HỆ THỐNG KIẾN THỨC MÔN HÌNH HỌC PHẦN TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ OXYZ pdf

3 Tích có hướng hai vecto và áp dụng của nó : a Khái niệm : Tích có hướng hai vecto là một vecto ; mà vuông góc với hai vecto đó... Từ đó khai triển và rút gọn đưa về phương trình dạng t

-Nếu điểm M nằm trong mặt phẳng (oxy) ; thì tọa độ M(x; y;0)

-Nếu điểm M nằm trong mặt phẳng (oyz) ; thì tọa độ M(0; y;z)

-Nếu điểm M nằm trong mặt phẳng (oxz) ; thì tọa độ M(x; 0;z)

b)Tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng ; trong tâm của tam giác ; của tứ diện

*Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB ; với A ( x1; y1; z1)và B ( x2; y2; z2)

; 2

2 1 2 1 2

x M

* Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC ; với A ( x1; y1; z1); B ( x2; y2; z2) ;

; 3

3 2 1 3 2 1 3 2

; 4

4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2

2 1

1

//

b

a b

a b

a b k a

b

Chú ý : Vận dụng hai vecto cùng phương để chứng minh :

-Ba điểm thẳng hàng ( hay không thẳng hàng ; khi hai vecto không cùng phương ) -Hai đường thẳng song song

Ct5 : ( Hai vecto vuông góc )

0

Chú ý : Vận dụng hai vecto vuông góc để chứng minh :

-Tam giác vuông

-Hai đường thẳng vuông góc

Ct6 : ( Hai vecto bằng nhau )

2 2

1 1

b a

b a

b a

b

Chú ý : Vận dụng hai vecto bằng nhau để :

-Tìm tọa độ điểm ; khi biết tứ giác đó là một hình bình hành

Ct7: ( Tính góc của hai vecto)

( )

2 3

2 2

2 1

2 3

2 2

2 1

3 3 2 2 1

b a b a b a b

a

b a b

a

+++

+

++

=

=

3) Tích có hướng hai vecto và áp dụng của nó :

a) Khái niệm : Tích có hướng hai vecto là một vecto ; mà vuông góc với hai vecto đó

ký hiệu là : [ ]a;b

b ) Công thức tọa độ của tích có hướng hai vecto :

*Cho hai vecto: a =(a1;a2;a3) và b = (b1;b2;b3); khi dó ta có các công thức tính như sau :

2 1

2 1 1 3

1 3 3 2

3 2

;

;

;

b b

a a b b

a a b b

a a

c) Áp dụng của tích có hướng hai vecto

-Ad1: ( Tính diện tích của tam giác ABC )

3) Vận dụng chứng minh 4 điểm đồng phẳng ; ta chứng minh 4 điểm đó lập thành một

tứ diện ( Nếu không đồng phẳng thì nó lập thành một tứ giác )

3) Phương trình mặt cầu:

a) Nếu mặt cầu ( S ) có tâm I ( a; b ; c ) và bán kính R thì phương trình mặt cầu là : ( )2 ( )2 ( )2 2

R c

z b

y a

Chú ý : Để lập được phương trình mặt cầu ta phải tìm tọa độ tâm và tính bán kính sau

đó thay vào phương trình ( 1)

Ví dụ : Viết phương trình mặt cầu ( S ) ; trong các trường hợp sau :

1)Khi biết mặt cầu có tâm I và đi qua một điểm M thì bán kính là : R = IM

2)Khi mặt cầu nhận MN làm đường kính thì tọa độ tâm I là trung điểm của MN ;

và bán kính R = MN

21

3) Khi biết mặt cầu có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P ) : Ax + By + Cz + D = 0

; thì bán kính là : R = khoảng cách từ tâm I đển mặt phẳng đó Ta có :

2 2 2

C B A

D Cz By

Ax

++

++

Từ đó ta viết được phương trình mặt cầu ( S )

-Từ phương trình ( 2) ta tìm được tọa độ tâm và tính bán kính

Ví dụ :

1)Viết phương trình mặt cầu ( S ) ; biết mặt cầu đi qua bốn điểm A ( 1; 0; 0 ) ;

B ( 0; 1; 0 ) ; C ( 0;0;1) và O ( 0;0; 0 )

2) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ( S ) :

−+

*Phương pháp chung :Muốn viết phương trình của mặt phẳng ta phải tìm

vecto pháp tuyến n=(A;B;C) và một điểm M(x0;y0;z0) mà mặt phẳng đi qua

Khi đó phương trình mặt phẳng được viết : A(x−x0)+B(y− y0)+C(z−z0)= 0

Từ đó khai triển và rút gọn đưa về phương trình dạng trên

-Cách tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng :

Cách 1: Nếu thấy mặt phẳng đã có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì

Vecto pháp tuyến chính là vecto chứa đoạn thẳng đó

Cách này ở các bài tập :

Bài 1:Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

HDG:

Bước 1: Theo đề bài Vecto pháp tuyến của mặt phẳng là AB

Bước 2: Mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB Khi đó phương trình mặt phẳng thành lập được

-

Bài 2: Viết phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với

đường thẳng AB

HDG:

Bước 1: Theo đề bài Vecto pháp tuyến của mặt phẳng là AB

Bước 2: Mặt phẳng đi qua điểm M Khi đó phương trình mặt phẳng thành lập

t a y y

t a x x

3 0

2 0

1 0

Bước 2: Mặt phẳng đi qua điểm M Khi đó phương trình mặt phẳng thành lập được

-

Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua một điểm M và song song với

=++

z

z y

y x

Kiến thức 3 > Các vị trí tương đối của hai mặt phẳng :

Cho hai mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 và ( Q ) : A’x+ B’ y + C’z + D’= 0 Bước 1 : Viết ra các Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng

Bước 2: (lập luận )

-Để hai mặt phẳng cắt nhau

''

C B

B A

A

≠

≠

⇔

-Để hai mặt phẳng song song

'''

D C

C B

B A

D C

C B

B A

( ) ) ( )

( )

công thức : ( )

2 2 2

0 0

0)

/(

C B A

D Cz

By Ax

P M d

++

++

Tìm các điểm cách đều hai mặt phẳng ( P ) :Ax +By + Cz + D = 0 và

2

'''

')

/(

)

/(

C B A

D z C y B x A C

B A

D Cz By Ax Q

M d P M

d

++

+++

=+

+

+++

B A B

Viết phương trình mặt phẳng song song với một mặt phẳng Ax+By+Cz+D= 0

và tiếp xúc với một mặt cầu ( S ) 2 2 2 2 2 2 0

=+

−

−

−+

x

HDG:

Thực hiện theo các bước :

Bước 1 ) Gọi ( P ) là mặt phẳng cần tìm , theo đề bài mặt phẳng cần

tìm song song với mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 nên phương trình

B A B

Kiến thức 1 > Cách viết phương trình đường thẳng :

Muốn viết phương trình của đường thẳng ta tìm vecto chỉ phương

t a y y

t a x x

3 0

2 0

1 0

Dạng 2 : Phương trình chính tắc

3

0 2

0 1

0

a

z z a

y y a

Kiến thức 2 > Các vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Muốn xét ( hay chứng minh ) các vị trí tương đối của đường thẳng(d) và mặt phẳng ( P )

Ta thực hiện theo các bước sau :

Bước 1: Đường thẳng ( d ) đi qua điểm M và có vecto chỉ phương a =(a1;a2;a3)

c) Từ ( 1 ) và (2) ta kết luận đường thẳng ( d) song song mặt phẳng ( P)

- TH 2 : Để chứng minh Đường thẳng nằm trong mặt phẳng

- TH 3 : Để chứng minh Đường thẳng cắt mặt phẳng

a) Ta tính tích vô hướng của a =(a1;a2;a3) và n=(A;B;C)là :

a.n = Aa1+ Ba2 +C.a3 ≠ 0 ta suy ra hai vecto này không vuông góc

b ) Kết luận đường thẳng ( d ) cắt mặt phẳng ( P )

Chú ý : Để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Khi vecto chỉ phương a =(a1;a2;a3) của đường thẳng và vecto pháp tuyến

+

)4(

)3(

)2(

)1(0

3 0

2 0

1 0

t a z

z

t a y

y

t a x

x

D z C y B x

A

( Giải hệ : bằng phương pháp thế : lấy (2); (3 ) ; (4) thay vào (1) )

-Nếu hệ có một nghiệm duy nhất thì đường thẳng cắt mặt phẳng

- Nếu hệ vô nghiệm thì đường thẳng song song với mặt phẳng

- Nếu hệ có vô số nghiệm thì đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( hoặc mặt phẳng chứa đường thẳng )

Kiến thức 3 > Các vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Muốn xét ( hay chứng minh ) các vị trí tương đối của hai đường thẳng (d) và (d’)

Ta thực hiện theo các bước sau :

: Đường thẳng ( d ) đi qua điểm M và có vecto chỉ phương a = (a1;a2;a3)

Đường thẳng ( d’ ) đi qua điểm N và có vecto chỉ phương b =(b1;b2;b3)

( Đây là bước chung cho các trương hợp ) , Sau đó ta căn cứ vào đề cho mà ta làm

TH1: Để Xét ( hay chứng minh ) Hai đường thẳng cắt nhau

Ta thực hiện theo các bước sau :

Bước 1:Ta tính [ ]a; tích có hướng của hai vecto chỉ phương b a =(a1;a2;a3)

vàb =(b1;b2;b3)

Bước 2: Ta tính tọa đô vecto MN và sau đó tính [ ]a;b.MN =0(1)

Từ ( 1) ta kết luận ( d ) cắt ( d’)

TH2: Để xét ( hay chứng minh ) Hai đường song song

Ta thực hiện theo các bước sau :

Bước 1:Ta tính [ ]a; tích có hướng của hai vecto chỉ phương b a =(a1;a2;a3)

vàb =(b1;b2;b3) ; mà [ ]a; =b 0 ( 1) khi đó hai vesto chỉ phương cùng phương

Bước 2: Ta thay tọa độ điểm M của đường thẳng ( d) vào phương trình của đường

Thẳng (d’) mà không thỏa mãn Thì ta kết luận ( d) song song ( d’)

TH3: Để xét ( hay chứng minh ) Hai đường trùng nhau

Ta thực hiện theo các bước sau :

Bước 1:Ta tính [ ]a; tích có hướng của hai vecto chỉ phương b a =(a1;a2;a3)

vàb =(b1;b2;b3) ; mà [ ]a; =b 0 ( 1) khi đó hai vecto chỉ phương cùng phương

Bước 2: Ta thay tọa độ điểm M của đường thẳng ( d) vào phương trình của đường

Thẳng (d’) mà thỏa mãn Thì ta kết luận ( d) trùng ( d’)

TH4: Để xét ( hay chứng minh ) Hai đường chéo nhau

Ta thực hiện theo các bước sau :

Bước 1:Ta tính [ ]a; tích có hướng của hai vecto chỉ phương b a =(a1;a2;a3)

1)Hai đường thẳng vuông góc ⇔ a ⊥ b ⇔ a =b 0

2)Hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng ⇔ [ ]a;b.MN = 0

3)Tìm giao điểm của hai đường thẳng:

Để tìm giao điểm của hai đường thẳng ta giải hệ phương trình tìm nghiệm ;

nếu:

-Hệ có một nghiệm duy nhất ⇔hai đường thẳng cắt nhau

-Hệ có vô số nghiệm ⇔hai đường thẳng trùng nhau

-Hệ có vô nghiệm và hai vecto chỉ phương cùng phương ⇔hai đường thẳng Song song

-Hệ có vô nghiệm và hai vecto chỉ phương không cùng phương ⇔hai đường thẳng chéo nhau

Các hình vẽ tương ứng : b

7) CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA MỘT ĐIỂM

a) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0)trên các trục tọa độ

-Trên trục hoành Ox là điểm A(x0;0;0)

-Trên trục hoành Oy là điểm B(0;y0;0)

-Trên trục hoành Oz là điểm C(0;0;z0)

b) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0)trên các mặt phẳng tọa độ

-Trên trục mp( Oxy) là điểm A(x0;y0;0)

-Trên trục mp(Oyz) là điểm B(0;y0;z0)

-Trên trục mp(Oz x) là điểm C(x0; z0; 0)

c) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) lên mặt phẳng (P)

Ax + By + C z + D = 0

HDG:

-Gọi H (x; y ;z) là hình chiếu của M(x0;y0;z0) trên mặt phẳng Ax + By + Cz +D = 0

-Gọi (d) là đường thẳng đi qua M(x0;y0;z0) và vuông góc với mặt phẳng (P); nên

vecto chỉ phương của đường thẳng (d) là a=(A;B;C); nên phương trình của (d)

z

Bt y

y

At x

)3(

)2(

)1(

0

0

0

D Cz By

t a y y

t a x x

3 )

2 0

1 0

• Tìm tọa độ của một điểm đối xứng với một điểm M qua mặt phẳng (P)

Ta thực hiện theo các bước sau :

Bước 1: Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng ( P) Bước 2: Gọi N là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng ( P) Ta có H là trung Điểm MN ; tử đó tìm tọa độ điểm N

• Tìm tọa độ của một điểm đối xứng với một điểm M qua đường thẳng (d)

Ta thực hiện theo các bước sau :

Bước 1: Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng (d) Bước 2: Gọi N là điểm đối xứng của M qua đường thẳng (d) Ta có H là trung Điểm MN ; tử đó tìm tọa độ điểm N

9)CÁC CÔNG THỨC VỀ KHOẢNG CÁCH:

Ct 1: Khoảng cách giữa hai điểm : AB= (x B−x A)2 +(y B −y A)2 +(z B−z A)2

Vận dụng Ct1: Để giải các bài tập :

Bài 1 : Chứng minh tam giác cân ; tam giác đều ; tam giác vuông ;

tam giác vuông cân ( bằng cách tính độ dài ba cạnh của tam giác

: nếu có hai cạnh bằng nhau thì tam giác cân; ba cạnh bằng nhau thì tam giác đều; nếu thỏa mãn định lý Pitago thì tam giác vuông )

Bài 2 : Tính chu vi tam giác (Bằng cách tính độ dài ba cạnh của tam giác

Rồi lấy ba cạnh cộng lại )

Ct 2: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

( )

2 2 2

0 0

0

)

/(

C B A

D Cz By Ax

P M d

++

+++

=

Chú ý : Tính khoảng cách từ đường thẳng song song đến mặt phẳng bằng

Khoảng cách từ một điểm M trên đường thẳng đến mặt phẳng

Ct3: Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng : ( ) [ ]

a

MN a d M d

;

Chú ý : khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song bằng khoảng cách

từ một điểm M trên đường thẳngnày đến đường thẳng kia

Ct4 : Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ( ) [ ]

[ ]a b

MN b a d

d d

;

;'

t a y y

t a x x

3 0

2 0

1 0

và mặt phẳng ( P ) :Ax + By + Cz + D = 0

Để viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng ( d ) lên mặt phẳng

( P) ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đường thẳng ( d) đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có vecto chỉ phương (a1;a2;a3)

a = Mặt phẳng ( P ) có vecto pháp tuyến n=(A;B;C)

Bước 2: Xét vị trí tương đối của (d ) và ( P ) Bằng cách tính

C a B a A a n

a) Ta tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng ( P ) Đườn b) Đường thẳng ( d’) đi qua H và song song với ( d) ; đó chính là đường

thẳng cần tìm

-TH2:Nếu a.n=a1.A+a2.B+a3.C≠0; thi ( d ) cắt ( P) Trong trường hợp này ta giải như sau :

a)Tìm tọa độ giao điểm N của ( d ) và ( P) ;

b)Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên ( P )

c) Đường thẳng đi qua hai điểm N và H là đường thẳng cần tìm

i u

6) Tìm tọa độ vecto c; để sao cho : c+2u =3v+r

BÀI 2 > Trong không gian tọa độ Oxyz ; cho điểm M ( 1;2 ;3)

1) Tìm tọa độ các hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục tọa độ và các mặt phẳng tọa độ

2) Tìm tọa độ các điểm đối xứng của điểm M qua các trục tọa độ

3) Tính các khoảng cách từ điểm M đến các trục tọa độ và các mặt phẳng tọa

2) Tính góc giữa hai vecto: AC và BD

3) Tính diện tích của hình bình ABCD

BÀI 4 > Trong không gian tọa độ Oxyz Tìm

1) Tọa độ điểm M thuộc trục Ox; sao cho M cách đều hai điểm A ( 1;2;-3) và

2) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC

3) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẽ từ đỉnh A

4) Tính các góc của tam giác ABC

5) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC và tính các khoảng cách từ G đến các đỉnh A; B ; C của tam giác ABC

BÀI 6 > Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn điểm A( 1;0;0) ; B (0;1;0) ; C (0;0;1) ;

D ( -2;1;-2)

1) Chứng minh rằng bốn điểm A; B ; C ; D là bốn đỉnh của tứ diện

2)Tính các góc tạo bỡi các cạnh đối diện của tứ diện

3) Tính thể tích của tứ diện và độ dài đường cao của tứ diện kẽ từ đỉnh A

BÀI 7 > Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn điểm A( 5;3;-1) ; B (2;3;-4) ;

C (1;2;0) ; D ( 3;1;-2)

1) Chứng minh rằng bốn điểm A; B ; C ;D không đồng phẳng

2) Chúng minh các cạnh đối diện của tứ diện ABCD vuông góc với nhau

3) Chứng minh hình chóp D.ABC là hình chóp đều

4) Tìm tọa độ điểm H là chân đường cao của hình chóp D.ABC

5) Tính thể tích hình chóp D.ABC

II ) CÁC BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU

BÀI 1 > Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

1) Nhận MN làm đường kính ; với M ( 1;2;5) và N (3;0;1)

2) Có tâm I ( 1;2;0) và đi qua điểm A ( 1;0;-3 )

3) Có bán kính bằng 2 ; tiếp xúc mặt phẳng ( Oyz) và có tâm nằm trên trục Ox 4) Có tâm I ( 1;2;3) và tiếp xúc với mạt phẳng ( Oyz )

5) Đi qua ba điểm A ( 0;8;0 ) ; B ( 4;6;2) ; C ( 0;12;4) và có tâm nằm trên mặt phẳng ( Oyz )

BÀI 2 > Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của mỗi mặt cầu sau :

1) 2 2 2 8 2 1 0

=++

−++ y z x y

x

2) 3 2 3 2 3 2 6 3 15 2 0

=

−+

−++

x

III ) CÁC BÀI TẬP VỀ MẶT PHẲNG

BÀI 1 > Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau:

1) Đi qua ba điểm : A ( 1;2;0) ; B ( -2;3;1) ; C (0;0;1)

2) Đi qua hai điểm A (1;-1;2) và B ( 0;1;0) và song song với trục Oz

3) Đi qua điểm A ( 3;2;-1) và song song với mặt phẳng ( P ) : x -5y +z = 0 4) Đi qua hai điểm A ( 0;1;1) và B (-1; 0; 2)và vuông góc với mặt phẳng ( P ):x –y + z+ 1 = 0

5) Đi qua các điểm là hình chiếu vuông góc của điểm M ( 1; 2; 3 )lên các trục tọa