2 dap an toan bang b ct ôn tập toán lớp 10

Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC nội tiếp đường tròn O.. Đường tròn I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, AB lần lượt tại D, E.. Đường thẳng AD cắt đường tròn I tại điểm thứ

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS

NĂM HỌC 2021 – 2022

Môn thi: TOÁN - BẢNG B

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Hướng dẫn chấm thi gồm 03 trang

Câu 1 (3,0 điểm).

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n1 n3 n6 n825 là số chính phương

b) Tìm các số nguyên ,x y thỏa mãn xy5x y

b

1,

5

n n n n   n  n n  n  0,5

n2 9n2 26n2 9n 169 n2 9n 132

b

1,

5









Câu 2 (7,0 điểm).

a) Giải phương trình 2 2

x  x  x  x  b) Giải hệ phương trình

2

1 4





 



(7,

0)

a

3,

5

3

t

t









1,5

2

x

x







2

b

3,

2





 



1,5

Đề chính thức

1

x y





 

 TH1: x2y thế vào (2) ta có 2 1

2

TH2: x y 1 thế vào (2) ta có



1,0

Câu 3 (1,0 điểm).

Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn 2 2 2

a b c  abc Tìm giá trị lớn nhất của biểu

P

(1,

0)

a b c  a  b c   a  bc

 2 

2 a bc 4a bc

a

b

   

c

0,5

1 1 1 1 4

P

a b c



P

0,25

Câu 4 (8,0 điểm).

Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, AB lần lượt tại D, E Đường thẳng AD cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai là M; BM cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai là Q; BI cắt DE tại P

a) Chứng minh AE2 AM AD

b) Chứng minh tứ giác IPQM nội tiếp.

c) Chứng minh BME DMP

(8,

0) 3, a

0

Xét tam giác AME và tam giác AED có A góc chung 0,5

2

1,0

M

D

A

b

3,

0

Vì BE; BD là các tiếp tuyến của đường tròn (I), E, D là tiếp điểm nên

theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có tam giác IEB vuông tại

E, có đường cao EP suy ra BP.BI = BE2 (1)

1,0

Vì BQM là cát tuyến của đường tròn (I) nên BE2 = BQ.BM (2) 1,0

Từ (1) và (2) suy ra BP.BI = BQ.BM nên tứ giác IPQM nội tiếp 1,0

c

2,

0

Theo câu (a) tứ giác IPQM nội tiếp suy ra IPM IQM (hai góc nội

Tam giác IMQ cân tại I suy ra IQM IMQ (4) 0,5

Kẻ tia tiếp tuyến Mx của đường tròn (I) (như hình vẽ)

Từ (3) và (4)  MEQ QMx 900QMI 900IPM MPD (5) 0,5

EQM EDM (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung) (6)

Câu 5 (1,0 điểm)

Trong một hoạt động ngoại khóa có 20 giáo viên và 80 học sinh đến từ nhiều nơi tham gia Biết rằng mỗi giáo viên quen với ít nhất 65 người và mỗi học sinh quen với tối đa

12 người (Quan hệ quen được xem là có tính 2 chiều: Người A quen người B thì người B cũng quen người A) Ban tổ chức xếp họ thành 41 nhóm Hỏi ban tổ chức có thể xếp sao cho nhóm nào cũng có 2 người quen nhau không? Vì sao?

(1,0

)

Câu trả lời là không Giả sử Ban tổ chức sắp được

Vì mỗi giáo viên quen với ít nhất 65 19 46  học sinh nên số cặp Giáo

viên - Học sinh quen nhau ít nhất là 20.46 920 (cặp) (1) 0,25

Vì có 20 giáo viên và có 41 nhóm nên có ít nhất 21 nhóm chỉ chứa toàn

học sinh

Vì mỗi nhóm đều có 2 người quen nhau nên trong 21 nhóm này có

21.2 42 học sinh chỉ quen với tối đa 11 giáo viên

0,5

Từ đó suy ra số cặp Giáo viên – Học sinh quen nhau tối đa là:

42.11 80 42 12 918  cặp (2)

Từ (1) và (2) suy ra vô lí

Vậy Ban tổ chức không sắp xếp được

0,25

20.00

Lưu ý: Nếu học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng cho câu đó.