Bài tập toán học cao cấp tập 2 part 8 potx

Phương trình vị phân ® Dạng tổng quát của phương trình vị phân cấp một là Fo, y,y=0 hay y'= fx,y.. Bài toán tìm nghiệm của phương trình vị phân cấp một thoả mãn điều kiện yŒạ = yạ, trong

Chương XI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Phương trình vị phân

® Dạng tổng quát của phương trình vị phân cấp một là

Fo, y,y)=0 hay y'= f(x,y)

Nghiệm tổng quát y = 9(x, C) của phương trình vị phân cấp một phụ thuộc một hằng số tuỳ ý C Bài toán tìm nghiệm của phương trình vị phân cấp một thoả mãn điều kiện yŒạ) = yạ, trong đó xạ, vọ là các giá trị thích hợp cho trước, gọi là bài toán giá trị ban đầu (hay bài toán Cauchy)

© Dang tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai là

y" +p(x)y + qŒ)y = R@x)

Nghiệm tổng quát y = @(x C,, C,) của phương trình ví phân cấp hai phụ thuộc bai hằng số tuỳ ý C¡, C; Bài toán tìm nghiệm của phương trình vi

phan cấp hai thoả mãn điều kiện y(Xo) = yọ V'Œọ) = yụ, trong đồ Xọ, vọ, vị là

các giá trị thích hợp cho trước, gọi là bài toán giá trị ban đầu (bay bài toán Cauchy)

2 Phương trình vì phân cấp một

Một số dạng thường gặp của phương trình vi phân cấp một được cho dưới đây :

© Phương trình biến số phản Íy

y' = p(x).q(y)

Để giải nó, ta viết nó-đưới dạng a = p(x)dx réi lay nguyén ham

140

® Phương trình vi phân thuần nhất

“(2

Cách giải : Đặt y = ux, thế vào phương trình đã cho ta được một phương trình biến số phân ly để tìm u Tìm được u ta sẽ tìm được y

© Phuong trinh vi phân tuyến tính

y + p&)y = q(x) ®)

Cách giải : Đùng phương pháp biến thiên hằng số Trước hết giải phương trình thuần nhất tương ứng y' + p(x)y = 0, đó là một phương trình biến số phân ly Nghiệm tổng quát của nó là y = Cy;(x) Sau đó xem C là hàm số của x, tim ham s6 C(x) sao cho y = C(x)y,(x) la nghiệm của phương trình

y'+p(x)y = q(x)

Nghiệm tổng quát của phương trình (*) bằng nghiệm tổng quát của phương trình

y' + p(x)y =0

cộng với một nghiệm riêng của phương trình (*)

© Phuong trinh Bernoulli

y' + py =q(x)y* (a #0, a # 1) Cách giải : Chia hai vế cho y”, rồi đặt z = y! ` `, ta được một phương

trình vi phân tuyến tính để tìm z Tìm được z ta sẽ tìm được y

© Phương trình vì phân toàn phần

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0

trong đó

P RQ

dy” ox”

Khi đó P(x, y)dx + Q(x, y)dy là ví phân foàn phần của một hà f(x, y) nào

đó Tìm được hàm f(x, y), ta được tích phân tổng quát của phương trình

là f(x, y) = C, C là hằng số tuỳ ý

* Một ứng dụng của phương trình ví phân tuyến tính cấp một - Quỹ đạo trực giao

Cho ho duéng cong @ c6é phuong trinh F(x, y, C) = 0 phụ thuộc tham s6 C Khir C ti hai phuong trinh F(x, y, C) = 0 va + F(x, y, C) - 0 ta được phương trình f(x, y, y) = 0, đó là phương trình vi phân của họ đường cong đã cho Khi do i[ 4] = 0 là phương trình vi phân của quỹ đạo trực giao của họ đường cong đã cho

3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

y" + p(xdy’ + q(xdy = F(x) qd) Nếu y¡(x) và y;(x) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất tương ứng

y" + p@dy' + a@oy = 0 Q)

thì nghiệm tổng quát của nó là

y = Cy (x) + Cyya(x), trong đó C, và C, 1a hai hang số tùy ý

Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (1) bằng một nghiệm riêng bất kỳ của nó cộng với nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (2)

“Từ nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2) là

y= Cyi@) + €yz(Œ),

thì có thể cho C,, C¿ biến thiên theo x và tìm chúng để

y=€ &)y,()+€C¿(X)y;(X)

là nghiệm của phương trình không thuần nhất (1) Muốn vậy C¡(x),C;(x) phải thoả mãn hệ

C¡@Œ)y,@œ)+C¿(X)y;¿(x) =0

C¡@)y,(Œ)+C;(@)y;(x) = £00

Giải hệ trên ta tìm được C¡(x), C;(x), do đó tính được C,(x),C;(x) (Phương pháp biến thiên hằng số)

142

_ Nếu Y¡ là một nghiệm riêng của phương trình

y" + pOOy' + q@y = £0),

Y; là một nghiệm riêng của phương trình

y" + p@dy' + aQ)y = ;œ),

thì Y¡ + Y; là một nghiệm riêng của phương trình

y” + pGủ3y + qŒ)y = Ñ@) + fz(x)

(Nguyên lý chồng nghiệm)

4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số không đổi

p q là các hằng số

® Phương trình thuần nhất tương ứng

y" + py’ + qy =0 (4) Tim nghiém dudéi dang y = e™, trong dé r là một hằng số thoả mãn phương trình đại số bậc hai

gọi là phương trình đặc trưng Có ba trường hợp có thể xảy ra theo bang sau :

Nghiệm của phương trình (5) Nghiệm của phương trình (4)

rụ, T; thực, Tị # T; y=Cie”h +C¿;e* BA

ener

y=e™(C, + Gx)

rị fy =œ + i, œ, B thực y= e*" (CicosBx + C;sinBx)

® Phương trình không thuần nhất (3)

Trong trường hợp tổng quát, dùng phương pháp biến thiên hàng số Trong hai trường hợp sau của vế phải f{x), có thể tìm một nghiệm riêng

Y của nó bằng phương pháp hệ số bất định mà không cần làm một phép tính tích phân nào

ca

Dạng của vế phải fx)

a) e”*Q,(%x), Qui) là đa thực bậc n, nếu œ không là

*P (x), P,(x) 1a da thuc | nghiém cila (5)

bậc n, œ là hằng số b) xe™*Q, (x) nếu œ là nghiệm đơn của (5)

e) x7e™Q, (x) néu o là nghiệm kép của (5)

1,

144

Pu(x)cosBx + P(x)sinBx, |a) Q/x)cosBx + R/&)sinBx, ? = max(m, n), QÁx), Pạ(%) là đa thức bậc m, R¿œ) là những đa thức bậc ? nếu +iB không là

Pa(x) là đa thức bậc n, nghiệm của (5)

8 là hàng số Tỉ b) x[Qx)cosBx + RAx)sinBx], / = max(m, n), nếu iB là nghiem cila (5) -

B ĐỀ BÀI

Giải các phương trình biến số phân ly :

Dx(1+y) 4x +y(1 +x2dy=0; 2) (x? + Dy' = xy;

3) (x? - yxy’ * y +xy =0, 4) (x —y?x)dx + (y - xˆy)dy =0;

5) ydx = (x2 — a2)dy

Giải các bài toán giá trị ban đầu :

1) y'= 2G, yay =2; xtl,

2) y' + cos(x + 2y) = cos(x — 2y), y(Ø) = mi

3) x(y® + Ddx + yx + Đđy =0, y(0) = 1;

2x

4) e”X tgydx— dy =O, y= z

Trong các phương trình vi phân cấp một sau đây, phương trình nào là thuần nhất ?

1) 2x? - y? + yy' =0; 2) yx? +y’dx + ydy =0;

3) (x2 + yy! = xy - xe"; 4) y’ = Inx — Iny;

4 Giải các phương trình vi phân cấp một thuần nhất :

py sty, 2) (y — x)dx + (y + xddy = 0:

syy'= Lesine, yq)==: 6) xy'sin® sysin2—x;

7)xy=y+ Kết,

5 Giải các phương trình vi phân cấp một tuyến tính :

1 Ox? + Dy’ + xy = 22;

2

2) y-—— =xInx (x>0), y(e)= °,

3) y'+ 2xy =x;

5)y )y -l=ytgx ytg [-š |-—<x<-|: 3

6) xy’ + 2xy = cosx, y(t) = 0;

7) y'cos’x + y = tgx ti“ <3} y(0) =0;

8d+ x)y’ —2xy=(l+ xy;

9)y'—2xy= 2xe*, y()=0;

10) xy-+ y'Iny = y (y >03;

1) y+Ly- SE, x x

6 Giải các phương trình cho dưới đây nếu đó là phương trình vị phân

1) 2x + y? + xyy' =0;

2) (3x? — 3y + 1)dx — (3x — l)dy =0;

146

X+Yy x+y

3 4) 3x71 + lny)dx — (»-‡}» =0 >0),

Ty),

5) xsiny + (ycosx)y' = 0;

6) (cosy + ycosx)dx ~ (sinx — xsiny)dy = 0;

Det y)dx + (x — 2y)dy = 0;

8) (y= wy =y:

9) 3xy - 2 + Gy? - xây =0;

10) (3x? + 6xy— 2y?dx + (3x? - 4xy+ 4y dy =0;

11) xlnydx — (x + ylnx)dx=0 (x>0,y>0);

y? —3x?

12) 2 dx+

13) (e* + y + siny)dx + (e” + x + xcosy)dy = 0,

Giải các phương trình vi phân sau bằng cách tìm thừa số tích phân chỉ phụ thuộc x hoặc chỉ phụ thuộc y :

dy =0;

1) ydx - xdy + Inxdx = 0, a = a(x) (x > 0);

2) (x?cosx — y)dx + xdy = 0, a = a(x);

3) ydx ~ (x + "dy = 0, a = ay);

4) yyl-y2dx +(ny1-y? + yay =0,œ=ơớử

Giải các phương trình vi phân cấp một Sau :

1) (x2 + 2xy)dx + xydy =0:

2)x°y' + xy=l, x>0,y(l)=2;

3)€ *~ 2cos2x + 3y?y' =0;

4 x(l +2y);'+x? + y?+ y + eÝy' =0, y(0) =0;

5)xy= xcosk + y, v3) =0;

2 +

6y c2,

x¬I

7?)y( +y') =y:

8) Gy? —4y)y' = xe"

9 Tìm quỹ đạo trực giao của các họ đường cong sau :

]

19 Giải các bài toán giá trị ban đầu sau :

J)y"-y ~ 2y =0, y(0) = 0y (0) = l;

2) y"— 10y + 25y = 0, y(0) =0, y(0) = Ï;

3) y" — 2y' + 10y = 0, "HÌ =0,y [§)==:

4) y" + 3y' =0, yO) = 1, y'(O) = 2:

5) y" + 9y = 0, y(O) = 0, y'(0) = 3:

6) y" — 2y' + 2y = 0, y(0) = L, y(0) = 2,

11 Giải các phương trình hay bài toán giá trị ban đầu sau :

1)y"+y'~ 2y = cosx — 3sinx, y(0) = 1, y(0) = 2;

2) y" — 2y' + 2y =x" 3) y" + y = sinxsin2x;

4)y" +y =sinx: 5) y"-4y'+4y= e**cos?x: 6) y" + 2y' + 2y = 2x ~ sinx; Ty" +y = 4xsinx;

8)y"—2y'+y=l+x+2(3x2~2)c” 9) y" — y = xcos"x:

10) y" + y' = 2y = e*(cosx — 7sinx); Uy" +y' ty =-13sin2x;

12) y" + y = xcosx, y(0) = 0, y'(0) = *

13) y" +y'- 2y =e™, m 1a hằng số dương;

14) y" + m’y = cosx ~ sinx;

15) y"-(m+ by’ +my=x- 1

12 Giải các phương trình vị phân sau bằng phương pháp biến thiên hằng số :

ly" +4y =x; Hy -y ae

3y"+y=—— O<x<—): sin X 2 4)y'+y=tgx (0<x<—) 2

13 Dùng phương pháp chuỗi luỹ thừa để giải phương trình và bài toán giá trị ban đầu sau :

Dy"+y=0;

2) y" — 2xy' + y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1

14 Giải các phương trình vị phân sau :

~2x

Dyy ty= ï 2) (y? + 2y + xy + 2x =O y(1) = 0;

3)y"— 4y + 4y =e*(x - 1); 4)y +5y' + 6y = ae:

+e

S)yy'= xVl+x7 yl+y"; 6) 2(x + yy’) #e%(1 + xy’) = 0;

Dy" +y = sin’x; 8) 3y’y' + tax -e * = 0

G BAI GIAI VA HUONG DAN

1 1) Chia hai vé cha phương trình cho (1 + xy + yy, ta được

xdx + ydy

(+x? ty’?

Vi xdx =.dd +x?), ydy = 5a +y?), nên lấy tích phân hai vế phương trình trên, ta được

_20+x) 2d4y?) _

K là hằng số tùy ý ‘

Dat C = -2K, tích phân tổng quát của phương trình là

1 + I

ltx?” L+y?

2) y =0 là một nghiệm của phương trình Nếu y # 0, phương trình có thể viết là

‘ep eros xox

148

Lấy tích phân hai vế, ta được

Inlyl = 2ind+x?) +InIC1=ladClI+x2) = y = CV I+x”,

€ là hằng số tùy ý Lưu ý rằng nghiệm y = 0 mà ta nhận xét ở trên cũng nằm trong nghiệm tổng quát y= CVI+ x? , nó ứng với C = 0

3) Nếu x z0, y # 0 thì phương trình có thể viết được là

: Cevdy , Cemex 9 WH _g, - di

Lấy tích phân hai vế, ta được

— — =—~ =C,C là hàng số tùy ý

x)

y

In

4) Dé thay rang x = + 1, y = + 1 là nghiệm của phương trình Nếu x z 0,

x #+I, y #0, y # + | thì phương trình có thể viết là

xdx yd

Du * b 1-x l-y =0

Lấy tích phân hai vế, ta được

~ẢInll~x?I~ đinii—y2 I=InFKI,` 2 2

K là hằng số tùy ý Do đó nếu C = -2K, ta được

Inl1-x? 1+ InlI-y?l=C

5)y =0 và x = +a lA nghiém của phương trình Néu x” — a” # 0 và y z 0,

có thể viết phương trình là

dx dy

Y.ấy tích phân hai vế, ta được

a In 2a *—Š|= mlyl— InICI

x+a

2a

>y= ca) „ C]à hằng số tùy ý

xa

2 Nếu y + 3 #0, phương trình viết được là

dy _ xdx y+3 x74) Lay tich phan hai vé, ta duge

inXt3 lingers invent,

C là hằng số tùy ý

Đo đó

y+3=Cvx7 41

Tir diéu kién ban dau y(2) = 2, ta được

5=CV5 =C= v5

Vậy nghiệm của bài toán giá trị ban đầu là

y= 50741 - 3

2) Phương trình được viết là

x = cos(x ~ 2y) — cos(x+2y) = 2sinxsin2y

X

dy

sin2y

> = 2sinxdx

Lay tich phan hai vé, ta được

Staley =~2£osx + C, C là hằng số tùy ý

Từ điều kiện y(0) = T ta được 0 = -2 + C, do dé C = 2 Vay tich phan riêng của bài toán là

Inlay =2~2cosx

3) Phân ly biến số, ta được

xdx y?dy _

"=.n xa 150

Dat X = xỶ, ta có

xả = 2 6X, XÍ +1 = X +,

Đặt Y = yÌ, tạ có,

v ty = Fay y+ T= YP 4

Phuong trinh trén tré thanh

1 dx 1 d¥

2œ ta 2Xˆ+l 3Y +1 Tích phân hai vế, ta được

=arctg X + —arctgY 2 Arotg XÃ + 2 arctg = C => —arctgx” + —arctgy parce 32ret8y +C

Từ điều kiện y(0) = 1, ta được C = S Vay

3arctgx? + 2arctgy” = T 4) Phân ly biến số, ta được `

siny

vie!" (x ~1pdx = =3 Lae” ), nen bằng cách tích phân : g cách tích phân hai hai vế ta đ vế ta được

Leow =Inlsinyl+C > ee ~ 2n lsin yÍ +2C,

C 1a hang số tùy ý Vì y(1) = „ ta được 2C = 1 Vậy tích phân riêng của bài toán là

els 2Inlsiny + 1

1) Phương trình đã cho không là phương trình vi phân thuần nhất

2) Nếu y #0, phương trình có thể viết là

" Very?

yor

y

152

Nó có dạng

2

- (| +1 nếny >0

—<

[3] +1 nếu y <0

y

đó là một phương trình vị phân thuần nhất

3) Phương trình không thể đưa vẻ đạng y'= (2) nên không là phương

x trình vi phân thuần nhất

4) Phương trình y' = Inx - Iny = (2) là phương trình vi phân

y thuần nhất

5) Néu x #0, chia tử và mẫu của vế phải cho x, ta được

' _ a

42)

x

đó là phương trình vi phân thuần nhất

6) Nếu x # 0, chia hai vế của phương trình cho x, ta được

"

đó là phương trình vi phân thuần nhất

4 1) Phương trình có thể viết là

2

nên nó là phương trình vi phân thuần nhất Dat y = ux, ta được

du 2

xuU+u=u+u2=x<==uẺ,

dx

Dé thay rang u = 0 là một nghiệm của phương trình đó, nên y = 0 là một nghiệm của phương trình đã cho Nếu u z 0, ta được

wx

Tích phân hai vế, ta được

~Ở=Inlxl+C=u=-———

Suy ra

x

————- C hà hàng số tuỳ ý

y=

2) Phương trình viết được dưới dạng

Đặt y = ux, ta được

xu! + u= —— > x— =————- > + — = 0

Tích phân hai vế, vì (1 + u) du = da + 2u - l), ta được

Sinlu? +2u-11+ Inlxl= InICl

= xVlIu?+2u—1l =C = ly? +2xy —x? | = C?, C là hằng số tùy ý

3) Đặt y = ux, phương trình trở thành

Lấy tích phân hai vế, ta được :

Finl2u + 1+ Inixt= inl => xVi2u+i = C

= x”|2u + 1I= C? = Ix?+2xy | = C2, C là hằng số tùy ý