Một mở rộng của định lý Simsơn pdf

Một mở rộng của định lý Simsơn Định lý Simsơn được phát biểu như sau: chân các đường vuông góc hạ từ một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp một tam giác xuống 3 cạnh của tam giác đó thuộc

Một mở rộng của định lý Simsơn

Định lý Simsơn được phát biểu như sau: chân các đường vuông góc hạ từ một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp một tam giác xuống 3 cạnh của tam giác đó thuộc một đường thẳng

Đã có một mở rộng khá quen thuộc của định lý này, đó là: các điểm đối xứng của một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp một tam giác qua 3 cạnh của tam giác đó thuộc một đường thẳng

và đường thẳng đó đi qua trực tâm của tam giác

Ký hiệu tam giác đó là ABC, M là 1 điểm trên đường tròn ngoại tiếp là các điểm đối xứng của M qua 3 cạnh BC, CA, AB của tam giác H là trực tâm tam giác Thế thì

thẳng hàng và H thuộc đường thẳng

Có thể thấy rằng sự mở rộng trên bao gồm 2 phần: phần mở rộng trực tiếp, đó là sự thẳng hàng được suy ra ngay từ định lý Simsơn; còn phần thứ hai hoàn toàn khác biệt, đó là đường thẳng đi qua 3 điểm đối xứng thì đi qua trực tâm tam giác

Sự khác biệt đó khiến ta đặt câu hỏi là tại sao lại nghĩ ra điểm trực tâm tam giác ở đó mà

không phải là điểm khác? Trực tâm có quan hệ thế nào với điểm trên đường tròn ngoại tiếp

và hơn nữa là đối với 3 điểm đối xứng thì có gì đặc biệt?

Ta thấy rằng trong sự mở rộng đó đã nói đến các điểm đối xứng của M qua 3 cạnh tam giác, vậy thì tại sao không xét đến các điểm đối xứng của H? Gọi 3 điểm đối xứng tương ứng là

Ta hãy xét đường nối 3 điểm ; trong phạm vi kiến thức của chúng ta thì hãy xét đến đường tròn và đường thẳng Ta thấy rằng đường tròn chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, và dĩ nhiên nó đi qua M

Như vậy thì đường tròn đi qua M và đường thẳng lại đi qua H

Nếu như ta gọi đường tròn đi qua 3 điểm đối xứng của 1 điểm qua 3 cạnh tam giác là đường tròn Simsơn và coi đường thẳng Simsơn là trường hợp suy biến của đường tròn Simsơn thì ta

có thể nói rằng đường tròn Simsơn của điểm H đi qua điểm M và đường tròn Simsơn của điểm M đi qua điểm H

Ta hãy mở rộng kết quả trên theo hướng đối với 2 điểm bất kỳ, tức là đặt ra bài toán: cho tam giác ABC và 2 điểm M, N Tìm điều kiện cần và đủ của M và N để đường tròn Simsơn của điểm M đi qua N và ngược lại

Bởi vì bài toán đặt ra với các vị trí bất kỳ của M, N trên mặt phẳng và vấn đề đang xét liên quan tới điểm thuộc đường tròn nên ở đây ta sử dụng góc định hướng để giải quyết Để đơn giản xin được thay dấu bằng dấu = và bỏ ký hiệu (mod ) sau các biến đổi

Gọi các điểm đối xứng của M, N lần lượt qua BC, CA, AB là và X, Y, Z

là hình chiếu của M trên 3 cạnh đó tương ứng

Chú ý đến tính đối xứng trục của các đường thẳng qua AC và qua AB thì ta có:

= (AC, MC) + (MB, AB) (vì các tứ giác XMYC và XMZB nội tiếp)

=(AC, AB) + (AB, MC) + (MB, AB)

Hãy gọi giao điểm của và là K Ta có:

Như vậy thì 4 đường tròn đồng quy tại K

Trở lại với bài toán chính của chúng ta thì ta thấy điểm N K chính là điểm cần tìm

Chú ý rằng vai trò của điểm M và N là như nhau cho nên điều kiện trên cũng phải bình đẳng đối với 2 điểm, tức là M cũng là điểm chung của các đường tròn

Vậy điều kiện cần sẽ là: M là điểm chung của 4 đường tròn của N và N là điểm chung của 4 đường tròn của M (thực ra chỉ cần 1 trong 2 điểm là điểm chung của 4 đường tròn của điểm

kia) Điều kiện đủ được suy ra bằng cách biến đổi ngược lại, dựa vào 1 số kết quả trung gian (không phụ thuộc vào vị trí của M và N) thu được ở trên

Để ý là phát biểu trên nói rằng M (hay N) là điểm chung của 4 đường tròn chứ không phải là điểm chung duy nhất, tức là có những trường hợp mà các đường tròn trùng nhau, khi đó sẽ có nhiều cặp điểm thỏa mãn yêu cầu đặt ra Trong trường hợp không suy biến thì đối với mỗi điểm M chỉ tồn tại duy nhất 1 điểm N thỏa mãn

Bây giờ ta hãy xét 1 trường hợp đặc biệt của kết quả thu được, đó chính là sự mở rộng được nói đến ban đầu của định lý Simsơn Trong trường hợp này M là trực tâm H của tam giác Khi đó các đường tròn trùng với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do đó với điểm N bất kỳ trên (ABC) thì đường thẳng (do đường tròn suy biến thành) sẽ luôn luôn đi qua điểm M là trực tâm tam giác

Ta thấy rằng ở trên đã xét đến các điểm đối xứng của M, N qua các cạnh của tam giác ABC

và các biến đổi của chúng ta đều liên hệ đến đối xứng trục Một cách tương tự ta sẽ nghĩ đến đối xứng tâm Và sự “tương tự” khiến ta nghĩ đến việc chọn tâm đối xứng là các trung điểm

D, E, F của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC

Gọi các điểm đối xứng của M, N qua D, E, F lần lượt là , và

Ta hãy xét bài toán giống như trên, tức là tìm điều kiện để nếu thì

Một cách tương tự ta sẽ dùng biến đổi góc định hướng, với chú ý là do đối xứng tâm nên

, do đó biểu thức của chúng ra sẽ rất gọn như sau

Lại chú ý thêm rằng các đoạn thẳng song song và bằng nhau; cũng tương tự đối với các đoạn thẳng ; cho nên

Ta thấy kết luận đơn giản hơn bài toán trước nhiều, cho nên ta sẽ cố tìm cho nó 1 chứng minh khác cũng đơn giản như kết luận của nó vậy Hãy chú ý đến các trung điểm, nếu ta vị tự tâm

M tỉ số ½ thì đường tròn sẽ trở thành đường tròn (DEF) tức đường tròn Ơle của tam giác ABC Do đó nếu thì trung điểm của MN sẽ thuộc đường tròn Ơle của tam giác ABC Kết quả này bình đẳng với M và N cho nên cũng có thể kết luận được M cũng thuộc

Ta cũng thử xét 1 trường hợp đặc biệt của kết quả này, khi cho M trùng với H, khi đó đường tròn trùng với đường tròn (ABC) Cuối cùng thu được với N bất kỳ trên (ABC)

Ở bài toán ban đầu đặt ra, kết quả thu được nhờ vào sự đồng quy của 4 đường tròn Vậy ở bài toán này điều đó có xảy ra không?

Gọi K’ là giao điểm của và Khi đó:

= (BC, AC) + (MC, BC) (do các đoạn thẳng song song)

= (MC, AC)

Điều đó có nghĩa là Tương tự

Vậy 4 đường tròn này cũng đồng quy như trên

Đến đây hãy để ý là các điểm cùng nằm trên 1 đường tròn (cũng tương tự cho 2

bộ 4 điểm còn lại) Cho nên trong 4 đường tròn này thì chỉ có thêm 1 đường tròn là mới Kết hợp với kết quả của bài toán trước thì ta có tất cả 5 đường tròn đồng quy:

Bây giờ nhìn lại 1 cách tổng quát, ta thấy từ M có hạ các đường vuông góc, rồi lại có các trung điểm, điều đó khiến ta nghĩ đến đường tròn Ơle Nếu dùng phép vị tự tâm M tỉ số ½ thế thì các đường tròn sẽ trở thành các đường tròn Ơle của các tam giác MBC, MCA, MAB; còn đường tròn trở thành đường tròn Ơle của tam giác ABC

Từ kết luận về tính đồng quy của các đường tròn suy ra là các đường tròn Ơle của các tam giác MBC, MCA, MAB, ABC đồng quy

Do vị trí của M bất kỳ nên ta phát biểu kết quả trên theo 1 cách đối xứng đẹp đẽ hơn: cho tứ giác ABCD Khi đó các đường tròn Ơle của các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB đồng quy

Nếu gọi G là trọng tâm tứ giác thì qua phép đối xứng tâm G thì đường tròn Ơle của tam giác

BCD trở thành đường tròn đi qua trung điểm của AB, AC, AD Tương tự đối với 3 tam giác còn lại thì từ trên sẽ có: các đường tròn đi qua trung điểm các đoạn nối từ 1 đỉnh của tứ giác đến 3 đỉnh còn lại đồng quy

Lại áp dụng ngược kết quả này vào bài toán ban đầu đối với điểm M thay cho điểm D Dùng phép vị tự ngược lại tâm M tỉ số 2 thì sẽ suy ra các đường tròn

đồng quy

Sự tương tự khiến ta nghĩ đến sự đồng quy của các đường tròn

Điều này có thể chứng minh như sau:

Gọi T là giao điểm của (ABC) và Khi đó:

= (YZ, AC) + (MA, AC) + (CA, CB)

Cho tứ giác ABCD Gọi các đường tròn ngoại tiếp các tam giác hình chiếu của 1 điểm đối với tam giác tạo bởi 3 điểm còn lại lần lượt là Gọi các đường tròn Ơle của các tam giác tạo bởi 3 điểm lần lượt là Khi đó các đường tròn

đồng quy

Kết quả trên có 1 trường hợp đặc biệt Đó là khi tứ giác ABCD nội tiếp thì các đường tròn Ơle của các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB đồng quy tại 1 điểm E, điểm này được gọi là điểm Ơle của tứ giác ABCD Với kết quả mở rộng này chúng ta có thể gọi điểm đồng quy là điểm Ơle đối với tứ giác bất kỳ, không nhất thiết phải nội tiếp

Cuối cùng xin nêu một nhận xét: sự đồng quy của 8 đường tròn nói trên thu được là nhờ phép

vị tự tâm M tỉ số ½, và do N là điểm đồng quy của 4 trong số 8 đường tròn đó khi chưa vị tự nên qua phép vị tự đó, N trở thành trung điểm của MN và cũng chính là điểm đồng quy của 8 đường tròn nói trên Sự bình đẳng của M và N cho kết quả tương tự, tức là 8 đường tròn tương ứng với điểm N cũng đi qua trung điểm của MN Tóm lại trung điểm của MN là điểm đồng quy của tất cả 16 đường tròn, trong đó có đường tròn Ơle của tam giác ABC được lặp lại 2 lần nên chỉ còn 15 đường tròn Chi tiết thì các đường tròn đó bao gồm: các đường tròn Ơle của các tam giác MAB, MBC, MCA, NAB, NBC, NCA, ABC (7 đường tròn); các đường tròn ngoại tiếp các tam giác hình chiếu của A trên các cạnh tam giác MBC, NBC; của B trên các cạnh tam giác MCA, NCA; của C trên các cạnh tam giác MAB, NAB và của M, N trên các cạnh tam giác ABC (8 đường tròn)

1)Cho tam giác với đường tròn nội tiếp , đường cao là trung điểm của ,

là trung điểm cắt ở Chứng minh rằng và tiếp xúc nhau

2) Cho tam giác nội tiếp đường tròn và điểm thay đổi trên nhưng không trùng với các đỉnh Ký hiệu là đường thẳng Simpson của đối với cac tam giác

1 Chứng minh rằng đồng quy tại một điểm

2 Tìm quỹ tích khi thay đổi trên nhưng không trùng với các đỉnh

3) Cho nhọn Lấy trên đoạn các điểm mà và

Lấy trên đoạn các điểm mà và Lấy trên đoạn các điểm mà và Gọi:

lần lượt là đường tròn ngoại tiếp Chúng giao nhau tại điểm thứ hai

lần lượt là đường tròn ngoại tiếp Chúng giao nhau tại điểm thứ hai

lần lượt là đường tròn ngoại tiếp Chúng giao nhau tại điểm thứ hai

Chứng minh rằng: đường tròn ngoại tiếp luôn đi qua một điểm cố định

4) Cho là một tam giác nhọn , là các đường cao, là trực tâm lần lượt là các phân giác trong và ngoài của góc Gọi lần lượt là trung điểm các đoạn

Chứng minh rằng

(a) vuông góc với

(b) Nếu cắt đoạn thằng tại các điểm thì :

5) Cho điểm phân biệt nằm trên 1 đường thẳng theo thứ tự là 1 đường tròn qua

và nhưng không nhận là đường kính Gọi là giao điểm 2 tiếp tuyến của tại

và Đường tròn cắt tại

CMR: Giao điểm của đường phân giác và đường thẳng không phụ thuộc vào cách chọn

6) cân tại là tâm nội tiếp tam giác

là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác và nằm trong tam giác Đường thằng qua song song với và lần lượt cắt tại và

Đường thằng qua song song với lần lượt cắt và tại và

CMR: giao điểm của và nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác

7) Quadrilateral is inscribed in a circle with center point is given inside

Let be the circumcenters of triangles ,

respectively Prove, that midpoints of segments are collinear

8) Cho tam giác với trọng tâm Lấy sao cho

đồng quy tại một điểm Gọi lần lượt là trung điểm và theo thứ tự là trung điểm

1 Chứng minh rằng đồng quy tại một điểm mà thẳng hàng

2 Chỉ rõ vị trí hình học của khi

(i) là chân ba đường cao của

(ii) là chân ba đường phân giác trong của

9)

10) Bốn đường tròn sắp đặt trong mặt phẳng sao cho

Chứng minh rằng các điểm A',B',C',D' đồng viên (hoặc thẳng hàng) khi và chỉ khi các điểm đồng viên (hoặc thẳng hàng)

11) Cho tam giac ABC nội tiếp (O).Gọi (E) là đường tròn Euler tam giác ABC.MM' là đường kính của (O).Các đường đối cực của M,M; với (E) cắt nhau ở S.Chứng tỏ S nằm

trên đường thẳng vuông góc với OH(H là trực tâm ABC)

12)cho tam giác ABC có Đường tròn nội tiếp tam giác có tâm và tiếp xúc với các cạnh lần lượt tại và Các đường thẳng lần lượt cắt đường thẳng tại và CMR:

13) Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), D là một điểm bất kì trên BC của tam giác Các đường tròn cùng tiếp xúc với (O), cùng tiếp xúc với đoạn DA và thoe thứ tự tiếp xúc với các đoạn DB, DC Chứng minh đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

14) Trong mặt phẳng P cho 1 tam giác đều ABC Gọi A',B',C' theo thứ tự là các hình chiếu trên các đường thẳng BC,CA,AB của 1 điểm M bất kì trên mặt phẳng và G là trọng tâm của Chứng minh rằng ánh xạ từ là 1 phép biến hình

của mặt phẳng 15) Cho nội tiếp trong đường tròn Với mỗi , ký hiệu

để chỉ đường thẳng Simpson của điểm đối với tam giác Xét đường kính thay đổi của Tìm quỹ tích giao điểm của và

16) Cho tam giác ABC Các đường cao AH, BK Các đường phân giác AE, BF Gọi O, I lần lượt là tâm đường tròn nội tiêp ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng H,I,K thẳng hàng khi và chỉ khi E,O,F thẳng hàng

PHEP NGHICH DAO(17,18,19)

18) Cho đường tròn tâm Dựng hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau tại và tiếp xúc trong Tiếp tiếp chung ngoài của và cắt ở và Tiếp tuyến chung trong của chúng cắt tại ; và cùng phía đối với Chứng minh là tâm nội tiếp

19)Cho và tiếp xúc trong với nhau tại

Trên đường tròn ta lấy một điểm bất kỳ và kẻ từ tới các tiếp tuyến.Gọi là giao điểm của các tiếp tuyến với

Tìm quỹ tích tâm nội tiếp tam giác

20) Cho hai đường tròn không bằng nhau và tiếp xúc nhau tại Các điểm tương ứng chạy trên sao cho Đường tròn nằm trong tam giác ,tiếp xúc ngoài với 2 đường tròn và tiếp xúc với tại CMR:

chạy trên 1 đường tròn cố định

21) Cho điểm ở trong tứ giác lồi Gọi theo thứ tự là hình chiếu của trên các đường thẳng Xác định các tứ giác sao cho

theo thú tự là hình chiếu của trên các đường thẳng

với

1 Chứng minh rằng các tứ giác đồng dạng

2 Trong tứ giác đầu tiên, những tứ giác nào dồngdangj với tứ giác

(Chú ý ~ có một phép đồng dạng biến tứ giác này thành tứ giác kia.) 22) Đường tròn nội tiếp của tam giác tiếp xúc với tại theo thứ tự

đó Gọi tương ứng là trung điểm của các cạnh và theo thứ

tự đối xứng với qua đường phân giác (trong) của các góc Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy tại một điểm trên đường tròn 23) Cho tam giác nội tiếp đường tròn Gọi là tâm đường tròn Ơ-le, lấy điểm thỏa mãn Giả sử rằng trung trực cắt tại , các

điểm được xác định tương tự Chứng minh rằng cùng nằm trên một đường

thẳng vuông góc với

24) Cho tam giác đều nội tiếp trong đường tròn Một đường kính thay đổi của cắt các đường thẳng tại theo thứ tự đó Cmr đường thẳng Ơle của các tam giác giới hạn nên một tam giác đều

25) Cho đường tròn Chứng minh rằng tứ giác là điều hòa khi và chỉ khi tồn tại bốn hình tròn thỏa mãn:

29) Cho tứ giác nội tiếp đường tròn và là điểm bất kỳ trong mặt phẳng Gọi

theo thứ tự là tâm các đường tròn CMR trung điểm của thẳng hàng

30) Cho tam giác và các đừong tròn sao cho

tiếp xúc với ;

tiếp xúc với và tiếp xúc với ;

tiếp xúc với và tiếp xúc với ;

tiếp xúc với và tiếp xúc với

Chứng minh rằng

31) Trong mặt phẳng cho hai tam giác Lấy các điểm sao cho

Gọi Chứng minh rằng đồng quy

32) Cho tứ giác lồi Lấy đối xứng với qua đường thẳng , đối xứng với qua đường thẳng và đối xứng với qua đường thẳng Biết rằng Cmr tứ giác nội tiếp

33) Cho tam giác nhọn, trực tâm ngoại tiếp đường tròn có Gọi

theo thứ tự là trung điểm , Gọi

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Cmr thẳng hàng

34) Trong mặt phẳng, qua điểm O cho trước, kẻ 2005 đường thẳng phân biệt bất kì

Trên mỗi đường thẳng lấy một điểm khác O Chứng minh rằng có thể chọn các điểm sao cho

35) 1/Xác định đường thẳng chia đôi chu vi và diện tích tứ giác?