𝑇𝑡,𝑥) Trong đó 𝑍𝑇𝑡,𝑥 = 𝑥𝑒𝑥𝑝 {(𝑟 −12𝜎2) (𝑇 − 𝑡) + 𝜎√𝑇 − 𝑡𝑢)} với 𝑢~𝑁(0,1)

Ta có các khả năng sau:

 Quyền chọn mua kiểu Âu: f(x) = max(0, x – K)

 Quyền chọn bán kiểu Âu: f(x) = max(0, K – x)

Thuật toán để tính giá quyền chọn:

1 Giả lập M lần u và áp dụng tính 𝑍𝑇𝑡,𝑥

2 Với mỗi giả lập 𝑍𝑇𝑡,𝑥 tính 𝑓(𝑍𝑇𝑡,𝑥)

3 Tính trung bình các giá trị trên và nhân với 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡)

b) Quyền chọn kiểu Á

Quyền chọn mua kiểu Á có lợi nhuận là

𝑋 = max (0,𝑇1 ∫ 𝑆𝑇 𝑡𝑑𝑡

0 − 𝐾) Dạng rời rạc là

𝑋 = max (0,𝑁 + 11 ∑ 𝑆(𝑡𝑖)

𝑁 𝑖=0

− 𝐾)

với 𝑡𝑖 = 𝑖∆𝑡, 𝑖 = 0, … , 𝑁; ∆𝑡 =𝑁𝑇

Tương tự, quyền chọn bán kiểu Á có lợi nhuận là

)

với 𝑡𝑖 = 𝑖∆𝑡, 𝑖 = 0, … , 𝑁; ∆𝑡 =𝑁𝑇

c) Quyền chọn kiểu Mỹ

Phương pháp giả lập Broadie – Glasserman

Có nhiều cách tiếp cận khác nhau theo phương pháp mô phỏng Monte Carlo để định giá quyền chọn kiểu Mỹ Phương pháp tiêu biểu đầu tiên cần được nhắc tới là phương pháp giả lập Broadie – Glasserman được Broadie, M và Glasserman, P công bố năm 1997 trong bài báo “Pricing American-style securities using simulation” Trong bài báo này, các tác giả đã chứng tỏ là không thể nhận được ước lượng không chệch của giá trị của quyền chọn kiểu Mỹ qua giả lập Lý do chính là vì tất cả các kịch bản giả lập là bởi sự rời rạc tự nhiên của chúng, do đó - phụ thuộc vào khởi tạo cửa từng đường giả lập – vẫn có xác suất khác không để đảo ngược quyết định (thực thi hay không) ở mỗi bước của giả lập

Ký hiệu r là xác suất phi rủi ro, T là thời gian đáo hạn, K là giá thực thi, ST và S0 là giá

cổ phiếu ở thời điểm đáo hạn là thời kỳ đầu

Mục tiêu là cần ước lượng giá trị

𝐶 = 𝑚𝑎𝑥𝜏𝐸{𝑒−𝑟𝜏max(𝑆𝜏 − 𝐾, 0)}

trên tập tất cả các điểm thời gian dừng 𝜏 ≤ 𝑇

Trong thực hành, chỉ có một tập hữu hạn các điểm thời gian trên lưới Vì vậy, với lưới thời gian 0 = t0 < t1 < … < td = T, ý tưởng là giả lập 𝑆1 = 𝑆𝑡1, 𝑆2 = 𝑆𝑡2, … , 𝑆𝑇 = 𝑆𝑡𝑑 xuất phát từ giá trị S0 và ước tính giá trị của quyền chọn sử dụng phiên bản rời rạc hóa của công thức ở trên

𝐶 = 𝑚𝑎𝑥𝑖=0,…,𝑑𝐸{𝑒−𝑟𝑡𝑖max(𝑆𝑖− 𝐾, 0)}

Phương pháp giả lập này sinh ra một cây mà tại mỗi bước b, một nhánh mới được tạo Vì vậy, chẳng hạn xuất phát từ S0, b giá trị mới của S1 được giả lập là 𝑆11, 𝑆12, … , 𝑆1𝑏, với các giá trị tương lai có thể của cổ phiếu tại thời điểm t1 Tiếp theo, với mỗi giá trị 𝑆1𝑗 ở thời

điểm t1, b nhánh mới được sinh ra tại thời điểm t2 Do đó, xuất phát từ 𝑆11 tại thời điểm t1

ta sinh ra b giá trị tương lai mới 𝑆211, 𝑆212, … , 𝑆21𝑏 Và tương tự vậy cho b-1 nốt khác tại thời điểm t1 Để đơn giản, ta sẽ xem xét với b = 3

Hình 2 Ví d ụ của đường giả lập với b = 3 nhánh mỗi nốt

Một điểm cần lưu ý là cây được sắp thứ tự theo chiều ngang của thời gian, không được

sắp theo chiều dọc với giá cổ phiếu Nghĩa là không có thứ tự giữa các 𝑆𝑇11, 𝑆𝑇12, 𝑆𝑇13, nhưng chúng phụ thuộc vào 𝑆11 Tương tự, 𝑆11, 𝑆12, 𝑆13 cũng không có thứ tự

Ngay khi cây được xây dựng, ta có thể ước lượng giá quyền chọn, bao gồm chặn trên Θ

và chặn dưới 𝜃, cả hai giá trị này là chệch nhưng tiệm cận không chệch Dẫn đến ta sẽ xây dựng khoãng tin cậy cho giá trị thực của quyền chọn

Để đơn giản ta sẽ xem xét ví dụ minh họa cho trong hình dưới

Hình 3 Ví d ụ của đường giả lập Trong ngoặc tròn là lợi nhuận tại nốt; trong ngoặc

vuông là giá tr ị cận trên của quyền chọn mua kiểu Mỹ

Ngu ồn: (Iacus, 2011)

Trước hết ta sẽ mô tả giá trị ước lượng trên Θ Xét nốt ở dưới tại thời điểm t1, giá trị cổ phiếu là S = 115 và lợi nhuận của quyền chọn mua (giá thực thi K = 100) là 15 Tại thời điểm T, ba nốt cuối cùng có lợi nhuận là 0; 49 và 16 Lợi nhuận kỳ vọng là 21,7 = (0 +

49 + 16)/3 Ta so sánh giá trị này với lợi nhuận hiện thời là 15, như vậy ước lượng trên là max của 15 và 21,7; ; ta được giá trị trong ngoặc vuông là 21,7 Với nốt ở giữa, tại thời điểm t1, cả lợi nhuận hiện thời và kỳ vọng đều bằng không, vì vậy giá trị hiện tại của lợi nhuận cũng bằng 0 Với nốt ở trên, ta so sanh lợi nhuận hiện tại (là 14) với lợi nhuận kỳ vọng là (0 + 0 + 2)/3 = 0,7; ta được giá trị trong ngoặc vuông là 14 Sau đó, ước lượng cuối cùng nhận được bằng so sánh lợi nhuận tại thời điểm 0 (là 1) và lợi nhuận kỳ vọng

tại thời điểm t = 1; nghĩa là (14 + 0 + 21.7)/3 = 11.9 = Θ

Quá trình tính toán ước lượng dưới phức tạp hơn Ta cũng xét nốt ở dưới tại thời điểm t =

1 Lợi nhuận kỳ vọng tại thời điểm 1 = T được tính toán sử dụng nhánh 2 và 3, nghĩa là (49 + 16)/2 = 32,5 Giá trị này được so sánh với lợi nhuận hiện thời là 15 Trong trường hợp này, quyền chọn sẽ không được thực thi, và giá trị liên tục là 0 (lợi nhuận của nhánh 1) Quá trình tính toán tương tự được thực hiện trên nhánh 1 và 3 để tính toán lợi nhuận

kỳ vòng, nghĩa là (0 + 16) = 12 Trong tình huống này, 8 < 15 nên giá trị hiện tại là 15 Cuối cùng, lợi nhuận kỳ vọng sử dụng nhánh 1 và 2 là (0 + 49)/2 = 24,5, lớn hơn 15 Vì vậy, giá trị liên tục là 16, lợi nhuận của nhánh 3 Như vậy ta có ba giá trị khác nhau: 0, 15

và 16 Giá trị ước tính cho nốt này là (0 + 15 + 16)/3 = 10,3 Quá trình tính toán được lặp

lại trên những nốt còn lại cho đến nốt đầu tiên Ta được ước lượng dưới là 𝜃 = 8,1

Như vậy, với quyền chọn này, ta có ước lượng trên là Θ = 11,9 và ước lượng dưới 𝜃 = 8,1 Đây là các ước lượng trên và dưới của quyền chọn với một bản sao Monte Carlo; để nhận được giá trị hội tụ, ta cần lặp lại quá trình tính toán với một lượng đủ lớn các bản sao Monte Carlo

Phương pháp bình phương nhỏ nhất

Sau công trình của Broadie, M và Glasserman, P., có rất nhiều biến thể và lời giải mới được công bố, một phương pháp nổi bật là phương pháp bình phương nhỏ nhất Least Squares Method (LSM) được Longstaff, F and Schwartz, E công bố năm 2001 trong bài báo “Valuing American options by simulation: A simple least-squares approach”

Phương pháp này rất dễ hiểu và dễ thực thi Ý tưởng chính là ước lượng giá trị liên tục bởi hồi quy đơn giản qua bình phương nhỏ nhất Phương pháp này đòi hỏi mô phỏng một đường đơn trên lưới thời gian ti, i = 0, 1, …, d

Ký hiệu Vi(x) và fi(x) là giá trị của quyền chọn và hàm lợi nhuận tại thời điểm ti với 𝑆𝑡𝑖 =

𝑥 Giá trị liên tục tại thời điểm ti với 𝑆𝑡𝑖 = 𝑥 là

Trước khi đi vào trình bày thuật toán, ta sẽ minh họa ví dụ sau

Ví d ụ Giả sửa giá thực thi là K = 1,10; chỉ có các thời điểm 0, 1, 2 và 3 = T; lãi suất phi

rủi ro là r = 0,06 và giá trị của cổ phiếu lúc đầu là S0 = 1

Chỉ có 8 đường được tạo ra, bảng 1 mô tả mỗi dòng ứng với một đường

B ảng 1 Kết quả số từ phương pháp LSM Trong ngoặc là lợi nhuận ở thời điểm đáo hạn Ngôi sao (*) ở đầu các dòng ứng với quyền chọn vẫn đang lời ở thời điểm t = 2

Ngu ồn: (Iacus, 2011)

Tại thời điểm t = 2, chỉ những quyền chọn đang lời là được xem xét Người nắm giữ quyền chọn sẽ quyết định thực thi ngay lập tức hoặc đợi đến thời điểm đáo hạn, so sánh

giữa lợi nhuận hiện tại và lợi nhuận kỳ vọng đã được khấu trừ Trong ví dụ này, giá trị khấu trừ là e-r = 0,94176 Lợi nhuận kỳ vọng được ước lượng qua hồi quy, cho trong bảng sau:

Từ dữ liệu trên, qua hồi quy đơn giản ta có thể ước lượng được: E(Y|X) = −1.070 + 2.983X − 1.812X2 Đặt S2 ở vị trí của X, ta nhận được giá trị 𝐶̂ cho trong bảng 1 Ví dụ,

ở đường thứ nhất ta có: −1.070 + 2.983*1,08 − 1.813*(1.08)2 = 0.0369

Giá trị này được so sánh với giá trị thực thi tức thời, ở đường thứ nhất là: K − S2 = 1.10 − 1.08 = 0.02 Với các đường thứ 1 và 3, nên đợi đến thời điểm sau; với đường 4, 6 và 7 nên thực thi ngay lập tức Thuật toán tiếp tục thực hiện theo hướng ngược lại với t = 2 Thuật toán tổng quát

(i) giả lập n đường độc lập trên lưới thời gian

(ii) tại t = T, đặt 𝑉̂𝑡𝑗 = 𝑓𝑑(𝑆𝑡𝑗) , 𝑗 = 1, … , 𝑛

(iii) với i = d-1, …, 1

- xét I đường đang lời

- khấu trừ giá trị 𝑉̂𝑖+1,𝑗, 𝑗 ∈ 𝐼 trở thành đầu vào của mô hình hồi quy

- với các ước lượng 𝑉̂𝑖+1,𝑗, chạy hồi quy để tính 𝛽̂𝑗

- ước lượng giá trị liên tục như trong (*)

- nếu 𝑓𝑖(𝑆𝑖𝑗) ≥ 𝐶̂𝑖(𝑆𝑖𝑗), đặt 𝑉̂𝑖𝑗(𝑆𝑖𝑗) = 𝑓𝑖(𝑆𝑖𝑗) ngược lại 𝑉̂𝑖𝑗 = 𝑉̂𝑖+1,𝑗

(iv) tính (𝑉̂11+ ⋯ + 𝑉̂1𝑛)/𝑛 và khấu trừ để có 𝑉̂0

d) Quyền chọn rào chắn

Quyền chọn rào chắn có lợi nhuận là 0 nếu trong khoảng thời gian 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇, sự kiện St

> β xảy ra, với β là rào chắn Với quyền chọn mua kiểu Âu có rào chắn, hàm lợi nhuận cho bởi công thức

𝑋 = max (0, (𝑆𝑇 − 𝐾)𝟏{𝑆𝑡≤𝛽,𝑡∈[0,𝑇]})

Công thức định giá là

𝑃(0) = 𝑒−𝑟𝑇EQ[max(0, (𝑆(𝑇) − 𝐾)𝟏{𝑆𝑡≤𝛽,𝑡∈[0,𝑇]})]

và với t = 0, 𝑆𝑡0,𝑆 0 = 𝑆𝑡 Vì vậy

𝑃0 = 𝑒−𝑟𝑇EQ[max(0, (𝑆𝑇 − 𝐾)𝟏{𝑆𝑡≤𝛽,𝑡∈[0,𝑇]})]

Ta cần giả lập đầy đủ đường đến thời điểm ngay khi St vượt qua rào chắn β Để giả lập St

ta cần tạo một lưới thời gian ti = i∆t, với ti+1 – ti = ∆t = T/N với N đủ lớn Sau đó, ta giả

lập 𝑆𝑡𝑖+1 có điều kiện trên 𝑆𝑡𝑖 như sau:

𝑠𝑖+1 = 𝑠𝑖exp {(𝑟 −1

2𝜎2) ∆𝑡 + 𝜎√∆𝑡𝑍}

với Z ~ N(0,1) và si = S(ti) Thuật toán định giá quyền chọn được mô tả trong hình dưới

Hình 4 Thu ật toán Monte Carlo để định giá quyền chọn rào chắn

Ngu ồn: (Iacus, 2011)

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

2.1 S ố liệu

Để minh họa ứng dụng trên thị trường chứng khoán Việt Nam, chúng tôi sử dụng chuỗi

dữ liệu giá đóng cửa cuối ngày (Closed price) của mã cổ phiếu VIC - Tập đoàn VINGROUP Chuỗi dữ liệu từ 5/3/2020 đến 5/3/2021 gồm 252 quan sát Cấu trúc của dữ liệu như bảng dưới (gồm 6 quan sát):

Hình 5 Giá đóng cửa của cổ phiếu VIC từ 5/3/2020 đến 5/3/2021

Từ chuỗi giá đóng cửa, ta tính được chuỗi lợi suất

Hình 6 Chu ỗi lợi suất của cổ phiếu VIC từ 5/3/2020 đến 5/3/2021

Từ chuỗi lợi suất, ta tính được độ biến động của chuỗi lợi suất là: vic_sigma= 0.3639701 Các câu lệnh của phần mềm R giúp thực hiện tính toán như sau:

Quyền chọn mua 9.385954 Quyền chọn bán 19.72298

Các câu lệnh của phần mềm R giúp thực hiện tính toán bao gồm:

#Lệnh gọi thư viện

library(fOptions)

#Lệnh nhập các giá trị

S0 = 106.3; K = 120; r = 0.0379; T = 3/4

#Lệnh tính giá quyền chọn mua kiểu Âu theo công thức Black-Scholes

GBSOption(TypeFlag = "c", S =S0, X =K, Time = T, r = r, sigma =

vic_sigma, b = r)@price Lưu ý: TypeFlag = "p" để tính giá quyền chọn bán; b=r cho kết quả mô hình Black-Scholes cổ điển, giá trị b được sử dụng cho các mô hình mở rộng (chẳng hạn có chia cổ tức)

Câu lệnh tính trực tiếp từ công thức Black-Scholes:

#Hàm tính quyền chọn mua

call.price <- function(x = 1, t = 0, T = 1, r = 1, sigma = 1, K = 1) {

d2 <- (log(x/K) + (r - 0.5 * sigma^2) * (T - t))/(sigma * sqrt(T - t))

d1 <- d2 + sigma * sqrt(T - t)

x * pnorm(d1) - K * exp(-r * (T - t)) * pnorm(d2)

}

#Hàm tính quyền chọn bán

put.price <- function(x = 1, t = 0, T = 1, r = 1, sigma = 1, K = 1) {

d2 <- (log(x/K) + (r - 0.5 * sigma^2) * (T - t))/(sigma * sqrt(T - t))