Đáp án các dạng bài tập giải tích 1

Kh£o s¡t t1⁄2nh ìn i»u cõa c¡c d¢y sè {an} sau khi n õ lîn. a. an = 2n 2 + 1 b. an = n n + 2 c. an = 1 − 1 2 1 − 1 3 . . . 1 − 1 n 2. Chùng minh c¡c d¢y sè sau bà ch°n (a) an = n − 1 n + 2 (b) an = 1 − 1 2 1 − 1 3 . . . 1 − 1 n 1.2 Giîi h¤n d¢y sè T1⁄2nh giîi h¤n c¡c d¢y sè {an} sau: 1. an = 3n 2 + 2n + 1 n2 − 4n + 2Kh£o s¡t t1⁄2nh ìn i»u cõa c¡c d¢y sè {an} sau khi n õ lîn. a. an = 2n 2 + 1 b. an = n n + 2 c. an = 1 − 1 2 1 − 1 3 . . . 1 − 1 n 2. Chùng minh c¡c d¢y sè sau bà ch°n (a) an = n − 1 n + 2 (b) an = 1 − 1 2 1 − 1 3 . . . 1 − 1 n 1.2 Giîi h¤n d¢y sè T1⁄2nh giîi h¤n c¡c d¢y sè {an} sau: 1. an = 3n 2 + 2n + 1 n2 − 4n + 2Kh£o s¡t t1⁄2nh ìn i»u cõa c¡c d¢y sè {an} sau khi n õ lîn. a. an = 2n 2 + 1 b. an = n n + 2 c. an = 1 − 1 2 1 − 1 3 . . . 1 − 1 n 2. Chùng minh c¡c d¢y sè sau bà ch°n (a) an = n − 1 n + 2 (b) an = 1 − 1 2 1 − 1 3 . . . 1 − 1 n 1.2 Giîi h¤n d¢y sè T1⁄2nh giîi h¤n c¡c d¢y sè {an} sau: 1. an = 3n 2 + 2n + 1 n2 − 4n + 2Kh£o s¡t t1⁄2nh ìn i»u cõa c¡c d¢y sè {an} sau khi n õ lîn. a. an = 2n 2 + 1 b. an = n n + 2 c. an = 1 − 1 2 1 − 1 3 . . . 1 − 1 n 2. Chùng minh c¡c d¢y sè sau bà ch°n (a) an = n − 1 n + 2 (b) an = 1 − 1 2 1 − 1 3 . . . 1 − 1 n 1.2 Giîi h¤n d¢y sè T1⁄2nh giîi h¤n c¡c d¢y sè {an} sau: 1. an = 3n 2 + 2n + 1 n2 − 4n + 2

P N - GT1 - K201

1.1 T½nh ch§t d¢y sè

1 Kh£o s¡t ìn i»u:

a t«ng

b t«ng

c gi£m

2 Chùng minh bà ch°n

a 0 ≤ an < 1; ∀n ≥ 1

b d¢y gi£m m  : 0 < an≤ 1

2, ∀n ≥ 2

1.2 Giîi h¤n d¢y sè:

a 3

b 1

1.3 D¢y con

1.3.1

a2k = 2k + 1

4k2 ; a2k−1= 2k

(2k − 1)2; ak2 =

k2+ 1

k4 ; a3k+2= 3k + 3

(3k + 2)2

1.4

1 Do lim an= 1 n¶n c¡c d¢y con công câ giîi h¤n l  1

2 lim a2k = lim(−1)

k

k − 2 = 0; lim a2k+1= lim

k2

k3+ 1 = 0 => lim an= 0

2 CH×ÌNG 2: H€M SÈ

2.1

1 a P (8) = 15, 9303 => D¥n sè cõa Mÿ ð ë tuêi 73 bà m­c b»nh l  16 %

b D¥n sè cõa Mÿ ð ë tuêi 90 t÷ìng ùng x=25 ⇒ P (25) = 70, 0923 => d¥n sè cõa Mÿ

ð ë tuêi 90 bà m­c b»nh l  70%

2 Têng chi ph½: CT(x) = C(x) + 10.000

R(x) = x (−0, 0005x + 20)

P (x) = R(x) − CT(x) = −0, 0004x2 + 10x − 10000

Lñi nhuªn ¤t 10000 USD khi: P (x) = 10000 ↔ x = 2193 hay x = 22808

3 Theo ç thà th¼ sau 2h l÷ñng nicotine gi£m cán 1 nûa N¸u ç thà c­t tröc ho nh

=> N=0 câ ngh¾a l  l÷ñng nicotine trong cì thº ¢ ÷ñc  o th£i h¸t

4 f(t) = at + b

a f(t) = 0.4t + 15

b f(t) = −0.4t + 15

5 a t = 0 => h(t) = 130 => V o n«m 1990 mùc s o cao nh§t ng÷íi væ àch ¤t ÷ñc l 

130 inches

b a = 2 câ ngh¾a l  méi n«m, mùc s o cao nh§t m  vªn ëng vi¶n ¤t ÷ñc t«ng th¶m

2 inches

6 a Tø gi£ thi¸t cõa · b i ta x¥y düng ÷ñc mæ h¼nh t÷ìng th½ch nh÷ sau: y = 50000.(1 + 4.5%)x

b D¥n sè n«m 2018 l : y(10) = 50000.(1 + 4.5%)10≈ 77648

c D¥n sè ¤t 100.000 v o kho£ng n«m 2024 v¼: 50000.(1 + 4.5%)x = 100.000 ↔ x ≈ 15.7

7 f(x) =



200x + 5000 , x ≤ 100

20000 + 170(x − 100) + 5000 , x > 100

2.2

1 D = −1,1

2
, R =



−∞, ln9

8



2 D = [20; 80] ∩ N, R = {5.000.000 + k × 250.000/k ∈ D}

2.3

1 V¼ Rf 6⊂ Dg => Khæng tçn t¤i gof

f ◦ g : (0; +∞) → R

f ◦ g(x) = f [g(x)] = f (ln x) = sin(ln x)

2 g ◦ f(x) = g[f(x)] = g x + 1

x − 2



= x + 1

x − 2

3

+ x + 1

x − 2; x 6= 2

f ◦ g(x) = f [g(x)] = f (x3+ x) = x

3+ x + 1

x3+ x − 2; x 6= 1

3 C(t) = C(p(t)) = 0.5 (10 + 0, 1t2) + 1

Mùc CO trung b¼nh h¬ng ng y ¤t 6.8%khi: t = 4

2.4

1 V¼ Rf = (0; +∞) v  ∀x ∈ (2; +∞), f0(x) < 0 n¶n f l  song ¡nh

f−1(x) = −2x − 1

1 − x

2 a f(4) l  sè lo i chim tr¶n hán £o ¸n n«m 2011

b Sè n«m t½nh tø 2007 m  câ 4000 lo i chim tr¶n hán £o

3 ç thà trong h¼nh C câ d¡ng i»u èi xùng vîi ç thà cõa f qua ÷íng y = x n¶n l  ç thà cõa f−1

3 CH×ÌNG 3: GIÎI H„N V€ LI–N TÖC

3.1 Giîi h¤n h m sè

1 1

2 4 thûa §t

3.2 Væ còng lîn, væ còng b²

1 2x2

2 x

3 a f(x), g(x) còng bªc 1

b g(x) bªc cao hìn f(x)

4 a N¸u trong 1 gií câ n chu ký th¼ l÷ñng caffein trong cì thº cán l¤i sau t gií l 

P (t) = 100



1 − 0.17 n

nt

(mg)

Vi¸t l¤i d¤ng mô cì sè e:

P (t) = 100ent ln(1−0.17n ) (mg)

N¸u n r§t lîn th¼ 0.17

n r§t nhä, sû döng thay t÷ìng ÷ìng cho ln

P (t) = 100ent(−0.17n ) = 100e−0.17t (mg)

b Khi t õ lîn, l÷ñng caffein trong cì thº khæng cán núa v¼ lim

t→∞P (t) = 0 (mg)

3.3 Ti»m cªn cõa ÷íng cong

1 TC : x = 2

3; TCN y = 1

3 v  y = −1

3 Khæng câ TCX

2 TC : x = 0 (Khi x → 0+) TCX: y = x

3.4 H m sè li¶n töc

1 a T¤i x = 0 : khæng li¶n töc tr¡i, li¶n töc ph£i, khæng li¶n töc

b T¤i x = 1 : li¶n töc

2 a H m chi ph½ l  : P (x) = 7, 5x , x ≤ 50

6, 75x , x > 50 (USD).

P (40) = 300 (USD); P (50) = 375 (USD); P (60) = 405 (USD)

P khæng li¶n töc t¤i x = 50 (l½t)

4 CH×ÌNG 4: „O H€M V€ VI PH…N

4.1 ¤o h m cõa h m sè y = f(x)

4.1.1 ˆ

1 f0(−1) = −1

2

2 f0(1) = 0, khæng tçn t¤i ¤o h m t¤i x = 0

4.1.2 Þ ngh¾a thüc t¸ cõa ¤o h m

1 a Thº t½ch n÷îc tho¡t ra ngo i theo thíi gian t l :

V1(t) = 1000 − 1000(1 − t

60)

2.0 ≤ t ≤ 60 Tèc ë n÷îc tho¡t ra ngo i theo thíi gian t l  :

V10(t) = 100

3 (1 −

t

60).0 ≤ t ≤ 60

b Vªn tèc dáng n÷îc t¤i c¡c thíi iºm l  : V0

1(0), V10(10),

L÷ñng n÷îc cán l¤i l : V (0), V (10),

2 Chi ph½ cªn bi¶n khi s£n xu§t 10 ìn và s£n ph©m A l : C0(10) = 122

4.1.3 Þ ngh¾a h¼nh håc cõa ¤o h m

1 k = f0(−1) = −3

2 Ti¸p tuy¸n t¤i (x0, f (x0)) song song vîi t y = 3x − 2 n¶n f0(x0) = 3 ↔ x0 = 1 ±

√ 61 6

4.1.4 C¡c ph²p to¡n ¤o h m

A 1 P0(t0) = −0.04(KP/s): ¡p su§t gi£m 0.04 (KP/s)

B ¤o h m h m hñp

1 h0(1) = f (0) + 4; k0(0) = 5

2 32πt m2/p

C ¤o h m h m ng÷ñc

1 (f−1)0(0) = 1

f0(0) =

1 cosh(0) = 1

2 (S−1)0(20) = 1

9 T¤i thíi iºm sè ca m­c mîi l  20 ca th¼ tèc ë l¥y nhi¹m ang t«ng

9 ca/ng y

4.2.1

1 Ta câ f00(12) = −4√3

9

2 Ta câ f(5)(x)(1) = −27

128.5! 4.2.2

1 ç thà c l  qu¢ng ÷íng, b l  vªn tèc, a l  gia tèc

2 f0(t0) = 2; f00(t0) < 0, i·u n y câ þ ngh¾a nhi»t ë trung b¼nh cõa th nh phè A t¤i thíi

iºm t0 l  ang t«ngtèc ë t«ng nhi»t ë ang gi£m

4.3

4.3.1

1 ∆f(−1) = f(−1 + ∆x) − f(−1) = −5∆x + (∆x)2 = −0.0499

2 Gåi chi·u cao h¼nh nân l  h ⇒ ∆h = ±1 (cm)

V (h) = 1

3πR

2h = 1

3π.400.h (cm3)

∆V (h) ≈ dV (h) = V0(h)∆h = 400

3 π.∆h ≈ ±419 cm3 4.3.2

1 ln(1.02) ≈ 0.2

2 a

b f(5.2) ≈ 11570 (Shilling)

4.4

4.4.1

1 ln(2 + x) = ln(3) + 1

3(x − 1) −

1

18(x − 1)

2+ 811(x − 1)3+ 0((x − 1)3)

2 x ln(x) = (x − 1) + 1

2(x − 1)

2 −1

6(x − 1)

3+ 0((x − 1)3)

4.5.1

1 T«ng tr¶n to n mi·n x¡c ành

2 f0x(x) ∞ + −2|| − 00 + 1|| + ∞

Vªy h m sè ¤t cüc ¤i t¤i (−2, 0) v  ¤t cüc tiºu t¤i 0, −√3

4

3 f ¤t cüc ¤i t¤i x = −2, x = 4, 7; ¤t cüc tiºu t¤i x = 1

4.5.2 B i to¡n v· t½nh lçi, lãm, iºm uèn

1



e−32 ; −3

2.e

−3



2 a f00(xA) < 0

b C¡c kho£ng t«ng cõa f0(x) l  : (−5; −3); (−1; 0); (1; 3)

C¡c kho£ng gi£m cõa f0(x) l  : (−3; −1); (0; 1); (3; 5)

c f0(x) câ iºm 3 cüc ¤i v  2 iºm cüc tiºu

4.5.3

1

x

y

1

−1

2

x

y

TCX: y = x − 2

3

(0, 1)

4 , −275

4.5.4

1

x −∞

√ 2 2

√ 2

f0(x) − 0 + 0 −

f (x) 0 & −

√ 2

2 .e

− 1

%

√ 2

2 .e

− 1

& 0

2 fmax= f −

√ 2 2

!

= −

√ 2

2 .e

− 1

4; fmin = f

√ 2 2

!

=

√ 2

2 .e

− 1 4

3 √3

4.6 H m sè cho bði ph÷ìng tr¼nh tham sè

4.6.1 Þ ngh¾a cõa ÷íng cong tham sè

1 Theo chi·u kim æng hç

2 (I) l  ç thà B

(II) l  ç thà A

(III) l  ç thà D

(IV) l  ç thà C

4.6.2 ¤o h m cõa h m sè y = f(x) x¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh tham sè

1 x = 1 ⇔ t = −1 +

√ 5

2 y

0(1) = 1.6 −

√ 5

2√

5

2 k = 1

3 y = 7

4.6.3 Cüc trà cõa h m sè y = f(x) cho bði h m tham sè

1 t ∈ [0, 1] h m sè khæng câ cüc trà

4.6.4 Ti»m cªn cõa ÷íng cong tham sè

y = −x

2 + 1

4.6.5 V³ ÷íng cong tham sè

x

y

2 4 6 8

5 CH×ÌNG 5: TCH PH…N

5.1 T½ch ph¥n b§t ành

5.1.1 T½nh t½ch ph¥n

1 a −1

3e

−x 3

+ C b F (x) = x2+ 1

2 arctan (x) −

x

2 + C

2 a 7 ln (|x + 3|) + ln (|x − 1|)

4 + C

b − 1

x + 1 + C

3 a 2 ln (√x + 1) + C b √x2+ 1 + C c √1

2arctan

√

x2− 2

√ 2

5.1.2 Þ ngh¾a nguy¶n h m:

1 C(t) = 0.5t + 0.03t2

2 + 311 (%)

2 f(x) = x3

3 − x

2

2 + 2x +

23 6

5.2 T½ch ph¥n x¡c ành

5.2.1 B i to¡n d¨n v· t½ch ph¥n

1

20

Z

0

v(t)dt = 980

3 (bä qua ìn và t½nh)

5.2.2 T½nh g¦n óng nhí têng t½ch ph¥n

1 a ∆x = 1

10 , f(x) = x2, n = 10

Têng Riemann tr¡i:

1

Z

0

f (x)dx ≈ ∆x[f(0) + f(0.1) + f(0.2) + f(0.3) + + f(0.8) +

f (0.9)] ≈ 0.285

Têng Riemann ph£i:

1

Z

0

f (x)dx ≈ ∆x[f(0.1) + f(0.2) + f(0.3) + + f(0.8) + f(0.9) +

f (1)] ≈ 0.385

Têng Riemann trung t¥m :

1

Z

f (x)dx ≈ ∆x[f(0.05) + f(0.15) + f(0.25) + f(0.35) +

b T÷ìng tü

c T÷ìng tü

2 Mùc ti¶u thö d¦u thæ ≈ 5(20.9 + 23.3 + 25.6 + 28 + 30.7) ≈ 642.5 t thòng 5.2.3 T½ch ph¥n x¡c ành v  di»n t½ch mi·n ph¯ng

1 x 0 1 2 3 4 5 6

f (x) 2 3

2

1

2 −1

2 −1 −1

2

1 2

2

f0(x) + 0 − 0 +

f (x) a % a + 14 & −6 + a % 6 + a

Kho£ng t«ng: (0; 2) v  (5; 6) Kho£ng gi£m: (2; 5)

iºm cüc trà: f ¤t cüc ¤i t¤i x = 2 v  ¤t cüc tiºu t¤i x = 5

5.2.4 Gi¡ trà trung b¼nh

1 I2 = 1

2 − 0

2

Z

0

x2+ x + 1
dx = 10

3 ; x0 =

√

93 − 3 6

5.2.5 ành lþ cì b£n cõa vi t½ch ph¥n

1 f0(1) = e−2

5.2.6 C¡c ùng döng h¼nh håc cõa t½ch ph¥n x¡c ành

1 a S = −ln (3) − 2 ln (2)

ln (2) ln (3)

b S = 9

c S = 5

6

d S = 3π + 2

12

2 Vx = 8π

15, Vy =

11π 6

3 = 13

6, Vx = 257

144π, Vy =

158π 105

5.3 T½ch ph¥n suy rëng

5.3.1 T½nh t½ch ph¥n suy rëng

1 π

2 3 1 −e−1

2 5.3.2 Kh£o s¡t sü hëi tö

1 Hëi tö 2 Ph¥n ký 3 Hëi tö

6 CH×ÌNG 6: PH×ÌNG TRœNH VI PH…N

6.1 Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p 1

6.1.1 T¼m nghi»m têng qu¡t

1 y3 = x2+ x + C

2 °t u = y

x, ph÷ìng tr¼nh ÷a v· d¤ng u + 1

u2+ u − 1du = −dx

x

3 y = x2

2ex 2 + C

ex 2

4 y2

x = C − ln(x)

6.1.2 T¼m nghi»m b i to¡n Cauchy

1 + y2 = x2

6.1.3 B i to¡n thüc t¸

1 D¤ng tü th nh lªp b i to¡n

a B i to¡n h¼nh håc

i

(

y0 = −y

x y(3) = 2 , ph÷ìng tr¼nh ÷íng cong: xy = 6

ii y0 = − x

2y, ph÷ìng tr¼nh cõa hå ÷íng cong: 2y2+ x2 = C

b B i to¡n d¥n sè

i

(

P0(t) = 0.08%P (t)

P (0) = 226 ⇒ P (t) = 226e0.0008t

¸n n«m 2007, d¥n sè ¤t 228 ng n d¥n

ii







P0(t) = k



1 − P (t) 10.000



P (0) = 400, P (1) = 1200

Nghi»m têng qu¡t:P (t) = L

1 + Ce−kt

Nghi»m ri¶ng: P (t) = 10.000

1 + 24 11

36

t

P (t) = 5000 ⇔ t = 2, 68 : G¦n 3 n«m sau, sè c¡ trong hç ¤t 5000 con

c B i to¡n háa tan (t¡ch bi¸n/tuy¸n t½nh) y(t) l  l÷ñng muèi trong thòng sau t phót

i 



y0(t) = 2 − 5y(t)

100 y(0) = 0

⇒ y(t) = −40e−t/20+ 40

ii







y0(t) = 0 − 3y

100 + 5t − 3t y(0) = 50

,⇒ y(t) =√50t + 2500 iii







y0(t) = 2 − 3y

100 + 5t − 3t y(0) = 0

⇒ y(t) = 4

5

√

t + 50 − 2000

√ 50 p(t + 50)3, y(20) ≈ 31, 85

d B i to¡n v· quy luªt gi£m nhi»t

T0(t) = k(T − 20) vîi T (0) = 100, T (10) = 60 ⇒ T (t) = 20 + 80 1

2

10t

2 D¤ng cho s®n ph÷ìng tr¼nh (tòy þ)

a 2.I0(t) + 10I = 4 → I(t) = C.e−5t+2

5

b y0(t) = 1 + sin t − y(t), → y(t) = Ce−t+ sin t

2 − cos t

2 + 1

6.2 Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh c§p 2 vîi h» sè h¬ng

6.2.1 T¼m nghi»m ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t

1 y0 = C1ex+ C2e2x

2 y0 = C1ex+ C2xex

3 y0 =ex(C1cos x + C2sin x)

4 y0 = 6

5e

−x−1

5e4x

6.2.2 T¼m nghi»m ri¶ng b¬ng ph÷ìng ph¡p bi¸n thi¶n h¬ng sè

y = C1e−2x+ C2xe−2x− 3

4e−2xx2 +1

2e−2xx2ln x 6.2.3 T¼m nghi»m ri¶ng b¬ng ph÷ìng ph¡p h» sè b§t ành

1 y = C1e2x+ C2e3x+x

6 +

11 36

2 y = C1exsin 2x + C2excos 2x + 3

5e2x

3 y = C1ex+ C2− sin x

2 − 5

2cos x

4 y = C1e−4x+ C2ex− 1

3e−xx − 2

9e−x

5 y = C e−3x+ C + 3 x sin x + 11sin x − 1 x cos x + 24cos x

6 y = C1ex+ C2e−x+3

5exsin x − 4

5excos x

7 y = C1ex+ C2− x2+ x

8 y = C1ex+ C2xex+ 3

2exx2

6.2.4 Nguy¶n lþ chçng ch§t nghi»m

1 y = C1e−x

+ C2+ x2− 2x + 3

2ex

2 y = C1e2x+ C2−x

2

4 − x

4 − 4

5sin x −

2

5cos x

3 y = C1e−3x+ C2e−2x + 1

12ex+ 3

52sin 2x −

15

52cos 2x

6.2.5 T¼m nghi»m b i to¡n Cauchy

y = 1

10x +

39

300 +

25

300e−2x −16

75e−5x

6.3 H» PTVP tuy¸n t½nh c§p 2 vîi h» sè h¬ng

6.3.1 Dòng ph÷ìng ph¡p khû t¼m nghi¶m têng qu¡t cõa h» ph÷ìng tr¼nh







x(t) = 1

3C1e2t(e3t+ 2) + 1

3C2e2t(e3t− 1) + 3

100(30t + 11) y(t) = 2

3C1e2t(e3t− 1) + 1

3C2e2t(2e3t+ 1) + 1

100(−70t − 9)

6.3.2 T¼m nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh







x(t) = 1

300 (270t + 325e2t− 124e5t+ 99) y(t) = 1

300(−3(70t + 9) − 325e2t− 248e5t)