4 dap an toan bang a db ôn tập toán lớp 10

Chứng minh x là số chính phương... a Cho tam giác ABC với đường tròn bàng tiếp góc A có tâm J.. Giả sử các đường thẳng AB và A1B1 vuông góc với nhau tại D.. b Cho tam giác ABC sa

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS

NĂM HỌC 2021 – 2022

Môn thi: TOÁN - BẢNG A

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Hướng dẫn chấm thi gồm 05 trang

Câu 1 (3,0 điểm).

a) Tìm tất cả các số nguyên dương m, n để  2

2 2

m 3n



 là bình phương của một số tự nhiên

b) Cho các số nguyên dương ,x y thỏa mãn 2022x2 x y2

xy

 

là số nguyên Chứng minh x là số

chính phương

(3,0

)

a

1,

5

Ta có  2  2 2  2 2  2 2

 2

2 2

3

m n



- TH1: m3n2 m2n2  8n26mn 0 vô nghiệm 0,25

- TH2:m3n2 4m2n2  3m2 6mn 5n2 0

3 2 6 3

m n



- TH3:m3n2 9m2n2  8m2 6mn 0 4m3n 0,25

Đáp số m3 ;a n4 ,a với alà số nguyên dương 0,25

b

1,

5

Gọi d ( , )x y x md

y nd







 , với ,m n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau 0,5

Theo giả thiết ta có 2022m d2 2 md n d mnd 2 2 2

md d m d

Ta cũng có 2022m d2 2 md n d mnd 2 2 2  2022m d m n d mnd2   2 

2

n d m d m

    (vì  2 

n m  ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra m d  x m 2là số chính phương

0,5

Câu 2 (7,0 điểm).

a) Giải phương trình 2 2

5x 4x  x  3x 18 5 x.  b) Giải hệ phương trình    

3 3

1 2 3 8

2 1 6

y x

   





  



ĐK : x 6

5x 4x  x  3x 18 5 x   5x24x 5 x x2 3x18

Bình phương hai vế ta có:

1,0

ĐỀ DỰ BỊ

 

5x 4x25x x  3x18 10 x x  3x18

   

2

4x 18x 18 10 x x 6 x 3

       2x2 9x 9 5 x2 6x x  3

2 x 6x 3 x 3 5 x 6x x 3

Đặt x2 6x a a  0 , x 3 b b 0

Ta có 2a2 + 3b2 -5ab = 0 suy ra (a - b)(2a – 3b) = 0



2 3

a b

a b











1,0

7 61

(TM) 2

7 61

(KTM) 2

x

x







        

 







1,0

Vậy phương trình có nghiệm là: 7 61, 9

2

b

3,

5

Hệ pt đã cho tương đương  

3

3

8

2 3

1 6 2 1

y x y

x



 









  































0 2

3 1

0 2 3

3

x y

x y

y y

Vậy hệ có các nghiệm (x; y) là (-3; -1), (0; 2)

1,5

1

2





x











) 2 ( 3

2

) 1 ( 3

2

3 3

y t t y

Trừ vế theo vế (1) cho (2) ta có t y t2 y2 yt 3 0  ty 1,0 Câu 3 (1,0 điểm).

Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn 2 4 2 9 2 6 4







3 3

a

(1,0

)

Xem đẳng thức điều kiện như phương trình bậc hai đối với ẩn a ta có:

4 9 4 9

3  2 2  2  2 



a

4 9 4 4 3

2

bc  

 

0,25

4 9 4 4 3

4

bc   

4

3 2 2 12 4

12 8 4 9

8 12 3

2

2 2

c bc

c b

3

1 , 2

1 ,

Câu 4 (8,0 điểm) a) Cho tam giác ABC với đường tròn bàng tiếp góc A có tâm J Đường tròn này tiếp

xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tạ các điểm A1, B1, C1 Giả sử các đường thẳng AB và A1B1 vuông góc với nhau tại D Gọi E là chân đường cao hạ từ C1 xuống DJ Tính các góc BEA1 và AEB1

b) Cho tam giác ABC sao cho tồn tại điểm F nằm ở bên trong tam giác thoả mãn

 FB BFC CFA  

A   Các đường thẳng BF và CF cắt các đường thẳng AC và AB lần lượt tại các điểm D và E Chứng minh AB AC   4 DE

(8,0

)

a

4,

0

E K

M

J

A

P

N

D

C

B

2,0

Gọi K là giao điểm của JC và MN Vì JCMN, ABMN

Nên JK song song và bằng PD Do tam giác CNJ vuông tại N nên

JC

PJ PJ

PD PD

JC JC JK NJ

DPJ



 đồng dạng với PJC

1,0

Do PDJ  JPC nên DJ  CP Từ đó suy ra ba điểm P, E, C thẳng hàng

Do CMJ  CNJ  CEJ  90 0 nên các điểm M, N, E nằm trên đường tròn

đường kính JC Khi đó DBM  MCJ DEM hay BEMD là tứ giác nội tiếp

0 90





Tứ giác ADEN cũng nội tiếp vì ENA EJC  EDP.Suy ra AEN 90 0

1,0

b

4,

0

D E

F A

P Q

0,5

0

120

0,5

Dựng ra phía ngoài hai tam giác đều ABQ, và ACP thì các điểm F, D, P thẳng hàng

và các điểm F, E, Q thẳng hàng

Ta có S CFA S AFDS CFD CF.AF  CF.DF  AF.DF

AF CF

F





1,0

Áp dụng định lí Ptoleme cho tứ giác nội tiếp ta được

A CF

A CF DF

PF

4 4

F

F 2









E

QF







ED



1,0

 ABACAQAPPQ 4ED.

Câu 5 (1,0 điểm) Viết các số 1,2,3,4,5 lên bảng Một học sinh tiến hành xoá đi hai số a, b và thay vào

đó hai số a + b và ab Nếu động tác này được lặp đi lặp lại nhiều lần thì các số 6, 27, 2020, 2021, 2022 có xuất hiện trên bảng cùng một lúc không ?

(1,0

)

Nếu a và b là các bội của 3 thì a.b, a + b cũng là các bội của 3 0,25

Do đó số bội của 3 chỉ tăng lên sau mỗi lần xoá khi học sinh đó xoá các số dạng 3k +

1 và 3q + 2 Khi đó sẽ tạo thành hai số mới dạng 3m và 3n + 2 0,25 Trong năm số ban đầu chỉ có một số là bội của 3

Trong năm số sau có 4 số là bội của 3 nên nếu 5 số này cùng xuất hiện trên bảng thì

số còn lại là 2008 phải có dạng 3n + 2 và đây là điều vô lí Vậy 5 số đã cho không

cùng xuất hiện trên bảng

0,5

20,0

Lưu ý: Nếu học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng cho câu đó.