37 đề thi học sinh giỏi toán 10 trường chuyên 2023 file word

Tổng hợp 37 đề thi học sinh giỏi môn toán 10 năm 2023, bộ đề 37 đề thi học sinh giỏi môn toán 10 năm 2023, đề thi học sinh giỏi môn toán 10, học sinh giỏi toán 10, Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn toán 10 năm 2023, bộ đề thi học sinh giỏi toán, đề thi hsg toán 10 37 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ THI CHỌN HSG GIỎI LẦN THỨ XIV KHU VỰC DUYÊN HẢI, ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ MÔN THI: TỐN – KHỐI 10 TRƯỜNG

37 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN

VÙNG DH&ĐB BẮC BỘ

(Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ XIV, NĂM 2023

ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC - LỚP 10 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 15 tháng 7 năm 2023

Câu 1 (4,0 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n , tồn tại nhiều nhất một đa thức

 

P x có bậc n, hệ số thực và thỏa mãn P x P x   1P x 2ax b ;

với a b, là các số thực cho trước

Câu 2 (4,0 điểm) Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn a2b2c2 3. Chứng

minh rằng

1

2 2 2 

Câu 3 (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( )O có AD là đường phân giác

trong (D thuộc BC) Gọi E F, lần lượt là điểm chính giữa cung CA chứa B, cung AB chứa C

của đường tròn ( )O Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE cắt AB tại M. Đường tròn ngoại tiếp

tam giác CDF cắt AC tại N

a) Chứng minh rằng bốn điểm B M N C, , , cùng nằm trên một đường tròn.

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Gọi AP AQ, lần lượt là đường kính của

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN ACM, Chứng minh rằng các đường thẳng BQ CP AI, , đồng

quy

Câu 4 (4,0 điểm) Cho số nguyên dương n Chứng minh rằng nếu tồn tại các số nguyên

dương , ,a b c sao cho 2027n  ( a bc b ac  )(  ) thì n là số chẵn.

Câu 5 (4,0 điểm) Một số nguyên dương m được gọi là “tốt” nếu tồn tại các số nguyên dương

, , ,

a b c d sao cho m a b c d m     49 và ad bc .

a) Chứng minh rằng số nguyên dương m là “tốt” khi và chỉ khi tồn tại hai số nguyên dương

,

x y sao cho xy m và x1 y1  m 49

b) Tìm số “tốt” lớn nhất

………HẾT………

ĐỀ CHÍNH THỨC

Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh:………

Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN

VÙNG DH&ĐB BẮC BỘ

(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ XIV, NĂM 2023 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN HỌC - LỚP 10

Câu 1 (4,0 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n , tồn tại nhiều nhất

một đa thức P x có bậc ,n hệ số thực và thỏa mãn   P x P x   1P x 2ax b   1 ;

với ,

a b là các số thực cho trước.

(Dựa theo: THPT Chuyên Cao Bằng)

Điểm

Giả sử đa thức P x bậc n và thỏa mãn    1 , khi đó P x là đa thức monic.  0,5

Giả sử tồn tại đa thức Q x có hệ số thực,   Q x  P x , degQ x  n và thỏa mãn  1

Khi đó đa thức R x  P x  Q x có   degR x   n 1. 1,0

Do P x  Q x R x thỏa mãn    1 nên

2

1,5

Vế phải  2 là đa thức bậc 2deg R x , vế trái    2 là đa thức bậc degQ x degR x 

, do đó 2degR x   n degR x   ndegR x , mâu thuẫn Điều phải chứng minh.  1,0

Câu 2 (4,0 điểm) Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn a2b2c2 3. Chứng minh rằng

1

2 2 2

(Nguồn: THPT Chuyên Thái Bình)

Điểm

HƯỚNG DẪN CHẤM

Biến đổi BĐT cần chứng minh trở thành

2

Giả sử b nằm giữa hai số a c, Khi đó (b a b c )(  ) 0  b2ac b a c (  ). 1,0

Do đó

ab bc ca a b ac bc ab a c bc b a c abc 0,5

Để chứng minh ab2bc2ca2abc2 ta chỉ cần chứng minh b a( 2c2) 2.

Ta có 2 b a( 2c2) 2  b(3 b2) ( b 1) (2 b2) 0. Do đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh

là đúng.

Dấu bằng xảy ra khi a b c  1 hoặc a0,b1,c 2 và các hoán vị.

1,0

Câu 3 (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( )O có AD là đường phân giác trong (D

thuộc BC) Gọi E F, lần lượt là điểm chính giữa cung CA chứa B, cung AB chứa C của đường tròn

( )O Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE cắt AB tại M. Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDF cắt AC

tại N

a) Chứng minh rằng bốn điểm B M N C, , , cùng nằm trên một đường tròn.

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Gọi AP AQ, lần lượt là đường kính của đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABN ACM, Chứng minh rằng các đường thẳng BQ CP AI, , đồng quy.

(Nguồn: THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành – Yên Bái)

Điểm

Xét hình vẽ sau: (các trường hợp hình vẽ khác chứng minh tương tự)

a) Ta có EA EC DCE MAE DEC ,  , BDE DCE BME BAE MEA      

 EDCEMA g c g 

suy ra CD AM Chứng minh tương tự ta có BD AN 0,5

Vì AD là phân giác của góc A nên     .  .

AM AB AN AC

suy ra tứ giác BMNC nội tiếp một đường tròn.

0,5

b) Trước hết ta chứng minh AI vuông góc với BC Thật vậy,

2

   AIM      

nên AI vuông góc BC.

0,5

Vì AP AQ, lần lượt là đường kính của các đường tròn ABN , ACM

nênABPACQ90  Gọi A là giao điểm của BP và CQ thì AA là đường kính của ( )O .

Mặt khác AMQANP90 nên NP CA//  và MQ A B//  Gọi K là giao điểm của MQ và NP

thì tứ giác AMKN nội tiếp đường tròn đường kính AK nên A I K, , thẳng hàng.

1,0

Ta có









PQ KPC PCQ (1) và









BP

Lại có BMC BNC  CMQ BNP   CAQ BAP   BAP∽CAQ g g .

Suy ra





sin

sin

Từ (1), (2) và (3) suy ra













AKM KPC PQB  , do vậy AK CP BQ, , đồng quy.

1,0

Câu 4 (4 ,0 điểm) Cho số nguyên dương n Chứng minh rằng nếu tồn tại các số

nguyên dương , ,a b c sao cho 2027 ( n  a bc b ac thì n là số chẵn. )(  )

(Nguồn: THPT Chuyên Quốc Học – Thừa Thiên Huế)

Điểm

Từ giả thiết suy ra tồn tại ,p q nguyên dương thỏa mãn

2027 2027







p q

a bc

b ac (1) Không

mất tổng quát, giả sử a b Từ (1) suy ra

( )( 1) 2027 2027 ( )( 1) 2027 2027







a b bc ac a b c

1,0

Vì a b nên  q p , do đó

( )( 1) 2027 (2027 1)

(2)

( )( 1) 2027 (2027 1)







 



a b c

1,0

Nếu 2027 |c1 thì 2027 |c 1, do đó (3) 2027 |p a b  a bc a b (*) Mặt | 

2

1,0

Nếu 2027 |c1 thì 2027 | 

p

a b , do đó a bc a b (**) Vì    |  a bc a b nên (**)

suy ra c1 Khi đó (a bc b ac )(  ) ( a b )2 2027n n 2

Vậy trong mọi trường hợp ta luôn có n 2

1,0

Câu 5 (4,0 điểm) Một số nguyên dương m được gọi là “tốt” nếu tồn tại các số nguyên

dương , , ,a b c d sao cho m a b c d m     49 và ad bc

a) Chứng minh rằng số nguyên dương m là “tốt” khi và chỉ khi tồn tại hai số nguyên

dương ,x y sao cho  xy m và x1 y1  m 49

b) Tìm số “tốt” lớn nhất

(Nguồn : THPT Chuyên Vĩnh Phúc)

Điểm

a) Chiều thuận: Giả sử m là tốt, khi đó tồn tại các số nguyên dương , , , a b c d sao cho

49

m a b c d m và ad bc

Từ ad bc , suy ra  

b d Khi đó biểu diễn được a uv b rv c us d rs , với ;  ;  ;  , , ,

u v r s là các số nguyên dương.

0,5

Từ  a b u r , suy ra  r u 1 Từ   a c v s , suy ra s v 1 0,5

Khi đó uv a m và   u1 v1 rs d m  49. Như vậy đã tồn tại cặp

x y,   u v thoả mãn., 

0,5

Chiều đảo: Giả sử tồn tại hai số nguyên dương x, y sao cho xy m và

x1 y1  m 49. Không mất tính tổng quát, giả sử xy Suy ra .

1,0

Đặt a xy b x y ;  ( 1);c y x  1 ; d x1 y1 thì

49

m a b c d m và ad bc Vậy m là tốt.

0,5

b) Tìm số “tốt” lớn nhất: Giả sử m là số “tốt”, khi đó tồn x, y nguyên dương sao cho



xy m và x1 y1  m 49 (*) Khi đó ta có m49x1 y1  xy 1 2  m12 m576

Dấu bằng xảy

ra khi x y 24. Vậy số “tốt” lớn nhất bằng 576

1,0

HẾT

-TRƯỜNG THPT CHUYÊN

HÀ NỘI AMSTERDAM

(Đề thi gồm:01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI & ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

Năm 2023 MÔN: TOÁN - LỚP 10

Thời gian làm bài : 180 phút

Bài 1 Giải hệ phương trình:

3 11 3







Bài 2 Cho các số thực dương , , a b c thỏa mãn ab3,bc 2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

       

Bài 3 Cho đoạn thẳng BC cố định, trung điểm M Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC lấy điểm

A thay đổi sao cho tam giác ABC cân tại A Gọi A đối xứng A qua BC P là điểm thuộc

miền trong của góc A MB sao cho BPC APA  ' 180 0 và đường tròn ngoại tiếp các tam giác

BPC , A PA tiếp xúc với nhau Chứng minh P luôn nằm trên một đường thẳng cố định

Bài 4 Tìm tất cả các cặp số nguyên tố  p q;  thỏa mãn pq chia hết 7p 7 q



Bài 5 Cho một dãy 2023 số a a1, , , 2  a2023 có các số hạng đôi một khác nhau Lấy ra khỏi dãy 4 số hạng bất kỳ rồi lại xếp chúng vào 4 vị trí đó nhưng theo thứ tự ngược lại

Ví dụ, lấy ra , , , , , , , ,  a b c  d  rồi xếp lại vào các vị trí tương ứng , , , , , , , ,d c b a

Với dãy nhận được lại tiếp tục làm như vậy… Hỏi sau hữu hạn bước thực hiện thuật toán trên,

ta có thể nhận lại được dãy a2023, a2022, ,  a1 không?

- HẾT -

ĐỀ ĐỀ XUẤT

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

HÀ NỘI AMSTERDAM

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THI KHU VỰC DUYÊN HẢI & ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

MÔN: TOÁN - LỚP 10

Thời gian làm bài : 180 phút

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ĐỀ XUẤT KHỐI 10

Bài 1 Giải hệ phương trình:  3   2 3    2  

3 11 3 (1)







Lời giải:

Điều kiện xác định: x  3

Phương trình (2)   x y   3   y2 2 y x  2 4x4  0 2 2

3

2 ( 2) 0

y x







 



3

y x







 



3 3 ( ì x 3) 1

y x x v y

















 



(vì (3;1) không thỏa phương trình(1))

Thay vào phương trình (1), ta được :

3 1

x

x







4

7 2 3

x x











 

Vậy tập nghiệm S    4;1 ; 7 2 3;4 2 3      

Bài 2 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãnab3,bc2 Tìm GTNN của biểu thức:

       

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho từng bộ các số dương, ta có:

;

;

8 32 16 16

;

ab

bc

ca

1 1

;

13 13 13

;

36 48 12

13 13 13

48 96 24

abc

Cộng theo từng vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta được:

a b c

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

3 , 2, 1 2

a b c

Do đó

121 min

24

T 

Bài 3 Cho đoạn thẳng BC cố định, trung điểm M Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC lấy điểm A

thay đổi sao cho tam giác ABC cân tại A Gọi A’ đối xứng A qua BC P là điểm thuộc miền trong của góc A’MB sao cho BPC APA ' 180 0 và đường tròn ngoại tiếp các tam giác BPC, A’PA tiếp xúc với nhau Chứng minh P luôn nằm trên một đường thẳng cố định

K

O1

A'

M

A

P

Lời giải:

Gọi O1 và O2 lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác BPC và A’PA => P, O1 và O2 thẳng hàng

Vì AA’ là trung trực BC nên O1 thuộc AA’ Vì BC là trung trực AA’ nên O2 thuộc BC.

Ta có biến đổi góc

Suy ra AO A2 ' và BO C1 đồng dạng => O CO2 1O A O2 ' 1 và O O CA là tứ giác nội tiếp.1 2 '

Từ đó PO K1 MCA MO O '; 2 1MA C '

Ta có biến đổi







PH

R R

PK  PO PO K  CO MCA  MCA MA C  

(áp dụng định lý sin cho đường tròn ngoại tiếp O O CA )1 2 '

Vì PH = PK nên P luôn thuộc tia phân giác của góc A’MB Suy ra đpcm.

Bài 4 Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p,q) thỏa mãn: pq| 7p7q

Lời giải:

Nếu một trong hai số nhận giá trị 2, chẳng hạn p 2, thì | 49 7q  q Theo định lý Fermat

49 7 q 49 7 56 (mod )  q và vì vậy q 2 hoặc q 7 Hiển nhiên q 2 không thỏa mãn Vì vậy trường hợp này ta có đáp án là (2;7) và (7;2)

Nếu một trong hai số nhận giá trị 7, có một trường hợp riêng là p q 7 dẫn đến đáp án (7;7) được chấp nhận Còn lại nếu chỉ có đúng một trong hai số bằng 7, chẳng hạn p 7 Ta có

| 7 7q | 7 7q

   và theo định lý Fermat q| 76 1 (721)(74 721) 2.5 13.181 2 Ta có các đáp án(7;5), (5;7), (7;13), (13;7), (7;181), (181;7)

Xét các trường hợp còn lại p q, 2; ,p q7 Dẫn tới p| 7p7q  p| 7p17q1 , theo địnl lý Fermat 7p1 mod )p  7q1  mod )p Chọn k, l là các số nguyên không âm, và r, s là các số

lẻ dương sao cho p 1 2k r và q1 2 l s

Nếu k l ta sẽ có:( 1)2 ( 1) 1 2) (7 )1 12 ( 1) 1 (mod )

vì vậy p 2, mâu thuẫn Do đó k l  Lập luận tương tự ta cũng suy ra k l , vì vậy không có đáp

số trong trường hợp này

Vậy tập các cặp (p,q) thỏa mãn đề là:

(2;7), (7;2),(7;5), (5;7), (7;13), (13;7), (7;181), (181;7)

S 

Bài 5 Cho một dãy 2023 số a1, a2,…, a2023 có các số hạng đôi một khác nhau Lấy ra khỏi dãy 4 số hạng bất kỳ rồi lại xếp chúng vào 4 vị trí đó nhưng theo thứ tự ngược lại Với dãy nhận được lại tiếp

tục làm như vậy… Hỏi bằng cách đó ta có thể nhận lại được dãy a2023, a2022,…, a1 không?

Lời giải:

Ta sẽ giải bài toán trên cho trường hợp dãy có n số hạng đôi một khác nhau: a1, a2,…, an

Giả sử sau m bước ta nhận được dãy an, an-1,…, a1 Ta gọi cặp số (ai, aj) là một cặp số tốt nếu thỏa

mãn hai tính chất sau: i<j và ai đứng trước aj trong dãy T(k) là số cặp tốt ở bước thứ k Mỗi lần thực hiện thuật toán có thể xem như thực hiện một số chẵn lần việc đổi chố hai số hạng liên tiếp Mỗi lần đổi chỗ hai số hạng liên tiếp thì số cặp tốt sẽ tăng 1 hoặc giảm 1 Do đó

( 1) ( )(mod 2) 0

Mà

( 1)

2

n n

Do đó

( 1)

0(mod 2) 2

n n 



Từ đó suy ra n chia 4 dư 0 hoặc 1

Mặt khác 2023 chia 4 dư 3 nên không có cách nào nhận được dãy a2023, a2022,…, a1

………