BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2

lòng biết ơn đến tất cả các cá nhân và tổ chức đã tạo điều kiện hỗ trợ, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và làm bài tập lớn. Trong suốt thời gian từ khi bắt đầu học tập tại trường đến nay, chúng em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của quý Thầy Cô, bạn bè và anh chị. Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, nhóm em chân thành cảm ơn quý Thầy đã tận tình truyền đạt kiến thức suốtlòng biết ơn đến tất cả các cá nhân và tổ chức đã tạo điều kiện hỗ trợ, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và làm bài tập lớn. Trong suốt thời gian từ khi bắt đầu học tập tại trường đến nay, chúng em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của quý Thầy Cô, bạn bè và anh chị. Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, nhóm em chân thành cảm ơn quý Thầy đã tận tình truyền đạt kiến thức suốtlòng biết ơn đến tất cả các cá nhân và tổ chức đã tạo điều kiện hỗ trợ, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và làm bài tập lớn. Trong suốt thời gian từ khi bắt đầu học tập tại trường đến nay, chúng em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của quý Thầy Cô, bạn bè và anh chị. Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, nhóm em chân thành cảm ơn quý Thầy đã tận tình truyền đạt kiến thức suốtlòng biết ơn đến tất cả các cá nhân và tổ chức đã tạo điều kiện hỗ trợ, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và làm bài tập lớn. Trong suốt thời gian từ khi bắt đầu học tập tại trường đến nay, chúng em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của quý Thầy Cô, bạn bè và anh chị. Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, nhóm em chân thành cảm ơn quý Thầy đã tận tình truyền đạt kiến thức suốt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2

ĐỀ TÀI 03 ĐẠO HÀM CẤP CAO, PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE

VÀ ỨNG DỤNG

GVHD: Cô Bùi Thị Khuyên

Cô Nguyễn Ngọc Quỳnh Như

Lớp: L33 Nhóm thực hiện: Nhóm 3

Nguyễn Hoàng Thái Duy 2113018

Đinh Nhật Duy 2112996

Nguyễn Thị Quỳnh Giang 2113257

Lê Phúc Hậu 2113324

Lê Trung Hiếu 2111185

Tp Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2022

LỜI MỞ ĐẦU

Trước tiên với tình cảm sâu sắc và chân thành nhất, cho phép chúng em được bày tỏ lòng biết ơn đến tất cả các cá nhân và tổ chức đã tạo điều kiện hỗ trợ, giúp

đỡ trong suốt quá trình học tập và làm bài tập lớn Trong suốt thời gian từ khi bắt đầu học tập tại trường đến nay, chúng em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của quý Thầy Cô, bạn bè và anh chị

Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, nhóm em chân thành cảm ơn quý Thầy đã tận tình truyền đạt kiến thức suốt quá trình học tập Đặc biệt là cô Bùi Thị Khuyên và

cô Nguyễn Ngọc Quỳnh Như đã trực tiếp giúp đỡ, quan tâm, hướng dẫn chúng em hoàn thành tốt bài tập lớn này Nhờ có những lời hướng dẫn, dạy bảo của Cô nên

đề tài của nhóm em mới có thể hoàn thiện tốt đẹp Với vốn kiến thức được tiếp thu trong quá trình học không chỉ là nền tảng cho chúng em làm bài tập lớn mà còn là hành trang quý báu để chúng em bước vào đời vững chắc và tự tin

Do chưa có nhiều kinh nghiệm làm đề tài cũng như những hạn chế về kiến thức, trong bài chắc chắn sẽ không tránh khỏi nhiều thiếu sót Rất mong nhận được sự nhận xét, ý kiến đóng góp, phê bình từ phía cô để bài tập lớn của nhóm

em được hoàn thiện hơn

Cuối cùng xin kính chúc thầy cô sức khỏe dồi dào, gia đình hạnh phúc, gặp nhiều may mắn và sự nghiệp nở hoa trên con đường nhà giáo cao quý Chúng

em xin chân thành cảm ơn!

MỤC LỤC

1 Đạo hàm cao cấp

2.Phương Trình Laplace

1 Đạo hàm cấp cao

1.1 Định nghĩa

- Giả sử hàm số𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm𝑓'(𝑥)

- Đạo hàm của hàm số𝑓'(𝑥), nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số

, kí hiệu là hay

𝑓(𝑥) 𝑦'' 𝑓''( ).𝑥

- Đạo hàm của hàm số𝑓''(𝑥), nếu có, được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số

, kí hiệu là hay

𝑓(𝑥) 𝑦''' 𝑓'''( ).𝑥

- Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) được gọi là đạo hàm cấp n của hàm

số𝑦 = 𝑓(𝑥), kí hiệu là𝑦(𝑛)hay 𝑓(𝑛)( ).𝑥

𝑓( )𝑛( ) = 𝑓𝑥 [ (𝑛−1)(𝑥)]', 𝑣ớ𝑖 𝑛 𝑡ℎ𝑢ộ𝑐 𝑍 𝑣à 𝑛 ≥2

1.2 Công thức

* Các công thức đạo hàm thường gặp

- 𝑐' = 0

- ( )𝑥𝑛 '= 𝑛 𝑥𝑛−1

- 𝑢

1 ± 𝑢

2± … ±𝑢

𝑛

= 𝑢'

1 ± 𝑢'

2± … ±𝑢'

𝑛

- (𝑢𝑣)' = 𝑢'𝑣 + 𝑢𝑣'

- (𝑐𝑢)' = 𝑐𝑢'

- (𝑢𝑣𝑤)' = 𝑢'𝑣𝑤 + 𝑢𝑣'𝑤 + 𝑢𝑣𝑤'

- ( )𝑢𝑣 ' = 𝑢'𝑣−𝑢𝑣'

𝑣2

▪ Đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑐ủ𝑎 ℎà𝑚 𝑠ố ℎợ𝑝:

- 𝐶ℎ𝑜 𝑦 = 𝑓 𝑢( ), 𝑢 = 𝑔 𝑥( )𝑡ℎì 𝑦 = 𝑓 𝑔 𝑥( ( ))𝑔ọ𝑖 𝑙à ℎà𝑚 𝑠ố ℎợ𝑝

𝑦'

𝑥 = 𝑦'

𝑢 𝑢'

𝑥

* Các công thức đạo hàm cấp cao

- ( )𝑥𝑚 ( )𝑛 = 𝑚 𝑚 − 1( ) 𝑚 − 𝑛 + 1( ) 𝑥𝑚−𝑛

- (𝑙𝑛𝑥)(𝑛) = (−1)

𝑛−1

(𝑛−1)!

𝑥𝑛

- (𝑎𝑥)(𝑛) = 𝑎𝑥 𝑙𝑛𝑛𝑎, 𝑣ớ𝑖 𝑎 > 0

- (𝑠𝑖𝑛𝑥)(𝑛) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑛 π2 )

- (𝑐𝑜𝑠𝑥)( )𝑛 = cos 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑛( π2 )

- (𝑒𝑥)

(𝑛)

= 𝑒𝑥

- ( )1𝑥 (𝑛) = (− 1)𝑛 𝑛! 𝑥−𝑛−1

* Công thức Lepnit

- 𝑁ế𝑢 𝑢 𝑣à 𝑣 𝑙à 𝑐á𝑐 ℎà𝑚 𝑘ℎả 𝑣𝑖 𝑛 𝑙ầ𝑛 𝑡ℎì (𝑢𝑣)(𝑛) =

𝑘=0

𝑛

∑ 𝐶

𝑛

𝑘

𝑢(𝑘) 𝑣(𝑛−𝑘)

𝑣ớ𝑖 𝐶

𝑛

𝑘

𝑘í ℎ𝑖ệ𝑢 𝑡ổ ℎợ𝑝 𝑐ℎậ𝑝 𝑘 𝑐ủ𝑎 𝑛 𝑝ℎầ𝑛 𝑡ử:

𝐶

𝑛

𝑘

= 𝑛(𝑛−1) (𝑛−𝑘+1)𝑘!

1.3 Ví dụ đạo hàm cấp cao:

Bài 1: tính đạo hàm cấp n của hàm số 𝑦 = 𝑥+11

Lời giải:

- Ta có: 𝑦' = 1

𝑥+1 ( )2 = − 𝑥 + 1( )−2

𝑦'' = 2 𝑥 + 1( )−3

𝑦''' =− 2 3 𝑥 + 1( )−4

……

- Dự đoán: 𝑦( )𝑛 = − 1( )𝑛 𝑛! 𝑥 + 1( )− 𝑛+1( ) = (−1)

𝑛

.𝑛!

𝑥+1 ( )𝑛+1, 𝑣ớ𝑖 𝑛∈𝑁

- Chứng minh công thức đúng bằng quy nạp:

công thức đúng với 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1: 𝑦 =− 𝑥 + 1( )−2⟹ 𝑛 = 1

- Giả sử công thức đúng với

𝑛 = 𝑘 : 𝑦( )𝑘 = − 1( )𝑘 𝑘! 𝑘 + 1( )− 𝑘+1( ) = (−1)

𝑘

.𝑘!

𝑥+1 ( )𝑘+1

- Ta sẽ chứng minh công thức đúng với 𝑛 = 𝑘 + 1

- Nghĩa là: 𝑦(𝑘+1) = − 1( )𝑘+1 𝑘 + 1( )! 𝑥 + 1( )− 𝑘+2( ) = (−1)

𝑘+1

𝑘+1 ( )!

𝑥+1 ( )𝑘+2

- Thật vậy, áp dụng công thức tính đạo hàm cấp n ta được:

𝑦(𝑘+1)( ) = 𝑦𝑥 [ (𝑘)(𝑥)]' = (− 1)[ 𝑘 𝑘! (𝑥 + 1)−(𝑘+1)]= − (− 1)𝑘 𝑘! (𝑘 + 1)(𝑥 + 1)−(𝑘+1)−

- Vậy𝑦(𝑘+1) = (− 1)𝑘+1 (𝑘 + 1)! (𝑥 + 1)−(𝑘+2) = (−1) luôn đúng

𝑘+1

.(𝑘+1)!

(𝑥+1)𝑘+2

- Do đó:𝑦( )𝑛 = (− 1)𝑛 (𝑛)! (𝑥 + 1)−(𝑛+1) = (−1) với n N.

𝑛

.(𝑛)!

(𝑥+1)𝑛+1 ∈

1.4 Ứng dụng cơ học của đạo hàm cấp hai

- Xét chuyển động xác định bởi phương trình 𝑠 = 𝑓 𝑥( ), Vận tốc tức thời tại

thời điểm t của chuyển động là 𝑣 𝑡( ) = 𝑓'(𝑡)

- Lấy số gia ∆𝑡tại t thì𝑣 𝑡( ) có số gia tương ứng là ∆𝑣

- Khi đó𝑣'( ) =𝑡 ∆𝑣∆𝑡 là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t

- Kí hiệu là 𝑎 𝑡( )

- Hệ quả 𝑎 𝑡( ) = 𝑣'( ) = 𝑠''(𝑡)𝑡

Ví dụ: Một vật đang chuyển động với phương trình 𝑠(𝑡) = 5𝑡3–3𝑡2 + 4𝑡 –9 (m)

Tìm gia tốc của vật tại thời điểm t = 2

Lời giải:

- Vận tốc v(t) của vật là đạo hàm cấp 1 đối với quãng đường s(t)

𝑣 𝑡( ) = 𝑠'( ) = 5 3 𝑡𝑡 2 − 6𝑡 + 4(𝑚/𝑠)

- Gia tốc a(t) là đạo hàm cấp 1 đối với vận tốc v(t) hay đạo hàm cấp 2 đối với quãng đường s(t)

𝑎 𝑡( ) = 𝑣'( ) = 𝑠𝑡 ''( ) = 30𝑡 − 6𝑡

⟹𝑎 2( ) = 54 (𝑚/𝑠2)

2 Phương trình Laplace

2.1 Định nghĩa

- Trong toán học, phương trình Laplace là một phương trình đaọ hàm riêng được đặt theo tên người khám phá, Pierre-Simon Laplace Nghiệm của phương trình Laplace là khá quan trọng trong nhiều ngành khoa học, đáng chú ý là trong các ngành điện từ trường , thiên văn học , và cơ chất lỏng, bởi vì chúng mô tả hành

vi của thế năng của điện, trọng lực, và chất lỏng Lý thuyết tổng quát của các nghiệm của phương trình Laplace được gọi chung là lý thuyết thế năng

(potential theory)

- Trong không gian n chiều , cho u là hàm thực khả vi 2 lần , phương trình

Lapace sẽ là phương trình:

∂𝑥2

1

+ ∂

2

𝑢

∂𝑥2

2

+ … + ∂

2

𝑢

∂𝑥2

𝑛

= 0

- Khi vế phải không thuần nhất

thì phương trình này là phương

∂2𝑢

∂𝑥2

1

+ ∂

2

𝑢

∂𝑥2

2

+ … + ∂

2

𝑢

∂𝑥2

𝑛

= 𝑓 𝑥

1, 𝑥

2, …, 𝑥

𝑛

( ) 𝑓∈𝑅𝑛 trình Poisson

2.2 Các dạng khác nhau của phương trình Laplace trong không gian 3 chiều:

+Trong hệ tọa độ Descartes:

∂2𝑓

∂𝑥2 + ∂

2

𝑓

∂𝑦2 + ∂

2

𝑓

∂𝑧2 = 0 +Trong hệ tọa độ trụ:

∆𝑓 = 1𝑟 ∂𝑟∂ ( )𝑟 ∂𝑓∂𝑟 + 1

𝑟2

∂2𝑓

∂ϕ2 + ∂

2

𝑓

∂𝑧2 = 0 +Trong hệ tọa độ cầu:

∆𝑓 = 1

ρ2

∂

∂ρ(ρ2 ∂𝑓∂ρ)+ 1

ρ2sin𝑠𝑖𝑛 θ

∂

∂θ (sin 𝑠𝑖𝑛 θ ∂𝑓∂θ )+ 1

ρ2𝑠𝑖𝑛2θ

∂2𝑓

∂φ2 = 0

- Nó được viết tổng quát lại là

∇2𝑓 = 0 ℎ𝑎𝑦 ∆𝑓 = 0, 𝑣ớ𝑖 ∆ = ∇2

là toán tử Laplace hay Laplacian

∆𝑓 = ∇2𝑓 = ∇ ∇𝑓 = 𝑑𝑖𝑣 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 Trong đó :

là divergence của vectơ a và là gradient của f

∇ 𝑎 = 𝑑𝑖𝑣 𝑎 ∇𝑓 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓

- Nghiệm của phương trình Laplace được gọi là hàm điều hòa (harmonic function)

- Nếu vế phải là một hàm biết trước, chẳng hạn∆𝑓 = ℎ thì phương trình được gọi

là phương trình Poisson Phương trình Laplace hay phương trình Poisson là những dạng đơn giản nhất của các phương trình đaọ hàm riêng ellip Toán tử vi phân,∇2 ℎ𝑎𝑦 ∆ (mà có thể định nghĩa được trong không gian n-chiều) được gọi

là toán tử Laplace hay Laplacian

- Phương trình Laplace là trường hợp đặc biệt của phương trình Helmholtz

Bảng biến đổi laplace:

2.3 Ứng dụng biến đổi Laplace trong giải phương trình vi phân, tích phân

- 𝐿 𝑓 𝑡[ ( )] = 𝐹 𝑥( )

- 𝐿 𝑓[ '( )𝑡 ]= 𝑆 𝐹 𝑠( ) − 𝑓 0( )

- 𝐿 𝑓[ ''( )𝑡 ]= 𝑆2 𝐹 𝑠( ) − 𝑆 𝑓 0( ) − 𝑓'(0)

- 𝐿 𝑓[ (𝑛)( )𝑡 ]= 𝑆𝑛 𝐹 𝑠( ) − 𝑆𝑛−1 𝑓 0( ) − 𝑆𝑛−2 𝑓 0( ) − … − 𝑆 𝑓𝑛−1(0) − 𝑓𝑛(0)

- 𝐹 𝑠( ) = 𝐿 𝑓 𝑥[ ( )] =

0

+∞

∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑓 𝑡( )𝑑𝑡

- 𝐿 𝑡𝑓 𝑡[ ( )] =− 𝐹'(𝑠)

- 𝐿 𝑓 𝑡[ ( )] = 1

(𝑆2+𝑘2)2

sin𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑡 ( ) −𝑘𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡)

2𝑘2

1) Giải phương trình vi phân sau bằng phương pháp Laplace với các điều kiện ban

đầu: {𝑥(4) + 8𝑥'' + 16𝑥 = 0 𝑥 0( ) = 𝑥'( ) = 𝑥0 ''( ) = 0 ; 𝑥0 '''( ) = 1 0

- Lấy 2 vế phương trình :𝐿

𝐿 𝑥[ ( )4 + 8𝑥'' + 16𝑥]= 0⟺𝐿 𝑥[ ]( )4 + 8𝐿 𝑥[ ]'' + 16𝐿 𝑥[ ] = 0

- Đặt 𝐿 𝑥 𝑡[ ( )] = 𝑋 𝑠( )

⟹{𝐿 𝑥[ '( )𝑡 ]= 𝑆 𝑋 𝑠( ) − 𝑥 0( ) = 𝑆 𝑋 𝑠( ) 𝐿 𝑥[ ''( )𝑡 ]= 𝑆2 𝑋 𝑠( ) − 𝑆 𝑥 0( ) − 𝑥'( ) = 𝑆0 2 𝑋 𝑠( ) 𝐿 𝑥[

⟹𝐿 𝑥[ ]( )4 + 8𝐿 𝑥[ ]'' + 16𝐿 𝑥 [ ] = 𝑆4 𝑋 𝑠 ( ) − 1 + 8 𝑆( 2 𝑋 𝑠 ( ))+ 16 𝑆 𝑋 𝑠 ( ( ) ) = 0

⟺𝑋 𝑠( ) 𝑆( 4 + 8 𝑆2 + 16𝑆)= 1 <=> 𝑋 𝑠( ) = 1

𝑆4+8.𝑆2+16𝑆

𝑥 𝑡( ) = 𝐿−1[𝑥 𝑠( )] = 𝐿−1 1

𝑆4+8.𝑆2+16𝑆

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦= 𝐿

−1 1 (𝑆2+22)

2

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

= 𝑠𝑖𝑛 2𝑡( )−2𝑡𝑐𝑜𝑠(2𝑡)16

- Vậy 𝑥 𝑡( ) = 𝑠𝑖𝑛 2𝑡( )−2𝑡𝑐𝑜𝑠(2𝑡)16 là nghiệm của phương trình vi phân

2) Giải phương trình vi phân 𝑦' + 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛3𝑡 , 𝑦 0( ) = 0

- Lấy 2 vế của phương trình:𝐿

𝐿 𝑦[ ]' + 𝐿 𝑦[ ] = 𝐿 𝑠𝑖𝑛3𝑡[ ]⟺𝑝𝑌 + 𝑌 = 3

𝑝2+9

⟹𝑌 1 + 𝑝( ) = 3

𝑝2+9 <=> 𝑌 = 3

𝑝2+9

( ).(1+𝑝) = 𝐴𝑝+𝐵

𝑝2+9 + 𝑝+1 𝐶

- Thay lần lượt 𝑝 = 0 ; 𝑝 = 1 ; 𝑝 = 2 vào ta có hệ phương trình:

{𝐵9 + 𝐶 = 13 10𝐴 + 10𝐵 + 𝐶2 = 203 2𝐴13 + 13𝐵 + 𝐶3 = 13 1 ⟹ {𝐴 =− 103 𝐵 = 103 𝐶 = 103

𝑌 = −

3

10 𝑝+103

𝑝2+9 +

3 10

𝑝+1 =− 103 𝑝

𝑝2+9 + 101 3

𝑝2+9 + 103 𝑝+11

⟹𝑦 =− 103 𝑐𝑜𝑠3𝑡 + 101 𝑠𝑖𝑛3𝑡 + 103 𝑒−𝑡

- Vậy𝑦 =− 103 𝑐𝑜𝑠3𝑡 + 101 𝑠𝑖𝑛3𝑡 + 103 𝑒−𝑡 là nghiệm của phương trình

vi phân

3) Dùng biến đổi laplace để tính tích phân 𝐼 =

0

+∞

∫ 𝑒−3𝑡𝑠𝑖𝑛4𝑡𝑑𝑡

- 𝐿 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑡[ ] = 𝑎

𝑠2+𝑎2

𝑓 𝑥( ) = 𝑠𝑖𝑛4𝑡 {𝐹 𝑠( ) = 4

𝑠2+16 𝐹 𝑠( ) =

0

+∞

∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑓 𝑡( )𝑑𝑡 =

0

+∞

∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑠𝑖𝑛4𝑡𝑑𝑡 ⟹

0

+∞

∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑠𝑖𝑛4𝑡𝑑𝑡 =

𝑠 = 3 =>

0 +∞

∫ 𝑒−3𝑡𝑠𝑖𝑛4𝑡𝑑𝑡 = 254

- Vậy tích phân 𝐼 =

0

+∞

∫ 𝑒−3𝑡𝑠𝑖𝑛4𝑡𝑑𝑡 = 254

4) Dùng phép biến đổi laplace tính tích phân 𝐼 =

0

+∞

∫ 𝑡𝑒−2𝑡𝑠𝑖𝑛6𝑡𝑑𝑡

- 𝐿 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑡[ ] = 𝑎 ;

𝑠2+𝑎2 𝐿 𝑡𝑓 𝑡[ ( )] =− 𝐹'( )𝑠

- 𝑓 𝑥( ) = 𝑠𝑖𝑛6𝑡 => 𝐹 𝑠( ) = 6

𝑠2+36

{𝐿 𝑡𝑓 𝑡[ ( )] = 𝐿 𝑡𝑠𝑖𝑛6𝑡[ ] =− 𝐹'( ) =𝑠 12𝑠

𝑠2+36

( )2 𝐿 𝑡𝑓 𝑡[ ( )] = 0

+∞

∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑡𝑓 𝑡( )𝑑𝑡 =

0

+∞

∫ 𝑡𝑒−2𝑡𝑠𝑖𝑛6𝑡𝑑𝑡 ⟹

- 𝑠 = 2⟹

0

+∞

∫ 𝑡𝑒−2𝑡𝑠𝑖𝑛6𝑡𝑑𝑡 = 2003

- Vậy tích phân 𝐼 =

0 +∞

∫ 𝑡𝑒−2𝑡𝑠𝑖𝑛6𝑡𝑑𝑡 = 2003

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[2] Link tham khảo